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2010年北京海淀区二模数学文科试题及答案(数学文Word精编版)


海淀区高三年级第二学期期末练习


题目要求的一项.



(文科)

2010.5

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合

1.已知集合 M = { x ?2 < x < 1} , P = { x ?2 ≤ x < 2} ,则 M U P =
A. { x ?2 < x < 2} D. { x ?2 < x ≤ 2} 2.双曲线 B. { x ?2 ≤ x ≤ 2} C

{x

? 2 ≤ x < 2}

x2 y2 ? = 1 的焦距为 16 9 B. 7 C. 2 7 D. 5

A.10

3. 已知 a= (1, 0) ,b= ( x,1) ,若 a ? b = 3 ,则 x 的值为
A. 2 B. 2 2 C. 3 ?1 D. 3

4.已知直线 l1 : x + y + 1 = 0, l2 : x + y ? 1 = 0 ,则 l1 , l2 之间的距离为 A.1 5.函数 f ( x) = sin(2 x +
A. x =

B. 2

C.

3

D. 2

π
3

) 图象的对称轴方程可以为 x=

5π π B. x= C. 12 3 6.函数 f ( x) =| x ? 2 | ? ln x 在定义域内零点的个数为

π
6

D. x =

π
12

A.0 B .1 C.2 D.3 7.在正四面体 A ? BCD 中,棱长为 4, M 是 BC 的中点, P 在线段 AM 上运动( P 不 与 A 、M 重合) 过点 P 作直线 l ⊥ 平面 ABC ,l 与平面 BCD 交于点 Q, , A 给出下列命题:

① BC ⊥ 面 AMD 其中正确的是 A.①②

②Q 点一定在直线 DM 上 ③ VC ? AMD = 4 2
B

P D M C

B.①③

C.②③

D.①②③

8.已知直线 l : y = ?1 ,定点 F (0,1), P 是直线 x ? y + 2 = 0 上的动点,若经过点 F , P 的圆与 l 相切,则这个圆面积的最小值为
A.

π

2

B.

π

C.



D. 4π

-1-

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9.曲线 y = x 2 在点(1,1)处的切线的斜率为 .

10.某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程,甲、乙两班各随机抽取了 5 名学生的学分, 用茎叶图表示(如右图). s1 , s2 分别表示甲、乙两班各自 5 名学生学分的标准差,则
s1 s2 .(填“ > ”、“ < ”或“=”)

11. 若某程序的框图如图, 若输入的 x 的值为

1 , 则执行该程序后, 输出的 y 值为 2

.

第 10 题图

第 11 图 .
.

12.已知函数 f ( x ) = 1 + tan x ,若 f (a ) = 3 ,则 f ( ? a ) =

13.已知数列 {an } 满足 a1 = 1 , an an +1 = 2n ( n ∈ N * ) ,则 a9 + a10 的值为
14.给定集合 An = {1, 2,3,..., n} , n ∈ N * .若 f 是 An → An 的映射,且满足:

(1)任取 i, j ∈ An , 若 i ≠ j ,则 f (i ) ≠ f ( j ) ; (2)任取 m ∈ An , 若 m ≥ 2 ,则有 m ∈ { f (1), f (2),.., f ( m)} . 则称映射 f 为 An → An 的一个“优映射”. 例如:用表 1 表示的映射 f : A3 → A3 是一个“优映射”. 表1
i f (i )

表2
i f (i )

1 2

2 3

3 1

1

2 3

3

4

(1)已知 f : A4 → A4 是一个“优映射” ,请把表 2 补充完整(只需填出一个满足条件的 映射) ;

-2-

(2)若 f : A2010 → A2010 是“优映射” 且 f (1004) = 1 ,则 f (1000) + f (1007) 的最大值为 ,
_____ .

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15. (本小题满分 13 分) 在△ ABC 内, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边, a, b, c 成等差数列,且 a = 2c .

(I)求 cos A 的值; (II)若 S?ABC =
3 15 ,求 b 的值. 4

16. (本小题满分 13 分) 某园林局对 1000 株树木的生长情况进行调查,其中槐树 600 株,银杏树 400 株. 现用 分层抽样方法从这 1000 株树木中随机抽取 100 株,其中银杏树树干周长(单位:cm)的抽查 结果如下表:

树干周长(单位:cm) 株数

[30, 40 )
4

[ 40,50 )
18

[50, 60 )
x

[60, 70 )
6

(I)求 x 的值 ; (II) 若已知树干周长在 30cm 至 40cm 之间的 4 株银杏树中有 1 株患有虫害,现要对这 4 株 树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止.求排查的树木恰好为 2 株的概率.
17. (本小题满分 14 分)

在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧面 ACC1 A1 ⊥ 平面 ABC ,
∠ACB = 90o .

(I)求证: BC ⊥ AA1 ; (II)若 M,N 是棱BC上的两个三等分点, 求证: A1 N // 平 面 AB1 M .

18. (本小题满分 13 分)

若数列 {an } 满足 a1 = 1, an +1 = pSn + r (n ∈ N* ), p, r ∈ R , Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.
(Ⅰ) 当 p = 2, r = 0 时,求 a2 , a3 , a4 的值;

(Ⅱ)是否存在实数 p, r ,使得数列 {an } 为等比数列?若存在,求出 p, r 满足的条件;若 不存在,说明理由.

-3-

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = ( ax ? 1)e x , a ∈ R (I)当 a = 1 时,求函数 f ( x) 的极值; (II)若函数 f ( x) 在区间 (0,1) 上是单调增函数,求实数 a 的取值范围.
20. (本小题满分 13 分)

给定椭圆 C :

x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) ,称圆心在原点 O ,半径为 a 2 + b2 的圆是椭圆C的 2 a b

“准圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2,0) ,其短轴上的一个端点到F的距离为 3 . (I)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;
(II )点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的一个动点,过点 P 作直线 l1 , l2 ,使得 l1 , l2 与椭圆 C 都只

有一个交点,且 l1 , l2 分别交其“准圆”于点 M,N . (1)当 P 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时,求 l1 , l2 的方程; (2)求证:|MN|为定值.

-4-

海淀区高三年级第 学期期末 海淀区高三年级第二学期期末练习 年级 数 学(文) 2010.5 .

参考答案及评分标准
说明: 合理答案均可酌情给分, 说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数 第Ⅰ券(选择题 共 40 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 选择题( 小题, 选择题 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 B 5 D 6 C 7 A

8 B

第 II 券(非选择题 共 110 分) 小题, 有两空的小题, 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 填空题( 共 30 分) 9.2 10. < 11.2 12. ? 1 13.48 14. ; 2011.

三、解答题(本大题共 6 小题 共 80 分) 解答题 本大题共 小题,共 15. (本小题满分 13 分) 解: (I)因为 a, b, c 成等差数列,所以 a + c = 2b 又 a = 2c ,可得 b =
2 2



……………2 分 ……………4 分

3 c , 2
2

9 2 2 c + c ? 4c 2 b +c ?a 1 4 所以 cos A = = =? , 3 2 2bc 4 2× c 2
(II)由(I) cos A = ?

……………6 分

1 15 , A ∈ (0, π ) ,所以 sin A = , 4 4

……………8 分

因为 S ?ABC =

3 15 1 , S ?ABC = bc sin A , 4 2
……………11

所以 S ?ABC = 分

1 1 3 15 3 15 bc sin A = × c 2 = , 2 2 2 4 4

-5-

得 c = 4 ,即 c = 2 , b = 3 .
2

……………13 分

16. (本小题满分 13 分) 解: (I)因为用分层抽样方法从这 1000 株树木中随机抽取 100 株,

400 = 40 株 1000 所以有 4 + 18 + x + 6 = 40 ,所以 x = 12
所以应该抽取银杏树 100 ×

…………… 3 分 …………… 5 分

(II)记这 4 株树为 树1 , 树 2 , 树3 , 树 4 ,且不妨设 树 4 为患虫害的树, 记恰好在排查到第二株时发现患虫害树为事件 A, A 是指第二次排查到的是 树 4 则 …………… 7 分 因为求恰好在排查到第二株时发现患虫害树的概率,所以基本事件空间为:

? = {(树1 , 树 2 ), (树1 , 树3 ), (树1 , 树 4 ), (树 2 , 树1 ), (树 2 , 树3 ), (树 2 , 树 4 ) (树3 , 树1 ), (树3 , 树 2 ), (树3 , 树 4 ), (树 4 , 树1 ), (树 4 , 树 2 ), (树 4 , 树3 )}
共计 12 个基本事件 因此事件A中包含的基本事件有 3 个 所以恰好在排查到第二株时发现患虫害的概率 P ( A) = ……………10 分 ……………12 分

3 1 = ………… 13 分 12 4 1 答: x 值为 12;恰好在排查到第二株时发现患虫害的概率为 . 4
o

17. (本小题满分 14 分) 证明:(Ⅰ) 因为 ∠ACB = 90 分 又侧面 ACC1 A1 ⊥ 平面 ABC ,且平面 ACC1 A1 I 平面 ABC =AC, …………3 分 ,所以 AC ⊥ CB , ……… 1

BC ? 平面 ABC ,所以 BC ⊥ 平面 ACC1 A1 ,
分 又 AA1 ? 平面 ACC1 A1 , 所以 BC ⊥ AA1 . (II)连接 A1 B ,交 AB1 于 O 点,连接 MO, 在 ?A1 BN 中,O,M 分别为 A1 B ,BN 的中点, 所以 OM // A1 N 分 又 OM ? 平面 AB1M ,A1 N ? 平面 AB1M , 所以 A1 N // 平面 AB1M . 18. (本小题满分 13 分)

………… 5

………… 7 分 ………… 9 分 ………… 11

………… 13 分 ………… 14 分

-6-

解: (I)因为 a1 = 1 , an +1 = pS n + r , 当 p = 2, r = 0 时, an +1 = 2 S n 分 所以 a2 = 2a1 = 2 , 分 …………… 2 …………… 1

a3 = 2 S 2 = 2(a1 + a2 ) = 2 × (1 + 2) = 6 ,


……………4

a4 = 2 S3 = 2(a1 + a2 + a3 ) = 2 × (1 + 2 + 6) = 18 .
分 (II)因为 an +1 = pS n + r , 所以 an = pS n ?1 + r ( n ≥ 2 ) , 所以 an +1 ? an = ( pS n + r ) ? ( pS n ?1 + r ) = pan , 即 an +1 = ( p + 1) an ,其中 n ≥ 2 , 所以若数列 {an } 为等比数列,则公比 q = p + 1 ≠ 0 ,所以 p ≠ ?1 , 分 又 a2 = p + r = a1q = a1 ( p + 1) = p + 1 ,故 r = 1 . 所以当 p ≠ ?1, r = 1 时,数列 {an } 为等比数列. 19. (本小题满分 14 分) 解: (I)因为 f ' ( x ) = ( ax + a ? 1)e x , 所以当 a = 1 时, f ' ( x ) = xe x , 令 f ' ( x ) = 0 ,则 x = 0 , 所以 f ( x ), f ' ( x) 的变化情况如下表:

……………6

……………7 分

……………9 分 ……………11

……………13 分

…………… 2 分 …………… 3 分 …………… 4 分

x
f ' ( x)

(?∞,0)

0 0

(0,+∞)
+

?

-7-

f (x)

极小 值

……………5 分 所以 x = 0 时, f (x ) 取得极小值 f (0) = ?1 .
x

……………6 分

(II) 因为 f ' ( x) = ( ax + a ? 1)e ,函数 f ( x) 在区间 (0,1) 上是单调增函数, 所以 f ' ( x) ≥ 0 对 x ∈ (0,1) 恒成立. 又 e > 0 ,所以只要 ax + a ? 1 ≥ 0 对 x ∈ (0,1) 恒成立,
x

……………8 分 ……………10 分

解法一:设 g ( x) = ax + a ? 1 ,则要使 ax + a ? 1 ≥ 0 对 x ∈ (0,1) 恒成立,

只要 ?

? g (0) ≥ 0 成立, ? g (1) ≥ 0

……………12 分

即?

?a ? 1 ≥ 0 ,解得 a ≥ 1 . ?2 a ? 1 ≥ 0

……………14 分

解法二:要使 ax + a ? 1 ≥ 0 对 x ∈ (0,1) 恒成立, 因为 x > 0 ,所以 a ≥ 因为函数 g ( x ) =

1 对 x ∈ (0,1) 恒成立 , x +1

……………10 分 ……………12 分 ……………14

1 在 (0,1) 上单调递减, x +1 1 =1 . 所以只要 a ≥ g (0) = 0 +1

20. (本小题满分 13 分)

解: I)因为 c = (

2 , a = 3 ,所以 b = 1 x2 + y 2 = 1, 3
.

……………2 分

所以椭圆的方程为

准圆的方程为 x 2 + y 2 = 4

……………4 分 ……………5 分

(II) 1)因为准圆 x 2 + y 2 = 4 与 y 轴正半轴的交点为 P(0,2), ( 设过点 P(0,2) ,且与椭圆有一个公共点的直线为 y = kx + 2 ,

-8-

? y = kx + 2 ? 2 2 所以 ? x 2 ,消去 y ,得到 (1 + 3k ) x + 12kx + 9 = 0 , 2 ? + y =1 ?3
因为椭圆与 y = kx + 2 只有一个公共点, 所以 ? = 144k ? 4 × 9(1 + 3k ) = 0 ,
2 2

……………6 分

……………7

分 解得 k = ±1 . 分 所以 l1 , l2 方程为 y = x + 2, y = ? x + 2 . 分 (2)①当 l1 , l2 中有一条无斜率时,不妨设 l1 无斜率, 因为 l1 与椭圆只有一个公共点,则其方程为 x = 当 l1 方程为 x =

……………8

……………9

3 或x = ? 3,

3 时,此时 l1 与准圆交于点 ( 3 ,1), ( 3 ,?1) ,

此时经过点 ( 3 ,1) (或 ( 3 ,?1) )且与椭圆只有一个公共点的直线是

y = 1 (或 y = ?1 ),即 l2 为 y = 1 (或 y = ?1 ),显然直线 l1 , l2 垂直;
同理可证 l1 方程为 x = ? 3 时,直线 l1 , l2 垂直. ② 当 l1 , l2 都有斜率时,设点 P ( x0 , y0 ) ,其中 x0 + y0 = 4 ,
2 2

……………10 分

设经过点 P ( x0 , y0 ) 与椭圆只有一个公共点的直线为 y = t ( x ? x0 ) + y0 ,

? y = tx + ( y0 ? tx0 ) ? 2 2 则 ? x2 ,消去 y 得到 x + 3(tx + ( y0 ? tx0 )) ? 3 = 0 , 2 ? + y =1 ?3
即 (1 + 3t ) x + 6t ( y0 ? tx0 ) x + 3( y0 ? tx0 ) ? 3 = 0 ,
2 2 2

? = [6t ( y0 ? tx0 )]2 ? 4 ? (1 + 3t 2 )[3( y0 ? tx0 ) 2 ? 3] = 0 ,
经过化简得到: (3 ? x0 )t + 2 x0 y0t + 1 ? y0 = 0 ,
2 2 2

因为 x0 + y0 = 4 ,所以有 (3 ? x0 )t + 2 x0 y0t + ( x0 ? 3) = 0 ,
2 2 2 2 2

设 l1 , l2 的斜率分别为 t1 , t 2 ,因为 l1 , l2 与椭圆都只有一个公共点,

-9-

所以 t1 ,t 2 满足上述方程 (3 ? x0 )t + 2 x0 y0t + ( x0 ? 3) = 0 ,
2 2 2

所以 t1 ? t2 = ?1 ,即 l1 , l2 垂直.

……………12 分

综合①②知:因为 l1 , l2 经过点 P ( x0 , y0 ) ,又分别交其准圆于点 M,N,且 l1 , l2 垂直, 所以线段 MN 为准圆 x + y = 4 的直径,所以|MN|=4.
2 2

……………13 分

- 10 -


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