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2013届高考数学一轮复习 第六篇 数列第3讲 等比数列及其前n项和课件文科


第3讲 等比数列及其前n项和

【2013年高考会这样考】 1.以等比数列的定义及等比中项为背景,考查等比数列的判定. 2.考查通项公式、前n项和公式以及性质的应用. 【复习指导】 本讲复习时,紧扣等比数列的定义,掌握其通项公式和前n项和公式, 求和时要注意验证公比q是否为1;对等比数列的性质应用要灵活,运 算中要注意方程思想的应用.

基础梳理 1.等比数列的定义

同一个 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于 常数,那么这 公比,常用字母 q 表示. 个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的
2.等比数列的通项公式
a n ?1 an ? q (an ? 0)

a ?q 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an= 1
3.等比中项 若

n ?1

.

G2=a· b(ab≠0)

G ,那么G叫做a与b的等比中项. ? ?

ab

4.等比数列的常用性质

qn-m ,(n,m∈N+). (1)通项公式的推广:an=am·
(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则

ak·l=am·n a a

.

(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,公比分别为 p,q,则{λan}(λ≠0),
?1? ? ? ?an?

, {a

pq p ____,_______,_______,_________ q p
(4)公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n -S2n 仍成等比数列,其公比为 5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=na1; a1?1-qn? a1-anq 当 q≠1 时,Sn= = . 1-q 1-q

1

2 n

} , {an· n} , b p

?an? ? ? ?bn?

仍是等比数列.公比分别为

qn .

推导 利用错位相减法推导等比数列的前 n 项和: Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1, 同乘 q 得:qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn, a1?1-qn? 两式相减得(1-q)Sn=a1-a1qn,∴Sn= (q≠1). 1-q

等比数列的判断方法有: an+1 (1)定义法:若 a =q(q 为非零常数),则{an}是等比数列. n (2)中项公式法: an≠0 且 a2+1=an· n+2(n∈N*),则{an}是等比数列. a n (3)通项公式法:若数列通项公式可写成 an=c· n(c,q 均是不为 0 的常 q 数,n∈N*),则{an}是等比数列.

双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)在等比数列{an}中,如果公比 q<1,那么 等比数列{an}是( A.递增数列 C.常数列 解析 ). B.递减数列 D.无法确定数列的增减性

当 a1>0,0<q<1,数列{an}为递减数列,

当 q<0,数列{an}为摆动数列. 答案 D

1 2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则公比 q 等于( 4 1 A.- 2 解析 答案 B.-2 C.2 1 D. 2

).

a5 1 1 由题意知:q3= = 8,∴q=2. a2 D

3.在等比数列{an}中,a4=4,则 a2·6 等于( a A.4 B.8 C.16 D.32

).

解析 由等比数列的性质得:a2a6=a2=16. 4 答案 C

S5 4.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则 =( S2 A.-11 B.-8 解析 C.5 D.11

).

设等比数列的首项为a1,公比为q.因为8a2+a5=0,所以8a1q+

a1q4=0. ∴q3+8=0,∴q=-2,
5 S5 a1?1-q ? 1-q ∴ = · S2 1-q a1?1-q2?

1-q5 1-?-2?5 = = =-11. 1-q2 1-4 答案 A

5.(2011· 广东)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+ a4=0,则k=________. 解析 4×3 2 9×8 设{an}的公差为d,由S9=S4及a1=1,得9×1+ 2 d=4×1+ d,所以d=- 1 6 .又ak+a4=0,所以
? ? 1?? ?1+?k-1?×?- ?? ? ? 6??



? ? 1? ?1+?4-1?×?- ? ? ? 6?

]=0,即k=10.

答案

10



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