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湖南省邵阳市邵东县第三中学2015-2016学年高一上学期第一次月考数学试题


2015 年下期高一自主招生班第一次月考数学试卷 (内容:必修 1+必修 2 第一、第二章)
一. 选择题(4 ? 10=40 分) 1.已知 A ? ?x | log3 x ? 1? , B ? x | y ? x ? 1 ? 3 ? x ,那么有 A. A ? B ? ? 2.函数 f ( x) ? ln x ? A.(1,2) B. A ? B C. B ? A D. A ? B ( D. (e, ??) )

?

?

(

)

2 的零点所在的大致区间是 x 1 B.(2,3) C. (1, )和(3, 4) e
b

3. 若 log2 a<0, ? ? >1,则(
A.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0

?1? ?2?

). B.a>1,b<0 D.0<a<1,b<0

4. 若 f ( x) ? ? x2 ? 2ax 与 g ( x ) ?
A. (?1,0) ? (0,1)

a 在区间 [1, 2] 上都是减函数,则 a 的取值范围是( x
C. (0,1] D. (0,1)



B. (?1,0) ? (0,1]

5.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m ? ? , n//? , 则m ? n ; ③若 m//? ,n//? , 则m//n ; 其中正确命题的序号是 A.①② B.②③ ②若 ? //? , ? //? , m ? ? , 则m ? ? ; ④若 ? ? ? , ? ? ? , 则? //? . ( C.③④ D,①④
( )

)

6.已知一个几何体的三视图如下图所示,则此几何体的表面积为

a
2a

a
2a R?a

正视图

侧视图

俯视图

A. 4? a 2

B. 3? a 2

C. 5 ? 2 ? a 2

?

?

D. 3 ? 2 a 2

?

?

7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委

米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处

堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺, 圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有( )

A.14 斛

B.22 斛

C.36 斛

D.66 斛

8. 已知在四面体 ABCD 中, E、 F 分别是 AC、 BD 的中点, 若 CD=2, AB=4,EF ? CD,则 EF 与 AB 所成的角为( A.90





B.45



C.60



D.30

9. 函数 f ( x) ? log1 ( x 2 ? 3x ? 2) 的单调递增区间为(
3



A. (-∞,1) C. (-∞,

B. (2,+∞) D. (

3 ) 2

3 ,+∞) 2


10.已知函数 f ( x) ? 2 | x ? 1| ?ax( x ? R) , 若函数 f(x)存在两个零点, 则 a 的取值范围是 (

A.(0,1)

B. (0, 2)

C. [0, 2)

D. [0, 2]

二、填空题:共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分 11. 棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为______

12. 已知函数 f ( x) ? ? x2 ? 4x ? a, x ?[0,1] ,若 f ( x) 的最小值为-2,则 f ( x) 的最大值为
______

13.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A-BD-C,有如下四个结论: ①AC⊥BD; ②△ACD 是等边三角形;

③AB 与平面 BCD 成 60°的角; ④AB 与 CD 所成的角是 60°. 其中正确结论的序号是________. 14. 函数 f ( x) 在定义域 ?? 1,1? 内是递增的函数,而且 f ?x ? 1? ? f ?2 x ? 1? ,则 x 的取值范





15. 已知 f (a ? b) ? f (a) ? f (b), f (1) ? 2, 则

f 2 (1) ? f (2) f 2 (2) ? f (4) f 2 (3) ? f (6) ? ? f (1) f (3) f (5)

?

f 2 (4) ? f (8) ? f (7)

三.解答题:共 6 道大题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16.(8 分) 已知 A ? x | x 2 ? 5x ? 6 ? 0 , B ? ?x | mx ? 1 ? 0?,且 A ? B ? B ,求 m 的


?

?

17. (8 分)若函数 f ( x) ? x ln( x ? a ? x 2 ) 为偶函数,求 a 的值

18.(10 分)如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P ? ABCD 中, AD ∥ BC,?ABC ? 90° ,
PA ? 平面 ABCD . PA ? 3,AD ? 2,AB ? 2 3,BC ? 6 .
(Ⅰ)求证: BD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? D 的正切值.

19. (10分)如图,在棱长为2的正方体 ABCD ? A ,DB 的 1B 1C1D 1 中, E , F 分别为 DD 1 中点. (1)求证: EF //平面 ABC1D1 ;

(2)求 B1E与平面AEC 所成角的正弦值.

20

. (

12













f ? x ? ? lg ? a x ? b x ? ? a ? 1 ? b ? 0 ? .
(1)求 y ? f ? x ? 的定义域; (2)判断函数 y ? f ? x ? 的单调性,探究在函数 y ? f ? x ? 的图像上是否存在不同的两点, 使过此两点的直线平行于 x 轴; (3)当 a , b 满足什么关系时, f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上恒取正值.

21. (12 分)通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概
念和描述问题所用的时间:讲座开始时,学生兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的 兴趣保持较理想的状态;随后学生的注意力开始分散。分析结果和实验表明,用 f ? x ? 表示学 生接受概念的能力( f ? x ? 的值愈大,表示接受的能力愈强) , x 表示提出和讲授概念的时间 (单位:分) ,可有以下的公式:

??0.1x 2 ? 2.6 x ? 43, (0 ? x ? 10) ? ? f ? x ? ? ?59, (10 ? x ? 16) , ? ?3x ? 107, (16 ? x ? 30) ? ?
(1)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多长时间? (2)开讲后 5 分钟与开讲后 20 分钟比较,学生的接受能力何时强一些? (3)一个数学难题需要 55 的接受能力及 13 分钟时间,老师能否在学生一直达到所需接 受能力的状态下讲完这个难题?

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