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2016上海市闵行区高考数学一模试卷(理科)


2016 上海市闵行区高考数学一模试卷(理科)
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格内 直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. (4 分) (2016?闵行区一模) 若复数 z 满足 2. (4 分) (2016?闵行区一模) 若全集 U=R, 函数
x x

(i 为

虚数单位) , 则|z| 的值域为集合 A, 则?UA= . 的最小正周期 t= .

. .

3. (4 分) (2016?闵行区一模)方程 4 ﹣2 ﹣6=0 的解为 4. (4 分) (2016?闵行区一模) 函数 5. (4 分) (2015?闵行区一模)不等式 >|x|的解集为



6. (4 分) (2016?闵行区一模)已知圆锥的底面半径为 3,体积是 12π,则圆锥侧面积等 于 . 7. (4 分) (2016?闵行区一模)已知△ABC 中, , ,其中 是

基本单位向量,则△ABC 的面积为 . 8. (4 分) (2016?闵行区一模)在 2017 年的上海高考改革方案中,要求每位考生必须在物 理、化学、生物、政治、历史、地理 6 门学科中选择 3 门学科参加等级考试.小明同学决定 在生物、政治、历史三门中至多选择一门,那么小明同学的选科方案有 种. 9. (4 分) (2015?闵行区一模) 若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, 且 = .
|x﹣a

, 则

10. (4 分) (2015?闵行区一模)若函数 f(x)=2 |(a∈R)满足 f(1+x)=f(1﹣x) ,且 f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数 m 的最小值等于 . 11. (4 分) (2016?闵行区一模)若点 P、Q 均在椭圆 F1、F2 是椭圆 Γ 的左、右焦点,则 的最大值为 (a>1)上运动, .

12. (4 分) (2015?闵行区一模)已知函数

,若实数 a、b、

c 互不相等,且满足 f(a)=f(b)=f(c) ,则 a+b+c 的取值范围是 . 13. (4 分) (2016?闵行区一模)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精 确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为 和 (a, b, c, d∈N ) , 则 若令
*

是 x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值. 我们知道 π=3.14159…, 是 π 的更为精确的过剩近似值,即

,则第一次用“调日法”后得

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,若每次都取最简分数,那么第四次用“调日法”后可得 π 的近似分数 为 . * 14. (4 分) (2015?闵行区一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N , 且(an+1﹣p) (an﹣p)<0 恒成立,则实数 p 的取值范围 是 .

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. (5 分) (2016?闵行区一模)若 a,b∈R,且 ab>0,则“a=b”是“ 等号成立”的

( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既非充分又非必要条件 2 3 4 5 16. (5 分) (2016?闵行区一模)设 f(x)=2+5x+10x +10x +5x +x ,则其反函数的解析式为 ( ) A. B. C. D.

17. (5 分) (2016?闵行区一模)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足 ,则角 A 的范围是( A. B. C. ) D.

18. (5 分) (2016?东城区一模)函数 f(x)的定义域为[﹣1,1],图象如图 1 所示;函数 g(x)的定义域为[﹣1,2],图象如图 2 所示.A={x|f(g(x) )=0},B={x|g(f(x) )=0}, 则 A∩B 中元素的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19. (12 分) (2016?闵行区一模)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC, AA1=AB=2, BC=1, , D 为棱 AA1 中点, 证明异面直线 B1C1 与 CD 所成角为 ,

并求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积.

第 2 页(共 44 页)

20. (14 分) (2016?闵行区一模)如图,点 A、B 分别是角 α、β 的终边与单位圆的交点, . (1)若 , ,求 sin2β 的值;

(2)证明:cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

21. (14 分) (2015?闵行区一模)某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路 l1、l2, 海岸边界 MPN 近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源,需修建一条连接两条公路的直线 型观光大道 AB,且直线 AB 与曲线 MPN 有且仅有一个公共点 P(即直线与曲线相切) ,如 图所示.若曲线段 MPN 是函数 图象的一段,点 M 到 l1、l2 的距离分别为 8 千米和 1

千米,点 N 到 l2 的距离为 10 千米,以 l1、l2 分别为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标 系 xOy,设点 P 的横坐标为 p. (1)求曲线段 MPN 的函数关系式,并指出其定义域; (2)若某人从点 O 沿公路至点 P 观景,要使得沿折线 OAP 比沿折线 OBP 的路程更近,求 p 的取值范围.

22. (16 分) (2015?闵行区一模)已知椭圆 Γ 的中心在坐标原点,且经过点 一个焦点与抛物线 E:y =4x 的焦点重合.
第 3 页(共 44 页)
2

,它的

(1)求椭圆 Γ 的方程; (2)斜率为 k 的直线 l 过点 F(1,0) ,且与抛物线 E 交于 A、B 两点,设点 P(﹣1,k) , △PAB 的面积为 ,求 k 的值; (3)若直线 l 过点 M(0,m) (m≠0) ,且与椭圆 Γ 交于 C、D 两点,点 C 关于 y 轴的对称 点为 Q,直线 QD 的纵截距为 n,证明:mn 为定值. 23. (18 分) (2015?闵行区一模)已知数列{an}的各项均为整数,其前 n 项和为 Sn.规定: 若数列{an}满足前 r 项依次成公差为 1 的等差数列, 从第 r﹣1 项起往后依次成公比为 2 的等 比数列,则称数列{an}为“r 关联数列”. (1)若数列{an}为“6 关联数列”,求数列{an}的通项公式; * (2)在(1)的条件下,求出 Sn,并证明:对任意 n∈N ,anSn≥a6S6; (3) 已知数列{an}为“r 关联数列”, 且 a1=﹣10, 是否存在正整数 k, m (m>k) , 使得 a1+a2+…+ak ﹣1+ak=a1+a2+…+am﹣1+am?若存在,求出所有的 k,m 值;若不存在,请说明理由.

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2016 上海市闵行区高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格内 直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. (4 分) (2016?闵行区一模)若复数 z 满足 (i 为虚数单位) ,则|z| 2 . 【考点】复数求模. 【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数. 【分析】根据复数的四则运算先化简复数,然后计算复数的长度即可
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【解答】解:∵ , ∴﹣z= i+1, ∴z=﹣1﹣ i, ∴|z|= =2, 故答案为:2. 【点评】 本题主要考查复数的计算, 要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式, 比较基础.

2. (4 分) (2016?闵行区一模) 若全集 U=R, 函数

的值域为集合 A, 则?UA= (﹣∞,

0) . 【考点】补集及其运算. 【专题】计算题. 【分析】求出函数的值域确定出 A,根据全集 U=R,找出 A 的补集即可.
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【解答】解:函数 y=x ∵全集 U=R,

≥0,得到 A=[0,+∞) ,

∴?UA=(﹣∞,0) . 故答案为: (﹣∞,0) 【点评】此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键. 3. (4 分) (2016?闵行区一模)方程 4 ﹣2 ﹣6=0 的解为 log23 . 【考点】指数式与对数式的互化;二次函数的性质. 【专题】计算题. x x x 2 x x x 【分析】由 4 ﹣2 ﹣6=0,得(2 ) ﹣2 ﹣6=0,由此能求出方程 4 ﹣2 ﹣6=0 的解. x x 【解答】解:由 4 ﹣2 ﹣6=0,得 x 2 x (2 ) ﹣2 ﹣6=0, x x 解得 2 =3,或 2 =﹣2(舍去) , ∴x=log23. 故答案为:log23. 【点评】本题考查指数方程的解法,解题时要认真审题,注意指数式和对数式的互化.
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x

x

4. (4 分) (2016?闵行区一模)函数
第 5 页(共 44 页)

的最小正周期 t= π .

【考点】二阶行列式的定义;三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 【专题】计算题;转化思想;综合法;三角函数的求值;矩阵和变换. 【分析】利用二阶行列式展开式法则和余弦函数二倍角公式求解. 【解答】解:函数 =cos(π﹣x)cosx﹣sin(π+x)sinx =﹣cos x+sin x =﹣cos2x, ∴函数 的最小正周期 t= =π.
2 2

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故答案为:π. 【点评】本题考查三角函数的最小正周期的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意二阶 行列式展开法则的合理运用.

5. (4 分) (2015?闵行区一模)不等式 >|x|的解集为 【考点】其他不等式的解法. 【专题】不等式的解法及应用.
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(0,2) .

【分析】不等式即 式的解集.

>0,显然 x<0 时不成立.当 x>0 时,根据

<0,求得不等

【解答】解:当 x<0 时, >﹣x,即 当 x>0 时,

>0,显然 x<0 时不成立.

<0,解得 0<x<2,所以不等式的解集为(0,2) ,

故答案为: (0,2) . 【点评】本题主要考查分式不等式的解法,体现了转化以及分类讨论的数学思想,属于中档 题. 6. (4 分) (2016?闵行区一模)已知圆锥的底面半径为 3,体积是 12π,则圆锥侧面积等于 15π . 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】根据圆锥的体积计算出圆锥的高,以及圆锥的母线,进而求出圆锥的侧面积. 【解答】解:设圆锥的高为 h,底面半径为 r, ∵圆锥的底面半径为 3,体积是 12π,
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∴ 即 h=4, ∴圆锥的母线长 l=





∴圆锥的侧面积 S=πrl=3×5π=15π, 故答案为:15π. 【点评】 本题主要考查圆锥的体积和侧面积的计算, 要求熟练掌握圆锥的体积和侧面积公式.
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7. (4 分) (2016?闵行区一模)已知△ABC 中, 基本单位向量,则△ABC 的面积为
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,其中





【考点】三角形的面积公式. 【专题】转化思想;综合法;解三角形. 【分析】 根据平面向量的数量积以及坐标运算, 求出向量的模长, 判断三角形是直角三角形, 求出面积即可. 【解答】解:根据题意,得: ∴ ∴ ∴| =
2 2

=(4,3) ,

=(﹣3,4) ,


2

=(﹣7,1) ,
2

=4 +3 =25, | =|
2

=(﹣3) +4 =25,

2

2

2

=(﹣7) +1 =50;

2

2

| +|

2

|, .

2

△ABC 是直角三角形,它的面积为 S= ×5×5= 故答案为: .

【点评】本题考查了平面向量的应用问题,解题时应根据平面向量的数量积以及坐标运算, 进行解答,是基础题. 8. (4 分) (2016?闵行区一模)在 2017 年的上海高考改革方案中,要求每位考生必须在物 理、化学、生物、政治、历史、地理 6 门学科中选择 3 门学科参加等级考试.小明同学决定 在生物、政治、历史三门中至多选择一门,那么小明同学的选科方案有 10 种. 【考点】排列、组合的实际应用. 【专题】计算题;方程思想;综合法;排列组合. 【分析】 分类讨论: 选择两门理科学科, 一门文科学科; 选择三门理科学科, 即可得出结论.
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【解答】解:选择两门理科学科,一门文科学科,有 C3 C3 =9 种;选择三门理科学科,有 1 种, 故共有 10 种. 故答案为:10. 【点评】本题考查计数原理的应用,考查学生的计算能力,比较基础.

2

1

9. (4 分) (2015?闵行区一模) 若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, 且 = 5 . 【考点】数列的极限. 【专题】方程思想;分析法;等差数列与等比数列.
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, 则

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【分析】设等差数列{an}的公差为 d, 运用等差数列的求和公式, 计算可得 d=10,再由 =0,计算即可得到所求值. 【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d, 即有 Sn=na1+ n(n﹣1)d, 即 由 =a1+ d(n﹣1) , ,可得

a1+ d=a1+ d+10, 解得 d=10, 则 = =5+ ,

即有

=

(5+

)=5+

=5+0=5. 故答案为:5. 【点评】本题考查等差数列的求和公式的运用,考查数列极限的求法,注意运用数列极限公 式,属于中档题. 10. (4 分) (2015?闵行区一模)若函数 f(x)=2 |(a∈R)满足 f(1+x)=f(1﹣x) ,且 f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数 m 的最小值等于 1 . 【考点】抽象函数及其应用. 【专题】转化思想;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】先由 f(1+x)=f(1﹣x)得到 f(x)的图象关于直线 x=1 轴对称,进而求得 a=1, 再根据题中所给单调区间,求出 m≥1. 【解答】解:因为 f(1+x)=f(1﹣x) , 所以,f(x)的图象关于直线 x=1 轴对称,
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|x﹣a

而 f(x)=2 ,所以 f(x)的图象关于直线 x=a 轴对称, |x﹣1| 因此,a=1,f(x)=2 , 且该函数在(﹣∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增, 又因为函数 f(x)在[m,+∞)上单调递增, 所以,m≥1,即实数 m 的最小值为 1. 故答案为:1. 【点评】 本题主要考查了指数型复合函数的图象与性质, 涉及该函数图象的对称性和单调区 间,体现了数形结合的解题思想,属于中档题.

|x﹣a|

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11. (4 分) (2016?闵行区一模)若点 P、Q 均在椭圆 F1、F2 是椭圆 Γ 的左、右焦点,则
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(a>1)上运动, 的最大值为 2a .

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】数形结合;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用向量的平行四边形法则可得: 则、椭圆的性质即可得出. 【解答】解:∵ ∴ ∴ = =2 , =2 ≤2a, =2 ,代入再利用向量的三角形法

的最大值为 2a,

故答案为:2a. 【点评】本题考查了椭圆的定义及其标准方程、向量的平行四边形法则与三角形法则,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题.

12. (4 分) (2015?闵行区一模)已知函数

,若实数 a、b、

c 互不相等,且满足 f(a)=f(b)=f(c) ,则 a+b+c 的取值范围是 (8,23) . 【考点】余弦函数的对称性;分段函数的应用. 【专题】综合题;数形结合;数形结合法;函数的性质及应用;三角函数的图像与性质. 【分析】作出函数 f(x)的图象,根据 f(a)=f(b)=f(c) ,确定 a,b,c 的范围,即可 得出 a+b+c 的取值范围. 【解答】解:作出 f(x)的函数图象,如图: 令 log (x﹣3)+1=1,解得 x=4.
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令 log

(x﹣3)+1=﹣1,解得 x=19.

设 a<b<c,则 a+b=4,4<c<19. ∴8<a+b+c<23. 故答案为(8,23) .

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【点评】本题以三角函数和对数函数为例,考查了函数的零点与方程根个数讨论等知识点, 利用数形结合,观察图象的变化,从而得出变量的取值范围是解决本题的关键. 13. (4 分) (2016?闵行区一模)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精 确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为 和 (a, b, c, d∈N ) , 则 若令
*

是 x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值. 我们知道 π=3.14159…, 是 π 的更为精确的过剩近似值,即

,则第一次用“调日法”后得

,若每次都取最简分数,那么第四次用“调日法”后可得 π 的近似分数为 . 【考点】归纳推理. 【专题】计算题;方程思想;综合法;推理和证明. 【分析】利用“调日法”进行计算,即可得出结论.
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【解答】解:第二次用“调日法”后得 第三次用“调日法”后得 第四次用“调日法”后得 故答案为:

是 π 的更为精确的过剩近似值,即 <π< <π< , ,

<π<



是 π 的更为精确的过剩近似值,即 是 π 的更为精确的过剩近似值,即

【点评】本题考查“调日法”,考查学生的计算能力,比较基础. 14. (4 分) (2015?闵行区一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N , 且(an+1﹣p) (an﹣p)<0 恒成立,则实数 p 的取值范围是 . 【考点】数列递推式. 【专题】综合题;函数思想;转化思想;综合法;等差数列与等比数列.
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*

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【分析】由数列递推式求出首项,写出 n≥2 时的递推式,作差后对 n 分偶数和奇数讨论, 求出数列通项公式,可得函数 函数 (n 为正奇数)为减函数,最大值为 ,

(n 为正偶数)为增函数,最小值为

.再由(an+1﹣p) (an﹣p)<

0 恒成立求得实数 p 的取值范围. 【解答】解:由 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1= ,得 ;

= 若 n 为偶数,则 若 n 为奇数,则 ∴ 函数 函数 (n 为正偶数) . ,∴

. (n 为正奇数) ; = = ,

(n 为正奇数)为减函数,最大值为 (n 为正偶数)为增函数,最小值为 .



若(an+1﹣p) (an﹣p)<0 恒成立, 则 a1<p<a2,即 故答案为: . .

【点评】本题考查数列递推式,考查了数列通项公式的求法,体现了分类讨论的数学思想方 法和数学转化思想方法,是中档题. 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. (5 分) (2016?闵行区一模)若 a,b∈R,且 ab>0,则“a=b”是“ ( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既非充分又非必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】定义法;不等式的解法及应用;简易逻辑. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合基本的性质进行判断即可.
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等号成立”的

【解答】解:∵ab>0,∴ >0,

第 11 页(共 44 页)

当 a=b,则 + =1+1=2,此时等号成立, + ≥2 故“a=b”是“ =2,当且仅当 = ,即 a=b 时取等号, 等号成立”的充要条件,

故选:A 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据基本不等式的性质是解决本题的关 键. 16. (5 分) (2016?闵行区一模)设 f(x)=2+5x+10x +10x +5x +x ,则其反函数的解析式为 ( ) A. B.
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2

3

4

5

C.

D.

【考点】反函数. 【专题】定义法;函数的性质及应用;二项式定理. 【分析】根据二项式定理: (1+x) =1+5x+10x +10x +5x +x ,原函数可写成 y=1+(1+x) , 再求其反函数即可. 2 3 4 5 【解答】解:因为 y=f(x)=2+5x+10x +10x +5x +x 2 3 4 5 5 =1+[1+5x+10x +10x +5x +x ]=1+(1+x) , 即 y=1+(1+x) ,所以,1+x= 因此,x=﹣1+ , ,
﹣1

5

2

3

4

5

5

5



再交换 x,y 得,y=﹣1+

所以,f(x)的反函数的解析式为 f (x)=﹣1+

,x∈R,

故答案为:C. 【点评】本题主要考查了反函数及其解法,涉及二项式定理的应用,根式的运算和函数定义 域与值域的确定,属于中档题. 17. (5 分) (2016?闵行区一模)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足 ,则角 A 的范围是( A. B.
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) D.

C.

【考点】余弦定理. 【专题】计算题;数形结合;分析法;解三角形. 2 2 2 【分析】由已知可得(a﹣b+c) (a+b﹣c)≤bc,整理可得:b +c ﹣a ≥bc,利用余弦定理 可得 cosA= ≥ = ,利用余弦函数的图象和性质即可得解 A 的范围.

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【解答】解:∵



又∵由于三角形两边之和大于第三边,可得 a+c﹣b>0,a+b﹣c>0,且 b,c>0, 2 2 2 ∴(a﹣b+c) (a+b﹣c)≤bc,整理可得:b +c ﹣a ≥bc, ∴cosA= ∵A∈(0, ) . ≥ = ,

故选:B. 【点评】本题主要考查了余弦定理,余弦函数的图象和性质的综合应用,考查了计算能力和 数形结合能力,属于中档题. 18. (5 分) (2016?东城区一模)函数 f(x)的定义域为[﹣1,1],图象如图 1 所示;函数 g(x)的定义域为[﹣1,2],图象如图 2 所示.A={x|f(g(x) )=0},B={x|g(f(x) )=0}, 则 A∩B 中元素的个数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】函数的图象;交集及其运算. 【专题】数形结合;定义法;函数的性质及应用;集合. 【分析】结合图象,分别求出集合 A,B,再根据交集的定义求出 A∩B,问题得以解决. 【解答】解:由图象可知, 若 f(g(x) )=0, 则 g(x)=0 或 g(x)=1, 由图 2 知,g(x)=0 时,x=0,或 x=2, g(x)=1 时,x=1 或 x=﹣1 故 A={﹣1,0,1,2}, 若 g(f(x) )=0, 由图 1 知,f(x)=0,或 f(x)=2(舍去) , 当 f(x)=0 时,x=﹣1 或 0 或 1, 故 B={﹣1,0,1}, 所以 A∩B={﹣1,0,1}, 则 A∩B 中元素的个数为 3 个. 故选:C. 【点评】 本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用, 属于中档题.
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第 13 页(共 44 页)

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19. (12 分) (2016?闵行区一模)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC, AA1=AB=2, BC=1, , D 为棱 AA1 中点, 证明异面直线 B1C1 与 CD 所成角为 ,

并求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离.
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【分析】在△ABC 中使用正弦定理得出∠ACB=90°,即 AC⊥BC,又 AA1⊥平面 ABC 得 AA1⊥BC,故 BC⊥平面 ACC1A1,于是 BC⊥CD,由 BC∥B1C1 得出 B1C1⊥CD,利用棱 柱的体积公式求出棱柱的体积. 【解答】 证明: 在△ABC 中, 由正弦定理得 , 即 ,

∴sin∠ACB=1,即

,∴BC⊥AC.

∵AA1⊥平面 ABC,BC? 平面 ABC, ∴BC⊥AA1,又 AC? 平面 ACC1A1,AA1? 平面 ACC1A1,AA1∩AC=A, ∴BC⊥平面平面 ACC1A1,CD? 平面 ACC1A1, ∴BC⊥CD,∵BC∥B1C1, ∴B1C1⊥CD, ∴异面直线 B1C1 与 CD 所成角为 ∵AB=2,BC=1,∠ACB= ∴AC= . = . , .

∴三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积 V=S△ ABC?AA1=

【点评】本题考查了线面垂直的判定,棱柱的结构特征,棱柱的体积计算,属于中档题. 20. (14 分) (2016?闵行区一模)如图,点 A、B 分别是角 α、β 的终边与单位圆的交点, . (1)若 , ,求 sin2β 的值;
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(2)证明:cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

【考点】两角和与差的余弦函数;任意角的三角函数的定义. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值. 【分析】 (1)由条件利用二倍角公式,诱导公式,求得 sin2β 的值. (2)由条件利用两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义,证得公式成立.
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【解答】解: (1)由 ∵ ,∴cos( |=|

,可得 cos(2α﹣2β)=2cos (α﹣β)﹣1=﹣ , ﹣2β)=﹣ ,∴sin2β= . |=1, 且 与 的夹角为 α﹣β, = (cosα, sinα) , = (cosβ,

2

(2) 由题意可得, | sinβ) ,

=cosαcosβ+sinαsinβ=1×1×cos(α﹣β) , ∴cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ 成立. 【点评】本题主要考查二倍角公式,诱导公式的应用,两个向量的数量积的运算,属于中档 题. 21. (14 分) (2015?闵行区一模)某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路 l1、l2, 海岸边界 MPN 近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源,需修建一条连接两条公路的直线 型观光大道 AB,且直线 AB 与曲线 MPN 有且仅有一个公共点 P(即直线与曲线相切) ,如 图所示.若曲线段 MPN 是函数 图象的一段,点 M 到 l1、l2 的距离分别为 8 千米和 1

千米,点 N 到 l2 的距离为 10 千米,以 l1、l2 分别为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标 系 xOy,设点 P 的横坐标为 p. (1)求曲线段 MPN 的函数关系式,并指出其定义域; (2)若某人从点 O 沿公路至点 P 观景,要使得沿折线 OAP 比沿折线 OBP 的路程更近,求 p 的取值范围.

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【考点】两点间距离公式的应用;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆.

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【分析】 (1)由题意得 M(1,8) ,则 a=8,故曲线段 MPN 的函数关系式为 定义域; (2) ,设 与

,可得其

联立求出 A,B 的坐标,即可求出最短长

度 p 的取值范围. 【解答】解: (1)由题意得 M(1,8) ,则 a=8,故曲线段 MPN 的函数关系式为 分) 又得 (2) ,所以定义域为[1,10].…(6 分) ,设 , (4


2 2

得 kpx +(8﹣kp )x﹣8p=0,
2 2 2

2

2

△=(8﹣kp ) +32kp =(kp +8) =0,…(8 分) ∴kp +8=0,∴ 得
2

,得直线 AB 方程为 ,故点 P 为 AB 线段的中点,

,…(10 分)



即 p ﹣8>0…(12 分)

2

得 时,OA<OB, 所以,当 时,经点 A 至 P 路程最近. (14 分) 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生分析解决问题的能力,确定函数关 系是关键.

22. (16 分) (2015?闵行区一模)已知椭圆 Γ 的中心在坐标原点,且经过点
2

,它的

一个焦点与抛物线 E:y =4x 的焦点重合. (1)求椭圆 Γ 的方程; (2)斜率为 k 的直线 l 过点 F(1,0) ,且与抛物线 E 交于 A、B 两点,设点 P(﹣1,k) , △PAB 的面积为 ,求 k 的值; (3)若直线 l 过点 M(0,m) (m≠0) ,且与椭圆 Γ 交于 C、D 两点,点 C 关于 y 轴的对称 点为 Q,直线 QD 的纵截距为 n,证明:mn 为定值. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】数形结合;方程思想;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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【分析】 (1)设椭圆的方程为

,由题设得

,解出即可

得出. 2 2 2 2 (2)设直线 l:y=k(x﹣1) ,与椭圆方程联立可得 k x ﹣2(k +2)x+k =0,l 与抛物线 E 有两个交点, k≠0, △>0, 利用根与系数的关系可得|AB|, P (﹣1, k) 到 l 的距离 ,



,解出即可得出.

(3)由 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,点 C 关于 y 轴的对称点为 Q(﹣x1,y1) ,则直线 ,设 x=0 得 m;直线 设 x=0 得 n,再利用根与系数的关系即可得出. ,

【解答】解: (1)设椭圆的方程为

,由题设得







∴椭圆 Γ 的方程是



(2)设直线 l:y=k(x﹣1) ,由
2

,得 k x ﹣2(k +2)x+k =0,

2 2

2

2

l 与抛物线 E 有两个交点,k≠0,△=16(k +1)>0, 则 ,

P(﹣1,k)到 l 的距离

,又




2 2



∴4k =3k +3,故 . (3)∵C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,点 C 关于 y 轴的对称点为 Q(﹣x1,y1) ,

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则直线

,设 x=0 得

直线

,设 x=0 得





,又















【点评】本题考查了椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离 公式、三角形面积计算公式、轴对称问题、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能 力,属于难题. 23. (18 分) (2015?闵行区一模)已知数列{an}的各项均为整数,其前 n 项和为 Sn.规定: 若数列{an}满足前 r 项依次成公差为 1 的等差数列, 从第 r﹣1 项起往后依次成公比为 2 的等 比数列,则称数列{an}为“r 关联数列”. (1)若数列{an}为“6 关联数列”,求数列{an}的通项公式; * (2)在(1)的条件下,求出 Sn,并证明:对任意 n∈N ,anSn≥a6S6; (3) 已知数列{an}为“r 关联数列”, 且 a1=﹣10, 是否存在正整数 k, m (m>k) , 使得 a1+a2+…+ak ﹣1+ak=a1+a2+…+am﹣1+am?若存在,求出所有的 k,m 值;若不存在,请说明理由. 【考点】数列的应用. 【专题】综合题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】 (1)若数列{an}为“6 关联数列”,{an}前 6 项为等差数列,从第 5 项起为等比数列,
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可得 a6=a1+5,a5=a1+4,且

,即

,解得 a1,即可求数列{an}的通项公式;

(2)由(1)得

(或

,可见数列{anSn}的最小项为 a6S6=﹣6,
*

即可证明:对任意 n∈N ,anSn≥a6S6;
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(3)

,分类讨论,求出所有的 k,m

值. 【解答】解: (1)∵数列{an}为“6 关联数列”, ∴{an}前 6 项为等差数列,从第 5 项起为等比数列, ∴a6=a1+5,a5=a1+4,且 ,即 ,解得 a1=﹣3…(2 分)



(或

) . …(4 分)

(2)由(1)得

(或

)…(6 分)

, {Sn}:﹣3,﹣5,﹣6,﹣6,﹣5,﹣3,1,9,25,…{anSn}:9,10,6,0,﹣5,﹣6,4, 72,400,…, 可见数列{anSn}的最小项为 a6S6=﹣6,

证明:



列举法知当 n≤5 时, (anSn)min=a5S5=﹣5; …(8 分) 当 n≥6 时, ,设 t=2 .
n﹣5

,则 …(10 分)

(3)数列{an}为“r 关联数列”,且 a1=﹣10,∵



…(12 分)

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①当 k<m≤12 时, 由 k,m≤12,m>k,∴ ②当 m>k>12 时,由 2
k﹣11

得 (k+m) (k﹣m) =21 (k﹣m) k+m=21, 或 ﹣56=2 .
m﹣11

﹣56 得 m=k,不存在 …(14 分) ,2
m﹣10 m﹣10

③当 k≤12,m>12 时,由
m﹣10 *

=k ﹣21k+112

2

当 k=1 时,2 =92,m?N ;当 k=2 时,2 =74,m?N ; m﹣10 * m﹣10 * 当 k=3 时,2 =58,m?N ;当 k=4 时,2 =44,m?N ; m﹣10 5 * m﹣10 * 当 k=5 时,2 =2 ,m=15∈N ;当 k=6 时,2 =22,m?N ; m﹣10 * m﹣10 3 * 当 k=7 时,2 =14,m?N ;当 k=8 时,2 =2 ,m=13∈N ; m﹣10 2 m﹣10 当 k=9 时,2 =2 ,m=12 舍去;当 k=10 时,2 =2,m=11 舍去 m﹣10 m﹣10 2 当 k=11 时,2 =2,m=11 舍去;当 k=12 时,2 =2 ,m=12 舍去…(16 分) 综上所述,∴存在 或 或 或 . …(18 分)

*

【点评】本题考查数列的应用,考查新定义,考查数列的通项,考查分类讨论的数学思想, 难度大.

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参与本试卷答题和审题的老师有:1619495736;sllwyn;zlzhan;caoqz;maths;刘长柏;双 曲线;徐喜峰;沂蒙松;zhczcb;sxs123;w3239003;whgcn(排名不分先后) 菁优网 2016 年 8 月 12 日

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考点卡片
1.三角形的面积公式 三角形的面积公式 ①已知三角形的底边长为 a,高为 h,则三角形面积 S=底×高÷2= ;

②已知三角形的两边及其夹角,则三角形的面积公式:S= absinC= bcsinA= casinB. ③已知三角形的周长为 l,内切圆半径为 r,则三角形面积 S= ;

④已知三角形的三边长的乘积为 L,外接圆半径为 R,则三角形面积 S=



⑤已知三角形 AOB 中,向量

= ,

= ,则三角形的面积 S= ?

.此公式也适用于空间三角形求面积. ⑥在平面直角坐标系中,△ABC 的三顶点分别为:A(x1,y1) 、B(x2,y2) 、C(x3,y3) ,

记 K=

,则三角形的面积 S= |K|= |x1y2+x2y3+x3y1﹣x1y3﹣x2y1﹣x3y2|;特别

的,当 C(0,0) ,此时 S= |x1y2﹣x2y1|. ⑦海伦公式:△ABC 中,AB=c,BC=a,CA=b,p= (a+b+c) ,则三角形面积 S= .
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2.交集及其运算 【知识点的认识】 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集,记作 A∩B. 符号语言:A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. A∩B 实际理解为:x 是 A 且是 B 中的相同的所有元素. 当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集. 运算形状: ①A∩B=B∩A. ②A∩?=?. ③A∩A=A. ④A∩B? A, A∩B? B. ⑤A∩B=A?A? B. ⑥A∩B= ?,两个集合没有相同元素.⑦A∩(CUA)=?.⑧CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB) . 【解题方法点拨】 解答交集问题, 需要注意交集中: “且”与“所有”的理解.不能把“或”与“且” 混用;求交集的方法是:①有限集找相同;②无限集用数轴、韦恩图. 【命题方向】掌握交集的表示法,会求两个集合的交集. 命题通常以选择题、填空题为主,也可以与函数的定义域,值域,函数的单调性、复合函数 的单调性等联合命题. 3.补集及其运算 【知识点的认识】 一般地, 如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素, 那么就称这个集合为全集, 通常记作 U. (通常把给定的集合作为全集) . 对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集,简称为集合 A 的补集,记作 CUA,即 CUA={x|x∈U,且 x?A}.其图形表示如

图所示的 Venn 图.



【解题方法点拨】 常用数轴以及韦恩图帮助分析解答,补集常用于对立事件,否命题,反证法. 【命题方向】 通常情况下以小题出现,高考中直接求解补集的选择题,有时出现在简易逻辑中,也可以与 函数的定义域、值域,不等式的解集相结合命题,也可以在恒成立中出现. 4.必要条件、充分条件与充要条件的判断 【知识点的认识】 正确理解和判断充分条件、必要条件、充要条件和非充分非必要以及原命题、逆命题否 命题、逆否命题的概念是本节的重点;掌握逻辑推理能力和语言互译能力,对充要条件概念 本质的把握是本节的难点. 1.充分条件:对于命题“若 p 则 q”为真时,即如果 p 成立,那么 q 一定成立,记作“p? q”, 称 p 为 q 的充分条件. 意义是说条件 p 充分保证了结论 q 的成立, 换句话说要使结论 q 成立,
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具备条件 p 就够了当然 q 成立还有其他充分条件.如 p:x≥6,q:x>2,p 是 q 成立的充分 条件,而 r:x>3,也是 q 成立的充分条件. 必要条件:如果 q 成立,那么 p 成立,即“q? p”,或者如果 p 不成立,那么 q 一定不成立, 也就是“若非 p 则非 q”,记作“¬p? ¬q”,这是就说条件 p 是 q 的必要条件,意思是说条件 p 是 q 成立的必须具备的条件. 充要条件:如果既有“p? q”,又有“q? p”,则称条件 p 是 q 成立的充要条件,或称条件 q 是 p 成立的充要条件,记作“p?q”. 2.从集合角度看概念: 如果条件 p 和结论 q 的结果分别可用集合 P、Q 表示,那么 ①“p? q”,相当于“P? Q”.即:要使 x∈Q 成立,只要 x∈P 就足够了﹣﹣有它就行. ②“q? p”,相当于“P? Q”,即:为使 x∈Q 成立,必须要使 x∈P﹣﹣缺它不行. ③“p?q”,相当于“P=Q”,即:互为充要的两个条件刻画的是同一事物. 3. 当命题“若 p 则 q”为真时, 可表示为, 则我们称 p 为 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件. 这 里由,得出 p 为 q 的充分条件是容易理解的.但为什么说 q 是 p 的必要条件呢?事实上,与 “”等价的逆否命题是“”.它的意义是:若 q 不成立,则 p 一定不成立.这就是说,q 对于 p 是必不可少的,所以说 q 是 p 的必要条件. 4.“充要条件”的含义,实际上与初中所学的“等价于”的含义完全相同.也就是说,如果命 题 p 等价于命题 q,那么我们说命题 p 成立的充要条件是命题 q 成立;同时有命题 q 成立的 充要条件是命题 p 成立. 【解题方法点拨】 1.借助于集合知识加以判断,若 P? Q,则 P 是 Q 的充分条件,Q 是的 P 的必要条件;若 P=Q,则 P 与 Q 互为充要条件. 2.等价法:“P? Q”?“¬Q? ¬P”,即原命题和逆否命题是等价的;原命题的逆命题和原命 题的否命题是等价的. 3.对于充要条件的证明,一般有两种方法:其一,是用分类思想从充分性、必要性两种情 况分别加以证明;其二,是逐步找出其成立的充要条件用“?”连接. 【命题方向】 充要条件主要是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系, 它是中学数学最重要的数学概念之 一,它是今后的高中乃至大学数学推理学习的基础.在每年的高考中,都会考查此类问题. 5.函数解析式的求解及常用方法 【知识点的认识】 通过求解函数的解析式中字母的值, 得到函数的解析式的过程就是函数的 解析式的求解. 求解函数解析式的几种常用方法主要有 1、换元法;2、待定系数法;3、凑配法;4、消元法;5、赋值法等等. 【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质,函数的图象特征,例如二次函数的对称轴,函 数与坐标轴的交点等; 利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式, 有时利用待定系数 法. 2 例 1:已知曲线 y=x +2x 在点(1,f(1) )处的切线为 l.求 l 的方程. 2 解:∵y=x +2x, ∴y'=2x+2,当 x=1 时,y'=4 得切线的斜率为 4,所以 k=4; 所以曲线在点(1,3)处的切线方程为:
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y﹣3=4×(x﹣1) ,即 4x﹣y﹣1=0. 故 l 的方程为:4x﹣y﹣1=0 我们从这个题当中可以发现求直线方程的一般规律,第一:求出函数的斜率,切线的斜 率就是该点的导数,如果是两个点的情况则可以用两点法求出斜率;第二:找到直线必过的 一个点,用点斜式即可求出. (当然还有其他的,比方说截距式) x+1 例 2:若函数 y=f(x)与 y=e 的图象关于直线 y=x 对称,则 f(x)= x+1 解:函数 y=e 的图象与函数 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称, x+1 所以 f(x)是 y=e 的反函数, x=lny﹣1(y>0) 即 f(x)=lnx﹣1, (x>0) 故答案为:lnx﹣1, (x>0) 本例题体现了根据函数图象或者两条曲线的关系来求另一条直线的途径, 这里面根据关 于 y=x 对称,推知要求的是该函数的反函数,这也是常考的题型,望重视. 【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一,在三角函数的解析式中常考.是基 础题. 6.函数的图象 【知识点的认识】 1.利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线. 首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、 周期性、对称性等) . 其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等) ,描点, 连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换: y=f(x)a>0,右移 a 个单位(a<0,左移|a|个单位)? y=f(x﹣a) ; y=f(x)b>0,上移 b 个单位(b<0,下移|b|个单位)? y=f(x)+b. (2)伸缩变换:

y=f(x)

y=f(ωx) ;

y=f(x)A>1,伸为原来的 A 倍(0<A<1,缩为原来的 A 倍)? y=Af(x) . (3)对称变换: y=f(x)关于 x 轴对称? y=﹣f(x) ; y=f(x)关于 y 轴对称? y=f(﹣x) ; y=f(x)关于原点对称? y=﹣f(﹣x) . (4)翻折变换: y=f(x)去掉 y 轴左边图,保留 y 轴右边图,将 y 轴右边的图象翻折到左边? y=f(|x|) ; y=f(x)留下 x 轴上方图将 x 轴下方图翻折上去 y=|f(x)|. 【解题方法点拨】 1、画函数图象的一般方法

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(1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的 曲线时,可根据这些函数或曲线的特征直接作出. (2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利 用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉函数的要先变形,并应注意平移 变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. (3)描点法:当上面两种方法都失效时,则可采用描点法.为了通过描少量点,就能得到 比较准确的图象,常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论. 2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法 (1)知图选式: ①从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域; ②从图象的变化趋势,观察函数的单调性; ③从图象的对称性方面,观察函数的奇偶性; ④从图象的循环往复,观察函数的周期性. 利用上述方法,排除错误选项,筛选正确的选项. (2)知式选图: ①从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置; ②从函数的单调性,判断图象的变化 趋势; ③从函数的奇偶性,判断图象的对称性. ④从函数的周期性,判断图象的循环往复. 利用上述方法,排除错误选项,筛选正确选项. 注意联系基本函数图象和模型,当选项无法排除时,代特殊值,或从某些量上寻找突破口. 3、 (1)利有函数的图象研究函数的性质 从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性; 从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等. (2)利用函数的图象研究方程根的个数 有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数; 利用此法也可由解的个数求 参数值. 4、方法归纳: (1)1 个易错点﹣﹣图象变换中的易错点 在解决函数图象的变换问题时,要遵循“只能对函数关系式中的 x,y 变换”的原则,写出每 一次的变换所得图象对应的解析式,这样才能避免出错. (2)3 个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点 为了正确地作出函数图象,必须做到以下三点: ①正确求出函数的定义域; ②熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函 数、形如 y=x+的函数; ③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧,来帮助 我们简化作图过程. (3)3 种方法﹣﹣识图的方法 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来 获取图中所提供的信息,解决这类问题的常用方法有: ①定性分析法,也就是通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋 势,利用这一特征来分析解决问题; ②定量计算法,也就是通过定量的计算来分析解决问题;
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③函数模型法,也就是由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分 析解决问题. 7.抽象函数及其应用 【知识点的认识】 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一 类函数.由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一. 【解题方法点拨】 ①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来,如 f(x+y)=f(x)+f(y) , 它的原型就是 y=kx; ②可通过赋特殊值法使问题得以解决 例:f(xy)=f(x)+f(y) ,求证 f(1)=f(﹣1)=0 令 x=y=1,则 f(1)=2f(1)? f(1)=0 令 x=y=﹣1,同理可推出 f(﹣1)=0 ③既然是函数,也可以运用相关的函数性质推断它的单调性; 【命题方向】抽象函数及其应用. 抽象函数是一个重点, 也是一个难点, 解题的主要方法也就是我上面提到的这两种. 高 考中一般以中档题和小题为主,要引起重视. 8.二次函数的性质 【知识点的认识】 其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中 学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移. 【解题方法点拨】 以 y=ax +bx+c 为例: ①开口、对称轴、最值与 x 轴交点个数,当 a>0(<0)时,图象开口向上(向下) ;对 称轴 x=﹣ ;最值为:f(﹣ ) ;判别式△=b ﹣4ac,当△=0 时,函数与 x 轴只有一个
2 2

交点;△>0 时,与 x 轴有两个交点;当△<0 时无交点. ②根与系数的关系. 若△≥0, 且 x1、 x2 为方程 y=ax +bx+c 的两根, 则有 x1+x2=﹣ , x1?x2= ; ③二次函数其实也就是抛物线, 所以 x =2py 的焦点为 (0, ) , 准线方程为 y=﹣ , 含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离. 2 2 ④平移:当 y=a(x+b) +c 向右平移一个单位时,函数变成 y=a(x﹣1+b) +c; 2 例题:y=2x +x﹣3 那么由 2>0,可知抛物线开口向上,对称轴为 x=﹣ ,最小值为 f(﹣ )=﹣ △=1+24=25>0,故方程 2x +x﹣3=0 有两个根,其满足 x1+x2=﹣ ;x1?x2=﹣ ;
2 2 2

, ;

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另外,方程可以写成(y+
2

)=2(x+ ) ,当沿 x 轴向右 ,在向下平移

2

时,就变

成 y=2x ; 【命题方向】 重点关注高中所学的抛物线的焦点、 准线和曲线的平移. 另外在解析几何当做要灵活运 用韦达定理. 9.指数式与对数式的互化 【知识点归纳】 b a =N?logaN=b; logaN N a =N;logaa =N 指数方程和对数方程主要有以下几种类型: (1)a =b?f(x)=logab;logaf(x)=b?f(x)=a (定义法) f(x) g(x) (2)a =a ?f(x)=g(x) ;logaf(x)=logag(x)?f(x)=g(x)>0(同底法) f(x) g(x) (3)a =b ?f(x)logma=g(x)logmb; (两边取对数法) (4)logaf(x)=logbg(x)?logaf(x)=
x 2 x f(x) b

; (换底法)
x

(5)Alog

x+Blogax+C=0(A(a ) +Ba +C=0) (设 t=logax 或 t=a ) (换元法)

10.反函数 【知识点归纳】 【定义】一般地,设函数 y=f(x) (x∈A)的值域是 C,根据这个函数中 x,y 的关系,用 y 把 x 表示出,得到 x=g(y) .若对于 y 在中的任何一个值,通过 x=g(y) ,x 在 A 中都有 唯一的值和它对应,那么,x=g(y)就表示 y 是自变量,x 是因变量是 y 的函数,这样的函 数 y=g(x) (x∈C)叫做函数 y=f(x) (x∈A)的反函数,记作 y=f 1) (x)的定义域、值域分别是函数 y=f(x)的值域、定义域. 【性质】 反函数其实就是 y=f(x)中,x 和 y 互换了角色
﹣1 (﹣1 )

(x) 反函数 y=f

(﹣

(1)函数 f(x)与他的反函数 f (x)图象关于直线 y=x 对称;函数及其反函数的图形关 于直线 y=x 对称 (2)函数存在反函数的重要条件是,函数的定义域与值域是一一映射; (3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致; (4)大部分偶函数不存在反函数(当函数 y=f(x) ,定义域是{0} 且 f(x)=C (其中 C 是常数) ,则函数 f(x)是偶函数且有反函数,其反函数的定义域是{C},值域为{0} ) .奇 函数不一定存在反函数, 被与 y 轴垂直的直线截时能过 2 个及以上点即没有反函数. 若一个 奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数. (5)一切隐函数具有反函数; (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性; (7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】 ; (8)反函数是相互的且具有唯一性; (9)定义域、值域相反对应法则互逆(三反) ; (10)原函数一旦确定,反函数即确定(三定) (在有反函数的情况下,即满足(2) ) .
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11.分段函数的应用 【分段函数的应用】 分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样, 有些甚至不 是连续的. 这个在现实当中是很常见的, 比如说水的阶梯价, 购物的时候买的商品的量不同, 商品的单价也不同等等,这里面都涉及到分段函数. 【具体应用】 正如前面多言, 分段函数与我们的实际联系比较紧密, 那么在高考题中也时常会以应用 题的形式出现.下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法. 例:市政府为招商引资,决定对外资企业第一年产品免税.某外资厂该年 A 型产品出厂价 为每件 60 元,年销售量为 11.8 万件.第二年,当地政府开始对该商品征收税率为 p%(0< p<100,即销售 100 元要征收 p 元)的税收,于是该产品的出厂价上升为每件 元,

预计年销售量将减少 p 万件. (Ⅰ)将第二年政府对该商品征收的税收 y(万元)表示成 p 的函数,并指出这个函数的定 义域; (Ⅱ)要使第二年该厂的税收不少于 16 万元,则税率 p%的范围是多少? (Ⅲ)在第二年该厂的税收不少于 16 万元的前提下,要让厂家获得最大销售金额,则 p 应 为多少? 解: (Ⅰ)依题意,第二年该商品年销售量为(11.8﹣p)万件, 年销售收入为 (11.8﹣p)万元, (11.8﹣p)p%(万元)

政府对该商品征收的税收 y= 故所求函数为 y=

(11.8﹣p)p

由 11.8﹣p>0 及 p>0 得定义域为 0<p<11.8…(4 分) (II)由 y≥16 得
2

(11.8﹣p)p≥16

化简得 p ﹣12p+20≤0,即(p﹣2) (p﹣10)≤0,解得 2≤p≤10. 故当税率在[0.02,0.1]内时,税收不少于 16 万元. …(9 分) (III)第二年,当税收不少于 16 万元时, 厂家的销售收入为 g(p)= ∵ (11.8﹣p) (2≤p≤10) 在[2,10]是减函数

∴g(p)max=g(2)=800(万元) 故当税率为 2%时,厂家销售金额最大. 这个典型的例题当中,我们发现分段函数首先还是要有函数的功底,要有一定的建模能 力,这个与分不分段其实无关.我们重点看看分段函数要注意的地方.第一,要明确函数的 定义域和其相对的函数表达式; 第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数 某段内部的值;第三,注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论. 【考查预测】 修炼自己的内功, 其实分不分段影响不大, 审清题就可以了, 另外, 最好画个图来解答.
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12.其他不等式的解法 【知识点的知识】 不等式的解法 (1)整式不等式的解法(根轴法) . 步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结) ,定解. 特例: ①一元一次不等式 ax>b 解的讨论; 2 ②一元二次不等式 ax +bx+c>0(a≠0)解的讨论. (2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

. (3)无理不等式:转化为有理不等式求解.

(4)指数不等式:转化为代数不等式

(5)对数不等式:转化为代数不等式

(6)含绝对值不等式 ①应用分类讨论思想去绝对值; ②应用数形思想; ③应用化归思想等价转化.

注:常用不等式的解法举例(x 为正数) :

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13.数列的应用 【知识点的知识】 1、数列与函数的综合 2、等差数列与等比数列的综合 3、数列的实际应用 数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合. 14.数列递推式 【知识点的知识】 1、递推公式定义:如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项) ,且任一项 an 与它的前一项 an﹣ (或前几项) 间的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 1 2、数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式:an= .

在数列{an}中,前 n 项和 Sn 与通项公式 an 的关系,是本讲内容一个重点,要认真掌握. 注意: (1) 用 an=Sn﹣Sn﹣1 求数列的通项公式时, 你注意到此等式成立的条件了吗? (n≥2, 当 n=1 时,a1=S1) ;若 a1 适合由 an 的表达式,则 an 不必表达成分段形式,可化统一为一个 式子. (2)一般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时,常需运用关系式 an=Sn﹣Sn﹣1,先将 已知条件转化为只含 an 或 Sn 的关系式,然后再求解. 3、数列的通项的求法: (1)公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式. (2)已知 Sn(即 a1+a2+…+an=f(n) )求 an,用作差法:an= .一般

地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时, 常需运用关系式, 先将已知条件转化为只含 或 的关系式,然后再求解. (3)已知 a1?a2…an=f(n)求 an,用作商法:an,= .

(4)若 an+1﹣an=f(n)求 an,用累加法:an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1) +a1(n≥2) . (5)已知 =f(n)求 an,用累乘法:an= (n≥2) .

(6)已知递推关系求 an,有时也可以用构造法(构造等差、等比数列) .特别地有, n ①形如 an=kan﹣1+b、an=kan﹣1+b (k,b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公 比为 k 的等比数列后,再求 an. ②形如 an= 的递推数列都可以用倒数法求通项.

(7)求通项公式,也可以由数列的前几项进行归纳猜想,再利用数学归纳法进行证明. 15.数列的极限
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【知识点的知识】 1、数列极限的定义: 一般地, 如果当项数 n 无限增大时, 无穷数列{an}的项 an 无限趋近于某个常数 a (即|an ﹣a|无限地接近于 0) , 那么就说数列{an}以 a 为极限, 记作 中的项 ) 2、几个重要极限: an=a. (注: a 不一定是{an}

3、数列极限的运算法则:

4、无穷等比数列的各项和: (1)公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前 n 项的和,当 n 无限增大时的极限,叫做这个 无穷等比数列各项的和,记做 S= Sn.

(2) 【典型例题分析】 典例 1:已知数列{an}的各项均为正数,满足:对于所有 n∈N ,有 Sn 表示数列{an}的前 n 项和.则 A.0 B.1 C.
2 *

,其中

=(



D.2

解:∵4S1=4a1=(a1+1) ,
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∴a1=1.当 n≥2 时,4an=4Sn﹣4Sn﹣1=(an+1) ﹣(an﹣1+1) , 2 2 ∴2(an+an﹣1)=an ﹣an﹣1 ,又{an}各项均为正数, ∴an﹣an﹣1=2.数列{an}是等差数列, ∴an=2n﹣1. ∴ = = = .

2

2

故选:C. 典例 2:已知点 Pn(an,bn)在直线 l:y=2x+1 上,P1 为直线 l 与 y 轴的交点,等差数列{an} * 的公差为 1(n∈N ) . (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)设 cn= ,求 的值;

(3)若 dn=2dn﹣1+an﹣1(n≥2) ,且 d1=1,求证:数列{dn+n}为等比数列,并求{dn}的通项 公式. 解: (1)∵点 Pn(an,bn)在直线 l:y=2x+1 上,P1 为直线 l 与 y 轴的交点, ∴bn=2an+1,a1=0, * ∵等差数列{an}的公差为 1(n∈N ) , ∴an=0+(n﹣1)=n﹣1. bn=2(n﹣1)+1=2n﹣1. (2)解:由(1)可得 an﹣a1=n﹣1,bn﹣b1=2n﹣1﹣1=2n﹣2, ∴|P1Pn|= ∴cn= ∴c2+c3+…+cn= ∴ = = = …+ = ; = , = , = (n≥2) .

(3)证明:n≥2,dn=2dn﹣1+an﹣1,=2dn﹣1+n﹣2, ∴dn+n=2(dn﹣1+n﹣1) , ∴数列{dn+n}为等比数列, 首项为 d1+1=2,公比为 2, ∴ ∴ , .

【解题方法点拨】 (1)只有无穷数列才可能有极限,有限数列无极限. (2) 运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件. (参与运算的数列都 有极限,运算法则适应有限个数列情形)

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(3)求数列极限最后往往转化为

(m∈N)或 q (|q|<1)型的极限.

n

(4)求极限的常用方法: m n ①分子、分母同时除以 n 或 a . ②求和(或积)的极限一般先求和(或积)再求极限. ③利用已知数列极限(如 ④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限. ⑤∞﹣∞, 等) .

,0﹣0, 等形式,必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限.

16.复数求模 【知识点的知识】 1.复数的概念:形如 a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中 a,b 分别是它的实部和虚部.若 b=0,则 a+bi 为实数;若 b≠0,则 a+bi 为虚数;若 a=0,b≠0,则 a+bi 为纯虚数. 2、复数相等:a+bi=c+di?a=c,b=d(a,b,c,d∈R) . 3、共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?a=c,b+d=0(a,b,c,d∈R) . 4、 复数的模: 的长度叫做复数 z=a+bi 的模, 记作|z|或|a+bi|, 即|z|=|a+bi|= .

17.排列、组合的实际应用 【知识点的知识】 排列、组合的实际应用: 1.排列数、组合数问题: (1)排列组合恒等式的计算 (2)排列组合恒等式的证明 (3)解排列组合恒等方程 2.排队问题 (1)相邻问题 (2)不相邻问题 (3)定序问题 3.排数问题 (1)允许有重复数字的排数问题 (2)不允许有重复数字的排数问题 4.分组问题 (1)平均分组问题 (2)不平均分组问题 5.排列组合综合问题. 18.归纳推理 【知识点的认识】 1.归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些 特征的推理,或由个别事实概括出一般结论的推理. 推理形式:设 S={A1,A2,A3,…,An,…},
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2.特点: (1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳得出的结论是尚属未知的一般现象,该 结论超越了前提所包容的范围; (2)归纳推理得到的结论具有猜测性质,结论是否真实,需要通过逻辑证明和实践检验, 不能作为数学证明的工具; (3)归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究 的起点,帮助人们发现问题和提出问题. 3.作用: (1)获取新知,发现真理; (2)说明和论证问题. 【解题技巧点拨】 归纳推理一般步骤: (1)对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理; (2)提出带有规律性的结论,即猜想; (3)检验猜想. 【命题方向】 归纳推理主要以填空、选择题的形式出现,比较基础,考查对归纳推理的理解,会运用归纳 推理得出一般性结论. (1)考查对归纳推理理解 掌握归纳推理的定义与特点,注意区分与类比推理、演绎推理的不同. 例 1:下列表述正确的是( ) ①归纳推理是由部分到整体的推理; ②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理; ④类比推理是由特殊到一般的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤ 分析:本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义,根据定义对 5 个命题逐 一判断即可得到答案. 解答:归纳推理是由部分到整体的推理, 演绎推理是由一般到特殊的推理, 类比推理是由特殊到特殊的推理. 故①③⑤是正确的 故选 D 点评: 判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义, 即是否是由 特殊到一般的推理过程. 判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的 定义, 即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程. 判断一个推理过程是否是演绎 推理关键是看他是否符合演绎推理的定义,即是否是由一般到特殊的推理过程. 例 2:下列推理是归纳推理的是( )
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A.A,B 为定点,动点 P 满足||PA|﹣|PB||=2a<|AB|(a>0) ,则动点 P 的轨迹是以 A, B 为焦点的双曲线 B.由 a1=2,an=3n﹣1 求出 S1,S2,S3,猜想出数列{an}的前 n 项和 Sn 的表达式 C.由圆 x +y =r 的面积 S=πr ,猜想出椭圆
2 2 2 2

的面积 S=πab

D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇 分析:根据归纳推理的定义,对各个选项进行判断. 解答:A 选项用的双曲线的定义进行推理,不符合要求. B 选项根据前 3 个 S1,S2,S3 的值,猜想出 Sn 的表达式,属于归纳推理,符合要求. C 选项由圆 x +y =r 的面积 S=πr , 猜想出椭圆
2 2 2 2

的面积 S=πab, 用的是类比推理,

不符合要求. D 选项用的是演绎推理,不符合要求. 故选 B. 点评:本题主要考查归纳推理的定义,归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系,属于基 础题. (2)考查归纳推理的运用 做题的关键是读懂题意. 例:对大于或等于 2 的自然数的正整数幂运算有如下分解方式: 2 2 =1+3 2 3 =1+3+5 2 4 =1+3+5+7 3 2 =3+5 3 3 =7+9+11 3 4 =13+15+17+19 2 3 根据上述分解规律,若 m =1+3+5+…+11,n 的分解中最小的正整数是 21,则 m+n=( ) A.10 B.11 C.12 D.13 2 3 分析:根据 m =1+3+5+…+11,n 的分解中最小的正整数是 21,利用所给的分解规律,求出 m、n,即可求得 m+n 的值. 解答: :m =1+3+5+…+11=
2

=36,

∴m=6 3 3 ∵2 =3+5,3 =7+9+11, 3 4 =13+15+17+19, 3 ∴5 =21+23+25+27+29, 3 ∵n 的分解中最小的数是 21, 3 3 ∴n =5 ,n=5 ∴m+n=6+5=11 故选 B. 点评:本题考查归纳推理,考查学生的阅读能力,确定 m、n 的值是解题的关键. 19.任意角的三角函数的定义
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【知识点的认识】 任意角的三角函数 1 定义: 设 α 是一个任意角, 它的终边与单位圆交于点 P (x, y) , 那么 sinα=y, cosα=x, tanα= . 2.几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示,正弦线的起点都在 x 轴上,余 弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0) . 【命题方向】 已知角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,则 cosα=( A. B. C.﹣ D.﹣



【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得 cosα 的值. 解:∵角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,∴x=﹣4,y=3,r= ∴cosα= = =﹣ , =5.

故选:D. 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题. 【解题方法点拨】 利用三角函数的定义求三角函数值的方法 利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值,需确定三个量: (1)角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标 x; (2)纵坐标 y; (3)该点到原点的距离 r.若题目中已知角的终边在一条直线上,此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在 象限不同) . 20.三角函数中的恒等变换应用 【知识点的认识】 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin α+cos α=1. (2)商数关系: =tanα.
2 2

2.诱导公式 公式一:sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cos_α,其中 k∈Z. 公式二:sin(π+α)=﹣sin_α,cos(π+α)=﹣cos_α,tan(π+α)=tanα. 公式三:sin(﹣α)=﹣sin_α,cos(﹣α)=cos_α. 公式四:sin(π﹣α)=sinα,cos(π﹣α)=﹣cos_α. 公式五:sin( 公式六:sin( ﹣α)=cos_α,cos( +α)=cos_α,cos( ﹣α)=sinα. +α)=﹣sin_α

3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α﹣β) :cos (α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ;
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(2)C(α+β) :cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ; (3)S(α+β) :sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; (4)S(α﹣β) :sin(α﹣β)=sinαcosβ﹣cosαsinβ; (5)T(α+β) :tan(α+β)= (6)T(α﹣β) :tan(α﹣β)= . .

4.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α:sin 2α=2sin_αcos_α; 2 2 2 2 (2)C2α:cos 2α=cos α﹣sin α=2cos α﹣1=1﹣2sin α; (3)T2α:tan 2α= .

21.两角和与差的余弦函数 【知识点的认识】 (1)C(α﹣β) :cos (α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ; (2)C(α+β) :cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ; (3)S(α+β) :sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; (4)S(α﹣β) :sin(α﹣β)=sinαcosβ﹣cosαsinβ; (5)T(α+β) :tan(α+β)= (6)T(α﹣β) :tan(α﹣β)= . .

22.三角函数的周期性及其求法 【知识点的认识】 周期性 ①一般地, 对于函数 f (x) , 如果存在一个非零常数 T, 使得当 x 取定义域内的每一个值时, 都有 f(x+T)=f(x) ,那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期. ②对于一个周期函数 f(x) ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正 数就叫做 f(x)的最小正周期. ③函数 y=Asin(ωx+φ) ,x∈R 及函数 y=Acos(ωx+φ) ;x∈R(其中 A、ω、φ 为常数,且 A ≠0,ω>0)的周期 T= .

【解题方法点拨】 1.一点提醒 求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,应注意 ω 的符号,只有当 ω>0 时,才能把 ωx+φ 看作一个整体,代入 y=sint 的相应单调区间求解,否则将出现错误. 2.两类点 y=sinx,x∈[0,2π],y=cosx,x∈[0,2π]的五点是:零点和极值点(最值点) . 3.求周期的三种方法 ①利用周期函数的定义.f(x+T)=f(x)
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②利用公式:y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 的最小正周期为 .

,y=tan(ωx+φ)

③利用图象.图象重复的 x 的长度. 23.余弦函数的对称性 【余弦函数的对称性】 余弦函数 y=cosx 是定义域为 R 的偶函数,也是周期函数,其对称轴为 x=kπ,k∈z.可 以看出余弦函数在对称轴上的值为最值,也可以看做是 y 轴平移 kπ 个单位后依然还是对称 轴. 【例题解析】 例: (中,三角函数的对称性)若函数 距离为 ,则 ω 等于 的图象相邻两条 (ω>0)的图象相邻两条对称轴间

解:因为 y=cosx 的图象相邻两条对称轴距离为 π,要使 对称轴的距离为 ,则其周期缩小为原来的一半,所以 ω=2.

这里面应用了余弦函数的对称轴之间的间隔为半个周期的性质, 从而转化为求周期的问题. 【考点分析】 这是个很基本的考点,也比较容易,但也非常重要,希望大家能够掌握. 24.余弦定理 【知识点的知识】 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 内容 =2R ( R 是△ABC 外接圆半径)

余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA, 2 2 2 b =a +c ﹣2accos_B, 2 2 2 c =a +b ﹣2abcos_C cosA= ,
2 2 2

①a=2RsinA,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C; 变形 形式 ②sinA= ,sinB= ,sinC= ; cosB= ,

③a:b:c=sinA:sinB:sinC; ④asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA cosC=

解决 三角 形的 问题

①已知两角和任一边,求另一角和其他两 条边; ②②已知两边和其中一边的对角,求另一 边和其他两角
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①已知三边,求各角; ②已知两边和它们的夹角, 求第三边 和其他两角

25.两点间距离公式的应用 【知识点的知识】 两点间距离公式的应用: 1、证明三点共线; 2、判断三角形的形状; 3、求点的坐标; 4、求函数的最值; 5、判断两圆的位置关系. 26.椭圆的简单性质 【知识点的认识】 1.椭圆的范围

2.椭圆的对称性

3.椭圆的顶点 顶点:椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点. 顶点坐标(如上图) :A1(﹣a,0) ,A2(a,0) ,B1(0,﹣b) ,B2(0,b) 其中,线段 A1A2,B1B2 分别为椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于 2a 和 2b,a 和 b 分 别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 4.椭圆的离心率 ①离心率:椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率,用 e 表示,即:e= ,且 0<e <1. ②离心率的意义:刻画椭圆的扁平程度,如下面两个椭圆的扁平程度不一样:

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e 越大越接近 1,椭圆越扁平,相反,e 越小越接近 0,椭圆越圆.当且仅当 a=b 时,c=0, 椭圆变为圆,方程为 x +y =a . 2 2 2 5.椭圆中的关系:a =b +c . 27.旋转体(圆柱、圆锥、圆台) 【知识点的认识】 旋转体的结构特征: 一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作 旋转面;该定直线 叫做旋转体的轴;封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体. 1.圆柱 ①定义:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何
2 2 2

体叫做圆柱. 圆柱用轴字母表示,如下图圆柱可表示为圆柱 OO′. ②认识圆柱

③圆柱的特征及性质

圆柱与底面平行的截面是圆,与轴平行的截面是矩形. ④圆柱的体积和表面积公式 设圆柱底面的半径为 r,高为 h:

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2.圆锥 ①定义:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围 成的几何体叫做圆锥.

圆锥用轴字母表示,如下图圆锥可表示为圆锥 SO. ②认识圆锥

③圆锥的特征及性质

与圆锥底面平行的截面是圆,过圆锥的顶点的截面是等腰三角形,两个腰都是母线. 母线长 l 与底面半径 r 和高 h 的关系:l =h +r ④圆锥的体积和表面积公式 设圆锥的底面半径为 r,高为 h,母线长为 l:
2 2 2

3.圆台 ①定义:以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周而成的曲 面所围成的几何体叫做圆台.

圆台用轴字母表示,如下图圆台可表示为圆台 OO′.
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②认识圆台

③圆台的特征及性质

平行于底面的截面是圆,轴截面是等腰梯形. ④圆台的体积和表面积公式 设圆台的上底面半径为 r,下底面半径为 R,高为 h,母线长为 l:



28.棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【知识点的知识】 侧面积和全面积的定义: (1)侧面积的定义:把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开,所得到的展开 图的面积,就是空间几何体的侧面积. (2)全面积的定义:空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积. 柱体、锥体、台体的表面积公式(c 为底面周长,h 为高,h′为斜高,l 为母线) S 圆柱表=2πr(r+l) ,S 圆锥表=πr(r+l) ,S 圆台表=(r +rl+Rl+R ) 29.棱柱、棱锥、棱台的体积 【知识点的知识】 柱体、锥体、台体的体积公式: V 柱=sh,V 锥= Sh.
2 2

30.二阶行列式的定义 【知识点的知识】 二阶行列式与方程组的解:

对于关于 x,y 的二元一次方程组 结果是一个数值(或多项式) ,记为 det(A)═

我们把

称为二阶行列式,它的运算

=ad﹣bc.

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若将方程组中行列式

记为 D,

记为 Dx,

记为 Dy,则当 D≠0 时,方程

组的解为



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