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福建省2014年高职招考质检二参考答案(数学)


福建省 2015 年高职招考(面向普高)第二次质量检查 数学试卷参考答案
一、选择题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。 1.C 8.A 2.A 9.B 3.A 10.D 4.B 11.A 5.D 12.C 6.C 13.A 7.D 14.B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 15. 2 16. 0.18 17.

3 2

18. ①

三.解答题:本大题共 6 小题,共 60 分。 19. 解: (Ⅰ)设等比数列 {an } 的公比为 q ,依题意

a1 ? 1, a4 ? 8 ? a1q3 ? 8 ? q3 ? 8 ? q ? 2 ,
所以数列 {an } 的通项公式为: an ? a1qn?1 ? 2n?1 。 (Ⅱ)依题意 b1 ? a1 ? 1, b2 ? a2 ? 2 , 所以公差 d ? b2 ? b1 ? 1 , 从而数列 {bn } 的前 10 项和 S10 ? 10b1 ?

10 ? 9 ? d ? 10 ? 45 ? 55 。 2

20. 解: (Ⅰ)将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得

?2 ?

n(n11n22 ? n12 n1 )2 100(60 ?10 ? 20 ?10) 2 100 ? ? ? 4.762 n1? n2? n?1n?2 70 ? 30 ? 80 ? 20 21

由于 4.762>3.841, 所以有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品 的饮食习惯方面有差异”. (Ⅱ)在 5 名数学系学生中,记其中喜欢甜品的 2 人为 a1 , a2 ,不喜欢甜品的 3 人 为 b1 , b2 , b3 ,从中任取 2 人的一切可能结果所组成的基本事件有:

(a1 , a2 ),(a1 , b1 ),(a1 , b2 ),(a1 , b3 ), (a2 , b1 ),(a2 , b2 ),(a2 , b3 ), (b1 , b2 ),(b1 , b3 ), (b2 , b3 )
共 10 个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的。 用 A 表示“2 人中至多有 1 人喜欢甜品”这一事件,则 A 包含:

(a1, a2 ),(a1, b1 ),(a1, b2 ),(a1, b3 ),(a2 , b1),(a2 , b2 ),(a2 , b3 ) 共 7 个基本事件, 7 因而所求概率 P ( A) ? 。 10
1

21. 解法 1:设该扇形的半径为 r ,依题意 CD ? 500 , DA ? 300 , ?CDO ? 60 ; 在 ?CDO 中,由余弦定理:

CD2 ? OD2 ? 2CD ? OD ? cos 60 ? OC 2 ,

2 500 ? r(?

3 00 )2 ? 2 ?5 0 0 ? r(?

1 3 0?0 ) ? r 2 , 2

4900 ? 445 (米) . 11 答:该扇形的半径 OA 的长约为 445 米.
解得: r ? 解法 2:连接 AC ,作 OH ? AC ,交 AC 于 H , 依题意 CD ? 500 , AD ? 300 , ?CDA ? 120 。 在 ?ACD 中,由余弦定理:

AC 2 ? CD2 ? AD2 ? 2 AD ? CD ? cos120
? 5002 ? 3002 ? 2 ? 500 ? 300 ?
所以

1 ? 7002 2

AC 2 ? AD 2 ? CD 2 11 cos ?CAD ? ? . 2 AC ? CD 14
11 , 14

在直角 ?HAO 中, AH ? 350 , cos ?HAO ? ∴ OA ?

AH 4900 ? ? 445 (米) . cos ?HAO 11

答:该扇形的半径 OA 的长约为 445 米. 22. 解: (Ⅰ )如图,连结 AB1 ,

ABC ? A1B1C1 是直三棱柱, ?CAB ? ? , 2
? AC ? 平面 ABB1 A1 ,故 AC ? BA1 ;


AB ? AA1 ,? 四边形 ABB1 A1 是正方形, AB1 ? A ,

? BA1 ? AB1 ,又 CA

? BA1 ? 平面 CAB1 ,故 CB1 ? BA1 。
(Ⅱ )

AB ? AA1 ? 2 , BC ? 5 ,? AC ? AC 1 1 ? 1,
由(Ⅰ )知, AC 1 1 ? 平面 ABA 1,

1 1 2 ?VC1 ? ABA1 ? S?ABA1 ? A1C1 ? ? 2 ?1 ? 。 3 3 3
2

23. 解: (Ⅰ)显然 x ? 0 ,且 f ?( x) ?

1 a 1 ? ? ,由 y ? f ?x ? 在点 (1, f (1)) 处的切线垂 4 x2 x 1 1 5 直于直线 y ? x 知 f ?(1) ? ?2 ? ? a ? 1 ? ?2 ? a ? 。 2 4 4 x 5 3 1 5 1 x2 ? 4 x ? 5 ? ln x ? , f ?( x) ? ? 2 ? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? ? ? ; 4 4x 2 4 4x x 4x2
由 f ?( x) ? 0 解得: x ? ?1 或 x ? 5 , 因为 x ? ?1 不在 f ( x ) 的定义域内,故舍去,

x, f ?( x), f ( x) 的变化情况列表如下:

x
f ?( x ) f ( x)

(0,5)

5

(5, ??)

?
单调递减

0
极小值

?
单调递增

由上表知, f ( x ) 在区间 (0,5) 上单调递减;在区间 (5, ??) 上单调递增; 在 x ? 5 时取得极小值 f (5) ?

5 5 3 ? ? ln 5 ? ? ? ln 5 。 4 4?5 2

? b? 3 ? ? a?2 ? 2 2 24. 解: (Ⅰ)由题设知 ? , 解得 ? ; a ?b c 1 ? ? ? ?b ? 3 ? a a 2 ? x2 y 2 ? ? 1。 ∴所求椭圆的方程为: 4 3
(Ⅱ)由题设,以 F1F2 为直径的圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 1, ∴圆心 (0, 0) 到直线 l 的距离 d ?

2m 5

, 由 d ?1? m ?

5 ,(*) 2

4 ? CD ? 2 1 ? d 2 ? 2 1 ? m2 ; 5 2 1 x y2 ? ? 1 消去 y 整理得: x2 ? mx ? m2 ? 3 ? 0 联立 l : y ? ? x ? m 与 2 4 3
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? m, x1x2 ? m2 ? 3 , ∴ AB ? (1 ? )[m ? 4(m ? 3)] ?
2 2

1 4

15 4 ? m2 , 2



AB CD

?

4 ? m2 3 5 3 ,得 满足(*); ?1? m ? ? 2 5 ? 4m 3 4
1 3 1 3 x? 或 y ? ? x? 。 2 3 2 3
3

∴所求直线 l 的方程为 y ? ?


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