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河南省三门峡市陕州中学2015-2016学年高二数学下学期第二次精英对抗赛试题


2015—2016 学年下期高二第二次精英对抗赛 数学试卷
考试时间:120 分钟 试卷总分: 150 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.从字母 a,b,c,d,e,f 中选出 4 个数排成一列,其中一定要选出 a 和 b,并且必须相邻(a 在 b 的 前面),共有排列方法(

A.36 种
5

) C.90 种
2

B.72 种

D.144 种 ) D.10

2.(1+2x) 的展开式中,x 的系数等于( A.80 B.40 C.20

3.已知 X 的分布列为: 设 Y=6X+1,则 Y 的数学期望 E(Y)的值是( 1 A.- 6 B.0 C.1 29 D. 36 )

X P

-1 1 2

0 1 6

1

a

1 4.已知随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ =k)= k,k=1,2,?,则 P(2<ξ ≤4)等于( 2 A. 3 16 1 B. 4 C. 1 16 1 D. 5

)

5.某次我市高二教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于 人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),则由如 图曲线可得下列说法中正 确的是( )

A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数 都居中 D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同 6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后,在生产 A 产品过程中记录的产 量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨)的几组对应数据:


x y

3 2.5

4

5 4

6 4.5

t

根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为y=0.7x+0.35, 那么表中 t 的值为( A.3 B.3.15 ) C.3.5 D.4.5

7.抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数的样本空间为 S={1,2,3,4,5,6}.令事件 A={2,3,5},事件 B ={1,2,4,5,6},则 P(A|B)的值为( A. 3 5 1 B. 2
2

) D. )
1

C.

2 5

1 5

8.函数 f ( x) = 2 x - ln x 的递增区间是(

A. (0, )

1 2

B. (? , 0) 和 ( , ??)

1 2

1 2

C.

1 1 1 (??, ? ) 和 (0, ) D. ( , ??) 2 2 2
)

? 2 1 ?n 9.如果?x - ? 的展 开式中只有第 4 项的二项式系数最大,那么展开式中的所有项的系数和是( 2x? ?
A.0 B.256 C.64 D. 1 64

2 10.设直线 x ? t 与函数 f ( x) ? x , g ( x) ? ln x 的图象分别交于点 M , N ,则当 MN 达到最小时 t 的值为

(

) 1 (B) 2 (C) 5 2 (D) 2 2

(A) 1

11. 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 R , f (?2) ? 2013 , 对 任 意 x ? R , 都 有 f ?( x) < 2 x 成 立 , 则 不 等 式
f ( x) ? x 2 ? 2009 的解集为 ( )

(A) (-2,2)

(B) (-2,+ ? ) )

(C) (- ? ,-2)

(D) (- ? ,+ ? )

12. 定义在 R 上的奇函数 y ? f ( x) 满足 f (3) ? 0 ,且不等式 f ( x) ? ? xf ?( x) 在 (0,??) 上恒成立,则函 数 g ( x) = xf ( x) ? lg x ? 1 的零点的个数为( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.函数 f(x)=x +4x+5 的图象在 x=1 处的切线在 x 轴上的截距为________. 14.下列说法:①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;②设有一个回归
∧ ∧ ∧ ∧ 3

方程y=3-5x,变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 5 个单位;③线性回归方程y=bx+a必过( x , y ); ④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系;⑤在一个 2×2 列联表中,由计算得 K =13.079 ,则其两 个变量之间有关系的可能性是 90%. 其中错误的是________. 15.荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时, 均从一叶跳到 另一叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示,假设现在青 蛙在 A 叶上,则跳三次之后停在 A 叶上的概率是________. 16.某车间有 11 名工人,其中有 5 名钳工,4 名车工,另外 2 名既能当车工又能当钳工,现要在这 11 名 工人中选派 4 名钳工,4 名车工修理一台机床,不同的选派方法有________种. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
2

? x+ 1 ? ?n 17.(本小题满分 10 分)若? 4 ? 的展开式中前三项系数成等差数列.求: ? 2 x? ?
(1)展开式中含 x 的一次幂的项; (2)展开式中所有 x 的有理项; (3)展开式中系数最大的项. 18.(本小题满分 12 分) 某航空公司进行空乘人员的招聘,记录了前来应聘的 6 名男生和 9 名女生的身 高,数据用茎叶图表示如下(单位:cm),应聘者获知:男性身高在区间[174,182],女性身高在区间 [164,172]的才能进入招聘的下一环节.
2

P(?2≥k) k

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

(I)求 6 名男生的平均身高和 9 名女生身高的中位数; (Ⅱ)现从能进入下一环节的应聘者中抽取 2 人,记 X 为抽取到的男生人数,求 X 的分布列及期望, 19.(本小题满分 13 分)(2013·福建卷)某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人, 先统计了他们某月的日平均生产件数, 然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁) ”和“25 周岁以下” 分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100] 分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.

(1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到 1 名“25 周岁以下组”工人 的概率; (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成 2×2 列联表,并判断是 否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”? 附: x ?
2

n?ad-bc?2 ?a+b??c+d??a+c??b+d?

20.(本小题满分 12 分)已知平面向量 a ? ( 3, ?1), b ? ( , (1)求证 a ? b ;

?

?

1 3 ). 2 2

?

?

(2)若存在不同时为零的实数 k 和 t ,使得向量 x ? a ? (t 2 ? 3)b, y ? ? k a ? tb ,且 x ? y ,试求函数解 析式 k ? f (t ) ; (3)根据(2)的结论,讨论关于 t 的方程 f (t ) ? m ? 0 的解的情况.

?

?

? ? ?

?

?

?

? ?

3

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a x ? x 2 ? x ln a,a ? 1 (1)求证函数 f ( x) 在 (0,??) 上的单调递增; (2)函数 y ? f ( x) ? t ? 1 有三个零点,求 t 的值; (3)对 ?x1,x 2 ? [?1,1],f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? e ? 1 恒成立,求 a 的取值范围。

22. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=x +ax+b,g(x)=e (cx+d).若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x) 都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2. (1)求 a,b,c,d 的值; (2)若 x≥-2 时,f(x)≤kg(x),求 k 的取值范围.

2

x

4

参考答案 ABBAA ACDDD CC 1 3 16, 185

13, -3/7

14, ②④⑤ 15,

1 1 1 0 2 17, 解析: 由题知 Cn+ 2·Cn=2· Cn, 2 2 可得 n=8 或 n=1(舍去).

? 1 ? 3 r r -r (1)Tr+1=C8( x) ? 4 ? =C8·2 ·x4- r. ?2 x? 4 ? ?
r
8-r

3 令 4- r=1,得 r=4, 4 35 4 -4 所以 x 的一次幂的项为 T5=C82 x= x. 8 3 4 (2)令 4- r∈Z(r=0,1,2,?,8)所以只有当 r=0,4,8 时,对应的项才为有理项.有理项为 T1=x ,T5 4 = 35 1 x,T9= 2. 8 256x

(3)记第 r 项系数为 Tr,记第 k 项系数最大,则有 Tk≥Tk+1,且 Tk≥Tk-1. 又 Tr=C8 2
k-1 -k+1 r-1 -r+1

,于是有 解得 3≤k≤4.

?C8 2 ≥C82 , ? ? k-1 -k+1 k-2 -k+2 ?C8 2 ≥C8 2 , ?

k -k

5 7 所以系数最大项为第 3 项 T3=7x 和第 4 项 T4=7x . 2 4 18,略 19,解析: (1)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60 名,25 周岁以下组工人 40 名. 所以,样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中,25 周岁以上组工人有 60×0.05=3(人),记为 A1,A2,

A3;25 周岁以下组工人有 40×0.05=2(人),记为 B1,B2.
从中随机抽取 2 名工人,所有的可能结果共有 10 种,它们是:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1), (A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2). 其中,至少有 1 名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种,它们是:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1), 7 (A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求的概率 P= . 10 (2)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 名工人中,“25 周岁以上组”中的生产能手有 60×0.25= 15(人),“25 周岁以下组”中的生产能手有 40×0.375=15(人),据此可得 2×2 列联表如下: 生产能手 25 周岁以上组 25 周岁以下组 15 15 非生产能手 45 25 合计 60 40

5

合计
2

30

70

100

n?ad-bc? 2 所以得 K = ?a+b??c+d??a+c??b+d?
= 100×?15×25-15×45? 25 = ≈1.79. 60×40×30×70 14
2

因为 1.79<2.706, 所以没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”. 20.

21, (1)证明: f ' ( x) ? a ln a ? 2 x ? ln a ? (a ? 1) ln a ? 2 x ,
x x

∵ a ? 1,x ? 0 , ∴ ln a ? 0,a x ? 1 ? 0 ∴ f ' ( x) ? 0 ∴函数 f ( x) 在 (0,??) ↗。 ????4 分
6

(2)解:令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x ? 0 ,∴ f ( x) min ? f (0) ? 1 , ∵函数 f ( x) ? t ? 1 有三个零点, ∴ f ( x) ? t ? 1 有三个实根,∴ t ? 1 ? 1 ,∴ t ? 2 。 (3)由(2)可知 f ( x) 在区间 [?1,0] ↘,在区间 [0,1] ↗, ∴ f ( x) min ? f (0) ? 1,f ( x) max ? max{ f (?1),f (1)} , 又 f (?1) ? ????8 分

1 1 ? 1 ? ln a,f (1) ? a ? 1 ? ln a ,∴ f (1) ? f (?1) ? a ? ? 2 ln a , a a 1 1 2 1 ? 2 ln a,a ? 1 ,则 g (a ) ? 1 ? 2 ? ? ( ? 1) 2 ? 0 a a a a

设 g (a) ? a ?

∴ g (a) 在 (1,??) ↗,∴ g (a) ? g (1) ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) ? 0 ,∴ f ( x) max ? f (1) ? a ? 1 ? ln a , 所以,对于 ?x1,x 2 ? [?1,1],f ( x1 ) ? f ( x 2 ) max ? f (1) ? f (0) ? a ? ln a , ∴ a ? ln a ? e ? 1 ,∴ 1 ? a ? e 。 ????14 分
x

22,21.解:(1 )由已知得 f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4.而 f′(x)=2x +a,g′(x)=e (cx +d+c),故 b=2,d=2,a=4,d+c=4. 从而 a=4,b=2,c=2,d=2. 2 x (2)由(1)知,f(x)=x +4x+2,g(x)=2e (x+1). x 2 x x 设函数 F(x)=kg(x)-f(x)=2ke (x+1)-x -4x-2, 则 F′(x)=2ke (x+2)-2x-4=2(x+2)(ke -1). 由题设可得 F(0)≥0,即 k≥1. 令 F′(x)=0 得 x1=-ln k,x2=-2. 2 ① 若 1≤k<e ,则-2<x1≤0,从而当 x∈(-2,x1)时,F′(x)<0;当 x∈(x1,+∞)时,F′(x)>0,即 F(x) 在(-2,x1)上单调递减,在(x1,+∞)上单调递增.故 F(x)在[-2,+∞)上的最小值为 F(x1). 2 而 F(x1)=2x1+2-x1-4x1-2=-x1(x1+2)≥0. 故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒成立. 2 2 x -2 ②若 k=e ,则 F′(x)=2e (x+2)(e -e ). 从而当 x>-2 时,F′(x)>0,即 F(x)在(-2,+∞)上 单调递增,而 F(-2)=0,故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒成立. 2 -2 -2 2 ③若 k>e ,则 F(-2)=-2ke +2=-2e (k-e )<0,从而当 x≥-2 时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立. 2 综上,k 的取值范围是[1,e ].

7


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