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《导数及其应用》单元测试题(详细答案)


《导数及其应用》单元测试题
一、选择题(本大题共 10 小题,共 50 分,只有一个答案正确) 1.函数 f ( x) ? ?2?x? 的导数是(
2

) (C) f ?( x) ? 8? 2 x ) (D) ?0,2? (D) f ?( x) ? 16?x

(A) f ?( x) ? 4?x

(B) f ?( x) ? 4? 2 x

2.函数 f ( x) ? x ? e ? x 的一个单调递增区间是( (A) ?? 1,0? (B) ?2,8? (C) ?1,2?

x) 3 . 已 知 对 任 意 实 数 x , 有 f (? x) ? ? f ( , f ?( x)? , 0 ?g (? x ) ,则 0 x ? 0 时(
A. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 C. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 )

g? ( x)? g ( x ) x?0 时 , , 且

B. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 D. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 ) (D) b ?

4.若函数 f ( x) ? x 3 ? 3bx ? 3b 在 ?0,1? 内有极小值,则( (A) 0 ? b ? 1
4

(B) b ? 1

(C) b ? 0

1 2


5.若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( A. 4 x ? y ? 3 ? 0
x

B. x ? 4 y ? 5 ? 0
2

C. 4 x ? y ? 3 ? 0

D. x ? 4 y ? 3 ? 0 )

6.曲线 y ? e 在点 (2,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(

A.

9 2 e 4

B. 2e

2

C. e

2

D.

e2 2

7.设 f ?( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标系 中,不可能正确的是( )

2 8 .已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有

f ( x) ? 0 ,则
A. 3

f (1) 的最小值为( f '(0)
B.



5 2

C. 2

D.

3 2

9.设 p : f ( x) ? ex ? ln x ? 2x2 ? mx ? 1 在 (0, ? ?) 内单调递增, q : m ≥ ?5 ,则 p 是 q 的 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

10. 函数 f ( x) 的图像如图所示,下列数值排序正确的是( ) (A) 0 ? f (2) ? f (3) ? f (3) ? f (2)
/ /

y

(B) 0 ? f (3) ? f (3) ? f (2) ? f (2)
/ /

(C) 0 ? f (3) ? f (2) ? f (3) ? f (2)
/ /

(D) 0 ? f (3) ? f (2) ? f (2) ? f (3)
/ /

O

1 2 3 4

x

二.填空题(本大题共 4 小题,共 20 分) 11.函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是____. 12 .已知函数 f ( x) ? x ?12 x ? 8 在区间 [? 3, 3]上的最大值与最小值分别为 M , m ,则
3

M ? m ? __.
13.点 P 在曲线 y ? x ? x ?
3

2 上移动,设在点 P 处的切线的倾斜角为为 ? ,则 ? 的取值 3

范围是 14.已知函数 y ? 是

1 3 x ? x 2 ? ax ? 5 (1)若函数在 ?? ?,??? 总是单调函数,则 a 的取值范围 3
. (2)若函数在 [1,??) 上总是单调函数,则 a 的取值范围 . .

(3)若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数 a 的取值范围是

三.解答题(本大题共 4 小题,共 12+12+14+14+14+14=80 分) 15.用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1, 问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少? 16.设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.
3 2

(1)求 a、b 的值;

(2)若对于任意的 x ? [0, 3] ,都有 f ( x) ? c2 成立,求 c 的取值范围.

17.设函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x ? 2 分别在 x1、x2 处取得极小值、极大值. xoy 平面上点 A、 B 的 坐标分别为 、 ,该平面上动点 P 满足 PA ? PB ? 4 ,点 Q 是点 P 关于直 (x1 ,f ( x1 )) (x2 ,f ( x2 )) 线 y ? 2( x ? 4) 的对称点,.求 (Ⅰ)求点 A、 B 的坐标; (Ⅱ)求动点 Q 的轨迹方程.

18. 已知函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3x2 ? 3. (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 x ? 2 处的切线方程; (2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? m ? 0 有三个不同的实根,求实数 m 的取值范围.

19.已知 f ( x) ?

ax3 ? (a ? 1) x 2 ? 4 x ? 1?a ? R ? 3

(1)当 a ? ?1 时,求函数的单调区间。 (2)当 a ? R 时,讨论函数的单调增区间。 (3)是否存在负实数 a ,使 x ? ?? 1,0?,函数有最小值-3?

a2 20.已知函数 f ? x ? ? x ? , g ? x ? ? x ? ln x ,其中 a ? 0 . x (1)若 x ? 1 是函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的极值点,求实数 a 的值;
实数 a 的取值范围.

(2)若对任意的 x1, x2 ??1 ,e? ( e 为自然对数的底数)都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立,求

【文科测试解答】 一、选择题
1. f ( x) ? ?2?x?2 ? 4? 2 x 2 ,? f ?( x) ? 2 ? 4? 2 x ? f ?( x) ? 8? 2 x ; 2. f ( x) ? x ? e ? x ? 3.(B)数形结合

x ?1 ? x ? ? e x ? 0,? x ? 1 选(A) 1? e x ? x ? e x , . ? ? f ( x) ? ? 2 ex ex ?e x ?2

? ?

4.A 由 f ?( x) ? 3x 2 ? 3b ? 3 x 2 ? b ,依题意, 首先要求 b>0, 所以 f ?( x) ? 3 x ? b x ? b 由单调性分析, x ? b 有极小值,由 x ? b ? ?0,1? 得.

?

?

?

??

?

5.解:与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y ? m ? 0 ,即 y ? x4 在某一点的导数为 4,而 y? ? 4 x3 ,所以 y ? x4 在(1,1)处导数为 4,此点的切线为 4 x ? y ? 3 ? 0 ,故选 A 6.(D) 7.(D) 8.(C) 9.(B) 10.B 设 x=2,x=3 时曲线上的点为 AB,点 A 处的切线为 AT 点 B 处的切线为 BQ,

T B A

f (3) ? f (2) ? k AB ? f (3) ? f (2) ? 3? 2

y

? f ?(3) ? k BQ , f ?(2) ? k AT ,
如图所示,切线 BQ 的倾斜角小于 直线 AB 的倾斜角小于 切线 AT 的倾斜角 Q O

?k BQ ? k AB ? k AT
所以选 B 11. ? , ?? ?

1 2 3 4

x

?1 ?e

? ?

12.32
? ? ? 3? ? 13. ? ?0, ? ? ? , ? ?
? 2? ?4 ?
14. (1) a ? 1; (2)a ? ?3; (3)a ? ?3.

三、解答题 15. 解:设长方体的宽为 x(m),则长为 2x(m),高为

h?

18 ? 12x ? 4.5 ? 3x(m) 4

3? ? ? 0<x< ? . 2? ?

故长方体的体积为

V ( x) ? 2x 2 (4.5 ? 3x) ? 9x 2 ? 6x 3 (m 3 )

3 (0<x< ). 2

从而 V ?( x) ? 18x ? 18x 2 (4.5 ? 3x) ? 18x(1 ? x). 令 V′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=1,因此 x=1. 当 0<x<1 时,V′(x)>0;当 1<x<

2 时,V′(x)<0, 3

故在 x=1 处 V(x)取得极大值,并且这个极大值就是 V(x)的最大值。 从而最大体积 V=V′(x)=9×12-6×13(m3),此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m. 答:当长方体的长为 2 m 时,宽为 1 m,高为 1.5 m 时,体积最大,最大体积为 3 m3。 16.解:(1) f ?( x) ? 6 x2 ? 6ax ? 3b , 因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 .

即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0, ?24 ? 12a ? 3b ? 0.

解得 a ? ?3 , b ? 4 . (2)由(Ⅰ)可知, f ( x) ? 2x ? 9x ? 12x ? 8c ,
3 2

f ?( x) ? 6x2 ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) .
1) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (0, , 2) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (1 3) 时, f ?( x) ? 0 . 当 x ? (2,
所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c . 则当 x ??0, 3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . 因为对于任意的 x ??0, 3? ,有 f ( x) ? c 恒成立,
2

所以 解得

9 ? 8c ? c 2 ,
c ? ?1 或 c ? 9 ,

? 1) 因此 c 的取值范围为 (??,

(9, ? ?) .

17.解: (1)令 f ?( x) ? (? x 3 ? 3x ? 2)? ? ?3x 2 ? 3 ? 0 解得 x ? 1或x ? ?1 当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 , 当 ? 1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 所 以 , 函 数 在 x ? ?1 处 取 得 极 小 值 , 在 x ? 1 取 得 极 大 值 , 故

x1 ? ?1, x2 ? 1, f (?1) ? 0, f (1) ? 4
所以, 点 A、B 的坐标为 A(?1,0), B(1,4) . (2) 设 p(m, n) , Q( x, y) , PA ? PB ? ?? 1 ? m,?n? ? ?1 ? m,4 ? n? ? m2 ? 1 ? n 2 ? 4n ? 4

1 y?n 1 y?n ?x?m ? k PQ ? ? , ?? , 所以 又 PQ 的中点在 y ? 2( x ? 4) 上, 所以 ? 2? ? 4? 2 x?m 2 2 ? 2 ?
消去 m, n 得 ?x ? 8? ? ? y ? 2? ? 9 .
2 2

另法:点 P 的轨迹方程为 m2 ? ?n ? 2? ? 9, 其轨迹为以(0,2)为圆心,半径为 3 的圆;
2

设点(0,2)关于 y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点 Q 的轨迹为以(a,b),为圆心,半径为 3 的圆, 由

b?2 1 b?2 ?a?0 ? ?? , ? 2? ? 4 ? 得 a=8,b=-2 a?0 2 2 ? 2 ?
2

18.解(1) f ?( x) ? 6x ? 6x, f ?(2) ? 12, f (2) ? 7, ?????????2 分 17 ? 0 ;??4 分 ∴曲线 y ? f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? 7 ? 12( x ? 2) ,即 12 x ? y ? (2)记 g ( x) ? 2x ? 3x ? m ? 3, g ?( x) ? 6 x ? 6 x ? 6 x( x ?1)
3 2 2

令 g ?( x) ? 0, x ? 0 或 1.

??????????????????????6 分

则 x, g ?( x), g ( x) 的变化情况如下表

x (??, 0) 0 (0,1) (1, ??) 1 ? g ?( x ) 0 0 ? ? g ( x) 极大 极小 当 x ? 0, g ( x) 有极大值 m ? 3; x ? 1, g ( x) 有极小值 m ? 2 . ?????????10 分 ? g (0) ? 0 由 g ( x) 的简图知,当且仅当 ? , ? g (1) ? 0 ?m ? 3 ? 0 即? , ? 3 ? m ? ?2 时, ?m ? 2 ? 0 函数 g ( x) 有三个不同零点,过点 A 可作三条不同切线. 所以若过点 A 可作曲线 y ? f ( x) 的三条不同切线, m 的范围是 (?3, ?2) .????14 分

19.(1) x ? ?? ?,?2?, 或 x ? ?2,???, f ( x ) 递减; x ? ?? 2,2?, f ( x ) 递增; (2)1、当 a ? 0,
2 ? x ? ?? ?,?2?, f ( x ) 递 增 ;2 、 当 a ? 0, x ? ? ? ,2 ?, f ( x ) 递 增 ;3 、 当 0 ? a ? 1, x ? ?? ?,2?, 或 ?a ?
2? ?2 ? ? x ? ? ,?? ?, f ( x ) 递增 ; 当 a ? 1, x ? ?? ?,???, f ( x ) 递增 ; 当 a ? 1, x ? ? ? ?, ?, 或 x ? ?2,???, f ( x ) a? ?a ? ?

递增; (3) 因 a ? 0, 由②分两类 (依据: 单调性, 极小值点是否在区间[-1,0]上是分类 “契机” : 3 2 ? 1、当 2 ? ?1, ? a ? ?2, x ? ?? 1,0? ? ? ? ,2 ?, f ( x ) 递增, f ( x) min ? f (?1) ? ?3 ,解得 a ? ? ? ?2, 4 a a ? ? 2、当 2 ? ?1, ? a ? ?2, 由单调性知: f ( x ) min ? f ( ) ? ?3 ,化简得: 3a 2 ? 3a ? 1 ? 0 ,解得 a a
a?

2

3 ? 3 ? 21 ? ?2, 不合要求;综上, a ? ? 为所求。 4 6

20.(1)解法1:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0, ? ?? , x

a2 1 ? . x2 x 2 ∵ x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,∴ h? ?1? ? 0 ,即 3 ? a ? 0 .
∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . 经检验当 a ? 3 时, x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点, ∴a ? 3. 解法2:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0, ? ?? , x

a2 1 ? . x2 x a2 1 2 2 令 h? ? x ? ? 0 ,即 2 ? 2 ? ? 0 ,整理,得 2 x ? x ? a ? 0 . x x 2 ∵ ? ? 1 ? 8a ? 0 ,
∴ h? ? x ? ? 0 的两个实根 x1 ?

当 x 变化时, h ? x ? , h? ? x ? 的变化情况如下表:

?1 ? 1 ? 8a 2 ?1 ? 1 ? 8a 2 (舍去), x2 ? , 4 4

x
h? ? x ? h ? x?
依题意,

? 0, x2 ?


x2
0 极小值

? x2 , ???


?1 ? 1 ? 8a 2 ? 1 ,即 a 2 ? 3 , 4

∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 .

( 2 ) 解 : 对 任 意 的 x1, x2 ??1 ,e? 都 有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成 立 等 价 于 对 任 意 的

x1, x2 ??1 ,e? 都有 ? ? f ? x ?? ? min ≥ ? ? g ? x ?? ? max . 1 当 x ? [1, e ]时, g ? ? x ? ? 1 ? ? 0 . x ∴函数 g ? x ? ? x ? ln x 在 ?1 ,e? 上是增函数.
∴? ? g ? x ?? ? max ? g ? e ? ? e ? 1 . ∵ f ?? x? ? 1?

a 2 ? x ? a ?? x ? a ? ? ,且 x ??1, e? , a ? 0 . x2 x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 , ①当 0 ? a ? 1 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? x2 a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在[1, e ]上是增函数, x
2 ∴? ? f ? x ?? ? min ? f ?1? ? 1 ? a .

由 1 ? a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e , 又 0 ? a ? 1 ,∴ a 不合题意.
2

②当1≤ a ≤ e 时, 若1≤ x < a ,则 f ? ? x ? ?

x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 . 若 a < x ≤ e ,则 f ? ? x ? ? x2 a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在 ?1, a ? 上是减函数,在 ? a,e? 上是增函数. x ∴? ? f ? x ?? ? min ? f ? a ? ? 2a .
由 2 a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ 又1≤ a ≤ e ,∴

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,

e ?1 , 2

e ?1 ≤a≤e. 2

③当 a ? e 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? ∴函数 f ? x ? ? x ? ∴? ? f ? x ?? ? min 由e?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2

a2 在 ?1 ,e? 上是减函数. x a2 ? f ?e? ? e ? . e

a2 ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e , e 又 a ? e ,∴ a ? e . ? e ?1 ? 综上所述, a 的取值范围为 ? , ?? ? . ? 2 ?

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