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浙江省衢州市2015年高三4月教学质量检测数学文试卷(含答案)


浙江省衢州市 2015 年 4 月高三年级教学质量检测试卷

数学(文科)
命题者:周心宇 张小臣 徐敏强 审题者:王冰 考生须知: 1.全卷分试卷Ⅰ、试卷Ⅱ和答题卷.考试结束后,将答题卷上交. 2.试卷共 4 页,有三大题,20 小题.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 3.请将答案做在答题卷的相应位置上,写在试卷上无效. 参考公式:

/>球的表面积公式
S ? 4? R
2

柱体的体积公式

V ? Sh
其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式
1 V ? h S1 ? S1S2 ? S2 3

球的体积公式
4 V ? ? R3 3

其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式
1 V ? Sh 3

?

?

其中 S1 , S2 分别表示台体的上底、下底面积,

h 表示台体的高
如果事件 A , B 互斥,那么

其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高
P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ?

试卷Ⅰ
注意事项: 请用 2B 铅笔将答卷Ⅰ上的准考证号和学科名称所对应的括号或方框涂黑,然后开始答题. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知 a , b 为正实数,则“ a ? 1 且 b ? 1 ”是“ ab ? 1 ”的( ▲ ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.下列函数中既是奇函数又是增函数的是( ▲ ) A. y ? x ? x
3

B. y ? log a x

C. y ? 3

x

D. y ? ?

1 x

3.若 l , m, n 是互不相同的空间直线, ? , ? 是不重合的平面,则下列命题正确的是( ▲ ) A. ? / / ? , l ? ? , n ? ? ? l / / n C. l ? n, m ? n ? l / / m B. ? ? ? , l ? ? ? l ? ? D. l ? ? , l / / ? ? ? ? ?

高三教学质量检测数学(文)试卷

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4.将函数 y ? cos(2 x ? ? ) 的图像沿 x 轴向右平移 一个可能取值为( ▲ ) A. ?

? 后,得到的图像关于原点对称,则 ? 的 6 ? 3
D.

?
3

B.

? 6

C.

5? 6

5.若直线 ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 被圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?1 ? 0 所截得的弦长为 6,则

2 3 ? 的最小值为( ▲ ) a b
A. 10 B. 4 ? 2 6 C. 5 ? 2 6 D. 4 6

6.在 ?ABC 中,若 AB ? 1 , AC ? 3 , AB ? AC ? BC ,则

AB ? BC BC
D.

?( ▲ )

A. ?

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

3 2

7.已知 a ? R , 若函数 f ( x) ?

1 2 x ? | x ? 2a | 有三个或者四个零点, 则函数 g ( x) ? ax2 ? 4x ? 1 2
C. 1 或 0 D. 0 或1 或 2

的零点个数为( ▲ ) A. 1 或 2 B. 2

8 . 设 点 P( x, y ) 是 曲 线 a x ? b y ?1( a? 0, b? 0) 上 任 意 一 点 , 其 坐 标 ( x, y ) 均 满 足

x 2 ? y 2 ? 2 x ?1 ? x2 ? y2 ?2 x ? 1 ?2 2 ,则 2a ? b 取值范围为( ▲ )
A.

? 0, 2?

B. ?1,2?

C. ?1, ?? ?

D.

?2, ???

非选择题部分(共 110 分)
二、 填空题 :本大题共 7 小题,第 9,10 每题三空,每空 2 分,第 11,12 题每题两空, 每空 3 分,第 13,14,15 每空 4 分,共 36 分。
2 9.设全集 U ? R ,集合 A ? ? x | x ? 1 ? 0? , B ? x | x ? 2 ? 0 , 则 A

?

?

B?





A B?



, ?R B ?




2

10.设函数 f ( x) ? 2 cos( x ? 为 ▲ ,值域为 ▲

1 2

?
6

) ,则该函数的最小正周期
▲ .
2 正视图 侧视图

,单调递增区间为

11.某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则该几何 体的体积为 ▲

cm3 ,外接球的表面积为 ▲

cm2 .

俯视图

(第 11 题图)

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? x ? 0, ? 12.设不等式组 ? x ? 2 y ? 4, 所表示的平面区域为 D ,则区域 D 的面积为 ▲ ;若直线 ?2 x ? y ? 4 ?
y ? ax ? 1 与区域 D 有公共点, 则 a 的取值范围是
13. F1 , F2 分别是双曲线 的内切圆, 14. 定义在 (??,0) ▲ .

x2 y 2 P 为双曲线右支上的一点, A 是 ?PF1 F2 ? ? 1 的左右焦点, 16 9 A 与 x 轴相切于点 M (m, 0) ,则 m 的值为 ▲ .
(0, ??) 上的函数 f ( x) ,如果对于任意给定的等比数列 ?an ? ,? f (an )? ,

仍是等比数列 ,则称 f ( x ) 为“等比函数”. 现有定义在 (??, 0) 数:① f ( x) ? 3x ;② f ( x) ? x3 ; ③ f ( x) ? 函数”的 f ( x ) 的序号为 ▲ .

(0, ??) 上的如下函

2 ; ④ f ( x) ? log2 | x | .则其中是“等比 x

15.在 ?ABC 中, AC ? BC ? 0 ,点 M 在 BC 边上,且满足 BM ? 2MC ,则 cos ?MAB 的 最小值为 ▲ .

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 74 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。 16. (本小题满分 15 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 3c sin A ? a cos C . (Ⅰ )求角 C 的大小; (Ⅱ )当 3 cos A ? cos B 取得最大值时,试判断 ?ABC 的形状.

17. (本小题满分 15 分) 已知数列 {an } 是首项为 2 的等差数列,其前 n 项和 Sn 满足 4Sn ? an ? an?1 .数列 {bn } 是

1 1 为首项的等比数列,且 b1b2b3 ? . 2 64 (Ⅰ )求数列 {an } , {bn } 的通项公式;
以 (Ⅱ )设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,若对任意 n ? N * 不等式 恒成立,求 ? 的取值范围.

1 S1

?

1 S2

?

?

1 1 ? ? ? Tn Sn 4 2

1

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18. (本小题满分 15 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, PA ? 平面 ABCD ,点

M , N 分别为 BC, PA 的中点,且 PA ? AD ? 2 , AB ? 1 , AC ? 3 . (Ⅰ )证明: MN // 平面 PCD ; P (Ⅱ )求直线 MN 与平面 PAD 所成角的正切值.

N A B M
(第 18 题图) 19. (本小题满分 15 分) 如图, 设抛物线 C :y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , 过点 F 的直线 l1 交抛物线 C 于 A, B 两点,且 | AB |? 8 ,线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 3 . (Ⅰ )求抛物线 C 的方程; (Ⅱ )若直线 l2 与圆 x ? y ?
2 2

D C

1 切于点 P ,与抛物线 C 切于点 Q ,求 ?FPQ 的面积. 2

(第 19 题图) 20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 2bx ? c ( x ? R , a ? 0) (Ⅰ)若 a ? ?1, c ? 0 ,且 y ? f ( x) 在 [?1,3] 上的最大值为 g (b) ,求 g (b) ;
2

(Ⅱ)若 a ? 0 ,函数 f ( x) 在 [?8, ?2] 上不单调,且它的图象与 x 轴相切,求 最小值.

f (1) 的 b ? 2a

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2015 年 4 月衢州市高三教学质量检测试卷 数学(文科)参考答案
一、选择题:

BADDC
二、填空题:

BAD

9. (? 2, ?1];(??, 2);(??, ? 2] [ 2, ??) 11.

10. 4?;[ ?2, 2];[4k ? ?

7?

? , 4k ? ? ], k ? Z 3 3
15.

20 ; 12 ? 3

12.

4 7 ;[ , ?? ) 3 4

13.

1 2

14.②③

3 2

三、解答题: 16.解: (Ⅰ )由 3c sin A ? a cos C 结合正弦定理变形得: 从而 3 sin C ? cos C , tan C ? ∵ 0 ? C ? ? ,∴ C ? (Ⅱ )由(1)知 B ?

a 3c c ? ? sin A cos C sin C

3分

?
6

3 , 3

?????????????6 分

; ???????????????????7 分

5? ? A) 6 ? 3 1 3 1 ? 3 cos A ? cos A ? sin A ? cos A ? sin A ? sin( A ? ) 11 分 3 2 2 2 2 5? ? ? 7? ∵0 ? A ? , ∴ ? A? ? ????????????12 分 6 3 3 6
则 3 cos A ? cos B ? 3 cos A ? cos( 当 A?

5? ?A 6

?????????????????????8 分

?

3

?

?

6 故此时 ?ABC 为等腰三角形 . ??????????????15 分 17.解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,由题意得, 4a1 ? a1 (a1 ? d ) ,解得 d ? 2 ,
∴ an ? 2n
3 由 b1b2b3 ? b2 ?

此时 A ?

?

2

时,

3 cos A ? cos B 取得最大值 1,

??????13 分

,B ?

2? ? , C ? , ????????????????14 分 3 6

?????????????????????????4 分

1 1 b 1 ? b2 ? ,从而公比 q ? 2 ? , 64 4 b1 2

n ∴ bn ? ( ) ?????????????????????????8 分

1 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 1 1 1 ? ? ? Sn n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 1 1 1 ∴ ? ? ? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? S1 S2 Sn 2 2 3
高三教学质量检测数学(文)试卷

1 1 1 10 分 ?( ? ) ? 1? n n ?1 n ?1
共 4 页)

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1 1 (1 ? n ) 2 ? 1 ? 1 ,?????????????????12 分 又 Tn ? 2 1 2n 1? 2 1 1 1 1 1 ∴对任意 n ? N * , ? ? ? ? ? ? Tn 等价于 S1 S2 Sn 4 2 3 1 1 1 ? ? n ?1 ? ? ???????????????????13 分 2 n ?1 2 4 3 1 1 ? ∵ ? 对 n ? N * 递增, 2 n ? 1 2n ?1 3 1 1 3 1 1 3 ? n ?1 ) min ? ? ? ? , ∴( ? ?????????14 分 2 n ?1 2 2 2 4 4 3 1 ∴ ? ? ? ? ? 3 .即 ? 的取值范围为 (??,3] ????????15 分 4 4 18.解: (Ⅰ )证明:取 PD 中点 E ,连结 NE , CE . 1 // AD , N 为 PA 中点,? NE ? 2 又 M 为 BC 中点,底面 ABCD 为平行四边形, // 1 AD . ? MC ? 2 // MC ,即 MNEC 为平行四边形, ? NE ? ????????4 分
∴ MN / / CE EC ? 平面 PCD ,且 MN ? 平面 PCD , ? MN // 平面 PCD . ?????????????????7 分 (其它证法酌情给分) (Ⅱ )方法一: PA ? 平面 ABCD , PA ? 平面 ABCD ,? 平面 PAD ? 平面 ABCD , 过 M 作 MF ? AD ,则 MF ? 平面 PAD ,连结 NF . 则 ?MNF 为直线 MN 与平面 PAD 所成的角, ????????10 分 由 AB ? 1 , AC ? 3 , AD ? 2 ,得 AC ? CD ,

3 , 2 在 Rt ?AMN 中, AM ? AN ? 1 ,得 MN ? 2 . 5 2 2 在 Rt ?MNF 中, NF ? MN ? MF ? , 2 3 MF 15 ? tan ?MNF ? ? 2 ? , FN 5 5 2 15 直线 MN 与平面 PAD 所成角的正切值为 . ????????15 分 5
由 AC ? CD ? AD ? MF ,得 MF ? 方法二: PA ? 平面 ABCD , PA ? AB , PA ? AC , 又

AB ? 1 , AC ? 3 , BC ? AD ? 2 ,
高三教学质量检测数学(文)试卷 (第 6 页 共 4 页)

? AB2 ? AC 2 ? BC 2 , AB ? AC . ???????????9 分 如图,分别以 AB, AC , AP 为 x 轴, y 轴, z 轴, z 建立空间直角坐标系 A ? xyz ,

1 3 则M( , , 0) , N (0, 0,1) , 2 2 P(0, 0, 2) , D(?1, 3,0) , 1 3 ? MN ? (? , ? ,1) , AP ? (0,0, 2) , 2 2 AD ? (?1, 3,0) ,????????11 分
设平面 PAD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 由?

P

N

A
x B M C y

D

? ?2 z ? 0 ?? ,令 y ? 1 得 n ? ( 3,1,0) , ??13 分 ?? x ? 3 y ? 0 ? AD ? n ? 0 ? ? 设 MN 与平面 PAD 所成的角为 ? ,则 5 3 6 , ? tan ? ? sin ? ? cos ? MN , n ? ? ? 5 4 2 2

? ? AB ? n ? 0

15 .?????????15 分 5 x ? x2 y1 ? y2 , ), 19.解: (Ⅰ )设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB 中点坐标为 ( 1 2 2 x ? x2 ? 3 ,? x1 ? x2 ? 6 , 由题意知 1 ?????????3 分 2 又 AB ? x1 ? x2 ? p ? 8 ,? p ? 2 , ?????????6 分
? MN 与平面 PAD 所成角的正切值为
故抛物线 C 的方程为 y ? 4 x ; ???????????????7 分
2

(Ⅱ )设 l2 : y ? kx ? m ,由 l2 与 O 相切得

2 m ? ? 2m2 ? 1 ? k 2 ① ?????????????9 分 2 2 1? k ? y ? kx ? m 由? 2 ? k 2 x2 ? (2km ? 4) x ? m2 ? 0 ( ? ) ? y ? 4x 直线 l2 与抛物线相切,
?? ? (2km ? 4)2 ? 4k 2m2 ? 0 ? km ? 1 ②????????11 分 由 ①,②得 k ? m ? ?1 , ? 方程( ? )为 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 1 , ?Q(1, ?1) ,
1 3 6 ; ??????13 分 ? ? 2 2 2 此时直线 l2 方程为 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 ,
2 2 ? PQ ? xQ ? yQ ? r 2 ? 1?1?

? 令 F (1, 0) 到的距离为 d ? 2 ,
? S?PQF ? 1 1 6 3 PQ ? d ? ? ? 2? . 2 2 2 2
?????????15 分

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20.解: (Ⅰ ) a ? ?1, c ? 0 时, f ( x) ? ? x2 ? 2bx ? ?( x ? b)2 ? b2 , ∴对称轴是直线 x ? b , ① b ? ?1 时, f ( x)max ? f (?1) ? ?1 ? 2b ②当 ?1 ? b ? 3 时, f ( x)max ? f (b) ? b2 ③当 b ? 3 时, f ( x)max ? f (3) ? ?9 ? 6b

??1 ? 2b, (b ? ?1) ? 2 综上所述, g (b) ? ?b , ( ?1 ? b ? 3) ; ????????????6 分 ??9 ? 6b, (b ? 3) ? c 1 b 2 2 (Ⅱ )∵函数 f ( x) 的图象和 x 轴相切,∴ ? ? b ? 4ac ? 0 ? ? ( ) , a 4 a
∵ f ( x) 在 [?8, ?2] 上不单调, ∴对称轴 x ? ? ∴

2b b ? ? ? (?8, ?2) 2a a

b ? (2,8) a

f (1) a ? 2b ? c ? ? b ? 2a b ? 2a


1?

2b c 2b 1 b ? 1 ? ? ( )2 a a? a 4 a , b b ?2 ?2 a a

b ? t ? (2,8) ? t ? 2 ? (0, 6) , a 2b 1 b 1 1 ? ? ( ) 2 1 ? 2t ? t 2 f (1) 1 t 2 ? 8t ? 4 a 4 a 4 ∴ ? ? ? b b ? 2a t ?2 4 t ?2 ?2 a

1 16 1 16 ? [(t ? 2) ? ? 8] ? [2 (t ? 2) ] ? 8] ? 4 , 4 t ?2 4 t ?2
∴(

f (1) ) min ? 4 ,此时当且仅当 t ? 2 ? 4 ? (0,6) ? t ? 6 .???14 分 b ? 2a

高三教学质量检测数学(文)试卷

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