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上海师范大学附属中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


上师大附中 2015 学年第一学期期中考试 高一年级 数学学科 满分:150 分)

(考试时间:120 分钟

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
* 1.集合 A ? x | 0 ? x ? 3, x ? N 的真子集的个数是

/>?

?

. . .

2.命题 “如果 a , b 都是奇数,那么 a ? b 是偶数”的逆否命题是

3x x2 3.已知函数 f ? x ? ? 2 , g ?x ? ? x ? 3 , h? x ? ? ,则 f ?x ?g ?x ? ? h?x ? ? x?3 x ?9
4. 已 知 集 合 A ? ? y y ? x ? 2 x ? 3} , 集 合 B ? y y ? ? x ? 2 x ? 13
2 2

?

?
.

, 则

A? B ?

.
2

5.函数 f ( x) ?| x ?1| ? | x ? a | (常数 a ? R ) ,若 f (2) ? 1 ,则 f (1) ? 6.已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4,5? , 且 B? CU A ? ?1 ,2 则集合 A ? .

? ,A ? CU B ? ?5? , CU A ? CU B ? ?0, 4? ,

7. 已知集合 A ? {a | 关于 x 的方程

x?a ? 1 有唯一实数解, a ? R} ,用列举法表示集合 x2 ?1

A?



8. 对于集合 A, B ,定义运算: A ? B ? x x ? A且x ? B , A?B ? ( A ? B) ? ( B ? A) .若

?

?

A ? ?1 , 2 ? , B ? ? x x ? 2, x ? Z ? ,则 A?B ?
9. 已 知 全 集



U ?R







a, b





a?b?0







a?b N? } x , ab ? { x ? a | ,则 M ? CU N}? . 2 1 1 10.已知关于 x 的不等式 ax2 ? 2 x ? c ? 0 的解集为 ( ? , ) ,其中 a, c ? R ,则关于 x 的不等 3 2 M ? {x b |? x ?
式 ? cx 2 ? 2 x ? a ? 0 的解集是 .
2

11.对于实数 x ,若 n ? x ? n ? 1, 规定 ? x? ? n (n ? Z ) ,则不等式 4 ? x ? ? 20 ? x ? ? 21 ? 0 的 解集是 .
2

12. 不 等 式 (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 3 ? 0 对 一 切 实 数

x 恒成立,则实数 a 的取值范围



.

13. 定义关于 x 的不等式 x ? A ? B( A? R , B ? 0)的解集称为 A 的 B 邻域.若 a ? b ? 3 的

a ? b 邻域是区间 (?3,3) ,则 a 2 ? b 2 的最小值是
14.给出下列四个命题:

.

, d ? (1) 若 a ?bc
(4)若 号)

, 则a ?d ? b?c; (2) 若 a2 x ? a2 y , 则x ? y; (3)a ? b , 则

1 1 ? ; a ?b a

1 1 ? ? 0 ,则 ab ? b2 .其中正确命题的是 a b

. (填所有正确命题的序

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结 论,其中有且只有一个结论是正确的.必须用 2B 铅笔将正确结论的代号涂黑,选对得 5 分, 不选、选错或者选出的代号超过一个,一律得零分. 15. ( 下 )
0

































A. f ( x) ? 1 与 g ( x) ? x

B. f ( x) ? 3 x 3 与 g ( x) ? x D. f ( x) ? x 与 g ( x) ? , 则 不 等 式

C. f ( x) ? x 与 g ( x) ? ( x ) 2 16. ( A. ? 若 )

x2
的 解 是

a?0



b?0

?b ?

1 ?a x

1 1 ? x ? 0或 0 ? x ? b a 1 1 C. x ? ? 或 x ? a b
17.下列说法正确的是 ( )

1 1 ?x? a b 1 1 D. x ? ? 或 x ? b a
B. ?

2 2 A. “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题是“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” 2 B. “ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要非充分条件

C. “ a ? b ? 3 ”是“ a ? 1 或 b ? 2 ”的充分非必要条件 D. “?

?a ? b ? 4 ”是“ a ? 2 且 b ? 2 ”的充分必要条件 ?ab ? 4

18. 若 x ? 0 , y ? 0 , 且 ( A. )

x ? y ?a x? y 恒 成 立 , 则 a 的 最 小 值 是

2 2

B. 2

C. 2

D. 2 2

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤,答题 务必写在答题纸上规定位置. 19. (本题满分 12 分) 解关于 x 的不等式: mx ? (2m ? 1) x ? 2 ? 0(m ? R) .
2

20. (本题满分 14 分)共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分.
2 ? ? x ? x?6 ? ? ? 0 ? ,集合 B ? x x ? 2a ? a ? 1, a ? R . 已知集合 A ? ? x x ?1 ? ? ? ?

?

?

(1)求集合 A 与集合 B ; (2)若 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围.

21.(本题满分 14 分)共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满 分 5 分. 设 集 合

A ? {x | x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0}



B ? {x | x 2 ? 5x ? 6 ? 0}



C ? {x | x 2 ? 2x ? 8 ? 0} .
(1)若 A ? B ? A ? B ,求实数 a 的值;

(2)若 ? ? A ? B ,且 A ? C ? ? ,求实数 a 的值; (3)若 A ? B ? A ? C ? ? ,求实数 a 的值.

22. (本题满分 16 分)共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满 分 6 分. 我校为进行“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形 ABC 的空地上修建一个占 地面积为 S (平方米)的矩形 AMPN 健身场地.如图,点 M 在 AC 上,点 N 在 AB 上,且 P 点在斜边 BC 上. 已知 ?ACB ? 60? , x ? [10,20] .设矩形 AMPN | AC |? 30 米,AM = x 米,

健身场地每平方米的造价为

37k 元,再把矩形 AMPN 以外(阴影部分) S

B

铺上草坪,每平方米的造价为

12k 元( k 为正常数). S
N P

(1)试用 x 表示 S ,并求 S 的取值范围; (2)求总造价 T 关于面积 S 的函数 T ? f (S ) ; (3)如何选取 | AM | ,使总造价 T 最低(不要求求出最低造价).

A

M

C

23. (本题满分 18 分)共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满 分 8 分. 已知 M 是满足下列性质的所有函数 f ( x ) 组成的集合:对于函数 f ( x ) ,使得对函数 f ( x ) 定 义域内的任意两个自变量 x1、x2 ,均有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 成立.

? 1 1? (1)已知函数 f ? x ? ? x 2 ? 1 , x ? ? ? , ? ,判断 f ? x ? 与集合 M 的关系,并说明理由; ? 2 2?
(2)已知函数 g ( x) ? ax ? b ? M ,求实数 a , b 的取值范围; (3)是否存在实数 a ,使得 p ( x ) ? 范围,若不存在,请说明理由.

a , x ???1 , ? ?? 属于集合 M ?若存在,求 a 的取值 x?2

高一年级 数学学科参考答案 (考试时间:120 分钟 满分:150 分)

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 3 2. 如果 a ? b 不是偶数, 那么 a , b 不都是奇数 3.x ( x ? ?3) 7. ??1,1, ? ? 4. [?4,14] 10. (?2,3) 5. 3

6. {3,5}

? ?

5? 4?

8. ??1, 0 , 2?

9. b, ab ?

?

?

11. ? 2, 4 ?

12.

? ?1, 2?

13.

9 2

14. (1) (2) (4)

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结 论,其中有且只有一个结论是正确的.必须用 2B 铅笔将正确结论的代号涂黑,选对得 5 分, 不选、选错或者选出的代号超过一个,一律得零分. 15. B 16. D 17. C 18. B

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤,答题 务必写在答题纸上规定位置. 19. (本题满分 12 分) 解: (1)当 m ? 0 时,原不等式可化为 ? x ? 2 ? 0 ,即 x ? 2 ; (2)当 m ? 0 时,分两种情形: ① 当 m ? 0 时,原不等式化为 (mx ? 1)( x ? 2) ? 0 ,即 ( x ? ??????2 分

1 )( x ? 2) ? 0 ; m



1 1 1 ? 2 时,即 0 ? m ? 时,不等式的解集为 (??, 2) ? ( , ??) ; ??????4 分 m 2 m 1 1 1 ? 2 时,即 m ? 时,不等式的解集为 (??, ) ? (2, ??) ; m 2 m 1 1 ? 2 时,即 m ? 时,不等式的解集为 (??, 2) ? (2, ??) ; m 2 1 )( x ? 2) ? 0 ; m
??????6 分





??????8 分

② 当 m ? 0 时,原不等式化为 ( x ?

显然

1 1 ? 2 ,不等式的解集为 ( , 2) ; m m

??????10 分

综上所述:当 m ? 0 时,解集为 (??, 2) ; 当0 ? m ?

1 1 时,解集为 (??, 2) ? ( , ??) ; 2 m

当m ?

1 1 时,解集为 ( ??, ) ? (2, ??) ; 2 m 1 , 2) . m
??????12 分

当 m ? 0 时,解集为 (

20. (本题满分 14 分)共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 解: (1) A ? (??, ?2] ? (?1,3] , 当 a ? 1 ? 0 时,即 a ? ?1 时, B ? ? ; ??????3 分 ??????5 分

当 a ? 1 ? 0 时,即 a ? ?1 时, B ? x ?3a ? 1 ? x ? ?a ? 1 ; ??????7 分 (2)? A ? B ? B

?

?

?B ? A,

??????9 分 ??????11 分

当 a ? ?1 时, B ? ? 满足题意; 当 a ? ?1 时, B ? x ?3a ? 1 ? x ? ?a ? 1 ;

?

?

?a ? 1 ? ?2 或 ?

??1 ? ?3a ? 1 , ??a ? 1 ? 3
??????13 分 ??????14 分

解得, a ? 3 或 ?1 ? a ? 0 ; 综上所述, a ? ? ??,0? ? ?3, ??? .

21.(本题满分 14 分)共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满 分 5 分. 解: (1) B ? {2,3} , C ? {?4, 2} , 由题意得, A ? B ? {2,3} ,

?a ? 2 ? 3 , ? 2 ?a ? 19 ? 2 ? 3
?a ? 5;
(2)由题意得, 3 ? A , 所以 a ? 5 或 a ? ?2 , 当 a ? 5 时, A ? {2,3} ,不符合题意,舍去; 当 a ? ?2 时, A ? {?5,3} ,满足题意; 所以 a ? ?2 ; (3)由题意得, A ? B ? A ? C ? {2} , 所以 a ? 5 或 a ? ?3 , 当 a ? 5 时, A ? {2,3} ,不符合题意,舍去; 当 a ? ?3 时, A ? {?5, 2} ,满足题意; 所以 a ? ?3 . ??????14 分 ??????12 分 ??????9 分 ??????7 分 ??????4 分

22. (本题满分 16 分)共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满 分 6 分. 解: (1)在 Rt ?PMC 中,显然 | MC |? 30 ? x , ?PCM ? 60? ,

? | PM |?| MC | ? tan?PCM ? 3(30 ? x) ,
矩形 AMPN 的面积 S ?| PM | ? | MC |? 3x(30 ? x) , ??????2 分 ??????3 分 ??????5 分 ??????7 分

x ?[10, 20]
于是 200 3 ? S ? 225 3 为所求. (2) 矩形 AMPN 健身场地造价 T1 ? 37k S , 又 ?ABC 的面积为 450 3 ,即草坪造价 T2 ? 分

12k (450 3 ? S ) , ??????9 S

由总造价 T ? T1 ? T2 ,? T ? 25k ( S ?

216 3 ) , 200 3 ? S ? 225 3 . S
??????10 分

(3)? S ?

216 3 ? 12 6 3 , S 216 3 即 S ? 216 3 时等号成立, S

??????13 分

当且仅当 S ?

此时 3x(30 ? x) ? 216 3 ,解得 x ? 12 或 x ? 18 , 答:选取 | AM | 的长为 12 米或 18 米时总造价 T 最低. 分

??????15 分 ? ? ? ? ? ? 16

23. (本题满分 18 分)共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满 分 8 分. 解: (1)任取 x1 , x2 ? ? ? ∵ ? ? x1 , x2 ?

? 1 1? , ? , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x12 ? x2 2 ? x1 ? x2 x1 ? x2 ? 2 2?
∴ ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ∴ 0 ? x1 ? x2 ? 1

1 2

1 2

∴ x1 ? x2 x1 ? x2 ? x1 ? x2 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 成立, f ? x ? 属于集合 M (2)∵ g ( x) ? ax ? b ? M , ∴使得任意 x1、x2 ? R ,均有 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? x1 ? x2 成立. 即存在 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? a x1 ? x2 ? x1 ? x2 ∴? ??????4 分

??1 ? a ? 1 ?b ? R

??????10 分

(3)若 p( x) ? M ,则 p( x1 ) ? p( x2 ) ? x1 ? x2 对任意的 x1、x2 ???1, ??? 都成立. 即

a a ? ? x1 ? x2 x1 ? 2 x2 ? 2

∴ a ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ∴ a ? 1 , ?1 ? a ? 1

∵ x1、x2 ???1, ??? ∴ ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 1 ∴当 a ???1,1? 时, p( x) ? M ; 当 a ?? ??, ?1? ? ?1, ??? 时, p( x) ? M .

??????18 分


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