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高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第讲函数的单调性与最值习题(新)-课件


2017 高考数学一轮复习 第二章 函数、 导数及其应用 第 2 讲 函数的 单调性与最值习题
A 组 基础巩固 一、选择题 1.(2014·北京理)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是 导学号 25400202 ( ) A.y= x+1 C.y=2
-x

B.y=(x-1)

2

D.y

=log0.5(x+1)

[答案] A [解析] A 项,函数 y= x+1在[-1,+∞)上为增函数,所以函数在(0,+∞)上为增 函数,故正确;B 项,函数 y=(x-1) 在(-∞,1)上为减函数,在[1,+∞)上为增函数, 1 x -x 故错误;C 项, 函数 y=2 =( ) 在 R 上为减函数, 故错误; D 项,函数 y=log0.5(x+1)在(- 2 1,+∞)上为减函数,故错误. 2.已知函数 f(x)=2ax +4(a-3)x+5 在区间(-∞,3)上是减函数,则 a 的取值范围 是 导学号 25400203 ( 3 A.(0, ) 4 3 C.[0, ) 4 [答案] D [解析] 当 a=0 时,f(x)=-12x+5,在(-∞,3)上是减函数, ) 3 B.(0, ] 4 3 D.[0, ] 4
2 2

a>0, ? ? 当 a≠0 时,由? 4?a-3? ≥3, ?- 4a ?
3 综上 a 的取值范围是 0≤a≤ . 4

3 得 0<a≤ , 4

1 2 3.函数 f(x)=log (x -4)的单调递增区间是 导学号 25400204 ( 2 A.(0,+∞) C.(2,+∞) [答案] D B.(-∞,0) D.(-∞,-2)

)

1 [解析] 因为 y=log t 在定义域上是减函数, 所以求原函数的单调递增区间, 即求函数 2
1

t=x2-4 的单调递减区间,结合函数的定义域,可知所求区间为(-∞,-2).
1 4 . 已 知 f(x) 为 R 上 的 减 函 数 , 则 满 足 f( ) > f(1) 的 实 数 x 的 取 值 范 围 是

x

导学号 25400205 ( A.(-∞,1)

) B.(1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

C.(-∞,0)∪(0,1) [答案] D 1 x-1 [解析] 依题意得 <1,即 >0,

x

x

所以 x 的取值范围是 x>1 或 x<0. 5.(2015·山西太原模拟)已知 f(x)=x -cosx,则 f(0.6),f(0),f(-0.5)的大小关 系是 导学号 25400206 ( ) B.f(0)<f(-0.5)<f(0.6) D.f(-0.5)<f(0)<f(0.6)
2

A.f(0)<f(0.6)<f(-0.5) C.f(0.6)<f(-0.5)<f(0) [答案] B

[解析] ∵f(-x)=(-x) -cos(-x)=x -cosx=f(x), ∴f(x)是偶函数. ∴f(-0.5)=f(0.5). 又∵f ′(x)=2x+sinx,当 x∈(0,1)时,f ′(x)>0. ∴f(x)在(0,1)上是增函数, ∴f(0)<f(0.5)<f(0.6), 即 f(0)<f(-0.5)<f(0.6),故选 B. 6.(2015·福建福州一模)如果函数 f(x)对任意的实数 x,都有 f(1+x)=f(-x),且当

2

2

x≥ 时 , f(x) = log2(3x - 1) , 那 么 函 数 f(x) 在 [ - 2,0] 上 的 最 大 值 与 最 小 值 之 和 为
导学号 25400207 ( A.2 C.4 [答案] C 1 [分析] 由 f(1+x)=f(-x)得函数 f(x)关于 x= 对称, 进而求得 f(x)在各区间的单调 2 性,可得函数 f(x)的最大值与最小值. 1 [解析] 根据 f(1+x)=f(-x), 可知函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称. 又函数 f(x) 2 ) B.3 D.-1

1 2

2

1 1 在[ ,+∞)上单调递增,故 f(x)在(-∞, ]上单调递减,则函数 f(x)在[-2,0]上的最大 2 2 值与最小值之和为 f(-2)+f(0)=f(1+2)+f(1+0)=f(3)+f(1)=log28+log22=4. 二、填空题 7 . 函 数 f(x) = ( ________. 导学号 25400208 [答案] 3 1 x [解析] 由于 y=( ) 在 R 上单调递减, y=log2(x+2)在[-1,1]上递增, 所以 f(x)在[- 3 1,1]上单调递减,故 f(x)在[-1,1]上的最大值为 f(-1)=3. 1,x>0, ? ? 8. (2015·四川成都高三月考)已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?-1,x<0, 函数 g(x)的递减区间是________. 导学号 25400209 [答案] [0,1) 1 x ) - log2(x + 2) 在 区 间 [ - 1,1] 上 的 最 大 值 为 3

g(x)=x2f(x-1), 则

x ,x>1, ? ? [解析] 由条件知 g(x)=?0,x=1, ? ?-x2,x<1.
其函数图象如图所示,其递减区间是[0,1).

2

9.已知函数 f(x)=

x2+a (a>0)在(2,+∞)上为单调递增函数,则实数 a 的取值范围 x

为________. 导学号 25400210 [答案] (0,4] [解析] 方法一(定义法):在区间(2,+∞)上任取 x1,x2,且 x1<x2,则

x2 x2 1+a 2+a f(x1)-f(x2)= - x1 x2
=(x1+ )-(x2+ ) =(x1-x2)+( - )

a x1

a x2

a a x1 x2

3

=(x1-x2)+

a?x2-x1? x1x2 a ). x1x2

=(x1-x2)(1-

∵f(x)在(2,+∞)上为增函数, ∴(x1-x2)(1-

a )<0. x1x2

又 x1<x2,即 x1-x2<0, ∴

a <1,即 a<x1x2. x1x2

∵x1,x2∈(2,+∞),且 x1<x2, ∴x1·x2>4. ∴a≤4.又 a>0, ∴a 的取值范围为(0,4]. 方法二(导数法): f(x)=x+ ,f ′(x)=1- 2≥0, 由题意知 f(x)≥0 在(2,+∞)上恒成立, ∴a≤x ,∴0<a≤4. 10.已知函数 f(x)=e
|x-a| 2

a x

a x

(a 为常数).若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则 a 的取

值范围是________. 导学号 25400211 [答案] (-∞,1] [分析] 思路一:先求出 f(x)的单调增区间,再根据已知条件找出已知区间与单调区间 的关系,求字母的范围;思路二:求出 f(x)的导数,利用 f ′(x)≥0 在[1,+∞)上恒成立, 求 a 的范围. [解析] 方法一:∵f(x)=e
|x-a|

?e ?x≥a?, ? =? -x+a ? ?x<a?, ?e

x-a

∴f(x)在[a,+∞)上为增函数, 则[1,+∞)? [a,+∞),∴a≤1. 方法二:∵f(x)=e
|x-a|

?e ?x≥a?, ? =? -x+a ?e ?x<a?, ?

x-a

当 x≥a 时, f(x)=e 由题意知 f ′(x)=e

x-a

,f ′(x)=e

x-a

.

x-a

≥0 在[1,+∞)上是恒成立的,此结论显然成立.∴a≤xmin,∴

a≤1.
当 x<a 时,f ′(x)=-e 综上所述,a≤1.
4
x-a

<0 恒成立,不符合题意.

三、解答题 11.已知 f(x)=

x

x-a

(x≠a). 导学号 25400212

(1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围. [答案] (1)略 (2)(0,1] [解析] (1)证明:任取 x1<x2<-2, 则 f(x1)-f(x2)=

x2 2?x1-x2? - = . x1+2 x2+2 ?x1+2??x2+2?

x1

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)解:任设 1<x1<x2,则

x1 x2 a?x2-x1? f(x1)-f(x2)= - = . x1-a x2-a ?x1-a??x2-a?
∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1.综上所述,a 的取值 范围是(0,1]. 12.已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f( )=f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,

x1 x2

f(x)<0. 导学号 25400213
(1)求 f(1)的值; (2)证明:f(x)为单调递减函数; (3)若 f(3)=-1,求 f(x)在[2,9]上的最小值. [答案] (1)0 (2)略 (3)-2

[解析] (1)令 x1=x2>0, 代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0, 故 f(1)=0. (2)证明:任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2, 则 >1,由于当 x>1 时,f(x)<0, 所以 f( )<0,即 f(x1)-f(x2)<0, 因此 f(x1)<f(x2), 所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.

x1 x2

x1 x2

5

(3)∵f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为 f(9). 由 f( )=f(x1)-f(x2)得,

x1 x2

f( )=f(9)-f(3),
而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为-2. B 组 能力提升 1.(2015~2016 学年重庆市南开中学高三月考试题)函数函数 y=3x -2x 的单调递增区 间为 导学号 25400214 ( A.(-∞,1) C.(1,+∞) [答案] C [解析] 可以看出原函数是由 y=3 和 t=x -2x 复合而成的复合函数, y=3 为增函数, 从而 t=x -2x 的增区间便是原函数的增区间,从而求二次函数 t=x -2x 的增区间即可. 令 x -2x=t,y=3 为增函数; ∴t=x -2x 的单调递增区间为原函数的单调增区间; ∴原函数的单调递增区间为(1,+∞). 故选:C. [点拨] 考查复合函数的单调性,以及指数函数、二次函数的单调性,清楚复合函数是 由哪两个函数复合而成的. 1 2.设函数 f(x)=2x+ -1(x<0),则 f(x) 导学号 25400215 (
2 2 2 2 2

9 3

) B.(-∞,-1) D.(3,+∞)

t

2

t

t

x

)

A.有最大值 C.是增函数 [答案] A

B.有最小值 D.是减函数

1 1 [解析] 当 x<0 时,-x>0,-(2x+ )=(-2x)+(- )≥2

x

x

1 ?-2x?·?- ?=

x

1 1 1 2 2,即 2x+ ≤-2 2,2x+ -1≤-2 2-1,即 f(x)≤-2 2-1,当且仅当-2x=- ,

x

x

x

即 x=-

2 时取等号,此时函数 f(x)有最大值,选 A. 2

x-y 3.(2015·辽宁联考)定义在区间(-1,1)上的函数 f(x)满足:f(x)-f(y)=f( ), 1-xy

6

x∈(-1,0)时 f(x)>0.若 P=f( )+f( ),Q=f( ),R=f(0),则 P,Q,R 的大小关系为
导学号 25400216 ( A.R>Q>P C.P>R>Q [答案] B [解析] 令 x=y=0 得 f(0)=0,令 x=0 得 f(-y)=-f(y),所以 f(x)为奇函数.由 x ∈(-1,0)时 f(x)>0 知:x∈(0,1)时 f(x)<0.令 x1,x2∈(0,1)且 x2>x1,则 f(x2)-f(x1) ) B.R>P>Q D.Q>P>R

1 5

1 7

1 2

x2-x1 x2-x1 =f( ),又 x2-x1-(1-x1x2)=(x1+1)(x2-1)<0,x2-x1>0,1-x1x2>0,所以 1-x2x1 1-x2x1
∈(0,1),故 f(

x2-x1 1 )<0,即 f(x2)<f(x1),从而 f(x)在(0,1)上单调递减.又 P=f( )- 1-x2x1 5

1 1 + ? ? 5 7 1 1 1 1 f(- )=f? =f( ), > >0,所以 Q<P<R,故选 B. 1 1? 7 3 2 3 1+ × ? 5 7? 2 2-x +ln ? ?x+3 2+x,-2<x≤1 4.已知 f(x)的定义域为(-2,2),且 f(x)=? 2 -4x -5x+ ,1<x<2 ? ? 3
2

,如果 f

2 [x(x+1)]< ,那么 x 的取值范围是 导学号 25400217 ( 3 A.-2<x<-1 或 0<x<1 5 C.-2<x<- 4 [答案] A [解析] 依题意得,函数 y= 数(注: 函数 y= 2 2

)

B.x<-1 或 x>0 D.-1<x<0

x+3

2-x 2 4 +ln = +ln(-1+ )在(-2,1]上是减函 2+x x+3 2+x

x+3

4 2 2 , y=ln(-1+ )在(-2,1]上均是减函数); 函数 y=-4x -5x+ 在 2+x 3

2 2-1 1 2 2 (1,2)上是减函数,且 +ln = -ln3>-4×1 -5×1+ ,因此函数 f(x)在(-2,2) 1+3 2+1 2 3 2 2 上是减函数,且 f(0)= ,于是不等式 f[x(x+1)]< =f(0)等价于 0<x(x+1)<2,解得- 3 3 2<x<-1 或 0<x<1,选 A. 5.(2015·内蒙古巴彦淖尔第一中学 10 月月考)已知函数 f(x)=x +mx+n 的图象过点 (1,3),且 f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立,函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于原
2

7

点对称. 导学号 25400218 (1)求 f(x)与 g(x)的解析式; (2)若 F(x)=g(x)-λ f(x)在[-1,1]上是增函数,求实数 λ 的取值范围. [答案] (1)f(x)=x +2x,g(x)=-x +2x (2)λ ≤0 [解析] (1)因为 f(1)=1+m+n=3,所以 m+n=2. 因为 f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立,所以 f(0)=n=f(-2)=4-2m+n,解 得 m=2,n=0,所以 f(x)=x +2x.因为函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于原点对称,所以
2 2 2

g(x)=-x2+2x.
(2)因为 F(x)=g(x)-λ f(x)在[-1,1]上是增函数, 所以 F′(x)=(-2-2λ )x+2-2λ 在[-1,1]上非负.
?-2?1+λ ?>0, ? 所以? ??-2-2λ ??-1?+2-2λ ≥0 ? ? ?-2?1+λ ?<0, ? ??-2-2λ ?+2-2λ ≥0 ?



? ?-2?1+λ ?=0, 或? ?2-2λ ≥0, ?

解得 λ ≤0.

6 . (2015· 浙 江 金 华 艾 青 中 学 上 学 期 期 中 ) 已 知 a ∈ R , 函 数 f(x) = x|x -

a|. 导学号 25400219
(1)当 a=2 时,写出函数 y=f(x)的单调递增区间; (2)当 a>2 时,求函数 y=f(x)在区间[1,2]上的最小值; (3)设 a≠0,函数 f(x)在(m,n)上既有最大值又有最小值,请分别求出 m,n 的取值范围 (用 a 表示). [答案] (1)(-∞,1]和[2,+∞)
?2a-4,2<a≤3, ? (2)f(x)min=? ?a-1,a>3. ?

(3)当 a>0 时,0≤m< ,a<n≤ 2

a

2+1 a; 2

1+ 2 a 当 a<0 时, a≤m<a, <n≤0 2 2 [分析] 明定义 — 明确二次函数的表达式、对称轴和定义域 ↓ 定最值 — 利用分类讨论思想,确定函数的最值 ↓

8

求最值 — 代入函数解析式求出最值 [解析] (1)当 a=2 时,f(x)=x|x-2|=? 增区间为(-∞,1]和[2,+∞). (2)因为 a>2,x∈[1,2], 所以 f(x)=x(a-x)=-x +ax=-(x- ) + . 2 4
2

?x?x-2?,x≥2, ? ?x?2-x?,x<2. ?

由图象可知,单调递

a

2

a2

a 3 当 1< ≤ ,即 2<a≤3 时,f(x)min=f(2)=2a-4; 2 2 a 3 当 > ,即 a>3 时,f(x)min=f(1)=a-1. 2 2
?2a-4,2<a≤3, ? f(x)min=? ? ?a-1,a>3.

(3)f(x)=?

? ?x?x-a?,x≥a, ?x?a-x?,x<a. ?

①当 a>0 时,图象如图(1)所示.

a ? ?y= , 4 由? ? ?y=x?x-a?,

2

? 2+1?a a 2+1 得 x= ,∴0≤m< ,a<n≤ a. 2 2 2

②当 a<0 时,图象如图(2)所示.

a ? ?y=- , 4 由? ? ?y=x?a-x?,

2

?1+ 2? 1+ 2 a 得 x= a,∴ a≤m<a, <n≤0. 2 2 2

9


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