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2015-2016学年江西省宜春市高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学 年 江 西 省 宜 春 市 高 二 (上) 期末数学试卷 (文 科)
一 、 选 择 题 ( 每 小 题 5 分 , 共 12 小 题 , 总 分 60 分 , 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1 . 已 知 集 合 A={x |log 2 x < 1} , B={x ||x ﹣ 1 | < 1} , 则 A ∪ B= ( ) A. 3 B 1 2 C 0 3 D 0 2 ∞ (﹣ , ) . ( , ) . ( , ) . ( , ) 2 . 设 S n 是 等 差 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 , 若 a 1 +a 3 +a 5 =3 , 则 S 5 = ( ) A . 5 B . 7 C . 9 D . 11 3. 若 a, b, c∈R, 且 a> b, 则 下 列 不 等 式 一 定 成 立 的 是 ( ) A . a+c ≥ b ﹣ c B . ac > bc C . > 0 D. ( a﹣ b) c2≥0

4. 双 曲 线

的焦点到渐近线的距离为(



A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5 . 已 知 命 题 P : ? x ∈ R , ax 2 +2x+3 ≤ 0 , 则 a > 是命题¬p 为真命题的( )

A. 充 分 而 不 必 要 条 件 B. 必 要 而 不 充 分 条 件 C. 充 分 必 要 条 件 D. 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 6 .设 △ ABC 的 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c ,且 sinA : sin B : sinC=2 : 3 : 4 , 则 cosC 的 值 为 ( ) A. ﹣ B. C. ﹣ D.

7. 设 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件

则 目 标 函 数 z=2x+4 y 的 最 大 值 为

( ) A . 10 B . 12 C . 13 D . 14 8 . 设 函 数 f ( x ) =e x sinx , x ∈ [0 , π ] , 则 ( A . x= C . x= 为 f ( x ) 的 极 小 值 点 B . x= 为 f ( x ) 的 极 小 值 点 D . x=



为 f( x) 的 极 大 值 点 为 f( x) 的 极 大 值 点

9. 已 知 ⊙A1: ( x+2 ) 2 +y 2 =12 和 点 A 2 ( 2 , 0 ) , 则 过 点 A2 且 与 ⊙A1 相 切 的 动圆圆心 P 的轨迹方程为( ) A. ﹣ y 2 =1 B . + y 2 =1 C . x 2 ﹣ y 2 =2 D . + =1

10 .设 a > 0 , b > 0 ,若 A. 6 B. C. 8 D. 9

是 3 a 和 3 b 的 等 比 中 项 ,则

的 最 小 值 为(



11 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) =3x ﹣ sinx , 则 不 等 式 f (

) +f ( ﹣ 1 ) <

0 的解集是( ) A. ( ﹣ ∞, 0) B. ( 1, +∞) C. ( ﹣ ∞ , 0 ) ∪( 0 , 1 ) D . ( ﹣ ∞, 0) ∪ ( 1, +∞) 12 . 已 知 抛 物 线 y 2 =4x , 过 其 焦 点 F 的 直 线 与 抛 物 线 交 于 A , B 两 点 , 过 A , B 分 别 作 y 轴 的 垂 线 , 垂 足 分 别 为 C , D , 则 |AC |+ |BD | 的 最 小 值 为 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二 、 填 空 题 ( 每 小 题 5 , 共 4 小 题 , 总 分 20 分 ) 13 . 若 关 于 x 的 不 等 式 ax 2 ﹣ 6x+a 2 < 0 的 解 集 是 ( 1 ,m ) ,则 m= 14 . 设 △ ABC 的 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c . 若 a= C= , 则 b= . , sinB= ,



15 . 已 知 数 列 {a n } 满 足 a 1 =0 , a n + 1 ﹣ a n =10 ﹣ 3n ( n ∈ N * ) , 则 an 的 最 大 值 为 . 16 .椭 圆 + =1( a > b > 0 )的 一 个 焦 点 为 F 1 ,若 椭 圆 上 存 在 一 个 点 P ,满

足 以 椭 圆 短 轴 为 直 径 的 圆 与 线 段 P F1 相 切 于 该 线 段 的 中 点 , 则 椭 圆 的 离 心 率 为 . 三 、 解 答 题( 本 大 题 共 6 小 题 , 共 70 分 ,解 答 写 出 必 要 的 文 字 说 明 ,证 明 过 程及演算步骤) 17 . △ ABC 的 内 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c . 向 量 = ( a , b) 与 = ( cosA , sinB ) 平 行 . ( Ⅰ) 求 A ; ( Ⅱ) 若 a= , b=2 , 求 △ ABC 的 面 积 . 18 .已 知 命 题 p :不 等 式 |x ﹣ 1 |+ |x+2 | > k 2 ﹣ 2 k 对 于 任 意 x 恒 成 立 ;命 题 q : (k 2 2 ﹣ 2) x +( k﹣ 4) y =1 表 示 双 曲 线 . 若 p 或 q 为 真 , p 且 q 为 假 , 求 k 的 取 值范围. 19 . 已 知 函 数 f ( x ) = , g ( x ) =x .

( 1 ) 若 存 在 x ∈ [0 , + ∞ ) , 使 得 f( x) ≥g( x) 成 立 , 求 实 数 a 的 取 值 范 围 ; ( 2 ) 在 a > 0 的 条 件 下 , 若 函 数 h ( x ) =f ( x ) +g ( x ) 在 区 间 [0 , + ∞ ) 上 有 最 小 值 为 2, 求 a 的 值 . 20 . 已 知 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 S n =n 2 ( n ∈ N * ) . ( 1) 求 数 列 { ( 2) 设 bn= }的 前 10 项 和 T10; , 求 数 列 {b n } 的 前 n 项 和 G n .

21 . 已 知 椭 圆 C 的 焦 点 坐 标 为 F 1( ﹣ 1 , 0 ) , F 2( 1 , 0 ) , 过 F2 且 垂 直 于 长 轴 的 直 线 交 椭 圆 C 于 P , Q 两 点 , 且 |P Q |=3 . ( 1) 求 椭 圆 C 的 方 程 ; ( 2)若 在 y 轴 上 的 截 距 为 2 的 直 线 l 与 椭 圆 C 分 别 交 于 M,N 两 点 , O 为 坐 标 原 点 , 且 直 线 OM , ON 的 斜 率 之 和 为 1 , 求 直 线 l 的 斜 率 . 22 . 已 知 函 数 f ( x ) = x ﹣ alnx ( a ∈ R ) . ( 1 ) 当 a=2 时 , 求 曲 线 y=f ( x ) 在 点 A ( 1 , f ( 1 ) )处的切线方程; ( 2) 若 对 于 x∈( 1, +∞) , f( x) > 0 恒 成 立 , 求 实 数 a 的 取 值 范 围 .

2015-2016 学 年 江 西 省 宜 春 市 高 二 ( 上 ) 期 末 数 学 试卷(文科)
参考答案与试题解析

一 、 选 择 题 ( 每 小 题 5 分 , 共 12 小 题 , 总 分 60 分 , 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1 . 已 知 集 合 A={x |log 2 x < 1} , B={x ||x ﹣ 1 | < 1} , 则 A ∪ B= ( ) A. ( ﹣ ∞, 3) B. ( 1, 2) C. ( 0, 3) D. ( 0, 2) 【考点】并集及其运算. 【 分 析 】分 别 求 出 A 与 B 中 不 等 式 的 解 集 确 定 出 A 与 B ,找 出 两 集 合 的 并 集 即可. 【 解 答 】 解 : 由 A 中 不 等 式 变 形 得 : log 2 x < 1=log 2 2 , 解 得 : 0 < x < 2 , 即 A= ( 0 , 2 ) , 由 B 中 不 等 式 变 形 得 : ﹣ 1< x﹣ 1< 1, 解 得 : 0 < x < 2 , 即 B= ( 0 , 2 ) , 则 A ∪ B= ( 0 , 2 ) , D 故选: . 2 . 设 S n 是 等 差 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 , 若 a 1 +a 3 +a 5 =3 , 则 S 5 = ( A . 5 B . 7 C . 9 D . 11 【考点】等差数列的前 n 项和. )

【 分 析 】 由 等 差 数 列 {a n } 的 性 质 , 及 a 1 +a 3 +a 5 =3 , 可 得 3a 3 =3 , 再 利 用 等 差 数 列的前 n 项和公式即可得出. 【 解 答 】 解 : 由 等 差 数 列 {a n } 的 性 质 , 及 a 1 +a 3 +a 5 =3 , ∴ 3a 3 =3 , ∴ a 3 =1 , ∴S5= 故 选 : A. 3. 若 a, b, c∈R, 且 a> b, 则 下 列 不 等 式 一 定 成 立 的 是 ( A . a+c ≥ b ﹣ c B . ac > bc C . > 0 D. ( a﹣ b) c2≥0 ) =5a 3 =5 .

【考点】两角和与差的正弦函数;正弦定理. 【 分 析 】 A 、 令 a= ﹣ 1 , b= ﹣ 2 , c= ﹣ 3 , 计 算 出 a+c 与 b ﹣ c 的 值 , 显 然 不 成 立; B 、 当 c=0 时 , 显 然 不 成 立 ; C 、 当 c=0 时 , 显 然 不 成 立 ; D、 由 a 大 于 b, 得 到 a﹣ b 大 于 0, 而 c2 为 非 负 数 , 即 可 判 断 此 选 项 一 定 成 立.

【 解 答 】 解 : A 、 当 a = ﹣ 1 , b= ﹣ 2 , c= ﹣ 3 时 , a+c= ﹣ 4 , b ﹣ c=1 , 显 然 不 成 立,本选项不一定成立; B 、 c=0 时 , ac=bc , 本 选 项 不 一 定 成 立 ; C 、 c=0 时 , =0 , 本 选 项 不 一 定 成 立 ;

D 、 ∵ a ﹣ b > 0 , ∴( a ﹣ b ) 2 > 0 , 又 c 2 ≥ 0 , ∴( a ﹣ b ) 2 c ≥ 0 , 本 选 项 一 定 成 立 , 故选 D

4. 双 曲 线

的焦点到渐近线的距离为(



A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程,再代入点到直线的距离 公式即可求出结论. 【解答】解:由 可 知 a=4 , b=3 , c=5 ,

∴其 中 一 个 焦 点 为 ( 5 , 0 ) , 一条渐近线方程为 ,

所以 故 选 B.



5 . 已 知 命 题 P : ? x ∈ R , ax 2 +2x+3 ≤ 0 , 则 a > A. 充 分 而 不 必 要 条 件 B. 必 要 而 不 充 分 条 件 C. 充 分 必 要 条 件 D. 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件

是命题¬p 为真命题的(



【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【 分 析 】 命 题 P : ? x ∈ R , ax 2 +2x+3 ≤ 0 , 可 得 ¬ P : ? x ∈ R , ax 2 +2x+3 > 0 , 于 是 ,解得 a 即可得出. 【 解 答 】 解 : 命 题 P : ? x ∈ R , ax 2 +2x+3 ≤ 0 , 则 ¬ P : ? x ∈ R , ax 2 +2x+3 > 0 , 可得 ,解得 a .

则 a>

是命题¬p 为真命题的充要条件.

故 选 : C. 6 .设 △ ABC 的 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c ,且 sinA : sin B : sinC=2 : 3 : 4 , 则 cosC 的 值 为 ( ) A. ﹣ B. C. ﹣ D.

【考点】正弦定理;余弦定理. 【 分 析 】 由 正 弦 定 理 可 得 a : b : c=2 : 3 : 4 , 进 而 可 用 b 表 示 a , c , 代 入 余 弦定理化简可得. 【 解 答 】 解 : 在 △ ABC 中 , ∵ sinA : sinB : sinC=2 : 3 : 4 , ∴由 正 弦 定 理 可 得 a : b : c=2 : 3 : 4 , ∴ a= , c= ,

由 余 弦 定 理 可 得 c osC=

=

=﹣



故 选 : A.

7. 设 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件

则 目 标 函 数 z=2x+4 y 的 最 大 值 为

( ) A . 10 B . 12 C . 13 D . 14 【考点】简单线性规划的应用. 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,只需求出直 线 z=2x+4 y 过 区 域 内 某 个 顶 点 时 , z 最 大 值 即 可 .

【解答】解析:先画出约束条件

的可行域,如图,

得到当 故 选 C.

时 目 标 函 数 z=2x+4 y 有 最 大 值 为 ,



8 . 设 函 数 f ( x ) =e x sinx , x ∈ [0 , π ] , 则 (



A . x= C . x=

为 f ( x ) 的 极 小 值 点 B . x= 为 f ( x ) 的 极 小 值 点 D . x=

为 f( x) 的 极 大 值 点 为 f( x) 的 极 大 值 点

【考点】利用导数研究函数的极值. 【 分 析 】 求 导 , 利 用 辅 助 角 公 式 整 理 得 f′( x) = e x sin ( x+ ) ,根据三角

函 数 性 质 求 得 f ( x ) 在 [0 , π ] 单 调 性 , 由 极 值 定 义 即 可 求 得 f ( x ) 的 极 值 . 【 解 答 】 解 : ∵ f ( x ) =e x sinx , ∴ f ′ ( x ) =e x ( sinx+co sx ) = 由 f ′ ( x ) ≤ 0 , sin ( x+ ∴ 2k π + π≤ x+ e x sin ( x+ ) ,

) ≤0, ≤ x ≤ 2k π + ,

≤ 2k π +2 π , 即 2k π +

∵ x ∈ [0 , π ] , x ∈ [0 , ∴ x=

]单 调 递 增 , x∈[

, π]是 单 调 递 减 ,

为 f( x) 取 极 大 值 点 .

故 答 案 选 : D. 9. 已 知 ⊙A1: ( x+2 ) 2 +y 2 =12 和 点 A 2 ( 2 , 0 ) , 则 过 点 A2 且 与 ⊙A1 相 切 的 动圆圆心 P 的轨迹方程为( ) A. ﹣ y 2 =1 B . + y 2 =1 C . x 2 ﹣ y 2 =2 D . + =1

【考点】轨迹方程. 【 分 析 】 根 据 动 圆 圆 心 P 过 点 A2 且 与 ⊙A1 相 切 可 得 到 动 圆 圆 心 在 运 动 中 所 应满足的几何条件,然后将这个几何条件坐标化,即得到它的轨迹方程. 【 解 答 】 解 : 根 据 题 意 有 ||PA 1 | ﹣ |PA 2 ||=2 < |A 1 A 2 |=4 , ∴点 P 的 轨 迹 是 以 A 1 ( ﹣ 2 , 0 ) , A 2 ( 2 , 0 ) 为 焦 点 , 实 轴 长 为 2 a=2 的 双 曲线, ∴ b= =1 , ﹣ y 2 =1 .

∴点 P 的 轨 迹 方 程 为 故 选 : A.

10 .设 a > 0 , b > 0 ,若 A. 6 B. C. 8 D. 9

是 3 a 和 3 b 的 等 比 中 项 ,则

的 最 小 值 为(



【考点】基本不等式;等比数列的通项公式.

【 分 析 】 由 等 比 中 项 的 概 念 得 到 a+b=1 , 则 1 用 a+b 替 换 后 利 用 基 本 不 等 式 可 求

可以看做是 1 乘以

,把

的最小值.

【解答】 解: 由 是 3a 和 3b 的 等 比 中 项 , 所 以 3 a ? 3 b =3 , 即 3 a + b =3 , 所 以 a+b= 1 . 又 a> 0, b> 0, 则 = .

故 选 D.

11 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) =3x ﹣ sinx , 则 不 等 式 f (

) +f ( ﹣ 1 ) <

0 的解集是( ) A. ( ﹣ ∞, 0) B. ( 1, +∞) C. ( ﹣ ∞ , 0 ) ∪( 0 , 1 ) D . ( ﹣ ∞, 0) ∪ ( 1, +∞) 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】求函数的导数判断函数的单调性,利用函数奇偶性和单调性的关系 进行转化求解即可. 【 解 答 】 解 : 函 数 的 导 数 f ′ ( x ) =3 ﹣ co sx > 0 恒 成 立 , 则 函 数 f ( x ) 为 增 函 数, ∵f( x) 是 奇 函 数 , ∴不 等 式 f ( 则 < 1, ) +f ( ﹣ 1 ) < 0 等 价 为 f ( ) < ﹣ f( ﹣ 1) =f( 1) ,

即 x< 0 或 x> 1, 故 不 等 式 的 解 集 为 ( ﹣ ∞ , 0 ) ∪( 1 , + ∞ ) , 故 选 : D. 12 . 已 知 抛 物 线 y 2 =4x , 过 其 焦 点 F 的 直 线 与 抛 物 线 交 于 A , B 两 点 , 过 A , B 分 别 作 y 轴 的 垂 线 , 垂 足 分 别 为 C , D , 则 |AC |+ |BD | 的 最 小 值 为 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程,由抛物线的定义,可得 |AC |+ |BD |= |A F|+ |B F| ﹣ 2= |AB | ﹣ 2 , 求 得 |AB | 的 最 小 值 即 可 . 【 解 答 】 解 : 抛 物 线 y 2 =4x 的 焦 点 F ( 1 , 0 ) , 准 线 方 程 为 x= ﹣ 1 , 由 抛 物 线 的 定 义 可 得 , |A F|= |AC |+1 , |B F|= |BD|+1 , 即 有 |AC |+ |BD |= |A F|+ |B F| ﹣ 2 = |AB | ﹣ 2 , 当 直 线 AB ⊥ x 轴 时 , |AB| 最 小 . 令 x=1 , 则 y 2 =4 , 解 得 y= ± 2 , 即 有 |AB | m i n =4 , 则 |AC |+ |BD | 的 最 小 值 为 2 . 故 选 : C.

二 、 填 空 题 ( 每 小 题 5 , 共 4 小 题 , 总 分 20 分 ) 13 . 若 关 于 x 的 不 等 式 ax 2 ﹣ 6x+a 2 < 0 的 解 集 是 ( 1 , m ) , 则 m= 2 . 【考点】一元二次不等式的解法. 【 分 析 】 由 二 次 不 等 式 的 解 集 形 式 , 判 断 出 1, m 是 相 应 方 程 的 两 个 根 , 利 用韦达定理求出 m 的值. 【 解 答 】 解 : ∵ ax 2 ﹣ 6 x+a 2 < 0 的 解 集 是 ( 1 , m ) , ∴a> 0, 1 , m 是 相 应 方 程 ax 2 ﹣ 6x+a 2 =0 的 两 根 , 解 得 m=2 ; 故 答 案 为 : 2.

14 . 设 △ ABC 的 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c . 若 a= C= , 则 b= 1 .

, sinB= ,

【考点】正弦定理;两角和与差的正弦函数. 【 分 析 】 由 sinB= , 可 得 B= 求 b 【 解 答 】 解 : ∵ sinB= , ∴ B= 当 B= 或 B= 时 , a= , C= , A= , 或 B= , 结 合 a= , C= 及正弦定理可

由正弦定理可得, 则 b=1 当 B= 时 , C= ,与三角形的内角和为 π 矛盾

故答案为:1 15 . a n + 1 ﹣ a n =10 ﹣ 3n 已 知 数 列 {a n } 满 足 a 1 =0 , ( n∈N*) , 则 a n 的 最 大 值 为 12 . 【考点】数列递推式. 【 分 析 】 由 已 知 可 得 数 列 {a n } 的 前 4 项 为 递 增 数 列 , 自 第 5 项 起 减 小 , 然 后 再 由 已 知 逐 一 求 得 a4 得 答 案 . 【 解 答 】 解 : 由 a n + 1 ﹣ a n =10 ﹣ 3n > 0 , 得 n ,

∵ n ∈ N * , ∴ n=3 , 即 数 列 {a n } 的 前 4 项 为 递 增 数 列 , 自 第 5 项 起 减 小 , ∴a4 最 大 , ∵ a 1 =0 , a n + 1 ﹣ a n =10 ﹣ 3n ,

∴ a 2 =a 1 +10 ﹣ 3=7 , a 3 =a 2 +10 ﹣ 3 × 2=11 , a 4 =a 3 +10 ﹣ 3 × 3=12 . ∴ a n 的 最 大 值 为 12 . 故 答 案 为 : 12 .

16 .椭 圆

+

=1( a > b > 0 )的 一 个 焦 点 为 F 1 ,若 椭 圆 上 存 在 一 个 点 P ,满

足 以 椭 圆 短 轴 为 直 径 的 圆 与 线 段 P F1 相 切 于 该 线 段 的 中 点 , 则 椭 圆 的 离 心 率 为 .

【考点】椭圆的应用. 【 分 析 】设 以 椭 圆 的 短 轴 为 直 径 的 圆 与 线 段 P F 1 相 切 于 点 M ,连 结 OM 、P F 2 , 利 用 三 角 形 中 位 线 定 理 与 圆 的 切 线 的 性 质 , 证 出 P F 1 ⊥ P F 2 且 |P F 2 |=2b , 然 后 在 Rt △ P F 1 F 2 中 利 用 勾 股 定 理 算 出 |P F 1 | . 根 据 椭 圆 的 定 义 , 得 |P F 1 |+ |P F 2 |=2a , 从 而 建 立 关 于 a 、 b 、 c 的 等 式 , 解 出 b= 的大小. 【 解 答 】 解 : 设 以 椭 圆 的 短 轴 为 直 径 的 圆 与 线 段 P F 1 相 切 于 点 M , 连 结 OM 、 P F2 , ∵ M、 O 分 别 为 P F1 、 F1 F2 的 中 点 , ∴ MO ∥ P F 2 , 且 |P F 2 |= 2 |MO |=2b , 又 ∵线 段 P F 1 与 圆 O 相 切 于 点 M , 可 得 O M ⊥ P F 1 , ∴ P F1 ⊥ P F2 , ∴ |P F 1 |= ∴ |P F 1 |+ |P F 2 |=2 =2 . +2b=2a , a , c= a, 进 而 可 得 椭 圆 的 离 心 率

化 简 得 2ab=a 2 ﹣ c 2 +2b 2 =3b 2 , ∴ b= a , c= a, .

∴离 心 率 为 e= = 故答案为: .

三 、 解 答 题( 本 大 题 共 6 小 题 , 共 70 分 ,解 答 写 出 必 要 的 文 字 说 明 ,证 明 过 程及演算步骤)

17 . △ ABC 的 内 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c . 向 量 = ( a , 与 = ( cosA , sinB ) 平 行 . ( Ⅰ) 求 A ; ( Ⅱ) 若 a= , b=2 , 求 △ ABC 的 面 积 .

b)

【考点】余弦定理的应用;平面向量共线(平行)的坐标表示. 【分析】 ( Ⅰ) 利 用 向 量 的 平 行 , 列 出 方 程 , 通 过 正 弦 定 理 求 解 A ; ( Ⅱ)利 用 A ,以 及 a = , b=2 ,通 过 余 弦 定 理 求 出 c ,然 后 求 解 △ ABC 的 面 积. b ) 与 = ( cosA , sinB ) 平 行 , 【解答】解: ( Ⅰ) 因 为 向 量 = ( a , =0 , 由 正 弦 定 理 可 知 : sinAsinB ﹣ sinBco sA=0 , 因 为 所 以 asinB ﹣ sinB ≠ 0 , 所 以 tanA= , 可 得 A= ;

( Ⅱ) a= , b=2 , 由 余 弦 定 理 可 得 : a 2 =b 2 +c 2 ﹣ 2bccosA , 可 得 7=4+c 2 ﹣ 2c , 解 得 c=3 , △ ABC 的 面 积 为 : = .

18 .已 知 命 题 p :不 等 式 |x ﹣ 1 |+ |x+2 | > k 2 ﹣ 2 k 对 于 任 意 x 恒 成 立 ;命 题 q : (k 2 2 2 x + k 4 y = 1 p q p q k ﹣ ) ( ﹣ ) 表示双曲线.若 或 为真, 且 为假,求 的取 值范围. 【考点】复合命题的真假. 【 分 析 】 由 |x ﹣ 1 |+ |x+2 | ≥ | ( x ﹣ 1 ) ﹣ ( x+2 ) |=3 , 因 此 不 等 式 |x ﹣ 1 |+ |x+2 | > k 2 ﹣ 2k 对 于 任 意 x 恒 成 立 ,可 得 k 2 ﹣ 2k < 3 ,解 得 k 范 围 .由( k ﹣ 2 ) x 2 +( k ﹣ 4 )y 2 =1 表 示 双 曲 线 可 得( k ﹣ 2 )?( k ﹣ 4 )< 0 ,解 得 k 范 围 .由 于 命 题 p ∨ q 为 真 且 命 题 p∧q 为 假 , 所 以 p 与 q 一 真 一 假 . 【 解 答 】 解 : ∵ |x ﹣ 1 |+ |x+2 | ≥ | ( x ﹣ 1 ) ﹣ ( x+2 ) |=3 , ∴不 等 式 |x ﹣ 1 |+ |x+2 | > k 2 ﹣ 2k 对 于 任 意 x 恒 成 立 , 可 得 k 2 ﹣ 2k < 3 , 即 k 2 ﹣ 2k ﹣ 3 < 0 , 解 得 ﹣ 1 < k < 2 . ∴命 题 p 等 等 价 于 : ﹣ 1 < k < 2 . 由 ( k ﹣ 2 ) x 2 + ( k ﹣ 4 ) y 2 =1 表 示 双 曲 线 可 得 ( k ﹣ 2 ) ? ( k ﹣ 4 ) < 0 , 解 得 2 < k< 4. 即 命 题 q 等 价 于 : 2< k< 4. 由 于 命 题 p∨q 为 真 且 命 题 p∧q 为 假 , 所 以 p 与 q 一 真 一 假 . 由 p 真 q 假得 ?﹣ 1< k≤2

由 p 假 q 真,

?3≤k< 4

综合之得 k 的取值范围是: ( ﹣ 1 , 2 ] ∪ [3 , 4 ) .

19 . 已 知 函 数 f ( x ) =

, g ( x ) =x .

( 1 ) 若 存 在 x ∈ [0 , + ∞ ) , 使 得 f( x) ≥g( x) 成 立 , 求 实 数 a 的 取 值 范 围 ; ( 2 ) 在 a > 0 的 条 件 下 , 若 函 数 h ( x ) =f ( x ) +g ( x ) 在 区 间 [0 , + ∞ ) 上 有 最 小 值 为 2, 求 a 的 值 . 【考点】函数的最值及其几何意义;函数恒成立问题. 【分析】 ( Ⅰ) 化 简 可 得 a ≥ x 2 +2x= ( x+1 ) 2 ﹣ 1 , 判 断 函 数 y= ( x +1 ) 2 ﹣ 1 的 单调性及最值,从而求得; ( Ⅱ)由 已 知 化 简 h( x ) =f( x ) +g( x ) = 从而结合基本不等式可得 2 ﹣ 2=2 , 从 而 解 得 . x [0 + Ⅰ) ∞ 【解答】解: ( 由 ∈ , ) 及 f( x) ≥g( x) , 即 得, ,

a ≥ x 2 +2x= ( x+1 ) 2 ﹣ 1 , ∵函 数 y= ( x+1 ) 2 ﹣ 1 在 区 间 [0 , + ∞ ) 上 单 调 递 增 , ∴ y ∈ [0 , + ∞ ) . 若 存 在 x ∈ [0 , + ∞ ) , 使 得 f( x) ≥g( x) 成 立 , 即 存 在 x ∈ [0 , + ∞ ) 使 得 a ≥ y 成 立 , 从 而 a≥0, 即 a 的 取 值 范 围 是 [0 , + ∞ ) . Ⅱ) ( 由已知得, h ( x ) =f ( x ) +g ( x ) = ,

∵ a > 0 , ∴ a+1 > 0 , 又 x ∈ [0 , + ∞ ) , ∴ x+1 > 0 , ∴ 当且仅当 ,即 时取等号. .

又 已 知 函 数 h( x) 的 最 小 值 为 2. ∴2 ﹣ 2=2 , 即 a=3 . 20 . 已 知 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 S n =n 2 ( n ∈ N * ) . ( 1) 求 数 列 { ( 2) 设 bn= }的 前 10 项 和 T10; , 求 数 列 {b n } 的 前 n 项 和 G n .

【考点】数列的求和. 【分析】 ( 1) 利 用 递 推 关 系 可 得 an, 再 利 用 “裂 项 求 和 ”即 可 得 出 Tn. ( 2) 利 用 “错 位 相 减 法 ”与 等 比 数 列 的 前 n 项 和 公 式 即 可 得 出 . 【解答】解: ( 1 ) 当 n =1 时 , 当 n≥2 时 , ; .

把 n=1 代 入 a n =2 × 1 ﹣ 1=1 , 成 立 . 综 上 可 得 a n =2n ﹣ 1 . ∴ ∴ = ∴ . =2n ? 2 2 n ﹣ 1 =n ? 2 2 n =n ? 4 n , , , = . ,

( 2 ) 由 ( Ⅰ) 知 ∴ ∴ 两式相减,得

=







21 . 已 知 椭 圆 C 的 焦 点 坐 标 为 F 1( ﹣ 1 , 0 ) , F 2( 1 , 0 ) , 过 F2 且 垂 直 于 长 轴 的 直 线 交 椭 圆 C 于 P , Q 两 点 , 且 |P Q |=3 . ( 1) 求 椭 圆 C 的 方 程 ; ( 2)若 在 y 轴 上 的 截 距 为 2 的 直 线 l 与 椭 圆 C 分 别 交 于 M,N 两 点 , O 为 坐 标 原 点 , 且 直 线 OM , ON 的 斜 率 之 和 为 1 , 求 直 线 l 的 斜 率 . 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 ( 1 ) 由 题 意 知 c=1 , ,从而解得 ,从而解得;

( 2 ) 设 l 的 方 程 为 y= kx+2 , M ( x 1 , y 2 ) , N ( x 2 , y2 ) ,从而联立方程化简 2 2 可 得 ( 4k +3 ) x +16kx+4=0 , 利 用 韦 达 定 理 求 解 即 可 . 【解答】解: ( 1) 依 题 意 可 设 椭 圆 的 方 程 为 由 焦 点 坐 标 可 得 c=1 . 由 |P Q|=3 , 可 得 解得, 故椭圆的方程为 , . , 又 c 2 =a 2 ﹣ b 2 , ,

( 2 ) 设 l 的 方 程 为 y= kx+2 , M ( x 1 , y 2 ) , N ( x 2 , y2 ) , 联立方程 ,

化 简 可 得 ( 4k 2 +3 ) x 2 +16kx+4=0 , ∵△ = ( 16k ) 2 ﹣ 16 ( 4k 2 +3 ) > 0 , ∴k2> , 或 k> ; , x1x2= ,

故 k< ﹣

又 ∵ x 1 +x 2 = ﹣ ∴

=2k+ 故 k= ﹣

= ﹣ 6k=1 , (舍去) ;

故直线 l 不存在. 22 . 已 知 函 数 f ( x ) = x ﹣ alnx ( a ∈ R ) . ( 1 ) 当 a=2 时 , 求 曲 线 y=f ( x ) 在 点 A ( 1 , f ( 1 ) )处的切线方程; ( 2) 若 对 于 x∈( 1, +∞) , f( x) > 0 恒 成 立 , 求 实 数 a 的 取 值 范 围 . 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方 程. 【分析】 ( 1 ) 求 出 f( x ) 的 导 数 , 得 到 f( 1 ) , f ′( 1 ) 的 值 , 代 入 切 线 方 程 即可; ( 2) 法 一 : 求 出 f( x) 的 导 数 , 通 过 讨 论 a 的 范 围 , 确 定 f( x) 的 单 调 性 , 求 出 f( x) 的 最 小 值 , 得 到 关 于 a 的 不 等 式 , 从 而 求 出 a 的 范 围 即 可 ; 法 二 :分 离 参 数 问 题 转 化 为 a < 令 对 于 x ∈( 1 , + ∞ )恒 成 立 ? a < h( x ) m i n ,

, 通 过 讨 论 h( x) 的 单 调 性 , 求 出 a 的 范 围 即 可 .

【解答】解: ( 1 ) 当 a =2 时 , f ( x ) =x ﹣ 2ln x , f ( 1 ) =1 , 切 点 为 A ( 1 , 1 ) , ∴ f ′ ( x ) =1 ﹣ , ∴ k=f ′ ( 1 ) =1 ﹣ 2= ﹣ 1 ,

∴曲 线 f ( x ) 在 点 A ( 1 , 1 ) 处 的 切 线 方 程 为 : y ﹣ 1= ﹣ ( x ﹣ 1 ) , 即 x + y ﹣ 2=0 . ( 2) 法 1: ∵ ?当 a≤1 时 , f′( x) > 0 对 于 x∈( 1, +∞) 恒 成 立 , ∴f( x) 在 ( 1, +∞) 上 单 调 递 增 ;

∴ f ( x ) > f ( 1 ) =1 > 0 , 符 合 题 意 ; ?当 a> 1 时 , 当 x∈( 1, a) 时 f′( x) < 0, 当 x∈( a, +∞) 时 , f′( x) > 0, ∴f( x) 在 ( 1, a) 上 单 调 递 减 , 在 ( a, +∞) 上 单 调 递 增 , ∴ f ( x ) m i n =f ( a ) =a ﹣ alna , 依 题 意 a ﹣ a lna > 0 ? a < e , 又 a > 1 , ∴ 1 < a < e , 综 上 所 述 符 合 题 意 的 a 的 取 值 范 围 是 ( ﹣ ∞, e) 法 2: 对 于 x∈( 1, +∞) 时 f( x) > 0 恒 成 立 对 于 x∈( 1, +∞) 恒 成 立 ?a< h( x) min, 令 ,则 ,

令 h ′ ( x ) =0 ? x=e > 1 , x∈( 1, e) 时 , h′( x) < 0, x∈( e, +∞) 时 , h′( x) > 0, ∴h( x) 在 ( 1, e) 递 减 , 在 ( e, +∞) 递 增 , ∴ h ( x ) m i n =h ( e ) =e , ∴ a < e ∴所 求 的 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ( ﹣ ∞ , e ) .

2016 年 7 月 6 日


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