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2.8指数式与对数式



第二章

函数

第 8 讲
指数式与对数式

高考

●指数、对数运算及其互化高考

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高考 选择题中以较容易题的形式或解

猜想

答题以计算工具的形式出现.

一、根式

xn=a
奇数

(n∈N*,n>1)? x= ?

n

a

, n为

? n a ,n为 x=

偶数 (a>0);
( a) ?
n n

a

;

a ?
2

a

;

(n a) ?
n

a(n为奇数)

|a|(n为偶数).

二、分数指数幂
n

am ?

n

a

m

; a ?
n

?

m

1
m

1

?

n

a

m

.

(a>0,m,n∈N*,且n>1).

an

三、分数指数幂的运算性质
1.ar·s= a 2. (ar)s= ar+s (a>0,a≠1). ars arbr (a>0,a≠1). (a>0,a≠1).

3. (ab)r=

四、指数、对数互化 1. ab=N? ? 2.
logaN= a

logaN=b
N .

.

五、对数的运算性质
1. logaM+logaN= loga(MN) .
M N

2. logaM-logaN=
4. 换底公式

log a

.
log b N log b a

3. logaMn= nlogaM .

log a N ?

.

1 1 ? 2 1 ?? 1.化简 3 2 a · ? ? ?3a 2 ? b 3 b ? 是( ) ? ??

5 ? ?1 1 6 ? ?? a6· ? b ? ? ?3 ?

的结果

A. 6a C. -9a

B. -a D. 9a
1 1 ? 2 1 ?? a 3 · 2 ? ? ?3a 2 ? b 3 b ? ? ?? 5 ? ?1 1 6? ?? a6· ? b ? ? ?3 ?

? ?9a

2 1 1 ? ? 3 2 6

?b

1 1 5 ? ? 2 3 6

? ?9a,

故选C.

2

2.已知 a 3
2 3 2 3

?

4 9

( a ? 0 ),则lo g 3 a ?

2

3

.
3

?2? 3 ?2? ?2? ( a ) ?[ ? ? ] ? a ? ? ? ? log 2 a ? log 2 ? ? ? 3 . 3? ?3? ?3? 3 3 ?

2

2

3

3.方程4x+2x-2=0的解是x=

0

.

? 4x+2x-2=0?(2x-1)(2x+2)=0?2x=1?x=0. ? ?

题型一:指数、根式的化简与求值运算 1. (1)计算
? 3? [? 3 ? ? 8?
? 2 3

? 4? ??5 ? ? 9?

0 .5

? ? 0 . 008 ?

?

2 3

? ? 0 . 02 ?

?

1 2

? ? 0 . 32 ? 2 ]? 0 . 0625

1

0 . 25



(2)化简:
4 3 1 3

a ? 8a b
2 2 3 3

? (a

?

2 3

?

23 b a

)?
5

a? a

3

2

.

4 b ? 2 ab ? a
3

a ?3 a

(1)原式
2 1 2 1

4 2 ? 8 ? 3 ? 49 ? 2 ? 1000 ? 3 ? 625 ? 4 =[ ? ]? ? ? ?? ? ?? ? ? 50 ? ? 10 ? 27 ? ? 9 ? ? 8 ? ? 10000 ? ? [ 4 9 ? (? 17 9 ? 7 3 ? 25 ? 1 5 2 2 9 ; ? 4 2 10 ]? 1 2

? 2) ? 2 ?

(2)原式
1 1 3 3 1 3 3 1 1 2 1

?

a[ ( a ) ? ( 2 b ) ]
3 1 1 2 3 1 3 1 1 1

?
2 5

a 3 ? 2b 3 a
1

?

( a ?a 3 ) 2
1 1 1 5

(a ) ? a
3 1 3 1 3

2b

3

? 2b a

3

a2 a3

? a (a ? 2b ) ?
1 2 2

1

? a6a6

a 3 ? 2b 3 ? a3 ? a? a3 ? a .

点评:根式的化简求值问题就是将根式 化成分数指数幂的形式,然后利用分数指数 幂的运算性质求解,对化简求值的结果,一 般用分数指数幂的形式保留;一般地,进行 指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式 为分数指数幂,化小数为分数运算,同时兼 顾运算的顺序.

且b≠0).

化简? 1 ? ? ? ?4?

?

1 2

?

(

4ab
?2 3

?1

)

3

? 0 .1 ?
1

?? a ?b
3

?3

?) 2
1
3

(其中a≠0,
? 3 2

原式 ? 4 2 ?4 2 ?0 . 1 2 ?a 2 ?b
?4 ? ?a ?b 100
2 0

?a

?

3 2

3

?b 2

1

0

?

4 25

.

题型二:对数化简、求值运算 2. 化简下列各式: (1)[(1-log63)2+log62· 618]÷log64; log (2)(log32+log92)· 43+log83); (log (3) log
2 ? log 9 27 ? 2 ? 2 2
log 4 1 16

.

(1)原式
=[1 ? 2log 6 3 ? ? log 6 3 ? ? log 6 · 6 ( 6 ? 3 )]? log 6 4 log 3
2

6

=[1-2log63+(log63)2+(1-log63)(1+

log63)]÷log64
=(2-2log63)÷2log62

=(1-log63)÷log62
=(log66-log63)÷log62

=log62÷log62=1.

(2)原式
1 1 ? ? 1 ? ? log 3 2 ? log 3 2 ? · log 2 3 ? log 2 3 ) ( 2 3 ? ? 2 5 3 5 5 ? log 3 2 · log 2 3 ? ? ? . 2 6 2 6 4 3

(3)原式
? 2 lo g 2 2 ? ? 2? 3 2
4

3 2

lo g 3 3 ? 2 lo g 4 4
4

?2 ?

39 2

.

点评:对数运算是高中代数运算中的一 个难点,解决这一难点,一是理解对数运算 的意义,注意指数运算与对数运算的互逆性; 二是熟练掌握对数运算法则.

化简 ? lg5 ? ? lg2 · ? log 8 9 · 27 32 . lg50 log
2

原式
? ? lg 5 ? ? lg
2 2

10 5

· ( 5 ? 1 0 ) ? lo g 2 3 3 lo g 3 3 2 lg
2

5

? ? lg 5 ? ? ? 1 ? lg 5 ? ? 1 ? lg 5 ? ? ?1? ? ? 1 9. 10 9

2 3

lo g 2

3

5 · lo g 3 2 3

题型三:指数、对数互化
3. (1)已知2a=5b=10,求
a ?b ab

的值;

(2)已知log83=a,log35=b,求lg5的值.

(1)由已知 a ? log 2 10 ?
b ? log 5 10 ? 1 lg5 ,

1 lg2



所以

a?b ab

?

1 a

?

1 b

? lg2 ? lg5 ? lg10 ? 1 .

? (2)由已知8a=3,3b=5? (8a)b=5,

即23ab=5? 3ablg2=lg5, ? 即3ab(1-lg5)=lg5, 所以 lg5 ?
3 ab 1 ? 3 ab .

点评:求指数值的问题,一般是转化为 对数,利用对数来处理指数问题,对底数不 同的对数运算时,注意利用换底公式化为同 底数的对数进行运算.

已知 log a 27 ? 2, log 求 得 3log a 3 ? 2, 所以log a 3 ? 所以log
6 3

6 3

a

的值.

由已知 log a 3 3 ? 2,
2

.

3 1 1 3 2 a ? 2 ? log 3 a ? ? ? . 6 3 2 2

1. 指数的乘、除运算和对数的加、减 运算,一般要求在同底数状态下进行,所 以在进行此类运算时,先要将指、对数化 为同底数.

2. 指数与对数是对立统一的,利用关系 “ab=N ?logaN=b (a>0,a≠1,N>0)”可 ? 将指数与对数相互转化.对某些指数式关系, 若指数运算不方便,可取对数转化为对数 运算;对某些对数式关系,若对数运算不 方便,可去对数符号转化为指数运算.

3. 在一定条件下求指、对数式的值, 或求参数字母的值,要注意利用方程思想 求解,即通过已知条件建立一个关于所求 对象的方程(组),再通过解方程(组)求未 知数的值.


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