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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(85)


加试模拟训练题(85) (附详细答案) A、AB引的垂线的垂足, 1.点P位于?ABC的外接圆上;A1、B1、C1是从点P向BC、CA 证明点A1、B1、C1共线; C1 B A1 C B1 2.三元数组(xn,yn,zn) ,n=1,2,?由下列关系式确定: x1=2,y1=4,z1=6/7 1.证明:上述作三元组的过程可以无限继续下去. 2.能否在某一步,得到的三元数组(xn,yn,zn)满足等式 xn+yn+zn=0? 3. 正三角形的每一条边都被分成 k 个等分,过每个分点作平行于边的直线.结果把三角形 分成 k2 个全等的小正三角形.我们把下面一组小三角形叫做一个“链” :在其中没有一个三 角形出现两次,而且前一个三角形与后一个三角形有一条公共边.求“链”中所含三角形个 数的最大值. 4.假设 a1 , a2 , , an 是 1, 2, , n 的某种排列,证明:如果 n 是奇数,则乘积 ? a1 ? 1?? a2 ? 2 ? ? an ? n ? 是偶数. 加试模拟训练题(85) BA BP ? cos ?PBC 证:易得: 1 ? ? , CA1 CP ? cos ?PCB CB1 CP ? cos ?PCA ?? AB1 AP ? cos ?PAC AC 1 AP ? cos ?PAB ?? BC 1 PB ? cos ?PBA 将上面三条式子相乘, 且 ? ?PAC ? ?PBC , ?PAB ? ?PCB , ?PCA ? ?PBA ? 180? BA1 CB1 AC 1 可得 ? ? =1 , CA1 AB1 BC 1 依梅涅劳斯定理可知 A1、B1、C 1 三点共线; 1.点P位于?ABC的外接圆上 证明点A1、B1、C1共线 2.三元数组(xn,yn,zn) ,n=1,2,?由下列关系式确定: x1=2,y1=4,z1=6/7 1.证明:上述作三元组的过程可以无限继续下去. 2.能否在某一步,得到的三元数组(xn,yn,zn)满足等式 xn+yn+zn=0? 【题说】第十六届(1990 年)全俄数学奥林匹克十年级题 4. 【证】1.只须证明:在任何一步所得到的三个数中都不可能出现 1 或 -1. 所以 xn+1≠±1.同理,yn+1,zn+1 都不等于±1. 2.由 x1、y1、z1≠0 及递推关系知道,对于任意的 n∈N,xn、yn、zn ≠0,xnynzn≠0 我们用归纳法来证明: xn+yn+zn=xnynzn (1) 显然 假设 令 x1y1z1=48/7=x1+y1+z1 xnynzn=xn+yn+zn xn=tanα ,yn=tanβ ,zn=tanγ 由假设 tanα +tanβ +tanγ =tanα ·tanβ ·tanγ 所以 从而 α +β +γ =0 或α +β +γ =±π tan2α +tan2β +tan2γ =tan2α ·tan2β ·tan2γ 所以 xn+1·yn+1·zn+1=xn+1+yn+1+zn+1 从而(1)式对一切自然数 n 成立. 由于 xnynzn≠0,所以 xn+yn+zn 永远不为 0. 3. 正三角形的每一条边都被分成 k 个等分,过每个分点作平行于边的直线.结果把三角形 分成 k2 个全等的小正三角形.我们把下面一组小三角形叫做一个“链” :在其中没有一个三 角形出现两次,而且前一个三角形与后一个三角形有一条公共边.求“链”中所含三角形个 数的最大值. 【题说】 第四届(1970 年)全苏数学奥林匹克


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