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2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第一章 集合与常用逻辑用语1.2


§ 1.2

命题及其关系、充分条件与必要条件

1.命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的 语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题. 2.四种命题及相互关系

3.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题互为逆命题或互为否命

题,它们的真假性没有关系. 4.充分条件与必要条件 (1)如果 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件; (2)如果 p?q,q?p,则 p 是 q 的充要条件. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x2+2x-3<0”是命题.( × ) π π (2)命题“α= ,则 tan α=1”的否命题是“若 α= ,则 tan α≠1”.( × ) 4 4 (3)若一个命题是真命题,则其逆否命题是真命题.( √ )

(4)“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的必要不充分条件.( × ) (5)设 a,b∈R,则“a+b>4”是“a>2 且 b>2”的充分条件.( × 3 (6)若 α∈(0,2π),则“sin α=-1”的充要条件是“α= π”.( √ ) 2 )

-1-

π 1.命题“若 α= ,则 tan α=1”的逆否命题是( 4 π A.若 α≠ ,则 tan α≠1 4 π B.若 α= ,则 tan α≠1 4 π C.若 tan α≠1,则 α≠ 4 π D.若 tan α≠1,则 α= 4 答案 C

)

π π 解析 命题“若 α= ,则 tan α=1”的逆否命题是“若 tan α≠1,则 α≠ ”,故选 C. 4 4 2.已知命题 p:若 x=-1,则向量 a=(1,x)与 b=(x+2,x)共线,则在命题 p 的原命题、逆 命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( A.0 C.3 答案 B 解析 向量 a,b 共线?x-x(x+2)=0?x=0 或 x=-1, ∴命题 p 为真,其逆命题为假, 故在命题 p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 2. 3.(2014· 浙江)设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC,BD,则“四边形 ABCD 为菱形”是 “AC⊥BD”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 当四边形 ABCD 为菱形时, 必有对角线互相垂直, 即 AC⊥BD.当四边形 ABCD 中 AC⊥BD 时,四边形 ABCD 不一定是菱形,还需要 AC 与 BD 互相平分.综上知,“四边形 ABCD 为菱 形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件. 4.(2014· 安徽)“x<0”是“ln(x+1)<0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B
-2-

)

B.2 D.4

)

)

解析 ∵ln(x+1)<0,∴0<x+1<1,∴-1<x<0. ∵x<0 是-1<x<0 的必要不充分条件,故选 B.

题型一 四种命题及真假判断 例 1 (1)给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( A.①和② C.③和④ ) B.②和③ D.②和④ )

(2)命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 答案 (1)D (2)B 解析

(1)只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时,这两个平面才相互平行,

所以①为假命题;②符合两个平面相互垂直的判定定理,所以②为真命题;垂直于同一直线 的两条直线可能平行,也可能相交或异面,所以 ③为假命题;根据两个平面垂直的性质定理 易知④为真命题. (2)将原命题的条件与结论互换即得逆命题,故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数, 则它是负数”. 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意: ①对于不是“若 p,则 q”形式的命题,需先改写; ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提; (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直 接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假. π 1 (1)命题“若 α= ,则 cos α= ”的逆命题是( 3 2 )

-3-

π 1 A.若 α= ,则 cos α≠ 3 2 π 1 B.若 α≠ ,则 cos α≠ 3 2 1 π C.若 cos α= ,则 α= 2 3 1 π D.若 cos α≠ ,则 α≠ 2 3 (2)命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆否命题是( A.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 B.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 C.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 D.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 答案 (1)C (2)C π 1 解析 (1)命题“若 α= ,则 cos α= ”的逆命题是 3 2 1 π “若 cos α= ,则 α= ”. 2 3 (2)由于“x,y 都是偶数”的否定表达是“x,y 不都是偶数”,“x+y 是偶数”的否定表达是 “x+y 不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若 x+y 不是偶数,则 x,y 不都是偶数”,故选 C. 题型二 充要条件的判断 例 2 (1)(2014· 福建)直线 l: y=kx+1 与圆 O: x2+y2=1 相交于 A, B 两点, 则“k=1”是“△OAB 1 的面积为 ”的( 2 ) )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 (2)如果 x,y 是实数,那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( A.充要条件 C.必要不充分条件 答案 (1)A (2)C 解析 (1)将直线 l 的方程化为一般式得 kx-y+1=0,所以圆 O:x2+y2=1 的圆心到该直线的 距离 d= 1 .又弦长为 2 k +1
2

)

B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

1 2|k| 1 1 2|k| |k| 1 1- 2 = 2 ,所以 S△OAB= · 2 · 2 = 2 = , 2 2 k +1 k + 1 k +1 k +1 k +1

1 解得 k=± 1.因此可知“k=1”是“△OAB 的面积为 ”的充分而不必要条件,故选 A. 2
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(2)设集合 A={(x,y)|x≠y},B={(x,y)|cos x≠cos y},则 A 的补集 C={(x,y)|x=y},B 的补 集 D={(x,y)|cos x=cos y},显然 C D,所以 B A.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不 充分条件. 思维升华 充要条件的三种判断方法 (1)定义法:根据 p?q,q?p 进行判断; (2)集合法:根据 p,q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断; (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行 判断. 这个方法特别适合以否定形式给出的问题, 如“xy≠1”是“x≠1 或 y≠1”的某种条件, 即可转化为判断“x=1 且 y=1”是“xy=1”的某种条件. (1)(2014· 湖北)设 U 为全集, A, B 是集合, 则“存在集合 C 使得 A?C, B??UC” 是“A∩B=?”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

(2)(2013· 北京)“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 答案 (1)C (2)A B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 (1)若存在集合 C 使得 A?C,B??UC,则可以推出 A∩B=?; 若 A∩B=?,由 Venn 图(如图)可知,存在 A=C,同时满足 A?C,B??UC.

故“存在集合 C 使得 A?C,B??UC”是“A∩B=?”的充要条件. (2)当 φ=π 时,y=sin(2x+φ)=-sin 2x 过原点.当曲线过原点时,φ=kπ,k∈Z,不一定有 φ =π.所以“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过原点”的充分不必要条件. 题型三 根据充要条件求解参数的取值范围
? ?log2x,x>0, 例 3 (1)函数 f(x)=? x 有且只有一个零点的充分不必要条件是( ?-2 +a,x≤0 ?

)

A.a<0 1 C. <a<1 2

1 B.0<a< 2 D.a≤0 或 a>1 )

(2)已知集合 A={x|x2- mx+1=0},若 A∩R=?,则实数 m 的取值范围为( A.m<4 C.0<m<4 B.m>4 D.0≤m<4
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思维点拨 考虑条件所对应集合的包含关系,“以小推大”. 答案 (1)A (2)A 解析 (1)因为函数 f(x)过点(1,0), 所以函数 f(x)有且只有一个零点?函数 y=-2x+a(x≤0)没有 零点?函数 y=2x(x≤0)与直线 y=a 无公共点.由数形结合,可得 a≤0 或 a>1. 观察选项,根据集合间关系{a|a<0} {a|a≤0 或 a>1}, 故答案选 A. (2)∵A∩R=?,则 A=?,即等价于方程 x2- mx+1=0 无实数解,即 Δ=m-4<0,即 m<4, 选 A. 注意 m<0 时也表示 A=?. 思维升华 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出 关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. (1)条件 p:-2<x<4,条件 q:(x+2)(x+a)<0;若 q 是 p 的必要而不充分条件, 则 a 的取值范围是( A.(4,+∞) C.(-∞,-4]
2

) B.(-∞,-4) D.[4,+∞)
2

x2 y2 (2)已知命题 p:实数 m 满足 m +12a <7am(a>0),命题 q:实数 m 满足的方程 + =1 m-1 2-m 表示焦点在 y 轴上的椭圆,且 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围为________. 1 3 答案 (1)B (2)[ , ] 3 8 解析 (1)由题意,可得 p 是 q 的充分不必要条件, ∴{x|-2<x<4} {x|(x+2)(x+a)<0}, ∴-a>4,即 a<-4. (2)由 a>0,m2-7am+12a2<0,得 3a<m<4a,即命题 p:3a<m<4a,a>0. 由 x2 y2 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, m-1 2-m

3 可得 2-m>m-1>0,解得 1<m< , 2 3 即命题 q:1<m< . 2 因为 p 是 q 的充分不必要条件, 3a>1, 3a≥1, ? ? ? ? 1 3 所以? 或? 解得 ≤a≤ , 3 3 3 8 ?4a≤2 ? ? ?4a<2,

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1 3? 所以实数 a 的取值范围是? ?3,8?.

等价转化思想在充要条件中的应用 典例:(1)设 p:|4x-3|≤1;q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件, 则实数 a 的取值范围是( 1 A.[0, ] 2 1 C.(-∞,0]∪[ ,+∞) 2 ) 1 B.(0, ) 2 1 D.(-∞,0)∪( ,+∞) 2

(2)f(x)是 R 上的增函数,且 f(-1)=-4,f(2)=2,设 P={x|f(x+t)+1<3},Q={x|f(x)<-4}, 若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,则实数 t 的取值范围是( A.t≤-1 C.t≥3 解析 (1)设 A={x||4x-3|≤1}, B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}, 1 易知 A={x| ≤x≤1},B={x|a≤x≤a+1}. 2 1 ? ?a≤2, 由綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,从而 p 是 q 的充分不必要条件,即 A B,∴? 或 ? ?a+1>1 1 ? ?a<2, ? ? ?a+1≥1, 1 故所求实数 a 的取值范围是[0, ]. 2 (2)依题意,P={x|f(x+t)+1<3}={x|f(x+t)<2}={x|f(x+t)<f(2)},Q={x|f(x)<-4}={x|f(x)<f(- 1)}.因为函数 f(x)是 R 上的增函数,所以 P={x|x+t<2}={x|x<2-t},Q={x|x<-1},要使 “x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,需有 2-t<-1,解得 t>3. 答案 (1)A (2)D 温馨提醒 (1)本题用到的等价转化: ①将綈 p,綈 q 之间的关系转化成 p,q 之间的关系. ②将条件之间的关系转化成集合之间的关系. (2)对一些复杂、生疏的问题,利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题在解题中经常用到. B.t>-1 D.t>3 )

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方法与技巧 1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定 义来写;在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,要借助原命题与其逆否命 题同真或同假,逆命题与否命题同真或同假来判定. 2.充要条件的几种判断方法 (1)定义法:直接判断若 p 则 q、若 q 则 p 的真假. (2)等价法:即利用 A?B 与綈 B?綈 A;B?A 与綈 A?綈 B;A?B 与綈 B?綈 A 的等价关系, 对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断:设 A={x|p(x)},B={x|q(x)}:若 A?B,则 p 是 q 的充分条件 或 q 是 p 的必要条件;若 A B,则 p 是 q 的充分不必要条件,若 A=B,则 p 是 q 的充要条件. 失误与防范 1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保留大前提. 2.判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若 p 则 q”的形式. 3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p 的一个充分而不必要条件 是 q”等语言.

A 组 专项基础训练 (时间:30 分钟) 1.下列命题中为真命题的是( )

A.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题 B.命题“若 x>1,则 x2>1”的否命题 C.命题“若 x=1,则 x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若 x2>0,则 x>1”的逆否命题 答案 A
?y ?y≥0? ? 解析 对于 A,其逆命题:若 x>|y|,则 x>y,是真命题,这是因为 x>|y|=? ,必有 ? ?-y ?y<0?

x>y;对于 B,其否命题:若 x≤1,则 x2≤1,是假命题.如 x=-5,x2=25>1;对于 C,其 否命题:若 x≠1,则 x2+x-2≠0,因为 x=-2 时,x2+x-2=0,所以是假命题;对于 D,

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若 x2>0,则 x>0 或 x<0,不一定有 x>1,因此原命题的逆否命题是假命题,故选 A. 2.与命题“若 a∈M,则 b?M”等价的命题是( A.若 a?M,则 b?M C.若 b∈M,则 a?M 答案 C 解析 命题“若 a∈M,则 b?M”的逆否命题是“若 b∈M,则 a?M”,又原命题与逆否命题 为等价命题,故选 C. 3.下列结论错误的是( ) )

B.若 b?M,则 a∈M D.若 a?M,则 b∈M

A.命题“若 x2-3x-4=0,则 x=4”的逆否命题为“若 x≠4,则 x2-3x-4≠0” B.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分条件 C.命题“若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆命题为真命题 D.命题“若 m2+n2=0,则 m=0 且 n=0”的否命题是“若 m2+n2≠0,则 m≠0 或 n≠0” 答案 C 解析 C 项命题的逆命题为“若方程 x2+x-m=0 有实根,则 m>0”.若方程有实根,则 Δ= 1+4m≥0, 1 即 m≥- ,不能推出 m>0.所以不是真命题,故选 C. 4 4.已知集合 A={1,2},B={1,a,b},则“a=2”是“A?B”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 A 解析 当 a=2 时,因为 B={1,2,b},所以 A?B;反之,若 A?B,则必有 2∈B,所以 a=2 或 b=2,故“a=2”是“A?B”的充分不必要条件.选 A. 5.命题“若 x2>y2,则 x>y”的逆否命题是( A.“若 x<y,则 x2<y2” C.“若 x≤y,则 x2≤y2” 答案 C 解析 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若 x2>y2,则 x>y”的逆否命题是 “若 x≤y,则 x2≤y2”. 6.已知向量 a=(m2,-9),b=(1,-1),则“m=-3”是“a∥b”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 A 解析 当 m=-3 时,a=(9,-9),b=(1,-1),则 a=9b, B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

B.“若 x>y,则 x2>y2” D.“若 x≥y,则 x2≥y2”

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所以 a∥b,即“m=-3”?“a∥b”; 当 a∥b 时,m2=9,得 m=± 3, 所以不能推得 m=-3,即“m=-3” “a∥b”.

故“m=-3”是“a∥b”的充分不必要条件. 7.给出命题:若函数 y=f(x)是幂函数,则函数 y=f(x)的图象不过第四象限,在它的逆命题、 否命题、逆否命题 3 个命题中,真命题的个数是( A.3 B.2 C.1 D.0 答案 C 解析 原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题; 它的逆命题为“若函数 y=f(x)的图象不过第四象限, 则函数 y=f(x)是幂函数”, 显然逆命题为假命题,故原命题的否命题也为假命题. 因此在它的逆命题、否命题、逆否命题 3 个命题中真命题只有 1 个. 8.函数 f(x)=x2+mx+1 的图象关于直线 x=1 对称的充要条件是( A.m=-2 C.m=-1 答案 A 解析 已知函数 f(x)=x2-2x+1 的图象关于直线 x=1 对称,则 m=-2;反之也成立. 所以函数 f(x)=x2+mx+1 的图象关于直线 x=1 对称的充要条件是 m=-2. 9.“若 a≤b,则 ac2≤bc2”,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数 是________. 答案 2 解析 其中原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题. 1 10.“m< ”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解”的____________条件. 4 答案 充分不必要 解析 x2+x+m=0 有实数解等价于 Δ=1-4m≥0, 1 1 1 即 m≤ ,因为 m< ?m≤ ,反之不成立. 4 4 4 1 故“m< ”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解”的充分不必要条件. 4 11. 若 x<m-1 或 x>m+1 是 x2-2x-3>0 的必要不充分条件, 则实数 m 的取值范围是________. 答案 [0,2] 解析 由已知易得{x|x2-2x-3>0} {x|x<m-1 或 x>m+1}, 又{x|x2-2x-3>0}={x|x<-1 或 x>3}, B.m=2 D.m=1 ) )

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? ? ?-1≤m-1 ?-1<m-1 ∴? 或? ,∴0≤m≤2. ?m+1<3 ?m+1≤3 ? ?

12.有下列几个命题: ①“若 a>b,则 a2>b2”的否命题; ②“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ③“若 x2<4,则-2<x<2”的逆否命题. 其中真命题的序号是________. 答案 ②③ 解析 ①原命题的否命题为“若 a≤b,则 a2≤b2”错误. ②原命题的逆命题为:“x,y 互为相反数,则 x+y=0”正确. ③原命题的逆否命题为“若 x≥2 或 x≤-2,则 x2≥4”正确. B 组 专项能力提升 (时间:15 分钟) 13.若集合 A={x|2<x<3},B={x|(x+2)(x-a)<0},则“a=1”是“A∩B=?”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 A 解析 当 a=1 时,B={x|-2<x<1},满足 A∩B=?; 反之,若 A∩B=?,只需 a≤2 即可,故“a=1”是“A∩B=?”的充分不必要条件. 14.设 a,b 为正数,则“a-b>1”是“a2-b2>1”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 A 解析 ∵a-b>1,即 a>b+1. 又∵a,b 为正数, ∴a2>(b+1)2=b2+1+2b>b2+1, 即 a2-b2>1 成立, 反之, 当 a= 3, b=1 时, 满足 a2-b2>1, 但 a-b>1 不成立.所以“a-b>1”是“a2-b2>1”充分不必要条件. 15.给定两个命题 p、q,若綈 p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是綈 q 的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

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解析 若綈 p 是 q 的必要不充分条件, 则 q?綈 p 但綈 p 所以 p 是綈 q 的充分不必要条件.

q, 其逆否命题为 p?綈 q 但綈 q

p,

16.已知“命题 p:(x-m)2>3(x-m)”是“命题 q:x2+3x-4<0”成立的必要不充分条件,则 实数 m 的取值范围为________. 答案 (-∞,-7]∪[1,+∞) 解析 将两个命题化简得,命题 p:x>m+3 或 x<m,命题 q:-4<x<1.因为 p 是 q 成立的必要 不充分条件,所以 m+3≤-4,或 m≥1,故 m 的取值范围是(-∞,-7]∪[1,+∞).
? 1 x ? 17.已知集合 A=?x|2<2 <8,x∈R?,B={x|-1<x<m+1,x∈R},若 x∈B 成立的一个充分不 ? ?

必要的条件是 x∈A,则实数 m 的取值范围是________. 答案 (2,+∞)
? 1 x ? 解析 A=?x|2<2 <8,x∈R?={x|-1<x<3}, ? ?

∵x∈B 成立的一个充分不必要条件是 x∈A, ∴A B,∴m+1>3,即 m>2. 18.下列四个结论中: ①“λ=0”是“λa=0”的充分不必要条件;②在△ABC 中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件;③若 a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b 全不为零”的充要条 件;④若 a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b 不全为零”的充要条件. 正确的是________. 答案 ①④ 解析 由 λ=0 可以推出 λa=0,但是由 λa=0 不一定推出 λ=0 成立,所以①正确. 由 AB2+AC2=BC2 可以推出△ABC 是直角三角形,但是由△ABC 是直角三角形不能确定哪个 角是直角,所以②不正确. 由 a2+b2≠0 可以推出 a,b 不全为零, 反之,由 a,b 不全为零可以推出 a2+b2≠0, 所以③不正确,④正确.

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