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2011-2012高一数学试题(答案定稿)


武昌区 2011-2012 学年度第二学期期末调研考试
高一数学试题参考答案及评分细则

一、选择题: 1.A 2.C 3.C 4.B 5.D 6.B 7.D 8.A 9.A 10.C

二、填空题: 11.0 12. 3 13.①④ 14. ? x | x ? 0或x ? 4

?

15

. k1 ? k2 ? k3

三、解答题: 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ )由图象知 A ? 2 , T ? 8 , ∴
2?

?

? 8 ,得 ? ?

?
4

.
?
4

又图象经过点 (?1,0) ,∴2sin(?
?
2

? ?) ? 0 .
?
4

∵| ? |?

,∴ 由?

?
4

? ? ? 0 ,得 ? ?

.
? ?

故函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 2sin( x ? ) . …………………………………………(6 分)
4 4

(Ⅱ ) g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 sin(

?
4

x?

?

) ? 2 sin[ ( x ? 2) ? ] 4 4 4

?

?

? 2 sin(

?
4

x?

?
4
?
2

) ? 2 sin(

?
4

x?
?

?
2

?

?
4

) ? 2 sin(

?
4

x?

?
4

) ? 2 cos(

?
4

x?

?
4

)

? 2 2 sin( x ? ) ? 2 2 cos x .
4 4

?

由 2 k? ? ? ?

?
4

x ? 2k? ,得 8k ? 4 ? x ? 8k (k ? Z) .

又 x ?[?6,2] ,故 g ( x) 的单调递增区间为 [?4,0] .……………………………………(12 分)

17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ )当 n=1 时, a1 ? 1 ?

1 2 a1 , ? a1 ? . 2 3
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高一数学试题参考答案及评分细则

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 1 ?

1 1 a n ? 1 ? a n ?1 . 2 2

a 3 1 1 ? a n ? a n ?1 .? n ? . 2 2 a n ?1 3
2 1 ? 数列 ?an ? 是以 为首项, 为公比的等比数列. 3 3 2 1 2 ? a n ? ? ( ) n ?1 ? n . ………………………………………………(6 分) 3 3 3 2 (Ⅱ )? c n ? (2n ? 1) ? n , 3 1 1 1 ? Tn ? 2[1 ? ? 3 ? 2 ? ? ? (2n ? 1) ? n ] . ① 3 3 3 1 1 1 1 ? Tn ? 2[1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? (2n ? 1) ? n?1 ] . ② 3 33 3 3 2 1 2 2 1 ① -② ,得 Tn ? 2[ ? 2 ? ? ? n ? (2n ? 1) ? n ?1 ] . 3 3 3 3 3 1 1 (1 ? n?1 ) 2 1 1 3 ? Tn ? 2[ ? 2 ? 9 ? ?2n ? 1? ? n?1 ] . 1 3 3 3 1? 3 2n ? 2 ? Tn ? 2 ? ………………………………………………(12 分) (n ? N ? ) . n 3
18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ )取 PC 中点 M,连 ME,MF. ∵ FM//CD,FM=

1 1 CD ,AE//CD,AE= CD , 2 2

∴ AE//FM,且 AE=FM,即四边形 AFME 是平行四边形. ∴ AF//EM. ∵ AF ? 平面 PCE,? AF//平面 PCE. ……………………………………………(6 分) (Ⅱ )延长 DA,CE 交于 N.过 A 作 AH⊥ CN 于 H,连 PH. ∵ PA⊥ 平面 ABCD,? PA ? CN .? CN ? 平面 PHA . 又 PH ? 平面 PHA ,? CN ? PH . ∴ ∠ PHA 为二面角 P—EC—A 的平面角 . ∵ AD=10,CD=15,∴ C N=25,即 EN ?

25 . 2

P F N H B A E C M D

又 PA ? 6 ,∴ AH=

AN ? AE ? EN

10 ?

15 2 ? 6. 25 2

? tan ?PHA ?

PH 6 ? ? 1. AH 6

∴ 二面角 P—EC—A 的大小为

? .……………………………………………(12 分) 4
第 2 页 (共 4 页)

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19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ )当 m ?

1 1 ?4. 时, f ( x ) ? x ? 4 4x

设 1 ? x1 ? x2 ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ?

( x ? x )(4 x1 x2 ? 1) 1 1 ) ? ( x2 ? )? 1 2 ?0. 4 x1 4 x2 4 x1 x2

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,? f ( x ) 在 [1, ??) 上为增函数. 所以, f ( x ) 在 [1, ??) 上的最小值为 f (1) ? (Ⅱ )在区间 [1, ??) 上, f ?x ? ? 设 y ? x 2 ? 4 x ? m, x ? ? 1,??? , 由 y ? x 2 ? 4x ? m ? ?x ? 2? ? a ? 4 在 [1, ??) 上递增,则当 x ? 1 时, y min ? 5 ? m .
2

21 .……………………………………………(6 分) 4

x 2 ? 4x ? m ? 0 恒成立,等价于 x 2 ? 4 x ? m ? 0 恒成立. x

于是,当且仅当 ymin ? 5 ? m ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立. 此时实数 m 的取值范围为 (?5, ??) .……………………………………………(12 分) 20. (本小题满分 13 分) 解:设裁员 x 人,可获得的经济效益为 y 万元,则

y ? (4m ? x)(5 ? 0.1x) ? 4 x .
1 2 ? x ? 2(2m ? 45) x ? .……………………………………………(4 分) ? ? 20m . 10 ? 1 2 ? x ? 2(2m ? 45) x ? 则二次函数 y ? ? ? ? 20m 的对称轴方程为 x ? 2m ? 45 . 10 ? 1 ? 0 ,有: 由? 10 1 2 ? x ? 2(2m ? 45) x ? 当 x ? 2m ? 45 时,函数 y ? ? ? ? 20m 是递增的; 10 ? 1 2 ? x ? 2(2m ? 45) x ? 当 x ? 2m ? 45 时,函数 y ? ? ? ? 20m 是递减的. 10 ? 3 又由该公司正常运转所需人数不得少于现有职员的 , 4 3 所以 4m ? x ? ? 4m ,即 0 ? x ? m . 4 又 40 ? m ? 160 , ①当 0 ? 2m ? 45 ? m ,即 40 ? m ? 45 时, x ? 2m ? 45 时, 1 2 ? x ? 2(2m ? 45) x ? 函数 y ? ? ? ? 20m 取得最大值. 10 ? ②当 2m ? 45 ? m ,即 45 ? m ? 160 时, x ? m 时,
整理得 y ? ?
高一数学试题参考答案及评分细则 第 3 页 (共 4 页)

函数 y ? ?

1 2 ? x ? 2(2m ? 45) x ? ? ? 20m 取得最大值. 10 ?

综上所述:当 40 ? m ? 45 时,应裁员 (2m ? 45) 人;当 45 ? m ? 160 时,应裁员 m 人,公司才能获 得最大的经济效益.……………………………………………(13 分) 21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ )① 当直线 l 与 x 轴垂直时, 易知 x ? ?1 符合题意. ② 当直线 l 与 x 轴不垂直时, 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 即 kx ? y ? k ? 0 .

y

4 ? 3 ? 1. 4 | ?k ? 3 | 则由 CM ? ? 1 ,得 k ? . 2 3 k ?1 ? 直线 l : 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 .
从而所求直线 l 的方程为 x ? ?1 或 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 .…………(6 分) (Ⅱ )因为 CM⊥ MN, N

因为 PQ ? 2 3 ,所以 CM ?

C· M Q · · A P O m l

l

x

? AM ? AN ? ( AC ? CM ) ? AN ? AC ? AN ? CM ? AN ? AC ? AN . 5 5 ① 当 l 与 x 轴垂直时,易得 N ( ?1, ? ) ,则 AN ? (0, ? ) . 3 3 又 AC ? (1,3) ,
? AM ? AN ? AC ? AN ? ?5 .
.………………………………………(8 分)

② 当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,

? y ? k ( x ? 1) ? 3k ? 6 ? 5 k , ,得 N ( ). 1 ? 3k 1 ? 3k ?x ? 3 y ? 6 ? 0 ?5 ?5k , ). 则 AN ? ( 1 ? 3k 1 ? 3k ?5 ?15k ? ? ?5 . ? AM ? AN ? AC ? AN = 1 ? 3k 1 ? 3k
则由 ? 综上, AM ? AN 与直线 l 的斜率无关,且 AM ? AN ? ?5 . …………………………(14 分)

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