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二项式定理


杨辉三角和二项式系数性质
10.4 二项式定理

杨辉三角

《 九 章 算 术 》

杨 辉

杨辉三角 《 详 解 九 章 算 法 》 中 记 载 的 表

杨辉三角

1.“杨辉三角”的来历及规 n 律 (a ? b) 展开式中的二项式系数

,当时,如下表所示: 1 1 1 (a ? b) 2 (a ? b) 1 2 1 3 1 3 3 1 (a ? b) 4 (a ? b) 1 4 6 4 1 5 (a ? b) 1 5 10 10 5 1 6 (a ? b) 1 6 15 20 15 6 1

杨辉三角

点击图片可以演示“杨辉三角”课件

二项式系数的性质

(a ? b) 展开式的二项式 0 1 2 n 系数依次是: Cn , Cn , Cn ,?, Cn
n

从函数角度看,Cr n 可看 成是以r为自变量的函数 f (r ) , 其定义域是: ?0,1,2,?, n?
当 n ? 6 时,其图象是右 图中的7个孤立点.

二项式系数的性质

2.二项式系数的性质
(1)对称性 与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等. 这一性质可直接由公式 m n ?m Cn ? Cn 得到.

n 图象的对称轴:r ? 2

二项式系数的性质 (2)增减性与最大值
n(n ? 1)(n ? 2) ? (n ? k ? 1) 由于: C ? k ? (k ? 1)! k ?1 n ? k ? 1 ? Cn ? k
k n

n ? k ?1 所以C 相对于C 的增减情况由 决定. k
k n

k ?1 n

二项式系数的性质 (2)增减性与最大值 由:n ? k ? 1 ? 1 ? k ? n ? 1
k 2
n ?1 可知,当 k ? 时, 2

二项式系数是逐渐增大的,由对称性可 知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取 得最大值。

二项式系数的性质 (2)增减性与最大值

因此,当n为偶数时,中间一项的二项式 系数 C 取得最大值;
当n为奇数时,中间两项的二项式系数 C 相等,且同时取得最大值。
n ?1 2 n
n 2 n



C

n ?1 2 n

二项式系数的性质 (3)各二项式系数的和 在二项式定理中,令 a ? b ? 1,则:

C ? C ? C ? ?? C ? 2
0 n 1 n 2 n n n

n

(a ? b)n的展开式的各二项式系 这就是说, n 数的和等于: 2

同时由于C0 n ? 1,上式还可以写成:

C ? C ? C ? ? ? C ? 2 ?1
1 n 2 n 3 n n n n

这是组合总数公式.

例1 证明在 (a ? b) 的展开式中,奇 数项的二项式系数的和等于偶数项的二 项式系数的和.
n

例2 已知

2 n ( x? ) 的展开式中,第 x
3

4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系 数的7倍,求展开式中x的一次项.

内容小结 二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数,它有三条性质,要理解和掌握 好,同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别,不能混淆,只有二项式系数最大的 才是中间项,而系数最大的不一定是中间项, 尤其要理解和掌握“取特值”法,它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段。


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