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上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编:圆锥曲线


上海市各区县 2016 届高三上学期期末考试数学理试题汇编 圆锥曲线
一、填空题 1、(宝山区2016届高三上学期期末)抛物线 y 2 ? ?12 x 的准线与双曲线 所围成的三角形的面积等于 .

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线 9 3

2、(崇明县2016届高三上学期期末)在△ABC中,AN=4,BC= 6 2 ,∠CBA = AB 为实轴,且过点C,则 ? 的焦距为

? ,.若双曲线 ? 以 4

3、(奉贤区 2016 届高三上学期期末)若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线经过双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的 一个焦点,则 p ? ________ 4、(虹口区 2016 届高三上学期期末)如图,已知双曲线 C 的右焦点为 F, 过它的右顶点 A 作实轴的垂线,与其一条渐近线相交于点 B ;若双曲线 C 的焦距为 4, ?OFB 为等边三角形( O 为坐标原点,即双曲线 C 的中心),则双曲线 C 的方程为_________________.
O A B y

5、(黄浦区 2016 届高三上学期期末)已知 k ? Z ,若曲线 x2 ? y 2 ? k 2 与曲线

F

x

xy ? k 无交点,则 k ?



6、(金山区 2016 届高三上学期期末)以椭圆 且以该椭圆的右焦点为焦点的抛物线方程是

x2 y2 ? ? 1 的中心为顶点, 25 16
(第7题图)
2

7、 (静安区 2016 届高三上学期期末) 已知抛物线 y ? ax 的准线方程是 y ? ? 8、 (闵行区 2016 届高三上学期期末)点 P 、Q 均在椭圆 ? : 是椭圆 ? 的左、右焦点,则 PF1 ? PF2 ? 2 PQ 的最大值为 9、(普陀区 2016 届高三上学期期末)设 P 是双曲线 离分别为 d1 , d 2 ,则 d1 ? d 2 ? _________.

1 , 则a ? 4

.

x2 y2 ? ? 1 (a ? 1) 上运动, F1、F2 a2 a2 ?1
.

???? ???? ?

??? ?

x2 y 2 ? ? 1 上的动点,若 P 到两条渐近线的距 4 2

10、 (松江区 2016 届高三上学期期末)已知抛物线 C : y ? 4x 的准线为 l ,过 M ( 1 ,0) 且斜率为 k 的
2

直线与 l 相交于点 A ,与抛物线 C 的一个交点为 B .若 AM ? 2MB ,则 k ?

???? ?

????





11、(杨浦区 2016 届高三上学期期末)抛物线 C 的顶点为原点 O ,焦点 F 在 x 轴正半轴,过焦点

且倾斜角为

? 的直线 l 交抛物线于点 A, B ,若 AB 中点的横坐标为 3 ,则抛物线 C 的方程为 4

_______________.

填空题参考答案:
1、 3 3 6、y2=12x 11、 y 2 ? 4x 二、选择题 1、(嘉定区 2016 届高三上学期期末)已知圆 M 过定点 (2 , 0) ,圆心 M 在抛物线 y 2 ? 4 x 上运动, 若 y 轴截圆 M 所得的弦为 AB ,则 | AB | 等于( A. 4 B. 3 C. 2 ) D. 1 2、8 7、1 12、 3、 2 2 8、 2 a 13、
2 4、 x 2 ? y ? 1 3

5、 ?1

9、

4 3

10、 ?2 2 16、 17、

14、 15、

2 、 ( 青 浦 区 2016 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 已 知 抛 物 线 y 2 ? 2 p x( ? p 0与 ) 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F ,点 A 是两曲线的一个交点,且 AF ? x 轴,若 l 为双曲 a 2 b2
线一、三象限的一条渐近线,则 l 的倾斜角所在的区间可能是………………………( (A) ? 0, ).

? ?? ? ? 6?

(B) ?

?? ? ? , ? ?6 4?

(C) ?

?? ? ? , ? ?4 3?

(D)

?? ? ? ? , ? ?3 2?

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点 3、(松江区 2016 届高三上学期期末)已知双曲线 m 5
相同,则此双曲线的渐近线方程为

A. y ? ?

5 x 2

B. y ? ?

2 5 x 5

C. y ? ?

5 3 5 x D. y ? ? x 3 5

选择题参考答案:
1、A 2、D 3、A

三、解答题 1、 ( 宝山 区 2016 届 高三 上 学 期 期 末 ) 已 知 椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上 两 个 不 同 的 点 A,B 关 于 直 线 2

1 y ? mx ? ( m ? 0)对称. 2
(1)若已知 C (0, ) , M 为椭圆上动点,证明: MC ? (2)求实数 m 的取值范围; (3)求 ?AOB 面积的最大值( O 为坐标原点) .

1 2

10 ; 2

y

O B A

x

2、(奉贤区 2016 届高三上学期期末)设三个数 其中 ? x, y ? 对应点的曲线方程是 C . (1)、求 C 的标准方程;

? x ? 1?

2

? y 2 ,2,

? x ? 1?

2

? y 2 成等差数列,

(2)、直线 l1 : x ? y ? m ? 0 与曲线 C 相交于不同两点 M , N ,且满足 ?MON 为钝角,其中 O 为 直角坐标原点,求出 m 的取值范围. 3、(虹口区 2016 届高三上学期期末) 已 知椭 圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的 左 焦点 为 F , 短 轴 的两 个 端点 分 别为 A、B, 且 a 2 b2
y B M J H N A (第23题图) x

AB ? 2, ?ABF 为等边三角形 .
(1) 求椭圆 C 的方程;

o
(2) 如图,点 M 在椭圆 C 上且位于第一象 限内,它关于坐标原点 O 的对称点为 N; 过点 M 作 x 轴的垂线,垂足为 H,直线 NH 与椭圆
F

???? ? ???? C 交于另一点 J,若 HM ? HN ? ? 1 ,试求以线段 NJ 为直径的圆的方程; 2
2 2 (3)已知 l1、l2 是过点 A 的两条互相垂直的直线,直线 l1 与圆 O : x ? y ? 4 相交于 P、Q 两点,

直线 l2 与椭圆 C 交于另一点 R ;求 ?PQR 面积取最大值时,直线 l1 的方程.

4、 (黄浦区 2016 届高三上学期期末)已知椭圆 ? :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ),过原点的两条直线 l1 a2 b2

和 l2 分别与 ? 交于点 A 、 B 和 C 、 D ,得到平行四边形 ACBD . (1)当 ACBD 为正方形时,求该正方形的面积 S .
2 (2) 若直线 l1 和 l2 关于 y 轴对称,? 上任意一点 P 到 l1 和 l2 的距离分别为 d 1 和 d2 , 当 d12 ? d 2 为

定值时,求此时直线 l1 和 l2 的斜率及该定值. (3)当 ACBD 为菱形,且圆 x2 ? y 2 ? 1 内切于菱形 ACBD 时,求 a , b 满足的关系式.

5、(嘉定区 2016 届高三上学期期末)在平面直角坐标系 xOy 内,动点 P 到定点 F (?1 , 0) 的距离 与 P 到定直线 x ? ?4 的距离之比为

1 . 2

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)若轨迹 C 上的动点 N 到定点 M (m , 0) ( 0 ? m ? 2 )的距离的最小值为 1 ,求 m 的值. (3)设点 A 、 B 是轨迹 C 上两个动点,直线 OA 、 OB 与轨迹 C 的另一交点分别为 A1 、 B1 , 且直线 OA 、 OB 的斜率之积等于 ?

3 ,问四边形 ABA 1B 1 的面积 S 是否为定值?请说明理由. 4

6、 (金山区 2016 届高三上学期期末) 在平面直角坐标系中, 已知椭圆 C :
2 2

x2 y2 ? ?1, 设点 R?x0 , y0 ? 24 12

是椭圆 C 上一点,从原点 O 向圆 R : ?x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? 8 作两条切线,切点分别为 P, Q . (1) 若直线 OP, OQ 互相垂直,且点 R 在第一象限内,求点 R 的坐标; (2) 若直线 OP, OQ 的斜率都存在,并记为 k1 , k 2 ,求证: 2k1k2 ? 1 ? 0 .

7、(静安区 2016 届高三上学期期末)设 P1 和 P2 是双曲线 为 M,直线 P1P2 不经过坐标原点 O.

x2 y2 ? ? 1 上的两点,线段 P1P2 的中点 a2 b2

b2 (1)若直线 P1P2 和直线 OM 的斜率都存在且分别为 k1 和 k2,求证:k1k2= 2 ; a
(2)若双曲线的焦点分别为 F 1 (? 3,0) 、 F 2 ( 3,0) ,点 P1 的坐标为(2,1) ,直线 OM 的斜率为

3 ,求由四点 P1、 F1、P2、F2 所围成四边形 P1 F1P2F2 的面积. 2
8、(闵行区 2016 届高三上学期期末) 已知椭圆 ? 的中心在坐标原点,且经过点 (1, ) ,它的一个 焦点与抛物线 ? : y 2 ? 4 x 的焦点重合. (1)求椭圆 ? 的方程; (2)斜率为 k 的直线 l 过点 F ?1, 0? ,且与抛物线 ? 交于 A、B 两点,设点 P(?1, k ) ,△ PAB 的面 积为 4 3 ,求 k 的值; (3) 若直线 l 过点 M ? 0, m?( m ? 0 ) , 且与椭圆 ? 交于 C、D 两点, 点 C 关于 y 轴的对称点为 Q , 直线 QD 的纵截距为 n ,证明: mn 为定值.

3 2

9 、(浦东新区 2016 届高三上学期期末)在平面直角坐标系 xOy 中,对于点 P( x0 , y0 ) 、直线

l : ax ? by ? c ? 0 ,我们称 ? ?
(1) 设椭圆

ax0 ? by0 ? c a 2 ? b2

为点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : ax ? by ? c ? 0 的方向距离。

距离分别为 ? 1 、 ? 2 ,求 ? 1? 2 的取值范围。

x2 ? y 2 ? 1 上的任意一点 P ( x , y) 到直线 l1 : x ? 2 y ? 0 , l2 : x ? 2 y ? 0 的方向 4

试问是否存在实数 t ,对任意的 ? 都有?1? 2 ? 1 成立?若存在,求出 t 的值;不存在,说明理由。 (3) 已知直线 l :mx ? y ? n ? 0 和椭圆 E :

(2)设点 E (?t ,0) 、 F (t ,0) 到直线 l : x cos? ? 2 y sin ? ? 2 ? 0 的方向距离分别为?1 、? 2 ,

x2 y2 ? ?1 (a ? b ? 0) , 设椭圆 E 的两个焦点 F1 , F2 a2 b2
2

到直线 l 的方向距离分别为 ?1 、 且直线 l 与 x 轴的交点为 A 、 与 y 轴的交点为 B , ?2 满足 ?1?2 ? b , 试比较 AB 的长与 a ? b 的大小。

10、 (普陀区 2016 届高三上学期期末)如图,椭圆 椭圆的右顶点,点 P 在椭圆上且 ?PF1F2 ? arccos (1)计算 PF1 的值; (2)求 ?PF1 A 的面积.

x2 y 2 ? ? 1 的左、右两个焦点分别为 F1 , F2 , A 为 25 9

7 . 8

y
P

F1

O

A

x

11、(青浦区 2016 届高三上学期期末)已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴,且抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点

F 是椭圆 M 的一个焦点,以 F 为圆心,以椭圆 M 的短半轴长为半径的圆与直线
相切. l: x? 2 2 y? 2 ? 0 (1)求椭圆 M 的方程; (2)已知直线 y ? x ? m 与椭圆 M 交于 A、B 两点,且椭圆 M 上存在点 P 满足 OP ? OA ? OB , 求 m 的值. 12、(松江区 2016 届高三上学期期末)在平面直角坐标系 xOy 中, O 为坐标原点,C、D 两点的坐 标为 C (- 1, 0), D (1, 0), 曲线 E 上的动点 P 满足 PC + PD = 2 3 .又曲线 E 上的点 A、 B 满足
OA ? OB .

??? ?

??? ? ??? ?

(1)求曲线 E 的方程; (2)若点 A 在第一象限,且 OA ?

3 OB ,求点 A 的坐标; 2

(3)求证:原点到直线 AB 的距离为定值. 13、(徐汇区 2016 届高三上学期期末)已知直线 l1 、 l2 与曲线 W : mx ? ny ? 1? m ? 0, n ? 0? 分别
2 2

相交于点 A 、 B 和 C 、 D ,我们将四边形 ABCD 称为曲线 W 的内接四边形. (1) 若直线 l1 : y ? x? a和 l2 : y ? x ? b 将单位圆 W : x ? y ? 1 分成长度相等的四段弧,求
2 2

a 2 ? b 2 的值;
(2) 若直线 l1 : y ? 2x ? 10, l2 : y ? 2x ? 10 与圆 W : x ? y ? 4 分别交于点 A 、B 和 C 、D ,
2 2

求证:四边形 ABCD 为正方形;

x2 ? y 2 ? 1 的内接正方形有且只有一个,并求该内接正方形的面积. (3) 求证:椭圆 W : 2

14、(杨浦区 2016 届高三上学期期末)如图,曲线 ? 由两个椭圆 T1 :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 和 a 2 b2

椭圆 T2 :

y 2 x2 ? ? 1? b ? c ? 0 ? 组成,当 a, b, c 成等比数列时,称曲线 ? 为“猫眼曲线”. b2 c 2

(1) 若猫眼曲线 ? 过点 M 0, ? 2 ,且 a, b, c 的公比为

?

?

2 ,求猫眼曲线 ? 的方程; 2

(2) 对于题(1)中的求猫眼曲线 ? ,任作斜率为 k ? k ? 0? 且不过原点的直线与该曲线相交,交 椭圆 T1 所得弦的中点为 M ,交椭圆 T2 所得弦的中点为 N ,求证:

k OM 为与 k 无关的定值; k ON

(3) 若斜率为 2 的直线 l 为椭圆 T2 的切线, 且交椭圆 T1 于点 A, B ,N 为椭圆 T1 上的任意一点 (点

N 与点 A, B 不重合),求 ?ABN 面积的最大值.

y

o

x

解答题参考答案
1、解: (1)设 M ( x, y ), 则

x2 ? y 2 ? 1 , 于是 2

1 1 MC ? x 2 ? ( y ? ) 2 = 2 ? 2 y 2 ? ( y ? ) 2 2 2 ? ? y2 ? y ? 9 4
--------------------------------------------------------2 分

1 5 ? ? ( y ? )2 ? 2 2
因 ? 1 ? y ? 1, 所以,当 y ? ?

1 10 10 时, MC .即 MC ? ? max 2 2 2

----------------------------4 分

(2)由题意知 m ? 0 ,可设直线 AB 的方程为 y ? ?

1 x ? b . ------------------------------5 分 m

? x2 ? y 2 ? 1, ? ?2 由? 消去 y ,得 ? y ? ? 1 x ? b, ? m ?
2 ? m2 2 2b x ? x ? b 2 ? 1 ? 0 . --------------------------------------------------------7 分 2m 2 m
1 x2 ? y 2 ? 1有两个不同的交点, 因为直线 y ? ? x ? b 与椭圆 m 2
所以, ? ? ?2b ? 2 ?
2

4 ?0, m2
①----------------------------8 分

即 b ? 1?
2

2 m2

将 AB 中点 M (

2mb m 2b , ) --------------------------------------------------------9 分 m2 ? 2 m2 ? 2


1 m2 ? 2 代入直线方程 y ? mx ? 解得 b ? ? 2 2m 2
由①②得 m ? ?

6 6 或m ? --------------------------------------------------------10 分 3 3

(3)令 t ?

3 1 6 6 ? (? ,0) ? (0, ) ,即 t 2 ? (0, ) , 2 m 2 2

? 2t 4 ? 2t 2 ?
则 AB ?

t2 ?1 ?

3 2

1 t ? 2
2

--------------------------------------------11 分

1 2 -----------------------------------------------12 分 且 O 到直线 AB 的距离为 d ? 2 t ?1 t2 ?
设 ?AOB 的面积为 S (t ) ,所以

S (t ) ?

1 1 1 2 AB ? d ? ? 2(t 2 ? ) 2 ? 2 ? 2 2 2 2
2

--------------------------14 分

当且仅当 t ?

1 时,等号成立. 2

故 ?AOB 面积的最大值为

2 . ---------------------------------------------------16 分 2

2、(1)、依题意:

? x ?1? ? y 2 ? ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 所以点 P ? x, y ? 对应的曲线方程 C 是椭圆
2

1分 2分 3分 4分 5分 6分

2a ? 4,? a ? 2 . c ?1 ?a ? 2, c ? 1, b ? 3

x y ? ?1 4 3

2

2

?x ? y ? m ? 0 ? 2 2 (2)、联立方程组 ? x 2 y 2 消去 y ,得 7 x ? 8mx ? 4m ? 12 ? 0 ?1 ? ? ?4 3
2 ? ?6 4 m2 ? 2 ? 8 m 42 ? ? 1 2 ? 3 3? 6 m4 8?

7分

0

8分 9分

? m2 ? 7
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 得 x1 x2 ? 方法一

4m 2 ? 12 7

10 分

3m 2 ? 12 可计算 y1 y2 ? 7
由 ?MON 为钝角,则 OM ? ON ? 0 , x1 x2 ? y1 y2 ? 0

11 分

???? ? ????

4m2 ? 12 3m2 ? 12 ? ?0 7 7
所以 m ?
2

12 分

24 7

13 分

??

2 42 2 42 ?m? 7 7
2

14 分

方法二 或者 x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? ? x1 ? m?? x2 ? m? ? 2x1x2 ? m ? x1 ? x2 ? ? m 11 分

?

2 4m2 ?12 7
所以 m ?
2

?

? ? m 8m ? m
7

2

?

7m2 ? 24 ?0 7

12 分 13 分

24 7

??

2 42 2 42 ?m? , 7 7

14 分

2b ? 2, ? 3、解:(1)由题意,得 ? ? c ? 3 b, ? b2 ? c2 ? a 2 , ? ? a ? 2, x2 ? ? y 2 ? 1. 解得 ? b ? 1, 故椭圆 C 的方程为 4 ? ?c ? 3.

……(2 分)

……(4 分)

(2)设 M ( x0 , y0 ), 则由条件,知 x0 ? 0, y0 ? 0, 且 N (? x0 , ? y0 ), H ( x0 , 0). 从而 HM ? (0, y0 ), HN ? (?x0 , ? y0 ).

???? ?

????

???? ? ???? 1 2 于是由 HM ? HN ? (0, y0 ) ? (? x0 , ? y0 ) ? ? y0 2 ? ? , 及 y0 ? 0, 得 y0 ? . 2 2 x0 2 ? y0 2 ? 1, 求得 x0 ? 2. 再由点 M 在椭圆 C 上,得 4
所以 M ( 2,
2 2 ), N (? 2, ? ), H ( 2, 0 ); 2 2

……(6 分)

进而求得直线 NH 的方程: x ? 4 y ? 2 ? 0. 由? ? x2
? ? 4 ?x ? 4 y ?
2

2 ? 0,
求得 J (

? y ? 1,

7 5

2,

1 10

2).

……(8 分)

进而 NJ ? (

7 1 1 3 1 1 2 ? 2)2 ? ( 2? 2)2 ? 34, 线段 NJ 的中点坐标为( 2, ? 2). 5 10 2 5 5 5
1 1 153 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? . 5 5 50

因此以线段 NJ 为直径的圆的方程为: ( x ?

……(10 分)

(3)当直线 l1 的斜率不存在时,直线 l2 与椭圆 C 相切于点 A,不合题意;当直线 l1 的斜率为 0 时,可以求得 S?PQR ? 2 3. ……(12 分)

当直线 l1 的斜率存在且不为 0 时,设其方程为 y ? k x ? 1 (k ? 0), 则点 O 到直线 l1 的距离为

d?

1 k 2 ?1

2 , 从而由几何意义,得 PQ ? 2 4 ? d 2 ? 2 4k2 ? 3 ,

k ?1

由 于 l2 ? l1 , 故 直 线 l2 的 方 程 为 y ? ?

1 x ? 1, 可 求 得 它 与 椭 圆 C 的 交 点 R 的 坐 标 为 k
2 2

? ? 8k k 2 ? 4 ? 于是 8k ? ? k 2 ? 4 8 k 2 ?1 ? ? , ? ; AR ? ? ? ? ? 1 ? . ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 k2 ? 4 ? k ?4? ? k ?4 ? ? k ?4 k ?4?

故 S?PQR ?

1 8 4k 2 ? 3 PQ ? AR ? , 2 k2 ? 4

……(15 分)

32u 32 16 令u ? 4k 2 ? 3 ? 3, 则 S?PQR ? 2 ? ? 13 13 u ? 13 u ? 13 u
当且仅当 u ? 13(? 3), 即 k ? ? 因为
10 时,上式取等号. 2

16 16 l 13 ? 2 3, 故当 k ? ? 10 时, ? S?PQR ? ? 13 ;此时直线 1 的方程为: max 13 13 2

y??

10 x ? 1. (也可写成 ? 10x ? 2 y ? 2 ? 0. ) 2

……(18 分)

4、[解](1)因为 ACBD 为正方形,所以直线 l1 和 l2 的方程为 y ? x 和 y ? ?x .(1 分)

? y ? x, ? 点 A 、 B 的坐标 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 为方程组 ? x 2 y 2 的实数解, ? 2 ? 2 ?1 b ?a
2 ? 将 y ? x 代入椭圆方程,解得 x12 ? x2

a 2b 2 . a2 ? b2

4a 2 b 2 .(4 分) a 2 ? b2 (2)由题设,不妨设直线 l1 的方程为 y ? kx ( k ? 0 ),于是直线 l2 的方程为 y ? ? kx .
根据对称性,可得正方形 ACBD 的面积 S ? 4 x12 ? 设 P( x0 , y0 ) ,于是有
2 d12 ? d 2 ? 2 2 x0 y0 | kx0 ? y0 | | kx0 ? y0 | ? ? 1 ,又 d1 ? , d2 ? ,(6 分) 2 2 2 a b k ?1 k2 ?1

2 2 2 ? (kx0 ? y0 ) 2 (kx0 ? y0 ) 2 2k 2 x0 ? 2 y0 x0 2 2? ? ? ,将 代入上式, y ? b 1 ? ? 0 2 2 2 2 ? k ?1 k ?1 k ?1 ? a ?

? x2 2 2k 2 x0 ? 2b 2 ?1 ? 0 2 ? a 2 ? 得 d12 ? d 2 k2 ?1

? b2 ? 2 2 ? k 2 ? 2 ? x0 ? 2b 2 a ? ? ,(8 分) k2 ?1 b2 b 对于任意 x0 ?[?a, a] ,上式为定值,必有 k 2 ? 2 ? 0 ,即 k ? ? ,(9 分) a a 2 2 2 a b b b 2 ? 2 因此,直线 l1 和 l2 的斜率分别为 和 ? ,此时 d12 ? d 2 .(10 分) a ? b2 a a (3)设 AC 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相切的切点坐标为 ( x0 , y0 ) ,于是切线 AC 的方程为 x0 x ? y0 y ? 1 .

? ? ??

? x0 x ? y0 y ? 1 ? 点 A 、 C 的坐标 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 为方程组 ? x 2 y 2 的实数解. ? 2 ? 2 ?1 b ?a
① 当 x0 ? 0 或 y0 ? 0 时, ACBD 均为正方形,椭圆均过点 (1,1) ,于是有

1 1 ? ? 1 .(11 分) a 2 b2

② 当 x0 ? 0 且 y0 ? 0 时,将 y ?

x2 y2 1 (1 ? x0 x) 代入 2 ? 2 ? 1 , a b y0
2 a 2 (1 ? b 2 y0 ) ,(13 分) 2 2 2 2 b y0 ? a x0

2 2 2 整理得 (b2 y0 ? a2 x0 ) x2 ? 2x0 a2 x ? a2 (1 ? b2 y0 ) ? 0 ,于是 x1 x2 ?
2 b 2 (1 ? a 2 x0 ) .(15 分) 2 2 2 2 b y0 ? a x0

同理可得 y1 y2 ?

???? ??? ? 因为 ACBD 为菱形,所以 AO ? CO ,得 AO ? CO ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,(16 分)
于是
2 2 a 2 (1 ? b 2 y0 ) b 2 (1 ? a 2 x0 ) 2 2 2 2 ? ? 0 ,整理得 a2 ? b2 ? a 2b2 ( x0 ? y0 ) ,由 x0 ? y0 ?1, 2 2 2 2 2 2 2 2 b y0 ? a x0 b y0 ? a x0

得 a 2 ? b2 ? a 2b2 ,即

1 1 1 1 ? 2 ? 1 .(18 分)综上, a , b 满足的关系式为 2 ? 2 ? 1 . 2 a b a b

5、(1)设 P( x , y) ,由题意, 化简得 3x2 ? 4 y 2 ? 12 ,

( x ? 1) 2 ? y 2 1 ? , ……………………………(2 分) | x?4| 2

………………(3 分)

x2 y 2 ? ? 1 . ………………………………(4 分) 所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 4 3
2 2 (2)设 N ( x , y ) ,则 | MN |2 ? ( x ? m) 2 ? y 2 ? ( x ? m) 2 ? 3? ?1 ? 4 ? ? ? 4 x ? 2m x ? m ? 3 ? ?

?

x2 ?

1

1 ( x ? 4m) 2 ? 3(1 ? m 2 ) , ? 2 ? x ? 2 . ………………………………(2 分) 4 1 2 2 ①当 0 ? 4m ? 2 ,即 0 ? m ? 时,当 x ? 4 m 时, | MN | 取最小值 3(1 ? m ) ? 1, 2 ?
解得 m ?
2

2 6 4 6 ,m ? ,此时 x ? ? 2 ,故舍去. 3 3 3

…………………(4 分)

1 ? m ? 2 时,当 x ? 2 时, | MN |2 取最小值 m2 ? 4m ? 4 ? 1, 2 解得 m ? 1 ,或 m ? 3 (舍). …………………………………………………(6 分) 综上, m ? 1 .
②当 4 m ? 2 ,即 (3)解法一:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则由 kOA ? kOB ? ?

3 yy 3 ,得 1 2 ? ? ,(1 分) 4 x1 x2 4

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ,
2 1 2 因为点 A 、 B 在椭圆 C 上,所以 y12 ? 3? ?1 ? 4 ? ? , y2 ? 3? ?1 ? 4 ? ?, ? ? ? ?

?

x2 ?

?

x2 ?

所以, 9 x1 x2 ? 16y1 y2 ? 9(4 ? x1 )(4 ? x2 ) ,化简得 x1 ? x2 ? 4 . …………(2 分)
2 2 2 2 2 2 2 2

①当 x1 ? x2 时,则四边形 ABA 1B 1 为矩形, y2 ? ? y1 ,则

y12 3 ? , x12 4
3

2 2 1 1 由 y12 ? 3? ?1 ? 4 ? ? ,解得 x1 ? 2 , y1 ? 2 , ?1 ? 4 ? ? ,得 4 x1 ? 3? ? ? ? ?

?

x2 ?

3

2

?

x2 ?

S ?| AB | ? | A1B |? 4 | x1 || y1 | ? 4 3 .

……………………………………(3 分)

②当 x1 ? x2 时,直线 AB 的方向向量为 d ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ,直线 AB 的方程为

?

( y2 ? y1 ) x ? ( x2 ? x1 ) y ? x2 y1 ? x1 y2 ? 0 , 原 点

O





线

AB

的 距 离



d?

| x1 y2 ? x2 y1 | ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2
1 1 ? | AB | ?d ? | x1 y2 ? x2 y1 | , 2 2

所以,△ AOB 的面积 S ?AOB ?

根据椭圆的对称性,四边形 ABA 1B 1 的面积 S ? 4S?AOB ? 2 | x1 y2 ? x2 y1 | ,……(4 分)
2 2 2 2 所以, S 2 ? 4( x1 y2 ? x2 y1 )2 ? 4( x1 y2 ? 2x1x2 y1 y2 ? x2 y1 )
2 ? ? ? 3 2 2 x2 x12 ?? 2? 2 2 ? ? ? ? 4?3x12 ? 1 ? ? x x ? 3 x 1 ? 2? ? ? 2 1 2 ?? ? 12( x1 ? x2 ) ? 48 ,所以 S ? 4 3 . 4 4 ? ? ?? ? ?

所以,四边形 ABA 1B 1 的面积为定值 4 3 .

……………………………………(6 分)

解法二:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 A1 (? x1 , ? y1 ) , B1 (? x2 , ? y2 ) , 由 kOA ? kOB ? ?

3 yy 3 ,得 1 2 ? ? , 4 x1 x2 4

…………………………………………(1 分)

2 1 2 因为点 A 、 B 在椭圆 C 上,所以 y12 ? 3? ?1 ? 4 ? ? , y2 ? 3? ?1 ? 4 ? ?, ? ? ? ?

?

x2 ?

?

x2 ?

所以, 9 x1 x2 ? 16y1 y2 ? 9(4 ? x1 )(4 ? x2 ) ,化简得 x1 ? x2 ? 4 . …………(2 分)
2 2 2 2 2 2 2 2

直线 OA 的方程为 y1x ? x1 y ? 0 ,点 B 到直线 OA 的距离 d ? △ ABA 1 的面积 S ?ABA1 ?

| x1 y2 ? x2 y1 | x12 ? y12



1 ? | AA1 | ?d ?| x1 y2 ? x2 y1 | , 2

……………………(3 分)

? 2 | x1 y2 ? x2 y1 | ,……(4 分) 根据椭圆的对称性,四边形 ABA 1B 1 的面积 S ? 2S?ABA 1

2 2 2 2 所以, S 2 ? 4( x1 y2 ? x2 y1 )2 ? 4( x1 y2 ? 2x1x2 y1 y2 ? x2 y1 )
2 ? ? ? 3 2 2 x2 x12 ?? 2? 2 2 ? ? ? ? 4?3x12 ? 1 ? ? x x ? 3 x 1 ? 2? ? ? 2 1 2 ?? ? 12( x1 ? x2 ) ? 48 ,所以 S ? 4 3 . 4 4 ? ? ?? ? ?

所以,四边形 ABA 1B 1 的面积为定值 4 3 .

………………………………(6 分)

解法三:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 A1 (? x1 , ? y1 ) , B1 (? x2 , ? y2 ) 由 kOA ? kOB ? ?

3 yy 3 ,得 1 2 ? ? , 4 x1 x2 4

…………………………………………(1 分)

2 1 2 因为点 A 、 B 在椭圆 C 上,所以 y12 ? 3? ?1 ? 4 ? ? , y2 ? 3? ?1 ? 4 ? ?, ? ? ? ?
2 2 2 2 2 所以, 9 x1 x2 ? 16y12 y2 ? 9(4 ? x12 )(4 ? x2 ) ,化简得 x12 ? x2 ? 4 . …………(2 分)

?

x2 ?

?

x2 ?

△ ABA 1 的面积 S ?ABA1

x1 1 ? x2 2 ? x1

y1 y1 ? y1

1 1 ?| x1 y2 ? x2 y1 | , ……………………(3 分) 1

根据椭圆的对称性,四边形 ABA ? 2 | x1 y2 ? x2 y1 | ,……(4 分) 1B 1 的面积 S ? 2S?ABA 1 所以,所以, S ? 4( x1 y2 ? x2 y1 ) ? 4( x1 y2 ? 2x1x2 y1 y2 ? x2 y1 )
2 2 2 2 2 2
2 ? 2? ? 3 2 2 x2 x12 ?? 2? 2 2 ? ? ? ? 4?3x1 ?1 ? ? ? x1 x2 ? 3x2 ?1 ? ? ? ? 12( x1 ? x2 ) ? 48 ,所以 S ? 4 3 . ? 4? 2 4 ?? ? ? ?

所以,四边形 ABA 1B 1 的面积为定值 4 3 . ……………………………………(6 分)

6、解:(1)由题意得:圆 R 的半径为 2 2 ,因为直线 OP, OQ 互相垂直,且与圆 R 相切,所以四边 形 OPRQ 为正方形,故 OR ?
2 2 2r ? 4 ,即 x0 ? y0 ? 16 ① ………………3 分
2 x0 y2 ? 0 ? 1 ②…………………………………5 分 24 12

又 R?x0 , y0 ?在椭圆 C 上,所以 C :

由①②及 R 在第一象限,解得 x0 ? y0 ? 2 2 ,…………………………………………7 分 (2)证明:因为直线 OP:y=k1x,OQ:y=k2x 均与圆 R 相切,……………………8 分 所以

| k1 x0 ? y0 | 1? k
2 1

2 2 ? 8)k12 ? 2x0 y0k1 ? y0 ?8 ? 0 ? 2 2 ,化简得 ( x0

2 2 2 同理有 ( x0 ? 8)k2 ? 2x0 y0k2 ? y0 ? 8 ? 0 ………………………………………………10 分

2 2 所以 k1、k2 是方程 ( x0 ? 8)k 2 ? 2x0 y0k ? y0 ? 8 ? 0 的两个不相等的实数根,
2 y0 ?8 所以 k1k2 ? 2 ,………………………………………………………………………11 分 x0 ? 8
2 x0 y2 ? 0 ?1, 24 12

又因为 R?x0 , y0 ?在椭圆 C 上,所以 C :

1 2 x0 1 1 2 2 2 k k ? ? ? ,即 2k1k2+1=0.………………………14 分 即 y0 ? 12 ? x0 ,所以 1 2 2 2 x0 ? 8 2 4?
x2 y2 ? ? 1 方程得: a2 b2

7 、 (1) 解法 1 :设不经过点 O 的直线 P1P2 方程为 y ? k1 x ? l ,代入双曲线

(b2 ? a2 k12 ) x2 ? 2a2 k1lx ? a2b2 ? a2l 2 ? 0 .
设 P1 坐标为 ( x1 , y1 ) , P2 坐 标为 ( x2 , y2 ) , 中 点坐 标为 M (x,y), 则 x ?

x1 ? x2 y ? y2 ,y? 1 , 2 2

x1 ? x2 ?

2a 2 k1l , b2 ? a 2 k12

b2 y1 ? y2 b2 ? a 2 k12 2 2 2 2 2 2 ,所以, a k1k2 ? a k1 ? b ? a k1 ,k1k2= 2 。 k2 ? ? k1 ? a x1 ? x2 a 2 k1

? x12 y12 ? ? 1 (1) x1 ? x2 y1 ? y2 ? ? a 2 b2 ,y? 另解:设 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),中点 M (x,y),则 x ? 且? 2 2 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 (2) ? ? a 2 b2
(1)-(2)得:

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0。 a2 b2

因为,直线 P1P2 和直线 OM 的斜率都存在,所以(x1+x2)(x1-x2)?0, 等式两边同除以(x1+x2)(x1-x2),得:

1 y1 ? y2 y1 ? y2 1 ? ? ? ?0 a 2 x1 ? x2 x1 ? x2 b 2



b2 k1k2= 2 。…………6 分 a

? 22 1 x2 ? ? ? 1, ? y2 ? 1, (2)由已知得 ? a 2 b 2 ,求得双曲线方程为 2 ?a 2 ? b 2 ? 3 ?
直线 P1 P2 斜率为

b2 3 1 ? ? , a2 2 3
1 ( x ? 2) , 3 10 1 2 3 , ? ) (中点 M 坐标为 ( , ) . 7 7 7 7

直线 P1 P2 方程为 y ? 1 ?

代入双曲线方程可解得 P2 (? 面积

1 8 8 3 F1F2 ? y1 ? y2 ? 3 ? ? . 2 7 7

3 x 上 . 所 以 由 中 点 M((x,y), 可 得 点 P2 的 坐 标 为 2 2 (2 x ? 2) 2 ? (3x ? 1) 2 ? 1 , 即 7 x 2 ? 2 x ? 0 , 解 得 x ? , 代 入 双 曲 线 方 程 可 得 P (2 x ? 2,3 x ? 1) 2 2 7
另 解 : 线 段 P1 P2 中 点 M 在 直 线 y ? (y?

1 8 8 3 3 10 1 ),所以 P2 (? , ? ) 。面积 F1 F2 ? y1 ? y2 ? 3 ? ? . 7 7 7 2 7 7

9 ?1 x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 8、[解](1)设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,由题设得 ? a ,…2 分 4b a b 2 2 ?a ? b ? 1 ?
?a 2 ? 4 x2 y 2 ?? 2 ? ?1 ,? 椭圆 ? 的方程是 4 3 ?b ? 3
(2)设直线 l : y ? k ( x ? 1) ,由 ? …………………………4 分

? y ? k ( x ? 1), 2 2 2 2 得 k x ? 2(k ? 2) x ? k ? 0 2 ? y ? 4 x,

l 与抛物线 ? 有两个交点, k ? 0 , ? ? 16(k 2 ? 1) ? 0 ,
则 AB ?

4(k 4 ? 4k 2 ? 4) ? 4k 4 4(k 2 ? 1) 2 ? 1 ? k ? k2 k2 3k k 2 ?1
,又 S△PAB ? 4 3 ,? ?

…………………………6 分

P(?1, k ) 到 l 的距离 d ?

1 4(k 2 ? 1) 3 k ? ?4 3 2 k2 k 2 ?1
………………………10 分

4k 2 ? 3k 2 ? 3 ,故 k ? ? 3 .

(3)? C ? x1, y1 ? , D ? x2 , y2 ? ,点 C 关于 y 轴的对称点为 Q(? x1 , y1 ) , 则直线 CD : y ? y1 ? 直线 QD : y ? y1 ?

y2 ? y1 x (y ? y ) x y ? x y ( x ? x1 ) ,设 x ? 0 得 m ? y1 ? 1 2 1 ? 2 1 1 2 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1

y2 ? y1 x (y ? y ) x y ? x y ( x ? x1 ) ,设 x ? 0 得 n ? y1 ? 1 2 1 ? 2 1 1 2 14 分 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1

? mn ?

2 2 2 2 2 3 3 x12 y12 x2 y2 x2 y1 ? x12 y2 2 2 ? (4 ? x2 ) ? ? 1 ? ? 1 ? y12 ? (4 ? x12 ) , y2 ,又 , 2 2 4 4 4 3 4 3 x2 ? x1

3 2 3 2 x2 ? (4 ? x12 ) ? x12 ? (4 ? x2 ) x y ?x y 4 4 ? mn ? ? ? 3 .………………………16 分 2 x ?x x2 ? x12
2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2

x2 x2 ? y 2 ? 1 上,所以 y 2 ? 1 ? 4 4 2 2 2 x ? 4y 2x ? 4 x ? 2y x ? 2y ? 由题意 ? 1 ? 、? 2 ? ,于是 ? 1? 2 ? ………………2 分 5 5 5 5 4 4 2 又 ? 2 ? x ? 2 得 0 ? x ? 4 ,即 ? ? ? 1? 2 ? …………………………………………4 分 5 5 2 2 4 4 2( x ? 4 y ) 8 2 2 ? ,再利用基本不等式易得 ? ? ? 1? 2 ? ) (也可以先求出 ? 1 ? ? 2 ? 5 5 5 5 (2)假设存在实数 t ,满足题设, ? t cos? ? 2 t cos? ? 2 由题意?1 ? , ?2 ? cos2 ? ? 4 sin 2 ? cos2 ? ? 4 sin 2 ? (t cos ? ? 2)( ?t cos ? ? 2) ? 1 ………………………………………………6 分 于是?1? 2 ? cos 2 ? ? 4 sin 2 ? 4 ? t 2 cos2 ? ? cos2 ? ? 4 sin 2 ? ? (3 ? t 2 ) cos2 ? ? 0 对任意的 ? 都成立
9、解答:(1)由点 P ( x , y) 在椭圆 只要 3 ? t ? 0 即可,所以 t ? ? 3
2

故存在实数 t , t ? ? 3 ,对任意的 ? 都有?1? 2 ? 1 成立。……………………………9 分 (学生通过联想, 判断直线 x cos? ? 2 y sin ? ? 2 ? 0 是椭圆 从而得到 t ? ? 3 也给分) (3)设 F1 , F2 的坐标分别为 (?c,0) 、 (c,0) ,于是 c ? a ? b
2 2 2

x2 2 ? y 2 ? 1 的切线, 又证明?1? 2 ? b 4

1 ? m2 1 ? m2 n n2 2 2 又 A( ? ,0) , B (0, n) 即 | AB | ? 2 ? n ……………………………………………12 分 m m 2 2 n b 2 2 2 2 2 2 2 2 所以 2 ? n ? a ? 2 ? b ? m a ? a ? b ? 2ab ? (a ? b) m m 综上 AB ? a ? b …………………………………………………………………………14 分
10、

?1 ?

? m c? n

、 ?2 ?

m c? n

于是 ?1? 2 ?

n2 ? m2c 2 ? b 2 ? n2 ? b2 ? m2 a 2 2 1? m

11、解:(1)因为抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 是椭圆 M 的一个焦点,即 F (1, 0)
2

又椭圆 M 的对称轴为坐标轴,所以设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1, a ? b ? 0 ,且 a 2 ? b2 ? 1 a 2 b2

又以 F 为圆心,以椭圆 M 的短半轴长为半径的圆与直线 l:x ? 2 2 y ? 2 ? 0 相切 即b ?

1? 0 ? 2 1 ? (2 2) 2

? 1,所以椭圆 M 的方程是

x2 ? y2 ? 1 2

(2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ?

?y ? x ? m ?x ? 2 y ? 2
2 2

? 3x 2 ? 4mx ? 2m2 ? 2 ? 0

? ? (4m)2 ?12(2m2 ? 2) ? ?8m2 ? 24 ? 0 ? ? 3 ? m ? 3

??? ? ??? ? ??? ? 4 2 4 2 ?OP ? OA ? OB,? P( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 又 x1 ? x2 ? ? m, y1 ? y2 ? m , 即 P (? m, m) 在椭 3 3 3 3
x2 4 2 3 ? y 2 ? 1上,即 (? m)2 ? 2( m)2 ? 2 ? m ? ? 圆 2 3 3 2

12、解(1)由 CD ? 2 , PC + PD = 2 3 > 2 知,曲线 E 是以 C、D 为焦点,长轴 2 3 的椭 圆, ……………… 1 分
2 2

x y ? 2 ? 1 ,则有 a ? 3, c ? 1 , 2 a b x2 y2 ? ?1 ∴曲线 E 的方程为 3 2
设其方程为

……………… 3 分

(2)设直线 OA 的方程为 y ? kx(k ? 0) ,则直线 OB 的方程为 y ? ? 由?

1 x ( k ? 0) k

?2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 ? y ? kx

2 2 2 得 2 x ? 3k x ? 6 ,解得 x1 ? 2 ? 3k 2 .………………4 分
2

6

?2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 ? 同理,由则 ? 1 y?? x ? k ?
由 OA ?

2 解得 x2 ?

6k 2 . 2k 2 ? 3

………………5 分

3 2 2 OB 知 4 OA ? 3 OB , 2 6 1 6k 2 ? 3(1 ? 2 ) ? 2 即 4(1 ? k 2 ) ? 2 2 ? 3k k 2k ? 3 2 k ? 6 解得 ,因点 A 在第一象限,故 k ? 6 ,
此时点 A 的坐标为 (

………………6 分 ………………7 分 ………………8 分

30 3 5 , ) 10 5

(3)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 当直线 AB 平行于坐标轴时,由 OA ? OB 知 A、B 两点之一为 y ? ? x 与椭圆的交点,

? ?x ? ? ?2 x ? 3 y ? 6 ? 由? 解得 ? ? y ? ?x ?y ? ? ? ?
2 2

30 5 30 5

此时原点到直线 AB 的距离为 d ?

30 …10 分 5

当直线 AB 不平行于坐标轴时,设直线 AB 的方程 x ? my ? b , 由?

?2 x 2 ? 3 y 2 ? 6

? x ? my ? b 由 x1x2 ? y1 y2 ? 0
2

得 (2m ? 3) y ? 4bmy ? 2b ? 6 ? 0
2 2 2

………………12 分

得 (my1 ? b)(my2 ? b) ? y1 y2 ? 0
2

即 (m ? 1) y1 y2 ? mb( y1 ? y2 ) ? b ? 0

4bm 2b2 ? 6 , y y ? ………………14 分 1 2 2m 2 ? 3 2m 2 ? 3 2b2 ? 6 4b 2m 2 2 2 ? ? b ? 0 即 5b2 ? 6(m2 ? 1) ……15 分 代入得 (m ? 1) 2m 2 ? 3 2 m 2 ? 3 b 6 30 原点到直线 AB 的距离 d ? ………………16 分 ? ? 2 5 5 m ?1


y1 ? y 2 ? ?

13、 解: (1) 由于直线 l1 : y ? x ? a 和 l2 : y ? x ? b 将单位圆 W : x ? y ? 1分成长度相等的四段弧,
2 2

所 以 A B ? C D?

2 , 在 等 腰 直 角 ?O A B 中 , 圆 心 O ? 0, 0 ? 到 直 线 l1 : y ? x? a的 距 离 为

d?

a 2

?

2 ? a ? 1 ,同理 b ? 1,? a 2 ? b 2 ? 2 ------------------------------------4 分 2
2 2

(2)由题知,直线 l1 , l2 关于原点对称,因为圆 W : x ? y ? 4 的圆心为原点 O ,所以 AB ? DC , 故四边形 ABCD 为平行四边形.易知, O 点在对角线 AC , BD 上.
2 2 ? 4 10 6 ?x ? y ? 4 2 联立 ? 解得 5x ? 4 10 x ? 6 ? 0 ,由 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 得 5 5 ? ? y ? 2 x ? 10 ??? ? ??? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 2 x1 ? 10 2 x2 ? 10

??? ?

????

?

??

?

? 5 x1 x2 ? 2 10 ? x1 ? x2 ? ? 10 ? 6 ? 2 10 ?

??? ? ??? ? 4 10 ? 10 ? 0 ,所以 OA ? OB , 5

于是 AC ? BD ,因为 AC ? BD ? 4 ,所以四边形 ABCD 为正方形.----------------9 分

??? ?

??? ?

????

??? ?

(3) 证明:假设椭圆 W :

x2 ? y 2 ? 1 存在内接正方形,其四个顶点为 A, B, C , D . 2

当直线 AB 的斜率不存在时,设直线 AB 、 CD 的方程为 x ? m, x ? n ,因为 A, B, C , D 在椭圆上,

? m2 所以 A ? m, ? 1 ? ? 2 ?
方形,易知, m ?

? ? m2 , B m, 1 ? ? ? ? ? 2 ? ?

? ? n2 , C n, ? 1 ? ? ? ? ? 2 ? ?

? ? n2 , D n, ? 1 ? ? ? ? ? 2 ? ?

? ,由四边形 ABCD 为正 ? ? ?

6 6 6 6 ,n ? ? ,x ? ? ,直线 AB 、 CD 的方程为 x ? ,正方形 ABCD 的 3 3 3 3

面积 S ?

2 6 2 6 8 ? ? .---------------------12 分 3 3 3
AB 的 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 AB 、 CD 的 方 程 分 别 为

当 直 线

lA :B y ?

k? x ,

C

m: l? D

?y?

, ? k x? 0 ? ,n k0

m

? x2 2 ? ? y ?1 显然 m ? n .设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ? , D ? x4 , y4 ? ,联立 ? 2 得 ? ? y ? kx ? m

?1? 2k 2 ? x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? ?

4km 2m 2 ? 2 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

代人 AB ? 1 ? k

2

?

2

2k 2 ? m 2 ? 1 2 2 2 ? ? AB ? 8 1 ? k ? x ? x ? 4 x x ,得 ,同理可得 ? ? ? ?? 1 2 ? 2 1 2? 1 ? 2k 2

?

?

CD ? 8 ?1 ? k 2 ? ?
2

2k 2 ? n 2 ? 1

?1 ? 2k ?
2

2

2 2 ,因为 ABCD 为正方形,所以 AB ? CD 解得 m ? n

2

2

因为 m ? n ,所以 m ? ?n ,因此,直线 AB 与直线 CD 关于原点 O 对称,所以原点 O 为正方形的中 心(由 m ? ?n 知 AB ? DC ,四边形 ABCD 为平行四边形) 由 ABCD 为正方形知 OA ? OB , 即 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ? k 2 x1 x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m2 ? 0

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

?

?

代人得

2 ? k ? 1? 3m 2 ? 2k 2 ? 2 ? 0 ,解得 m2 ? (注:此时四边形 ABCD 为菱形) 2 1 ? 2k 3
2

由 ABCD 为正方形知 AB ? AD ,因为直线 AB 与直线 CD 的距离为 AD ?

m?n 1? k 2

, m ? ?n ,故

AD ?
2

2

4m 2 ? 1? k 2

4?

2 ? k 2 ? 1? 3 1? k 2 ? 8 3
2 2 1 ? k 2 ??1 ? 4k 2 ? ? 8 ?1 ? k ??1 ? 4k ? ? ? ?1得 ,由 2 2 3 ?1 ? 2k 2 ? ?1 ? 2k 2 ?
2 2

但 AB ? 8 1 ? k

?

2

??

2k 2 ? m 2 ? 1

?1 ? 2k ?
2

2

4k 4 ? 5k 2 ? 1 ? 4k 4 ? 4k 2 ? 1? k 2 ? 0 即 k ? 0 , 与 k ? 0 矛盾.所以 AD ? AB , 这与 AD ? AB
矛盾.即当直线 AB 的斜率 k ? 0 存在时,椭圆内不存在正方形. 综上所述,椭圆 W :

8 x2 ? y 2 ? 1 的内接正方形有且只有一个,且其面积为 S ? .--18 分 3 2

14、(1) b ?

2 ,? a ? 2, c ? 1,
x2 y 2 y2 ? ? 1 ,?T2 : ? x 2 ? 1 ; 4 2 2

(2 分)

?T1 :

(2 分)

(2)设斜率为 k 的直线交椭圆 T1 于点 C ? x1, y1 ? , D ? x2 , y2 ? ,线段 CD 中点 M ? x0 , y0 ?

? x0 ?

x1 ? x 2 y ?y , y0 ? 1 2 2

2

? x12 y12 ? ?1 ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 ?4 2 由? 2 ,得 2 4 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? 2 ? 4
? k 存在且 k ? 0 ,? x1 ? x2 ,且 x 0 ? 0 ?
1 y1 ? y2 y0 1 ? ? ? ,即 k ? k OM ? ? 2 x1 ? x2 x0 2

(2 分)

(2 分)

同理, k ? k ON ? ?2

?

k OM 1 ? 得证 k ON 4
2x ? m

(2 分)

(3)设直线 l 的方程为 y ?

? y ? 2x ? m ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,? b ? 2c x ? 2 2mc x ? m c ? b c ? 0 ?y x2 ? 2 ? 2 ?1 c ?b

?

?

? ? ? 0 ,? m2 ? b2 ? 2c 2
l1 : y ? 2 x ? b 2 ? 2c 2
(2 分)

? y ? 2x ? m ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , ? b ? 2a x ? 2 2ma x ? m a ? b a ? 0 ?x y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

?

?

? ? ? 0 ,? m2 ? b2 ? 2a 2
l2 : y ? 2 x ? b 2 ? 2a 2
两平行线间距离: d ? (1 分)

b2 ? 2c2 ? b2 ? 2a 2 3

(1 分)

? AB ?

2 3ab 2a 2 ? 2c 2 b2 ? 2a 2

(1 分)

ab 2a 2 ? 2c 2 b2 ? 2c 2 ? b2 ? 2a 2 1 ? ?ABN 的面积最大值为 S ? AB ? d ? 2 b 2 ? 2a 2
注:若用第一小题结论,算得:

?

?

(1 分)

AB ?

?8 2 ?
2

2

? 4?5? 4

5

?

4 3 5

d?

10 ? 2

? 2?

? ? ?1?

?
2

10 ? 2 3

1 4 3 10 ? 2 2 10 ? 4 ?ABN 的面积最大值为 S ? ? ? ? 2 5 5 3

得3分



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