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1[1].4.2正弦函数、余弦函数的性质定稿(第2课时)


三角函数
1.4.2正弦函数余弦函数的性质 (二)

定义域和值域
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

/>
?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

正弦函数 y ? sin x

定义域:R 值域:[-1,1] y
1
? 2
O
?
2

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

余弦函数 y ? cos x 定义域:R 值域:[-1,1]
| sin x |≤ 1 | cos x |≤ 1

练习
? P 46 练习2
(1)2cos x ? 3

3 ?1 cos x ? 2

×


(2)sin x ? 0.5
2

sin x ? ? 0.5 ? [?1,1]

1.周期性(复习)
(1) y ? sin x

T ? 2?

2? y ? A sin(? x ? ? ) T ? |? |
(2) y ? cos x

T ? 2?

2? y ? A cos(? x ? ? ) T ? |? |

2.奇偶性
(1) f ( x ) ? sin x , x ? R

任意x ? R

f ( ? x ) ? sin( ? x ) ? ? sin x ? ? f ( x )

? f ( x ) ? sin x , x ? R 为奇函数 (2) f ( x ) ? cos x , x ? R

任意x ? R

f ( ? x ) ? cos( ? x ) ? cos x

? f ( x)

? f ( x ) ? cos x , x ? R 为偶函数

探究:正弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

? 3 5 … [? 5? , ? 3? ]、 ? , ]、 ? ,? ] …上时, [? [ 当 在区间 2 2 2 2 2 2

x

曲线逐渐上升,sinα的值由 ? 1增大到 1 。
7? 5? 3? ? ? 3? 5? 7? [? ? [ [ 当x在区间 … [? , ? ]、 , ]、 , ]、 , ] … 2 2 2 2 2 2 2 2

上时,曲线逐渐下降, sinα的值由1减小到 ? 1 。

探究:正弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

由正弦函数的周期性知: 正弦函数在每个闭区间[? ? 2k? , ? 2k? ](k ? Z )
2 2

?

?

都是增函数,其值从-1增大到1;
3? 而在每个闭区间[ ? 2k? , ? 2k? ](k ? Z )上都是 2 2 减函数,其值从1减小到-1。

?

探究:余弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

[? 0] [? 2? 上时, 当x在区间?[?3? , ?2? ]、 ?,、 , ][3? , 4? ]?

曲线逐渐上升,cosα的值由? 1 增大到1 。
[0 [2 3? 当x在区间?[?2? , ?? ]、,? ]、 ?, ]?上时,

曲线逐渐下降, sinα的值由1 减小到? 1 。

探究:余弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

由余弦函数的周期性知: 在每个闭区间 [2k? ? ? , 2k? ] 都是增函数,
其值从-1增大到1 ; 而在每个闭区间[2k? , 2k? 其值从1减小到-1。

? ? ] 上都是减函数,

例1:不求值,判断下列各式的符号。 23? 17? ? ? 2、 ? cos( ) ? cos( ? ) 1、 ? ) ? sin( ? ) sin( 5 4 18 10 ? ? ? ? ? ? 分析:比较同名函数值的大小,往往可以利用函数的 1、 ? ? ? ? ? ? , 且y ? sin x在[? , ]上增函数。 ? 解: 2 10 18 2 2 2 单调性,但需要考虑它是否在同一单调区间上,若是, ? ? ? ? ? sin( ? ) ? sin( ? ) 即sin( ? ) ? sin( ? ) ? 0 即可判断,若不是,需化成同一单调区间后再作判断。
10 18 18 10 17? 17? ? 23? 23? 3? cos( ? ) ? cos ? cos (2)、 ? cos( ) ? cos ? cos 5 5 5 4 4 4 ? 3? ?0 ? ? ? ? , 且y ? cos x在[0, ? ]上是减函数 4 5 3? ? 3? y ?
? cos

23? 17? ? 5? cos(? ?3? cos(??2? ? 3?) ? ?? ? ? O ) ??0 ? 52 ? 2 4 2
2
?1

? cos 即 cos -cos ? 0 5 4 51 4

3? 2

2?

5? 2

3?

x

例2、求下列函数的单调递增区间:

?? ? ?1? y ? cos ? 2 x ? ? 6? ? ? ?1? 解:设u ? 2 x ? ? R 6
?u ? 2x ?

?? x ? ? 2? y ? 3sin ? ? ? ? 3 2?

则y ? cos u在u ??2k? ? ? ,2k? ?单调递增 ?
在x ? R上单调递增

6 ?? ? ? ? y ? cos ? 2 x ? ? 在2 x ? ? ? 2k? ? ? , 2k? ? 上单调递增 6? 6 ?

即,当2k? ? ? ? 2 x ? ? 2k? ? k ? Z ?时,y随x增大而增大 6 7? ? 所以,当k? ? ? x ? k? ? ? k ? Z ? 时,y随x增大而增大 12 12 ?? ? 所以y ? cos ? 2 x ? ?的单调递增区间为: ? k? ? 7? , k? ? ? ? ? k ? Z ? ? ? 6
? ?
? 12 12 ?

?

x ? 2 ? 解:方法一 ? 设u ? ? ? R,则y ? 3sin u ? 3 2
?

?? x ? ? 2 ? y ? 3sin ? ? ? ? 3 2?

?

x ? u ? ? 在x ? R上单调递减 3 2 ? 3? 而y ? 3sin u在u ? [2k? ? , 2k? ? ](k ? Z )单调递减 2 2 ? 3? ?? x ? ? x ? y ? 3sin ? ? ? 在 ? ?[2k? ? , 2k? ? ] ? k ? Z ? 上单调递增 2 2 ? 3 2? 3 2

x 3? 即,当2k? ? ? ? ? 2k? ? ? k ? Z ?时,y随x增大而增大 2 3 2 2 7? ? 所以,当 ? 4k? ? ? x ? ?4k? ? ? k ? Z ? 时,y随x增大而增大 3 3 7? ?? ?? x ? ? 所以y ? 3sin ? ? ?的单调递增区间为:?4k? ? , 4k? ? ? ? k ? Z ? 3 3? ? 3 2? ?

?

?

3? 而y ? ?3sin u在u ? [2k? ? , 2k? ? ](k ? Z )单调递增 2 2 ? 3? ?? x ? x ? ? y ? 3sin ? ? ? 在 ? ?[2k? ? , 2k? ? ] ? k ? Z ? 上单调递增
x ? 3? 即,当2k? ? ? ? ? 2k? ? ? k ? Z ?时,y随x增大而增大 2 2 3 2 5? 11? 所以,当4k? ? ? x ? 4k? ? ? k ? Z ?时,y随x增大而增大 3 3 5? 11? ? ?? x ? ? 所以y ? 3sin ? ? ?的单调递增区间为:?4k? ? , 4k? ? ? ?k ? Z ? 3 3 ? ? 3 2? ?
?3

?? x ? ? 2 ? y ? 3sin ? ? ? ? 3 2? ?? x ? ?x ?? ? 2? 解:方法二? ? y ? 3sin ? ? ? ? ?3sin ? ? ? ? ? 3 2? ?2 3? x ? 设u ? ? ? R,则y ? ?3sin u 2 3 x ? ? u ? ? 在x ? R上单调递增 2 3

?

?

2?

2

3

2

2

?? ?1 例3、求函数y=sin ? x ? ? ,x ? ? ?2? , 2? ?的单调递增区间. 3? ?2 1 ? ? ? ? ? 解:令Z ? x ? .函数y ? sin Z的单调递增区间是 ?? ? 2k? , ? 2k? ? 2 2 3 ? 2 ?

1 ? ? 由 ? ? 2 k? ? x ? ? ? 2 k ? , 2 2 3 2 5? ? 得 ? ? 4 k? ? x ? ? 4 k ? , k ? Z 3 3 设A ? ??2? , 2? ? , B ? ? x ? 5? ? 4k? ? x ? ? ? 4k? , k ? Z ? ? ?
? 3 3 ?

?

? 5? ? ? 易知A ? B ? ? ? , ? ? 3 3? ?? ?1 所以函数y ? sin ? x ? ? , x ? ? ?2? , 2? ? 3? ?2

? 5? ? ? 的单调递增区间是 ?? , ? ? 3 3?

课堂小结
1.能根据图象说出函数的定义域、值域、奇 偶性、单调区间. 2.会讨论简单的复合型三角函数的单调区间.

作业
? A. 小结 ? B. P53 A2(3)(4)

练习
? P46 (4) y ? 4 sin x
x ?[?? , ? ]
先画草图,然后根据草图判断
y
4

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?4

3? 2

2?

5? 2

3?

x

练习
? P46 练习1
?3? 5? ? 2
?2? 3?
? 2

y
1

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

(1)sinx > 0 : (0 ?2k? , ? ?2k? )

k?Z k?Z

(2)sin x ? 0 :( ?? ?2k? , 0 ?2k? )

y

1

(1)cos x ? 0 : (2)cos x ? 0 :

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

(?

?
2

? 2

O

?

?

?2k?

?1

,

?
2

2

3? 2

2?

5? 2

3?

x

?2k? ) ?2k? )

k?Z k?Z

3? ( ?2k? , 2 2

?


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