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安徽省江南十校2016届高三下学期联考试题 数学(理)


2016 年安徽省“江南十校”高三联考 数学试题(理科)
注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓 名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第 I 卷时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后,再涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第 II 卷时,将答

案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. [来源

第I卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
2 (1)已知集合 A ? x 2 x ? 5x ? 3 ? 0 , B ? x ? Z x ? 2 ,则 A ? B 中的元素个数为

?

?

?

?

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(2)若复数 z 满足 ( z 1? i) ? 1? i ? i ,则 z 的实部为

(A)

2 ?1 2

(B)

2 ?1

(C) 1

(D)

2 ?1 2

(3) “ a =0 ”是“函数 f ( x ) ? sin x ? (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (4) 已知 l 是双曲线 C :

1 ? a 为奇函数”的 x
(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

x2 y 2 ? ? 1的一条渐近线,P 是 l 上的一点,F1 , F2 是 C 的两个焦点, 2 4

P 到 x 轴的距离为 若 PF 1 ? PF 2 ? 0 ,则
(A)

???? ???? ?
2 3 3

(B)

2
2 2

(C) 2

(D)

2 6 3

(5) 在平面直角坐标系 xOy 中,满足 x ? y ? 1, x ? 0, y ? 0 的点 P ( x, y ) 的集合对应的平面

-1-

图形的面积为

? ;类似的,在空间直角坐标系 O ? xyz 中,满足 x2 ? y 2 ? z 2 ?1 , 4
? 6 ? 4 ? 3

x ? 0, y ? 0, z ? 0 的点 P( x, y, z ) 的集合对应的空间几何体的体积为
(A)

? 8

(B)

(C)

(D)

(6)在数列 {an } 中, an?1 ? an ? 2 , Sn 为 {an } 的前 n 项和.若 S10 ? 50 ,则数列 {an ? an?1} 的前 10 项和为 (A) 100 (C) 120 (B) 110 (D) 130 开始

(7)设 D 是 ?ABC 所在平面内一点, AB ? 2DC ,则

??? ?

????

输入t

??? ? 1 ???? ??? ? (A) BD ? AC ? AB 2 ??? ? ???? 1 ??? ? (B) BD ? AC ? AB 2 ??? ? 3 ???? ??? ? (C) BD ? AC ? AB 2 ??? ? ???? 3 ??? ? (D) BD ? AC ? AB 2
(8)执行如图所示的程序框图,如果 输入的 t ? 50 ,则输出的 n ? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 ( 9 )已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ?

S ? 0, a ? 2, n ? 0
S ? S ?a

a ? 2a ? 1, n ? n ? 1


S ?t
否 输出 n 结束

?
2

) 的最小正周期为 4? ,且对 ?x ? R ,有

f ( x) ? f ( ) 成立,则 f ( x) 的一个对称中心坐标是 3 2? ? 2? , 0) , 0) (A) (? (B) ( ? , 0) (C) ( 3 3 3

?

(D) (

5? , 0) 3

? ?3 x ? y ? 0, ? (10)若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0, 则 z ? y ? x 的取值范围为 ? 1 ? y ? x2 , ? 2
(A)

? ?2, 2?

(B) ? ? , 2 ? ? 2 ?
-2-

? 1

?

(C)

? ?1, 2?

(D) ? ? ,1? ? 2 ?

? 1 ?

(11)某几何体的三视图如图所示,其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧,则该几何体的表面 积为 (A) 4? ? 16 ? 4 3
3
3

(B) 5? ? 16 ? 4 3 (C) 4? ? 16 ? 2 3 (D) 5? ? 16 ? 2 3 正视图

1

1

2
侧视图

1 1 4
俯视图 (12)已知函数 f ( x) ? a ln x ?

1 2 x ? bx 存在极小值,且对于 b 的所有可能取值, f ( x) 的极 2
2

小值恒大于 0 ,则 a 的最小值为 (A) ?e
3

(B) ? e

(C) ?e

(D) ?

1 e

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答,第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)2016 年 1 月 1 日我国全面二孩政策实施后, 某中学的一个学生社团组织了一项关于生育 30 岁以下的约 二孩意愿的调查活动.已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中, 2400 人,30 岁至 40 岁的约 3600 人,40 岁以上的约 6000 人.为了解不同年龄层的女性 对生育二孩的意愿是否存在显著差异,该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为 N 的 样 本 进 行 调 查 , 已 知 从 30 岁 至 40 岁 的 女 性 中 抽 取 的 人 数 为 60 人 , 则 N? . (14) (2 x ? y) 的展开式中, x y 的系数为
5 2 3

.

(15) 椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为 A , 经过原点的直线 l 交椭圆 C 于 P、Q 两 a 2 b2
.

点,若 PQ =a , AP ? PQ ,则椭圆 C 的离心率为

(16)已知 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, a1 =1 , 2Sn =(n ? 1)an ,若存在唯一的正整数 n 使得 不等式 an ? tan ? 2t ? 0 成立,则实数 t 的取值范围为
2 2

.

-3-

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 如图,平面四边形 ABCD 中, AB ? 5 , AD ? 2 2 ,

D

CD ? 3 , ?CBD ? 30? , ?BCD ? 120? ,求
(Ⅰ) ?ADB ; (Ⅱ) ?ADC 的面积 S .

C

A

B

(18)(本小题满分 12 分) 如图, 多面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, 四边形 EFBD 为等腰梯形,

1 BD ,平面 EFBD ? 平面 ABCD . 2 (Ⅰ)证明: DE // 平面 ACF ; (Ⅱ)若梯形 EFBD 的面积为 3 ,求二面角 A ? BF ? D 的余弦值. E
EF // BD , EF ?

F

D

C

A

B

(19)(本小题满分 12 分) 第 31 届夏季奥林匹克运动会将于 2016 年 8 月 5 日—21 日在巴西里约热内卢举行.下表是近五 届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据(单位:枚). 第 30 届伦敦 中国 俄罗斯 38 24 第 29 届北京 51 23 第 28 届雅典 32 27 第 27 届悉尼 28 32 第 26 届亚特兰大 16 26

(Ⅰ)根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图,并通过茎 叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度(不要求计算出具体数值,给出结论 即可) ; (Ⅱ)甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多(假 设两国代表团获得的金牌数不会相等) ,规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个,已知甲、

4 3 ,丙猜中国代表团的概率为 ,三人各自猜哪个代表团的结果 5 5 互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次,设三人中猜中国代表团的人数为 X ,求 X 的分布列及 数学期望 EX .
乙猜中国代表团的概率都为
-4-

中国 1 2 3 4 5

俄罗斯

(20)(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y ? 2 px 经过点 M (2, 2) , C 在点 M 处的切线交 x 轴于点 N ,直线 l1 经过点
2

N 且垂直于 x 轴. (Ⅰ)求线段 ON 的长;
(Ⅱ)设不经过点 M 和 N 的动直线 l2 : x ? my ? b 交 C 于点 A 和 B ,交 l1 于点 E ,若直线

MA 、 ME 、 MB 的斜率依次成等差数列,试问: l2 是否过定点?请说明理由.

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x)=e ? ax ? 2ax ? 1 .
x 2

(Ⅰ)当 a =

1 时,讨论 f ? x ? 的单调性; 2

(Ⅱ)设函数 g ( x) ? f ?( x) ,讨论 g ( x) 的零点个数;若存在零点,请求出所有的零点或给出 每个零点所在的有穷区间, 并说明理由 (注: 有穷区间指区间的端点不含有 ?? 和 +? 的区间) .

-5-

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时 请写清题号. (22)(本小题满分 10 分) 选修 4-1 :几何证明选讲 如图,过 ? O 外一点 E 作 ? O 的两条切线 EA、EB ,其中 A、B 为切点, BC 为 ? O 的一条 直径,连 CA 并延长交 BE 的延长线于 D 点. (Ⅰ)证明: BE ? ED ; (Ⅱ)若 AD ? 3 AC ,求 AE : AC 的值.
C

A

O

B

E

D

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知在 极坐标系中, A(3 3, ), B(3, ) ,圆 C 的方程为 ? ? 2 cos?

?

?

3 (Ⅰ)求在平面直角坐标系 xOy 中圆 C 的标准 方程; ..

2

(Ⅱ)已知 P 为圆 C 上的任意一点,求 ?ABP 面积的最大值.

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 2x ? 1 ,记 f ( x) ? ?1 的解集为 M . (Ⅰ)求 M ; (Ⅱ)已知 a ? M ,比较 a ? a ? 1 与
2

1 的大小. a

-6-

2016 年安徽省“江南十校”高三联考 数学(理科)试题参考答案与评分标准
(1)B【解析】 A ? ? x ?

? ?

1 ? ? x ? 3? , A ? B ? ?0,1, 2? , A ? B 中有 3 个元素,故选 B 2 ? 2 ? i ( 2 ? i)(1 ?i ) 2 ? 1 2 1 ? ? ? ? i ,z 1? i (1 ? i)(1 ?) i 2 2

(2)A【解析】由 ( z 1? i) ? 1? i ? i ,得 z ?

的实部为

2 ?1 ,故选 A 2

(3)C【解析】 f ( x) 的定义域为 x x ? 0 ,关于原点对称 当 a =0 时, f ( x ) ? sin x ?

?

?

1 , x

f (? x) ? sin(? x) ?

1 1 1 ? ? sin x ? ? ?(sin x ? ) ? ? f ( x) ,故 f ( x) 为奇函数; ( ? x) x x
1 ? a 为奇函数时, f (? x) ? f ( x) ? 0 x

反之,当 f ( x ) ? sin x ?

又 f (? x) ? f ( x) ? sin(? x) ?

1 1 ? a ? sin x ? ? a ? 2a ,故 a =0 (? x) x
1 ? a 为奇函数”的充要条件,故选 C x

所以“ a =0 ”是“函数 f ( x ) ? sin x ?

l (4)C【解析】 F 1 (? 6,0), F 2 ( 6,0) ,不妨设 的方程为 y ? 2 x ,设 P( x0 , 2 x0 )
由 PF 1 ? PF 2 ? (? 6 ? x0 , ? 2x0 ) ? ( 6 ? x0 , ? 2 x0 ) ? 3x0 ? 6 ? 0
2

???? ???? ?

得 x0 ? ? 2 ,故 P 到 x 轴的距离为 2 x0 ? 2 ,故选 C (5)B【解析】所求的空间几何体是以原点为球心,1 为半径的球位于第一卦限的部分,体积
3 为 ? ? ?1 ?

1 4 8 3

?
6

,故选 B

(6)C【解析】 {an ? an?1} 的前 10 项和为 a1 ? a2 ? a2 ? a3 ? ?a10 ? a11 ?

2(a1 ? a2 ? ?a10 ) ? a11 ? a1 ? 2S10 ? 10 ? 2 ? 120 ,故选 C
(7)D【解析】 BD ? AD ? AB ? AC ? CD ? AB ? AC ? D
-7-

??? ?

???? ??? ?

???? ??? ? ??? ?

????

? ??? ? ???? 3 ??? ? 1 ??? AB ? AB ? AC ? AB ,故选 2 2

(8)B【解析】第一次运行后 s ? 2, a ? 3, n ? 1 ;第二次运行后 s ? 5, a ? 5, n ? 2 ;第三次 运 行 后 s ? 10, a ? 9, n ? 3 ; 第 四 次 运 行 后 s ? 19, a ? 17, n ? 4 ; 第 五 次 运 行 后

s ? 36, a ? 33, n ? 5 ;第六次运行后 s ? 69, a ? 65, n ? 6 ;此时不满足 s ? t ,输出 n ? 6 ,
故选 B (9)A【解析】由 f ( x) ? sin(?x ? ? ) 的最小正周期为 4? ,得 ? ? 成立,所以 f ( x ) max ? f ( ) ,即

1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z ) ,由 ? ? ,得 ? ? ,故 2 3 3 2 3 2 1 ? 1 ? 2? f ( x) ? sin( x ? ) .令 x ? ? k? (k ? Z ) ,得 x ? 2k ? ? (k ? Z ) ,故 f ( x) 的对称中 2 3 2 3 3 2? 2? ,0)( k ? Z ) ,当 k ? 0 时, f ( x) 的对称中心为 ( ? ,0) ,故选 A 心为 ( 2k? ? 3 3

?

1 ? .因为 f ( x) ? f ( ) 恒 2 3

( 10 ) B 【解析】作出可行域,设直线 l : y ? x ? z ,平移直线 l ,易知当 l 过 3x ? y ? 0 与

x ? y ? 4 ? 0 的交点 (1,3) 时, z 取得最大值 2 ;当 l 与抛物线 y ?

1 2 x 相切时 z 取得最小值 2

?z ? y ? x 1 1 ? 2 由? 1 2 ,消去 y 得: x ? 2 x ? 2 z ? 0 ,由 ? ? 4? 8 z? 0 ,得 z ? ? ,故 ? ? z? 2 , 2 2 y? x ? ? 2
故选 B (11)D【解析】由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体,三棱柱的两 个侧面面积之和为 2 ? 4 ? 2 ? 16 , 两个底面面积之和为 2 ? 积 为 ? ? 4 ? 4? , 两 个 底 面 面 积 之 和 为 2 ?

1 ? 2 ? 3 ? 2 3 ;半圆柱的侧面 2

1 ? ? ? 12 ? ? , 所 以 几 何 体 的 表 面 积 为 2

5? ? 16 ? 2 3 ,故选 D
(12)A【解析】 f ?( x) ?

a ? x 2 ? bx ? a ? x?b ? x x

因为 f ( x) 存在极小值,所以方程 ? x 2 ? bx ? a ? 0 有两个不等的正根

? x1 +x2 ? b ? 0 ? 故 ? x1 ? x2 ? ?a ? 0 ? b ? 2 ?a ? 2 ? ? ? b ? 4a ? 0

b ? b 2 ? 4a b ? b 2 ? 4a 由 f ?( x) ? 0 得 x1 ? , x2 ? ,分析易得 f ( x) 的极小值点为 x1 , 2 2

-8-

因为 b ? 2 ?a ,所以 x1 ?

b ? b 2 ? 4a ?2a ? ? (0, ? a ) 2 b ? b 2 ? 4a
1 2 x1 ? bx1 2

f ( x)极小值 =f ( x1 ) ? a ln x1 ?
? a ln x1 ?
设 g ( x) ? a ln x ? 因为 g ?( x) ?

1 2 1 x1 ? x12 ? a ? a ln x1 ? x12 ? a 2 2

1 2 x ? a (0 ? x ? ?a ) ,则 f ( x) 的极小值恒大于 0 等价于 g ( x) 恒大于 0 2

a a ? x2 ?x? ? 0 ,所以 g ( x) 在 (0, ?a ) 单调递减 x x

3 a ? 0 ,解得 a ? ?e3 ,故 amin ? ?e3 ,故选 A 2 3600 60 = ,故 N ? 200 (13) 200 【解析】由题意可得 2400+3600+6000 N
故 g ( x) ? g ( ? a ) ? a ln ? a ?
3 (14) ?40 【解析】 x y 的系数为 C5 ? 22 ? (?1)3 ? ?40
2 3

(15)

PQ a 2 5 ? , 【解析】 不妨设点 P 在第一象限, 由对称性可得 OP ? 因为 AP ? PQ 2 2 5

在 Rt ?POA 中, cos ?POA ?

OP 1 1 3 a) ,代入椭圆方 ? ,故 ?POA ? 60? ,易得 P( a, 4 4 OA 2

程得:

1 3a 2 2 5 ? ? 1 ,故 a2 ? 5b2 ? 5(a2 ? c2 ) ,所以离心率 e ? 2 16 16b 5
(n ? 1)an nan ?1 1 ? t ? 1 【解析】 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? ? 2 2 2

(16) ?2 ? t ? ?1或 整理得

an an ?1 ? ,又 a1 =1 ,故 an ? n n n ?1

2 2 不等式 an 2 ? tan ? 2t 2 ? 0 可化为: n ? tn ? 2t ? 0

设 f (n) ? n ? tn ? 2t ,由于 f (0) ? ?2t ? 0 ,由题意可得
2 2 2
2 ? 1 ? f (1) ? 1 ? t ? 2t ? 0 ,解得 ?2 ? t ? ?1或 ? t ? 1 ? 2 2 ? ? f (2) ? 4 ? 2t ? 2t ? 0

(17) 【解析】 (Ⅰ)在 ?BCD 中,由正弦定理得:

BD ?

CD 3 3 ? sin ?BCD ? ? ? 3, 1 sin ?CBD 2 2

…………………2 分

在 ?ABD 中,由余弦定理得:
-9-

cos ?ADB ?

AD 2 ? BD 2 ? AB 2 2 AD ? BD
(2 2) 2 ? 32 ? ( 5) 2 2 ? 2 2? 2 2 ?3
…………………4 分

?

所以 ?ADB ? 45? (Ⅱ)因为 ?CBD ? 30? , ?BCD ? 120? ,所以 ?CDB ? 30? 因为 sin ?ADC ? sin(45? ? 30? ) ? 所以 S ?

…………………6 分

6? 2 4

…………………8 分

1 AD ? CD ? sin ?ADC 2
…………………12 分

1 6 ? 2 3? 3 ? ?2 2? 3? ? 2 4 2
1 BD ,得 EF // OD, EF ? OD 2 所以四边形 EFOD 为平行四边形,故 ED // OF 又 ED ? 平面 ACF , OF ? 平面 ACF 所以 DE // 平面 ACF E P
由 EF // BD , EF ?

(18) 【解析】 (Ⅰ)设 AC、BD 的交点为 O ,则 O 为 BD 的中点,连接 OF

…………………3 分 …………………6 分

F

D

O

C M B

A

(Ⅱ)方法一:因为平面 EFBD ? 平面 ABCD ,交线为 BD , AO ? BD 所以 AO ? 平面 EFBD ,作 OM ? BF 于 M ,连 AM ? AO ? 平面 BDEF ,? AO ? BF ,又 OM ? AO =O ? BF ? 平面 AOM ,? BF ? AM , 故 ?AMO 为二面角 A ? BF ? D 的平面角. ……………………8 分 取 EF 中点 P ,连接 OP ,因为四边形 EFBD 为等腰梯形,故 OP ? BD 因为 S梯形EFBD ? 所以 OP ?

1 1 ? ( EF ? BD) ? OP ? ? ( 2 ? 2 2) ? OP ? 3 2 2

1 2 10 2 .由 PF ? OB ? ,得 BF ? OF ? OP 2 ? PF 2 ? 2 2 2

- 10 -

因为 S ?FOB ? 所以 OM ?

1 1 OB ? OP ? OM ? BF 2 2
…………………10 分

OB ? OP 2 10 3 10 ,故 AM ? OA2 ? OM 2 ? ? BF 5 5
OM 2 ? AM 3

所以 cos ?AMO ?

2 …………………12 分 3 方法二:取 EF 中点 P ,连接 OP ,因为四边形 EFBD 为等腰梯形,故 OP ? BD ,又平面 EFBD ? 平面 ABCD ,交线为 BD ,故 OP ? 平面 ABCD ,如图,以 O 为坐标原点,分别 ??? ? ??? ? ??? ? 以 OA , OB , OP 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 O ? xyz . z E P F
故二面角 A ? BF ? D 的余弦值为

D

C O

x A
因为 S梯形EFBD ? 所以 OP ?

1 1 ? ( EF ? BD) ? OP ? ? ( 2 ? 2 2) ? OP ? 3 2 2

B

y

2 2 , A( 2 ,0, 0), B(0,2 ,0), C (? 2 ,0, 0), F (0, , 2 ) 2 ??? ? 2 ,2) 2
…………………8 分

因此 AB ? (? 2, 2, 0), BF ? (0, ? 设平面 ABF 的法向量为 n ? ( x, y, z)

??? ?

?

? ??? ? ?? 2 x ? 2 y ? 0 ? ? ? ?n ? AB ? 0 z ? 1 由 ? ? ??? ,得 ? ,令 ,则 n ? (2, 2,1) ? 2 y ? 2z ? 0 ? ?? ?n ? BF ? 0 ? 2
因为 AO ? BD ,所以 AO ? 平面 EFBD , 故平面 BFD 的法向量为 OA ? ( 2,0,0)

??? ?

…………………10 分

??? ? ? ??? ? ? OA ? n 2 2 2 ? 于是 cos ? OA, n ?? ??? ? ? ? 2 2 OA ? n 2 ? 2 ?1 ? 2 3

- 11 -

由题意可知,所求的二面角的平面角是锐角,故二面角 A ? BF ? D 的余弦值为

2 3

…………………12 分 (19) 【解析】 (Ⅰ)两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下 中国 6 8 2 8 1 2 3 4 1 5 …………………3 分 4 3 7 6 2 俄罗斯

通过茎叶图可以看出,中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的 平均值;俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中,中国代表团获得的金牌数比较分散。 …………………6 分 (Ⅱ)解: X 的可能取值为 0,1, 2,3 ,设事件 A、B、C 分别表示甲、乙、丙猜中国代表团, 则

4 3 2 P( X ? 0) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? (1 ? ) 2 ? (1 ? ) ? 5 5 125 4 4 3 4 3 19 1 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) 2 ? ? P( X ? 1) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC) ? C2 5 5 5 5 5 125 4 3 4 4 3 56 1 ? ? (1 ? ) ? ? P( X ? 2) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC) ? ( ) 2 ? (1 ? ) ? C2 5 5 5 5 5 125 4 3 48 P( X ? 3) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? ( ) 2 ? ? 5 5 125 故 X 的分布列为
X

0
2 125

1

2

3
48 125
…………………10 分 …………………12 分

P

19 125

56 125

2 19 56 48 11 EX ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 3? ? 125 125 125 125 5
(20) 【解析】 (Ⅰ)由抛物线 C : y ? 2 px 经过点 M (2, 2) ,得
2

22 ? 4 p ,故 p ? 1 , C 的方程为 y 2 ? 2 x

………………2 分

C 在第一象限的图象对应的函数解析式为 y ? 2 x ,则 y? ?

1 2x

- 12 -

故 C 在点 M 处的切线斜率为

1 1 ,切线的方程为 y ? 2 ? ( x ? 2) 2 2

令 y ? 0 得 x ? ?2 ,所以点 N 的坐标为 (?2, 0) 故线段 ON 的长为 2 (Ⅱ) l2 恒过定点 (2, 0) ,理由如下: 由题意可知 l1 的方程为 x ? ?2 ,因为 l2 与 l1 相交,故 m ? 0 由 l2 : x ? my ? b ,令 x ? ?2 ,得 y ? ? 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 由? ………………5 分

b?2 b?2 ,故 E (?2, ? ) m m

? x ? my ? b
2 ? y ? 2x

消去 x 得: y ? 2my ? 2b ? 0
2

则 y1 ? y2 ? 2m , y1 ? y2 ? ?2b 直线 MA 的斜率为

………………7 分

y1 ? 2 y1 ? 2 2 2 ? 2 ? ,同理直线 MB 的斜率为 x1 ? 2 y1 y1 ? 2 y2 ? 2 ?2 2
2?

b?2 m 直线 ME 的斜率为 4 因为直线 MA 、 ME 、 MB 的斜率依次成等差数列,所以

2 2 ? ? 2? y1 ? 2 y2 ? 2


2?

b?2 m ? 1? b ? 2 4 2m
………………10 分

2( y1 ? y2 ? 4) 4 ? y1 y2 b?2 ? 1? ? 1? 2( y1 ? y2 ) ? y1 y2 ? 4 2( y1 ? y2 ) ? y1 y2 ? 4 2m
b?2 b?2 , ? 2m ? b ? 2 2m

整理得:

因为 l2 不经过点 N ,所以 b ? ?2 所以 2m ? b ? 2 ? 2m ,即 b ? 2 故 l2 的方程为 x ? my ? 2 ,即 l2 恒过定点 (2, 0) (21) 【解析】 (Ⅰ)当 a =1 时, f ?( x)=e ? x ? 1
x

………………12 分

易知 f ?( x) 在 R 上单调递增,且 f ?(0) ? 0 ,

………………2 分

- 13 -

因此,当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x) 在 (??, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增 (Ⅱ)由条件可得 g ( x) ? e x ? 2ax ? 2a , g ?( x) ? e x ? 2a (i)当 a ? 0 时, g ( x) ? e ? 0 , g ( x) 无零点
x

…………………5 分

(ii)当 a ? 0 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 R 上单调递增

g (0) ? 1 ? 2a, g (1) ? e ? 0
①若 1 ? 2a ? 0 ,即 a ? ②若 1 ? 2a ? 0 ,即 a ?

1 时, g (0) ? 1 ? 2a ? 0 , g ( x) 在 (0,1) 上有一个零点 2
1 时, g (0) ? 0 , g ( x) 有一个零点 0 2
2 a ?1 2a

2a ? 1 1 ③若 1 ? 2a ? 0 ,即 0 ? a ? 时, g ( )?e 2a 2


? 2a ? 1 ? ? 1 ? 0 , g ( x) 在 ? , 0 ? 上有一个零 ? 2a ?
………………8 分

(iii)当 a ? 0 时,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ln(?2a ) ;令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ln(?2a ) 所以 g ( x) 在 ? ??, ln(?2a ) ? 单调递减,在 ? ln(?2a ), ?? ? 单调递增,

g ( x) min ? g (ln(?2a)) ? 2a ? ln(?2a) ? 2 ?
①若 ln(?2a ) ? 2 ? 0 ,即 ?

e2 ? a ? 0 时, g ( x) ? 0 , g ( x) 无零点 2 e2 时, g (2) ? 0 , g ( x) 有一个零点 2 2 e2 时, g (1) ? e ? 0 , g (ln(?2a )) ? 0 , g ( x) 在 ?1, ln( ?2a ) ? 2
………………10 分
x x x

②若 ln(?2a ) ? 2 ? 0 ,即 a ? ? ③若 ln(?2a ) ? 2 ? 0 ,即 a ? ? 有一个零点;
x 2

设 h( x) ? e ? x ( x ? 1) ,则 h?( x) ? e ? 2 x ,设 u ( x) ? e ? 2 x ,则 u ?( x) ? e ? 2 , 当 x ? 1 时, u ?( x) ? e ? 2 ? e ? 2 ? 0 ,所以 u ( x) ? h?( x) 在 [1, ??) 单调递增,
x

所以 h( x) 在 [1, ??) 单调递增,h( x) ? h(1) ? e ? 1 ? 0 , 即 x ? 1 时, h?( x) ? h?(1) ? e ? 2 ? 0 ,

e x ? x 2 ,故 g ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2a
设 k ( x) ? ln x ? x( x ? 1) ,则 k ?( x) ?

1 1? x ?1 ? ? 0 ,所以 k ( x) 在 [1, ??) 单调递减, x x

k ( x) ? k (1) ? ?1 ? 0 ,即 x ? 1 时, ln x ? x

- 14 -

因为 a ? ?

e2 时, ?2a ? e 2 ? 1 ,所以 ln(?2a ) ? ?2a , 2

又 g (?2a ) ? ( ?2a ) 2 ? 2a( ?2a) ? 2a ? ?2a ? 0 , g ( x) 在 ? ln(?2a ), ?2a ? 上有一个零点,故

g ( x) 有两个零点
综上, 当a ? ? 当a ? ?

e2 时,g ( x) 在 ?1, ln( ?2a ) ? 和 ? ln(?2a ), ?2a ? 上各有一个零点, 共有两个零点; 2

e2 e2 1 时,g ( x) 有一个零点 2 ; 当? 当 0 ? a ? 时,g ( x) ? a ? 0 时,g ( x) 无零点; 2 2 2

在?

1 1 ? 2a ? 1 ? 当 a ? 时,g ( x) 有一个零点 0 ; 当 a ? 时,g ( x) 在 (0,1) 上 , 0 ? 上有一个零点; 2 2 ? 2a ?
………………12 分

有一个零点。

(22) 【解析】 (Ⅰ)连接 AB 、 OE ,因为 EA 、 EB 为圆 O 的切线,所以 OE 垂直平分 AB 又 BC 为圆 O 的直径,所以 AB ? CD ,所以 OE // CD 又 O 为 BC 的中点,故 E 为 BD 的中点,所以 BE ? ED (Ⅱ)设 AC ? t (t ? 0) ,则 AD ? 3t , CD ? 4t
2 2 在 Rt ?BCD 中,由射影定理可得: BD ? DA ? DC ? 12t

………………5 分

? BD ? 2 3t ,在 Rt ?ABD 中, AE ?
? AE : AC = 3
C

1 BD ? 3t 2
………………10 分

A
O

.
E
2

B

D
2 2

(23) 【解析】 (Ⅰ)由 ? ? 2 cos? ,可得: ? ? 2? cos? ,所以 x ? y ? 2 x 故在平面直角坐标系中圆的标准方程为: (x - 1 )? y ?1
2 2

………………5 分

(Ⅱ)在直角坐标系中 A(0, 3 3),B( ,

3 3 3 ) 2 2

- 15 -

所以 AB ?

3 3 3 ( ? 0) 2 ? ( ? 3 3) 2 ? 3 ,直线 AB 的方程为: 3x ? y ? 3 3 2 2
3 ?3 3 4 ? 3 ,又圆 C 的半径为 1,

所以圆心到直线 AB 的距离 d ?

所以圆 C 上的点到直线 AB 的最大距离为 3 ? 1 故 ?ABP 面积的最大值为 S ? ( 3 ? 1 ) ?3 ?

1 2

3 3 ?3 2

………………10 分

? ? x ? 1, x ? 0 ? 1 ? (24) 【解析】 (Ⅰ) f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ? ?3x ? 1,0 ? x ? 2 ? 1 ? ? x ? 1, x ? ? 2 ?
1 1 ? ? ?x ? 0 ?0 ? x ? ?x ? 由 f ( x) ? ?1 ,得 ? 或? 2 或? 2 ? x ? 1 ? ?1 ?3x ? 1 ? ?1 ?? x ? 1 ? ?1 ? ?
解得: 0 ? x ? 2 故 M ? {x 0 ? x ? 2} (Ⅱ)由(Ⅰ)知 0 ? a ? 2 因为 a ? a ? 1 ?
2

………………5 分

1 a 3 ? a 2 ? a ? 1 (a ? 1)(a 2 ? 1) ? ? a a a (a ? 1)(a 2 ? 1) 1 ? 0 ,所以 a 2 ? a ? 1 ? a a

当 0 ? a ? 1 时,

当 a ? 1 时,

(a ? 1)(a 2 ? 1) 1 ? 0 ,所以 a 2 ? a ? 1 ? a a (a ? 1)(a 2 ? 1) 1 ? 0 ,所以 a 2 ? a ? 1 ? a a
1 a

当 1 ? a ? 2 时,

2 综上所述:当 0 ? a ? 1 时, a ? a ? 1 ? 2 当 a ? 1 时, a ? a ? 1 ?

1 a 1 a
- 16 -

2 当 1 ? a ? 2 时, a ? a ? 1 ?

………………10 分


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