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数列大题专项训练


数列大题专项训练
1.数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? t , an?1 ? 2Sn ?1(n ? N? ) . (1)当 t 为何值时,数列 {an } 是等比数列; (2)在(I)的条件下,若等差数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 有最大值,且
T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比

数列,求 Tn .
解: (I)由 an ?1 ? 2Sn ? 1 ,可得 an ? 2Sn?1 ? 1(n ? 2) , 两式相减得 an?1 ? an ? 2 an , 即an?1 ? 3an (n ? 2) , ∴当 n ? 2 时, {an } 是等比数列, 要使 n ? 1 时, {an } 是等比数列,则只需

a2 2t ? 1 ? ? 3 ,从而 t ? 1 . a1 t

(II)设 {bn } 的公差为 d,由 T3 ? 15 得 b1 ? b2 ? b3 ? 15,于是 b2 ? 5 , 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d ,又 a1 ? 1 , a2 ? 3 , a3 ? 9 , 由题意可得 (5 ? d ? 1)(5 ? d ? 9) ? (5 ? 3) ,
2

解得 d1 ? 2 , d 2 ? ?10 , ∵等差数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 有最大值,∴ d ? 0 , d ? ?10 ∴ Tn ? 15n ?

n( n ? 1) ? ( ?10 ) ? 20 n ? 5n 2 . 2

2.已知数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,且满足 an?1 ?

an (n ? N * ). 4an ? 1

(1)设 bn ? 公式;

1 ,求证:数列 {bn } 是等差数列,并求数列 {an } 的通项 an

(2)设 cn ? bn ? 2n ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn .
解: (Ⅰ) an ?1 ?

an 1 1 1 1 , ? 4? , ? ? 4 ,?bn?1 ? bn ? 4 . an an?1 an 4an ? 1 an?1

数列 ?bn ? 是以 1 为首项,4 为公差的等差数列.……………………………………3 分

1 1 .………………… 6 分 ? bn ? 1 ? 4(n ? 1) ,则数 列 ?an ? 的通项公式为 an ? 4n ? 3 an
(Ⅱ) Sn ? 21 ? 5 ? 22 ? 9 ? 23 ???? ? (4n ? 3) 2n ……………①

2Sn ? 22 ? 5 ? 23 ? 9 ? 24 ???? ? (4n ? 3) 2n?1 ……………… ②
② ? ①并化简得 Sn ? (4n ? 7) 2n?1 ? 14 .

3.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 4 , an?1 ? 2(an ? n ? 1) , (1)求证:数列 ?an ? 2n? 为等比数列。 (2)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? an ? 2n2 ,求正整数列 n 的最 小值。
解:因为 an?1 ? 2(n ? 1) ? 2(an ? 2n) 所以

an ?1 ? 2(n ? 1) ?2 an ? 2n

所以数列 ?an ? 2n? 为等比数列。 (2)

a1 ? 2 ? 2
? an ? 2n ? 2 2n?1 ? an ? 2n ? 2n ? sn ? 2n?1 ? 2 ? n2 ? n

Sn ? an ? 2n2
可知 n ? 5 时满足条件。

4.已知数列 {an } 的前项和 Sn 满足:Sn ?
a ? 1) .

a (an ? 1)( a 为常数,且 a ? 0 , a ?1

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?
2Sn ? 1 ,若数列 {bn } 为等比数列,求 a 的值. an

a (a 1 ) ,所以 a 1 ? a 1? a?1 an a a 当 n ? 2 时, a ? S ? S ? a ? a ? a , n n n ? 1 n n ? 1 a ? 1 a ? 1 , a n ?1
解:解: (Ⅰ)因为 S 1? 即以为 a 首项,a 为公比的等比数列. ∴a aa ? ? a; n?
n n ? 1

…………6 分

a 2 ? ( a 1 ) n? ( 3 a ? 1 ) a 2 a a ? 1 n? (Ⅱ)由(Ⅰ)知, b , ? ?? 1 n a ( a ? 1 ) a n n
若为等比数列,则有 b2 ? b 1 ?b 3,
2

而 b 1 ? 3 , b2 ?

3a2 ?2a ?2 3a ? 2 ? ,b 3 a2 a

故(

2 3 a ? 22 3 a ? 2 a ? 2 1 )? 3 ? ,解得 a ? 2 a a 3

再将 a ?

1 1 n 代入得 b n ? 3 成等比数列, 所以 a ? 成立 3 3
y ? 2x 的

5.在各项均为正数的数列 ?an ? 中,已知点 ? an?1 , an ? (n ? N * ) 在函数 图像上,且 a2 ? a4 ?
1 . 64

(Ⅰ)求证:数列 ?an ? 是等比数列,并求出其通项; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,且 bn ? nan ,求 S n .
.【解】(Ⅰ)因为点 (an , an?1 )(n ? N* ) 在函数 y ?

1 x 的图像上, 2

所以 an ? 2an ?1 ,…………………………1 分 且 an ? 0 ,所以

an ?1 1 ? , an 2

1 的等比数列.……………………3 分 2 1 1 因为 a2 a4 ? ,所以 a 1 q ? a1q3 ? , 64 64 1 1 1 即 a12 ( )4 ? ,则 a1 ? ,……………… ……………4 分 2 64 2 1 所以 an ? n …………………………………6 分 2
故数列 ?an ? 是公比 q ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? 所以 Sn ?

1 n 1 ,所以 bn ? nan ? n( ) .…………………7 分 n 2 2

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? (n ? 1) ? n ?1 ? n ? n ……①………………9 分 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Sn ? 2 ? 2 ? 3 ? (n ? 1) ? n ? n ? n ?1 ……②…………………10 分 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ① - ② 式 得 S n ? ? 2 ? 3 ? n ? n ? n ?1 …………………11 2 2 2 2 2 2


1 1 即 Sn ? 1 ? ? 2 2 2

1 1? n 1 1 2 ? n? 1 ? 2 ? n ? 2 ? n ?1 ? n ? n ? 1 2 2 2n 2n 1? 2

6.已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 ,a5 ? a7 ? 26 ,?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=
1 ( n ? N *) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 an ? 1
2

解析: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

?a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ?2a1 ? 10d ? 26
所以 an ? 3 ? ( 2 n ?1)=2n+1 ; Sn = 3n+ (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 an ? 2n+1 , 所以 bn=

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。………………6 分 2

1 1 1 1 1 1 1 ), = ? = = ?( 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

所以 Tn =

1 1 1 1 ? (1- + ? + 4 2 2 3

1 1 1 1 n )= + ) = ? (1, n+1 4(n+1) n n+1 4

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

n 。 4(n+1)
n 2

7.已知数列 an 满足 a1 ? 2a 2 ? ? ? ? ? 2 n ?1 a n ? (Ⅰ)求数列 ?an ?的通项; (Ⅱ)若 bn ?

n 求数列 ?bn ? 的前 n 项 S n 和。 an 1 解: (Ⅰ) n ? 1时a1 ? 2 n n ?1 a1 ? 2a 2 ? 2 2 a3 ? ? 2 n ?1 a n ? (1) a1 ? 2a 2 ? 2 2 a3 ? ? 2 n ? 2 a n ?1 ? (2) 2 2

(1)-(2)得 2

n ?1

an ?

1 1 1 1 即 a n ? n (n ? 2 )又 a1 ? 也适合上式? a n ? n 2 2 2 2

(Ⅱ) bn ? n ? 2 n

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? ? ? n ? 2n 2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? ? ? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1
(1)-(2)

? Sn ?

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n?1 ? 2 n?1 ? 2 ? n ? 2 n?1 1? 2

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n?1 ? 2 n?1 ? 2 ? n ? 2 n?1 1? 2 ? Sn ? (n ?1)2n?1 ? 2 ?

8.在数列 {an } 中, a1 ? 3 , an ? 2an?1 ? n ? 2 (1)求 a 2 , a3 的值;

(n ≥ 2 且 n ? N* ) .

(2)证明:数列 {an ? n} 是等比数列,并求 {an } 的通项公式; (3)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn .
(1)解:∵ a1 ? 3 , an ? 2an?1 ? n ? 2 (n ≥ 2 且 n ? N* ) , ∴ a2 ? 2a1 ? 2 ? 2 ? 6 ,
a3 ? 2a2 ? 3 ? 2 ? 13 .…………2 分

(2)证明: ∵
an ? n (2an ?1 ? n ? 2) ? n 2an ?1 ? 2n ? 2 ? ? ? 2, an ?1 ? (n ? 1) an ?1 ? n ? 1 an ?1 ? n ? 1

∴数列 {an ? n} 是首项为 a1 ? 1 ? 4 ,公比为 2 的等比数列. ∴ an ? n ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,即 an ? 2n?1 ? n , ∴ {an } 的通项公式为 an ? 2n?1 ? n (n ? N* ) .…………8 分 (3)∵ {an } 的通项公式为 an ? 2n?1 ? n (n ? N* ) , ∴ Sn ? (22 ? 23 ? 24 ?
2n?1 ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? n)

?

22 ? (1 ? 2n ) n ? (n ? 1) n2 ? n ? 8 (n ? N* ) .…………12 分 ? ? 2n?2 ? 1? 2 2 2

9.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,nan+1=(n+2)Sn(n= 1,2,3,…). (1)求证:数列{ }为等比数列,并由此求出 Sn;

Sn n

1 bn+1 bn+Sn (2)若数列{bn}满足:b1= , = (n∈N*),试求数列{bn}的通 2 n+1 n 项公式.
解:(1)证明:由 nan+1=(n+2)Sn,得 n(Sn+1-Sn)=(n+2)Sn,即

Sn+1 Sn Sn =2· ,∴数列{ } n+1 n n

是首项为 =a1=1,公比为 2 的等比数列,∴ =2 ,Sn=n2 . 1 n bn+1 bn+n2n-1 bn n-1 bn 1 (2)由条件得 = = +2 .设 cn= ,则 c1= ,当 n≥2 时,cn=c1+(c2 n+1 n n n 2 1 -1 0 1 n-2 n -c1)+(c3-c2)+…+(cn-cn-1)=2 +2 +2 +…+2 = (2 -1),当 n=1 时,也满足上 2 式. 1 n n n * ∴cn= (2 -1)(n∈N ),从而 bn=ncn= (2 -1). 2 2

S1

Sn

n-1

n-1

10.已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和 S4=14,且 a1,a3, a7 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 Tn 为数列{ }的前 n 项和,若 Tn≤λ an+1 对?n∈N*恒成

anan+1

立,求实数 λ 的最小值.
4a1 ? 6d ? 14 ……………………3 分 ? 2 ?(a1 ? 2d ) ? a1 (a 1 ? 6d ) 解得 d ? 1 或 d ? 0 (舍去) 所以 a1 ? 2 ,故 an ? n ? 1 ……………………………6 分 1 1 1 1 (2)因为 ? ? ? an an?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ? ? ? 所以 Tn ? ? ? ? L ? ……………………9 分 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2(n ? 2) n * ? ? (n ? 2) ,对 ?n ? N * 恒成立。 因为 Tn ? ?an?1 对 ?n ? N 恒成立。即, 2(n ? 2) n 1 1 1 又 ? ? ? 2 4 2(n ? 2) 2(n ? ? 4) 2(4 ? 4) 16 n 1 所以实数 ? 的最小值为 16
解: (1)设公差为 d 。由已知得 ? 11.已知正项数列

{a n }

的前 n 项和为 S n ,且
2

an ?

1 ? 2S n , n ? N * an .

( Ⅰ ) 求 证 : 数 列 {S n } 是 等 差 数 列 ; ( Ⅱ ) 求 解 关 于 n 的 不 等 式
an?1 (Sn?1 ? Sn ) ? 4n ? 8 ;

(Ⅲ)记数列 bn ? 2S ,
3 n

Tn ?

1 1 1 1 3 1 ? ?? ? 1? ? Tn ? ? b1 b2 bn , 2 n ?1 n. 证明:
2 ? an ? 1 ? 2a n S n

? an ?
解 : ( Ⅰ )

1 ? 2S n an



. 当

n?2 时 ,

( S n ? S n ?1 ) ? 1 ? 2( S n ? S n ?1 ) S n , 化 简 得 S ? S
2 2 n

2 n ?1

?1 . 由

a1 ?

1 ? 2a1 a1 , 得

a12 ? 1 ? S12 .? 数列 {S n } 是等差数列.
(Ⅱ)由(I)知

2



2 Sn ? 1 ? (n ? 1) ? n ,又由 a n ?1 ( S n ?1 ? S n ) ? 4n ? 8 ,



( S n ?1 ? S n )( S n ?1 ? S n ) ? 4n ? 8



2 2 ? Sn ?1 ? S n ? 4n ? 8

,即 1 ? 4n ? 8 .

?n ?

9 4.

又 n ? N * ,? 不等式的解集为 {1,2} . (Ⅲ)当 n ? 2 时,

?

1 1 1 ? ? ? bn 2n n n( n ? n ? 1)

n ? n ?1 ? n

n ? n ?1 ? n(n ? 1)

1 n ?1

?

1 n.

? Tn ?

1 1 1 1 1 3 1 ( ? (1 ? )? 2 ?? ) ?? ? ? )? ? 2 2 2 3 n ?1 n n

?

1 1 1 ? n ? n ?1 ? n ? n ?1 1 1 ? ? ? ? ? ? n bn 2n n n( n ? n ? 1) n(?12 ? 1) n n ?1 .

? Tn ? (1 ? 1 n ?1

1 2

)?h?

1

1 1 1 ) ?? ? . ? ) ? 1? n 3 n ?1 n ?1 ,

1?


? Tn ?

3 1 ? 2 n

12、已知递增的等比数列 {an } 满足 a2 ? a3 ? a4 ? 28, 且a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差 中项。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? log2 an?1, Sn 是数列 {anbn } 的前 n 项和,求 Sn .

解: (1)设等比数列的公比为 q,有题意可得 ? (舍去)

?a2 ? a3 ? a4 ? 28 1 解答: a3 ? 8 q= 2 q ? 2 ?2a3 ? 4 ? a2 ? a4

an ? a3 ? 2n?3 ? 2n ,∴等比数列 ?an ?的通项公式为: an ? 2n n, (2)∵ bn ? log2 an?1 ? n ? 1 ∴anbn=(n+1)2 用错位相减法得: sn ? n ? 2n?1

13 . 设 ?an ? 是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 , Sn 为 其 前 n 项 和 , 满 足
a22 ? a32 ? a42 ? a52 , S7 ? 7 ,

(1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (2)试求所有的正整 数 m ,使得
am am ?1 为数列 ?an ? 中的项。 am ? 2
2 2 2 2 ,由性质得 ?3d (a4 ? a3 ) ? d (a4 ? a3 ) , ? a5 ? a4 ? a3

解: (1)设公差为 d ,则 a2 因为 d

? 0 ,所以 a4 ? a3 ? 0 ,即 2a1 ? 5d ? 0 ,

又由 S7

? 7 得 7a1 ?

7?6 d ? 7 ,解得 a1 ? ?5 , d ? 2 , 2

(2)

am am ?1 (2m ? 7)(2m ? 5) = ,设 2m ? 3 ? t , 2m ? 3 am ? 2


8 am am ?1 (t ? 4)(t ? 2) ? t ? ? 6 ,所以 t 为 8 的约数。 = t t am ? 2

14.已知数列 {an } 的首项 a1 ? t (1)若 t ? ,求证 ? 5
3

? 0 , an ?1 ?

3an 2, , n ? 1, 2an ? 1

?1 ? ? 1? 是等比数列并求出 {an } 的通项公式; a ? n ?

(2)若 a n?1 ? a n 对一切 n ? N * 都成立,求 t 的取值范围。

15.在数列 {an } 中,Sn 为其前 n 项和,满足 Sn ? kan ? n2 ? n,(k ? R, n ? N*) . (I)若 k ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式; (II)若数列 {an ? 2n ?1}为公比不为 1 的等比数列,且 k ? 1 ,求 Sn .
解: (I)当 k ? 1 时, Sn ? an ? n2 ? n, 所以 Sn?1 ? n2 ? n,(n ? 2) 即 Sn ? (n ? 1)2 ? (n ? 1) ? n2 ? n,(n ? 1) ,所以当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ; 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? n ? (n ?1)2 ? (n ?1) ? 2n 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n(n ? N ? ) .…………7 分新课标第一网 (II)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? kan ? kan?1 ? 2n ,所以 (k ?1)an ? kan?1 ? 2n ? 2 ,

a1 ? S1 ? ka1 . ? k ? 1 ,? a1 ? 0 , a2 ?

2 4 ? 6k , a3 ? 1? k (1 ? k ) 2

a1 ? 3 ? ?3, a2 ? 5 ?

5k ? 3 ?7k 2 ? 8k ? 3 , a3 ? 7 ? 1? k (k ? 1)2
3 . 2

由题意得, (a2 ? 5)2 ? (a1 ? 3)(a3 ? 7) ? 0 ,所以 k ?

此时, an ? 3an?1 ? 4n ? 4 ,从而 an ? 2n ?1 ? 3[an?1 ? 2(n ?1) ?1] 因为 a1 ? 2 ?1 ?1 ? ?3 ? 0, 所以 an ? 2n ? 1 ? 0 ,从而 {an ? 2n ? 1} 为公比为 3 的 等比数列,得 an ? 2n ?1 ? ?3n , an ? 2n ? 3n ? 1 , Sn ? n ? 2n ?
2

3n ?1 3 ? 2 2

16.已知数列 {an } 的首项 a1 ? t (1)若 t ? ,求证 ?
1 a n ?1
3 5

? 0 , an ?1 ?

3an 2, , n ? 1, 2an ? 1

?1 ? ? 1? 是等比数列并求出 {an } 的通项公式; ? an ?
? 2a n ? 1 1 1 2 , ? ? , 3a n a n 3a n 3

(2)若 a n ?1 ? a n 对一切 n ? N * 都成立,求 t 的取值范围。
(1) 由题意知 a n ? 0, ,

? 1? 1 1 2 ?1 ? ? ? 1? , ……………………………… 4 分 ?1 ? ? ? a n ?1 3 ? an a1 3 ? ?1 ? 2 1 所以数列 ? ? 1? 是首项为 ,公比为 的等比数列;……………5 分 3 3 ? an ? 1

1 ? 5 ?? 1 ? ? 1 ? ? ? 1?? ? an ? 3 ?? 3 ?
1

n ?1

?

2 3n , a ? n 3n 3n ? 2

……………………8 分
n ?1

? 1? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ?1 ? ? ? 1? ? 1 ? ? ? 1?? ? (2)由(1)知 , ……………10 分 ? ? a n ?1 3 ? an ? t ?? 3 ? ? an 3an 1 1 由 a1 ? 0, an ?1 ? 知 an ? 0 ,故 an ?1 ? an 得 ……………11 分 ? 2an ? 1 an ?1 an 1 1 1 1 1 即 ( ? 1)( ) n ? 1 ? ( ? 1)( ) n ?1 ? 1 得 ? 1 ? 0 ,又 t ? 0 ,则 0 ? t ? 1 t 3 t 3 t 17.已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 ; an?1 ? an ? 1,n ? N ? 。数列 ?bn ? 的前 n 项

和为 Sn ,且 Sn ? bn ? 2, n ? N ? 。 ⑴求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式;⑵令数列 ?cn ? 满足 cn ? a n ? bn ,求其前 n 项和为 Tn 。
解: (1)由已知得数列 ?an ? 为等差数列,首项为 1,公差为 1.所以其通项公式为 an ? n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 因为 Sn ? bn ? 2 ? Sn?1 ? bn?1 ? 2 ,所以 又 S1 ? b1 ? 2 ?b1 ? 1 所以 bn ?

bn ?1 1 ? ,所以数列 ?bn ? 为等比数列, bn 2

1 2 n ?1 ? n , 2n ?1

(2)由已知得: cn ? n ?

1 2 3 ?Tn ? 1 ? ? 2 ? n ?1 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n 所以 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 所以 Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 2 2 2 2

1 1? n 1 n 2 ? n ? 2 ?1 ? 1 ? ? n ? n ?1 ? n ? ? n ? n 1 2n 2 2 ? 2 ? 2 1? 2

所以 Tn ? 4 ?1 ?

? ?

1 ? n 2?n ? n ?1 ? 4 ? n ?1 n ? 2 ? 2 2

18.已知 f(x)=mx(m 为常数,m>0 且 m≠1). 设 f(a1),f(a2),…,f(an)…(n∈N )是首项为 m2,公比为 m 的 等比数列. (1)求证:数列{an}是等差数列; (2)若 bn=an·f(an),且数列{bn}的前 n 项和为 Sn,当 m=2 时,

求 Sn; (3)若 cn=f(an)lgf(an),问是否存在 m,使得数列{cn}中每一项 恒小于它后面的项?若存在, 求出 m 的范围; 若不存在, 请说明理由.
解:(1)由题意 f(an)=m ·m ∴an=n+1,(2 分) ∴an+1-an=1, ∴数列{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列.(4 分) (2)由题意 bn=anf(an)=(n+1)·m 当 m=2 时,bn=(n+1)·2
2 3 4 2

n+1

,即 man,=m

n+1

.

n+1



n+1

∴Sn=2·2 +3·2 +4·2 +…+(n+1)·2 ①式两端同乘以 2,得 2Sn=2·2 +3·2 +4·2 +…+n·2 ②-①并整理,得
3 4 5

n+1

①(6 分)

n+1

+(n+1)·2

n+2



Sn=-2·22-23-24-25- …-2n+1+(n+1)·2n+2
=-2 -(2 +2 +2 +…+2
2 2 2 3 4

n+1

)+(n+1)·2
[ 来源:Z xxk.C om]

n+2

2 (1-2 ) n+2 =-2 - +(n+1)·2 1-2
2

n

=-2 +2 (1-2 )+(n+1)·2

2

2

n

n+2

=2
n+1

n+2

·n.(9 分)
n+1

(3)由题意 cn=f(an)·lgf(an)=m 要使 cn<cn+1 对一切 n∈N 成立, 即(n+1)·m
n+1
*

·lgm

=(n+1)·m

n+1

·lgm,

·lgm<(n+2)·m

n+2

·lgm,对一切 n∈N 成立,
*

*

①当 m>1 时,lgm>0,所以 n+1<m(n+2)对一切 n∈N 恒成立;(11 分) ②当 0<m<1 时,lgm<0,所以等价使得 因为

n+1 * >m 对一切 n∈N 成立, n+2

n+1 1 2 2 =1- 的最小值为 ,所以 0<m< . n+2 n+2 3 3

2 综上,当 0<m< 或 m>1 时,数列{cn}中每一项恒小于它后面的项.(13 分) 3

19.已知数列{ an }、{ bn }满足: a1 ? , an ? bn ? 1, bn?1 ? (1)求 b1,b2 , b3 , b4 ; (2)求数列{ bn }的通项公式;

1 4

bn . 1 ? an 2

(3)设 Sn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? ... ? anan?1 ,求实数 a 为何值时 4aSn ? bn 恒成立
解: (1) bn?1 ? ∵ a1 ?

bn bn 1 ? ? (1 ? an )(1+an ) bn (2 ? bn ) 2 ? bn
∴ b2 ?

1 3 , b1 ? 4 4

4 5 6 , b3 ? , b4 ? 5 6 7

……………4 分

(2)∵ bn?1 ? 1 ?

2 ? bn 1 1 1 ?1 ∴ ? ? ?1 ? 2 ? bn bn?1 ? 1 bn ? 1 bn ? 1
……………6 分

∴数列{

1 }是以-4 为首项,-1 为公差的等差数列 bn ? 1
∴ bn ? 1 ?



1 ? ?4 ? (n ? 1) ? ?n ? 3 bn ? 1
1 n?3

1 n?2 ? ……………8 分 n?3 n?3

(3) an ? 1 ? bn ?

1 1 1 n ∴ Sn ? a1a2 ? a2 a3 ? ??? ? an an ?1 ? 1 ? 1 ? ??? ? ? ? 4? 5 5? 6 (n ? 3)(n ? 4) 4 n ? 4 4(n ? 4)
∴ 4aSn ? bn ?

an n ? 2 (a ? 1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? ? n?4 n?3 (n ? 3)(n ? 4)

……………10 分

由条件可知 (a ?1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? 0 恒成立即可满足条件设 f (n) ? (a ?1)n2 ? 3(a ? 2)n ? 8 a=1 时, f (n) ? ?3n ? 8 ? 0 恒成立, a>1 时,由二次函数的性质知不可能成立 a<l 时,对称轴 ?

3 a?2 3 1 ? ? (1 ? )?0 2 a ?1 2 a ?1

……………13 分

f(n)在 (??,1] 为单调递减函数.

f (1) ? (a ?1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? (a ?1) ? (3a ? 6) ? 8 ? 4a ?15 ? 0
∴a ?

15 4

∴a<1 时 4aSn ? b 恒成立

……………15 分

综上知:a≤1 时, 4aSn ? b 恒成立

20.已知等比数列 ?an ? 中 a1 ? 64 ,公比 q ? 1 ,且 a2 , a3 , a4 分别为某等 差数列的第 5 项,第 3 项,第 2 项. ⑴求数列 ?an ? 的通项公式;
an ⑵设 bn ? log 1 ,求数列 ? bn ? 的前 n 项和 T n . 2

解:⑴由条件知 a2 ? a3 ? 2 ? a3 ? a4 ? .

2 2 3 即 a1q ? a1q ? 2 a1q ? a1q ,

?

?

2 又 a1 ? q ? 0. ∴ 1 ? q ? 2 q ? q ? 2q ?1 ? q ? ,又 q ? 1 .∴ q ?

?

?

1 . 2

?1? ∴ an ? 64 ? ? ? ? 2?


n ?1

?1? ?? ? ? 2?

n ?7



…………………………7 分

bn ? log 1 an ? n ? 7. ?b ? 前 n 项和 S ? n ? n ? 13? . n n 2 2
13n ? n2 . 2

∴当 1 ? n ? 7 时, bn ? 0 ,∴ Tn ? ? Sn ? 当 n ? 8 时, bn ? 0 ,

Tn ? ?b1 ? b2 ?

? b7 ? b8 ? b9 ?

? bn ? Sn ? 2S7 ?

n(n ? 13) n2 ? 13n ? 84 ? 42 ? 2 2

?13n ? n 2 ,1 ? n ? 7且n ? N ? ? ? 2 ∴ Tn ? ? 2 ? n ? 13n ? 84 , n ? 8且n ? N ? . ? ? 2

21 . 设 函 数

f ? x? ?

2x ?1 ? x ? 0? x

, 数 列 ?an ?

满 足

? 1 ? * a1 ? 1, an ? f ? ? ? n ? N , 且n ? 2 ? 。 ? an?1 ?

⑴求数列 ?an ? 的通项公式;
n ?1 2 ⑵设 Tn ? a1 a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ? a4 a5? ? ? ? ?? 1? 对 n ? N * 恒成 Tn ? tn ? n a n?a ,若 1

立,求实数 t 的取值范围; ⑶是否存在以 a1 为首项,公比为 q ? 0 ? q ? 5, q ? N* ? 的等比数列 ?a n ? ,
k

k ? N * ,使得数列 a n k 中每一项都是数列 ?an ? 中不同的项,若存在,

? ?

求出所有满足条件的数列 ?nk ? 的通项公式;若不存在,说明理由。

解:⑴因为 an ? f ?

? 1 ? ?? ? an ?1 ?

2?

1 ?1 an ?1 ? an ?1 ? 2, ? n ? N * , 且n ? 2 ? , 1 an ?1

所以 an ? an?1 ? 2 .………………………………………………………………2 分 因为 a1 ? 1 ,所以数列 ?an ? 是以 1 为首项,公差为 2 的等差数列. 所以 an ? 2n ? 1。…………………………………………………………4 分 ⑵①当 n ? 2m, m ? N * 时,
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Tn ? T2 m ? a1a2 ? a2 a3 ? a3a4 ? a4 a5 ? ??? ? ? ?1?

2 m ?1

a2 m a2 m ?1

? a2 ? a1 ? a3 ? ? a4 ? a3 ? a5 ? ????? a2m ? a 2m?1 ?a2m?1 ? ? ?4 ? a2 ? a4 ? ? a2m ? ? ?4 ?
a2 ? a2 m ? m ? ? ? 8m2 ? 4m ? ? ?2n 2 ? 2n 2

……………………………………………………………………6 分 ②当 n ? 2m ? 1, m ? N * 时,

Tn ? T2 m ?1 ? T2 m ? ? ?1?

2 m ?1

a2 m a2 m ?1

? ? ? 8m 2 ? 4m ? ? (4m ? 1)(4m ? 1) ? 8m 2 ? 4m ? 1 ? 2n 2 ? 2n ? 1
………………………………………8 分 所以 Tn ? ?
2 ? ??2n ? 2n, n为偶数, 2 ? ?2n ? 2n ? 1,n为奇数

要使 Tn ? tn2 对 n ? N 恒成立,
*

?2n2 ? 2n ? tn2 , n为偶数及2n2 ? 2n ?1 ? tn2,n为奇数同时恒成立,
2 ? t ? ?2 ? , n为偶数 ? ? n 即? 恒成立,所以 t ? ?3 。 2 1 ?t ? 2 ? ? , n为奇数 ? n n2 ?
故实数 t 的取值范围为 ? ??, ? 3? 。…………………………………………………10 分 ⑶由 an ? 2n ? 1,知数列 ?an ? 中每一项都不可能是偶数.

①如存在以 a1 ? 1 为首项,公比 q 为 2 或 4 的数列 a n k , k ? N ,
*

? ?

此时 a n k
nk

? ? 中每一项除第一项外都是偶数,故不存在以 a 为首项,公比为偶数的数列
1

?a ? .……………………………………………………………………………………12 分
②当 q ? 1 时,显然不存在这样的数列 a n k . 当 q ? 3 时,若存在以 a1 ? 1 为首项,公比为 3 的数列 a n k , k ? N .
*

? ?

? ?

则 an 1 ? 1 , n1 ? 1 , a n k ? 3k ?1 ? 2nk ?1 , nk ?

3k ?1 ? 1 。……………………16 分 2 3k ?1 ? 1 。 2

所以满足条件的数列 ?nk ? 的通项公式为 nk ?

22. 设数列{an}中,a1=a,an+1+2an=2n+1(n∈N*) . (Ⅰ)若 a1,a2,a3 成等差数列,求实数 a 的值;
an 1 ? (Ⅱ)试问数列 ? ? n ? ? 能否为等比数列.若是等比数列,请写出相 ?2 2?

应数列{an}的通项公式;若不能,请说明理由
解. (Ⅰ) a1 ? a, a2 ? ?2a ? 4, a3 ? 4a ,

8 4分 9 a ?1 an (Ⅱ)方法一:因为 an?1 ? 2an ? 2n?1 (n ? N * ) ,所以 n ? ? 1 ,6 分 2n?1 2n 1? a ?1 1 a 1 a 1 a 1 ?a ? ? 是以 1 ? ? ? 为首项,-1 为公比的等 得: n ? ? ?( n ? ) ,故若 ? n n n ?1 n 2? 2 2 2 2 2 2 2 2 ?2
因为 2a2 ? a1 ? a3 ,所以 2(?2a ? 4) ? a ? 4a ,得 a ? 比数列,则必须 a ? 1 . 1? 1 a 1 ?a ? ? 为等比数列,此时 an ? 2n [ ? ( ? ) ? (?1)n?1 ] ,否则当 a ? 1 故 a ? 1 时,数列 ? n n 2? 2 2 2 ?2

1? ?a ? ? 的首项为 0,该数列不是等比数列. 时,数列 ? n n 2? ?2

23.. 等 比 数 列 {an } 为 递 增 数 列 , 且 a 4 ? , a3 ? a5 ?
bn ? log3 an (n∈N※) 2

2 3

20 ,数列 9

(1)求数列 {bn } 的前 n 项和 S n ; (2) Tn ? b1 ? b2 ? b2 ? ? ? b2 ,求使 Tn ? 0 成立的最小值 n .
2 n ?1

? 3 2 aq ? ? q 3 ? 1 3 解: (1)?{an } 是等比数列,? ? ,两式相除得: ? 2 10 1? q ?a q 2 ? a q 4 ? 20 1 1 ? 9 ?
q ? 3或者 q ?
? a n ? a1 q n ?1

1 2 ,?{an } 为增数列,? q ? 3 , a1 ? -------4 分 3 81 2 ? ? 3 n ?1 ? 2 ? 3 n ?5 --------6 分 81

? bn ? log3


an n(?4 ? n ? 5) 1 2 ? (n ? 9n) ---8 ? n ? 5 ,数列 {bn } 的前 n 项 和 S n ? 2 2 2

(2) Tn ? b1 ? b2 ? b22 ? ?b2n?1 = (1 ? 5) ? (2 ? 5) ? (22 ? 5) ? ?(2n ?1 ? 5) = 即: 2 ? 5n ? 1 -------12 分
n

1 ? 2n ? 5n ? 0 1? 2

? 24 ? 5 ? 4 ? 1,25 ? 5 ? 4 ? 1? nmin ? 5 --------14 分

24.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 的等比数列,其前 n 项和 Sn 中 S3 ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log | an | , Tn ?
1 2

1 4

3 , 16

1 1 1 ,求 Tn ? ? ??? ? b1b2 b2b3 bnbn?1

解: (Ⅰ)若 q ? 1 ,则 S3 ?

3 3 ? 不符合题意,∴ q ? 1 , ……………………………2 分 4 16
1 ? a1 ? ? ? 4 ? ?q ? ? 1 ? 2 ?
………………………………………… 6 分

1 ? a1 ? ? 4 ? 当 q ? 1 时,由 ? 得 3 ? S3 ? a1 (1 ? q ) ? 3 ? 1? q 16 ?
∴ an ?

1 1 1 ? (? )n?1 ? (? )n?1 4 2 2

1 (Ⅱ)∵ bn ? log 1 an ? log 1 (? ) n ?1 ? n ? 1 2 2 2


……………………………………7 分

1 1 1 1 ? ? ? bn bn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 ? ? b1b2 b2b3 ?

………………………………………9 分

∴ Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( ? ) ? ( ? ) ? ?????? ?( ? )? ? bnbn ?1 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n?2

25.已知 {an } 是单调递增的等差数列,首项 a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n ,数 列 {bn } 是等比数列,首项 b1 ? 1, 且a2b2 ? 12, S3 ? b2 ? 20. (Ⅰ)求 {an }和{bn }的通项公式。 (Ⅱ)令 Cn ? Sn cos(an? )(n ? N ? ),求{cn } 的前 n 项和 Tn .
解:(Ⅰ)设公差为 d ,公比为 q ,则 a2b2 ? (3 ? d )q ? 12

S3 ? b2 ? 3a2 ? b2 ? 3(3 ? d ) ? q ? 9 ? 3d ? q ? 20 3d ? q ? 11, q ? 11 ? 3d (3 ? d )(11 ? d ) ? 33 ? 2d ? 3d 2 ? 12 , 3d 2 ? 2d ? 21 ? 0,(3d ? 7)(d ? 3) ? 0 , ?an? 是单调递增的等差数列,d>0.
则 d ? 3, q ? 2 , an ? 3 ? (n ?1) ? 3 ? 3n , bn ? 2
n?1

………………6 分

3 3 ? Sn ? n 2 ? n, n是偶 ? ? 2 2 (Ⅱ) cn ? S n cos3n? ? ? ………………8 分 ?? S ? ? 3 n 2 ? 3 n, n是奇 n ? ? 2 2
当 n 是偶数,www.xkb1.com

Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? a2 ? a4 ? a6 ?
当 n 是奇数,

? cn ? ? S 1 ? S 2 ? S 3 ? S 4 ? ? an ? 6 ? 12 ? 18 ? ? 3n ?

? S n?1 ? S n 3n(n ? 2) ………………10 分 4

Tn ? Tn?1 ? Sn ?

3(n ? 1)(n ? 1) 3 2 3 3 ? n ? n ? ? (n ? 1) 2 ………………12 分 4 2 2 4

? 3n(n ? 2) , n是偶 ? ? 4 综上可得 Tn ? ? ?? 3 (n ? 1) 2 , n是奇 ? ? 4

26.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? 2an ? n, 且bn ? (1)求证: {an ?1} 为等比数列; (2)求数列 {bn } 的前 n 项和。
(1)解:由 Sn ? 2an ? n 得: Sn?1 ? 2an?1 ? n ? 1 ∴ an?1 ? Sn?1 ? Sn ? 2an?1 ? 2an ? 1 ,即 an ?1 ? 2an ? 1 ∴ an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) 又因为 S1 ? 2a1 ? 1 ,所以 a1 =-1,a1-1 =-2≠0, ∴ {an ? 1} 是以-2 为首项, 2 为公比的等比数列. (2)解:由(1)知, an ? 1 ? ?2 ? 2n?1 ? ?2n ,即 an ? ?2n ? 1 8分

an ? 1 . an an?1

4分 6分

∴ bn ?

?2n 1 1 ? n ?1 ? n 10 分 n n ?1 (1 ? 2 )(1 ? 2 ) 2 ? 1 2 ? 1

故 Tn ? ?[(

1 1 1 1 ? 2 )?( 2 ? 3 )? 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

?(

1 1 1 ? n?1 )] ? n?1 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1
n

27.在数列 ?an ? 中,已知 a n

? 1, a1 ? 1且a n ?1 ? a n ?

a n ?1

2 (n ? N * ) ? an ? 1

(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)令 c n
? (2a n ? 1) 2 , S n ? 1 1 1 ? ??? c 1c 2 c 2c 3 c n c n ?1

,若 S n

?k

恒成立,

求 k 的取值范围。
解析: (1)解:因为 a n ?1 ? a n ?
2 2

2 2 2 ,所以 an ?1 ? an ? an ?1 ? an ? 2 , an ?1 ? an ? 1

1? ? 1? ? 即 ? an ?1 ? ? ? ? an ? ? ? 2 ,………………………………………………2 分 2? ? 2? ?
令 b n ? ? an ? 所以 b n ?

? ?

1 1? b n ?是以 为首项,2 为公差的等差数列。 ? ,?b n ?1 ? b n ? 2 ,故 ? 4 2?

2

1 8n ? 7 ? 2?n ? 1? ? ,………………………………………………4 分 4 4

因为 an ? 1 ,故 a n ?

1 ? 8n ? 7 。…………………………………………6 分 2
2

(2)因为 c n ? ?2an ? 1? ? 8n ? 7 , 所以

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ,……………………8 分 c n c n ?1 ?8n ? 7??8n ? 1? 8 ? 8n ? 7 8n ? 1 ? 1 1 1 1? 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? c 1c 2 c 2c 3 c n c n ?1 8 ? 9 9 17 8n ? 7 8n ? 1 ?

所以 S n ?

1? 1 ? 1 ? ?1 ? ? ? ,………………………………10 分 8 ? 8n ? 1 ? 8
因为 S n ? k 恒成立,故 k ?

1 。 8


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