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高三数学试题山西省汾阳中学2013届高三第一次模拟考试(理)试题


高三年级数学第一次月考试卷(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案 的序号填涂在答题卡上) 1.已知集合 M ? {y | y ? x A. [?1,??)
2 2

? 1, x ? R } , N ? {x | y ? 2 ? x 2 } ,则 M ? N ? (
B. [?1, 2 ] C. [ 2 ,??) D. ? )



2.命题“存在 x ? R , 使x ? ax ? 4a ? 0 为假命题”是命题“ ? 16 ? a ? 0 ”的( A.充要条件 C.充分不必要条件 3. 设复数 A. ?2 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

a ? 3i ( a ?R, i 是虚数单位)是纯虚数,则 a 实数的值为( 1 ? 2i
B. 4 C.?6 D.2 )

4.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 3,a2 ? a3 ? 6 ,则 a7 ? ( A.64 B.81 C.128 D.243

5. 已知向量 a , b 满足 a ? b ? a ? b ? 1 ,则向量 a , b 夹角的余弦值为(



A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

6.设数列 ?a n ?是等比数列,其前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? 3a3 ,则公比 q 的值为( ) A. ?

1 2

B.

1 2

C. 1或 x

1 2
?x

D. - 1或

1 2
x ?x

7 已知命题 p 1 : 函数 y ? 2 ? 2

在 R 上为增函数,p 2 : 函数 y ? 2 ? 2
?

在 R 上为
?

[来源:Z&xx&k.Com]

减函数,则在命题 q 1 : p 1 ? p 2 ,q 2 : p 1 ? p 2 ;q 3 :( p 1 ) ? p 2 ;q 4 : p1 ?( p 2 ) ; 其中为真命题的是: ( A. q 1 和 q 3 ) C、 q 1 和 q 4 D、 q 2 和 q 4

B. q 2 和 q 3

8.已知函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? k 的最大值为 4, 最小值为 0, 最小正周期为 是其图像的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为( A. y ? 4 sin(4 x ? )

? ? , 直线 x ? 2 3

?
6

)

B. y ? 2 sin(2 x ?

?
3

)?2

C. y ? 2 sin(4 x ?

?
3

)?2
x ?x

D. y ? 2 sin(4 x ?

?
6

)?2

9 、 若 函 数 f ( x) ? ?k ? 1?a ? a

(a ? 0, a ? 1) 在 R 上 既 是 奇 函 数 , 也 是 减 函 数 , 则

g ( x) ? lo ga ?x ? k ? 的图像是( )

10、 在△ABC 中,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 的对边.如果 a,b,c 成等差数列,∠B =30°,△ABC 的面积为 A.
1? 3 2

3 ,那么 b=( 2

) C.
2? 3 2

B.1+ 3

D.2+ 3

11.已知二次函数

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f
)

'(0) ? 0 ,对于任意实数都有

f ( x) ? 0 ,则
A.2

f (1) 的最小值为( f '(0)
B.
2

5 2

C.3

D.

3 2

12、若函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 在其定义域的一个子区间 ?k ? 1, k ? 1? 上不是单调函数,则实 数 k 的取值范围( A. 1, ? ? ) B. ? ??, ? ?

? 3? ? 2?

? ?

1? 2?

C. ?

?3 ? , ?? ? ?2 ?

D. ? , ?

? 1 3? ?2 2?

第Ⅱ 卷(非选择题 共90分)

[来源:Zxxk.Com]

二、填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上)

? 2e x ?1 x ?2 13. 设 f ( x ) ? ? ,则不等式 f (x ) ? 2 的解集为 2 ?log 3 (x ? 1) x ? 2

14、 已知函数 f (x ) ? a log 2 x ? b log 3 x ? 2 , f ( 且

1 0) ) 4 , f 22 ? 则 (1 2012

的值为_



15、已知定义在 R 上的奇函数 f (x ) 满足 f (x ? 4) ? ?f (x ) ,且在区间 ?0,2?是增函数,若 方 程 f ?x ? ? m (m ? 0) , 在 区 间 ?? 8,8? 上 有 四 个 不 同 的 根 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , 则

x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ?
16. 定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 是减函数, 且函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于 (1, 0) 成中心对称,
t 若 s , 满足不等式 f (s 2 ? 2s) ≤ ? f (2t ? t 2 ) , 则当 1≤ s ≤ 4 时, 的取值范围是___________. t s 三、解答题(共 6 个小题,前 5 个题 12 分,三选一 10 分,共 70 分)

17. (本题满分 12 分)已知集合 A ? y | y

?

2

? (a 2 ? a ? 1) y ? a (a 2 ? 1) ? 0 ,

?

1 5 ? ? B ? ? y | y ? x 2 ? x ? ,0 ? x ? 3? 2 2 ? ?
(1) 若 A ? B ? ? ,求 a 的取值范围; (2) 当 a 取使不等式 x 18、 (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin
2

?1 ? ax 恒成立的最小值时,求 ?C R A ? ? B

x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4

(1)求函数 f ( x) 的最大值,并写出相应的 x 取值集合; (2)令 f (? ?

?
3

)?

10 ,且 ? ? (0, ? ) ,求 tan 2? 的值. 5

19. (本题 满分 12 分) 等 比 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 和 为 S n , 已 知 对 任 意 的 n ? N
*

, 点 ?n, S n ? , 均 在 函 数

y ? b x ? r ?b ? 0且b ? 1, b , r均为常数? 的图像上。
(1)求 r 的值; (2)当 b ? 2 时,记 b n ?

n ?1 n ?N 4a n

?

*

? ,求数列 ?b ?的前 n 项和T
n

n



20、 (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? (lg a ? 2) x ? lg b 满足 f (?1) ? ?2 , 且对于任
2

意 x ? R 恒有 f ( x) ? 2 x 成立。

(1) 求实数 a, b 的值; (2)设 g ( x) ? f ( x) ? 2 x, 若存在实数 t , 当 x ? ?1, m? 时, g ( x ? t ) ? x 恒成立,求实数 m 的 最大值。

?? x 3 ? ax 2 ? bx,??( x ? 1) 21、 (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? 的图像在点 (?2, f (?2)) 处 ?c ln x,??( x ≥ 1)
的切线方程为 16 x ? y ? 20 ? 0 . (1)求实数 a 、 b 的值; (2)求函数 f ( x) 在区间 [?1, 2] 上的最大值; (3)曲线 y ? f ( x) 上存在两点 M 、 N ,使得△ MON 是以坐标原点 O 为直角顶点的直 角三角形,且斜边 MN 的中点在 y 轴上,求实数 c 的取值范围.

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题目对应的标号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在△ABC 中,∠C=90°,以 AB 上一点 O 为圆心,OA 长为半径 的圆与 BC 相切于点 D,分别交 AC、AB 于点 E、F. (I)若 AC=6,AB=10,求⊙O 的半径; (Ⅱ)连接 OE、ED、DF、EF.若四边形 BDEF 是平行四边形,试判断四 边形 OFDE 的形状,并说明理由.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 从极点 O 作射线, 交直线 ? cos ? ? 3 于点 M, 为射线 OM 上的点, P 且|OM|· |OP|=12, 若有且只有一个点 P 在直线 ? sin ? ? ? cos ? ? m 上,求实数 m 的值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 定义 min{a, b} ? ? 大值。

? a, a ? b , 求函数f ( x) ? min{| x ? 2 | ? | 2 x ? 1 |, ? x 2 ? 3 x ? 3} 的最 b, a ? b ?

12、 【解析】解:解:求导函数,f′(x)=4x-1/ x 当 k=1 时,(k-1,k+1)为(0 ,2) ,函 数在(0,1/ 2 )上单调减,在(1 /2 ,2)上单调增,满足题意; 2 当 k≠1 时,∵函数 f(x)=2x -lnx 在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数 ∴f′(x)在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内有正也有负 ∴f′(k-1)f′(k+1)<0 ∴(4k-4-1/( k-1) )(4k+4-1/( k+1) )<0 2 2 ∴4k -8k+3 /(k-1) ×4k +8k+3/( k+1 )<0 ∴(2k-3)(2k-1)(2k+3)(2k+1)/ (k-1)(k+1) <0 ∵k-1>0 ∴k+1>0, ,2k+1>0,2k+3>0,∴(2k-3) (2k-1)><0,解得 1<k<3/ 2 综上知,1≤k<3 /2 故选 D. 16.【解析】由 f ( x ? 1) 的图象关于 (1, 0) 中心对称知 f ( x) 的图象关于 (0, 0) 中心对称,故
f ( x)
2 2 2 2 为 奇 函 数 得 f (s ? 2s) ≤ f (t ? 2t ) , 从 而 t ? 2t ≤ s ? 2s , 化 简 得

2 t ? 1 ≤ ≤1 (t ? s)(t ? s ? 2) ≤ 0 ,又 1≤ s ≤ 4 ,故 2 ? s ≤ t ≤ s ,从而 s s ,等号可以取到,
2 ? 1 ? 1? ?? , ? 2 而s t ? 1 ? 1? ? ?? , ? ,故 s ? 2 ? 1? ?. ? 1? ?.

? 1 ?? , 【答案】 ? 2

17.

18、解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 2sin

x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 4 4 4

x ? sin ? 3(1 ? 2sin 2 x) ?????????????2 分 2 x x x ? ? sin ? 3 cos ? 2sin( ? ). 2 2 2 3 ?????????4 分
因为, ?1 ? sin( ?

x ? ) ? 1 所以, f ( x) 的最大值为 2. 2 3
? ?

???????6 分

相应值的集合为 ? x | x ? 4k? ?

?

? ( k ? Z) ? 3 ?

????????7 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

? ? ?? ?? x ?1 ?1 f ( x ? ) ? 2sin ? ( x ? ) ? ? ? 2sin ? x ? ? ? 2 cos . 3 3 3? 2? 2 ?2 ?2
??10 分

2 cos

?
2

?

10 ? 10 ? 4 . cos ? ? 2 cos 2 ? 1 ? ? . , 所以 cos ? 5 2 10 2 5
2

又因为 ? ? (0, ? ) 所以 sin ? ? 1 ? cos ? ?

tan 2? ?
19.

2 tan ? 24 ?? . 2 1 ? tan ? 7

3 sin ? 3 . tan ? ? ?? . 5 cos ? 4
???????????13 分

20、 (1)由 f(-1)=-2 知,lgb-lga+1=0①,所以 a b =10②.又 f(x)≥2x 恒成立,f(x) -2x≥0 恒成立,则有 x2+x?lga+lgb≥0 恒成立,故△=(lga)2-4lgb≤0,将①式代入上式 得: (lgb)2-2lgb+1≤0,即(lgb-1)2≤0,故 lgb=1 即 b=10,代入②得,a=100; (2) g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? x ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) ,∵存在实 数 t , x ? ?1, m? 时,g ( x ? t ) ? x 当
2 2

恒成立;即 ( x ? t ? 1) ? x 恒成立.
2

? ?t ? R, ? x ? x ? t ? 1 ? x ? ? x ? x ? t ? 1 ? x ? x ( x ? ?1, m? )恒成立.


x ? u ,则 ?u ? u 2 ? t ? 1 ? u ? u 2 m ?m

∴ (?u ? u 2 ) max ? t ? 1 ? (u ? u 2 ) min ,即 ?t ? R, t ? 1 ? ?2 ,且 t ? 1 ?

?2 ? m ? m ? 1 ? m ? 4 ,∴实数 m 的最大值是 4。
21、解:⑴当 x ? 1时, f ?( x) ? ?3x ? 2ax ? b .
2

因为函数图像在点 (?2, f (?2)) 处的切线方程为 16 x ? y ? 20 ? 0 . 所以切点坐标为 (?2,12) ,并且 ? 解得 a ? 1, b ? 0 .

? f (?2) ? 8 ? 4a ? 2b ? 12, ? f ?(?2) ? ?12 ? 4a ? b ? ?16,
(4 分)

⑶ f ( x) ? ?

?? x3 ? x 2 ,??( x ? 1)

?c ln x,??( x ≥ 1) 3 M (?t , t ? t 2 ) , N (t , f (t )) , (t ? 0) .
3 2

,根据条件 M , N 的横坐标互为相反数,不妨设

若 t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t ? t , 即 t ? t ? 1 ? 0 .此时无解;
4 2

???? ???? ? 2 3 2 3 2 由 ?MON 是直角得, OM ? ON ? 0 ,即 ?t ? (t ? t )(?t ? t ) ? 0 ,
(10 分)
?

若 t ≥ 1 ,则 f (t ) ? c ? ln t . 由于 MN 的中点在 y 轴上,且 ?MON ? 90 ,所以 N 点

? 不 可 能 在 x 轴 上 , 即 t ? 1 . 同 理 有 O M? O N 0 , 即 ?t ?( t ? t ) ? cl n t ? 0 ,
2 3 2

???? ???? ?

1 1 . 由于函数 g (t ) ? (t ? 1) 的值域是 (0, ??) ,实数 c 的取值 (t ? 1) ln t (t ? 1) ln t 范围是 (0, ??) 即为所求. (12 分) c?
22. (Ⅰ)解:连接 O

D . 设 ⊙O 的 半 径 为 r . C. ∵∠C=90°,∴OD∥AC,∴△OBD∽△AB C. OD OB r 10-r 15 ∴ = ,即 = . 解得 r = , AC AB 6 10 4

∵BC 切 ⊙O 于 点 D , ∴OD⊥B
C E D

A

O

F

B

15 ∴⊙O 的半径为 . ????????4 分 4 (Ⅱ)结论:四边形 OFDE 是菱形. ????5 分 证明:∵四边形 BDEF 是平行四边形, 1 1 ∴∠DEF=∠B.∵∠DEF= ∠DOB,∴∠B= ∠DOB. 2 2 ∵∠ODB=90°,∴∠DOB+∠B=90°,∴∠DOB=60°. ∵DE∥AB,∴∠ODE=60°.∵OD=OE,∴△ODE 是等边三角形. ∴OD=DE.∵OD=OF,∴DE=OF.∴四边形 OFDE 是平行四边形. ∵OE=OF,∴平行四边形 OFDE 是菱形. ????????????10 分

24.解:

? ? 3 x ? 1, x ? 2 ? 1 ? | x ? 2 | ? | 2 x ? 1 |? ? x ? 3,? ? x ? 2 ????????????3 分 2 ? ? ? 3 x ? 1, x ? ? 1 ? 2 ?
当 x ? 2 时, ? x ? 3x ? 3 ? (3x ? 1) ? ? x ? 4 ? 0 恒成立;
2 2

1 1 ? x ? 2 时, ? x 2 ? 3x ? 3 ? ( x ? 3) ? ? x 2 ? 2 x ? 0 在 (? ,0) 恒成立; 2 2 1 2 2 当 x ? ? 时, ? x ? 3x ? 3 ? (?3x ? 1) ? ? x ? 6 x ? 2 ? 0 恒成立; 2
当?

?? x 2 ? 3x ? 3, x ? 0 ? 所以 f ( x) ? ? x ? 3,0 ? x ? 2 ,??????????????????6 分 ?? x 2 ? 3x ? 3, x ? 2 ?
当 x ? 0 时, f ( x) ? 3 ;当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? 5 ;当 x ? 2 时, f ( x) ? 5 .

综上: f (x) 最大值为 5. ?????????????????10 分



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