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2017年江苏对口单招数学考前冲刺试题(含答案)


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根据历年单招考试大纲出题

2017 年江苏对口单招数学考前冲刺试题(含答案)
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.复数

i (i 是虚数单位 ) 的实部是 1+2i

C. ?



A. ?

2 5

B.

2 5

1 5

D.

1 5

2.已知等差数列 ?an ? 的公差为 d ? d ? 0? ,且 a3 ? a6 ? a10 ? a13 ? 32 ,若 am ? 8 ,则

m是
A. 8 B.6 C. 4 D.2 ( )

3.已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ a 2 ? 2a ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知直线 l ⊥平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,下面有三个命题:① ? ∥ ? ? l ⊥ m ; ② ? ⊥ ? ? l ∥ m ;③ l ∥ m ? ? ⊥ ? ; 则真命题的个数为 A.0 C.2 B.1 D.3
主视图





5.如右图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图 都是边长为 2 的正三角形,其俯视图轮廓为正方形,则其 体积是 A. C. ( B. )

左视图

3 6 4 3 3

4 2 3

俯视图

D. 8

3
频率 组距

6.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况, 0.036 抽出了一个容量为 n 的样本,其频率分布直方 0.024 0.0 1

2

3 40 5 6



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图如右图所示,其中支出在 [50,60) 元的同 学有 30 人,则 n 的值为 A. 90 C. 900 B. 100 D. 1000 ( ) 开始 ( )

7.右面的程序框图输出 S 的值为 A. 62 B. 126 C. 254 D. 510 8.设点 P ?

n ? 1, S ? 0

n ? 6?




??? ? ?t 2 ? ? ,1? ? t ? 0 ? ,则 OP (O 为坐标原点 ) ?2 t ?
( B. 5 D. 5 )

S ? S ? 2n

输出 S 结束

的最小值是 A. 3 C. 3

n ? n ?1

9.根据表格中的数据,可以判定方程 e x ? x ? 2 ? 0 的一个根所在的区间为





x
ex
x?2

—1 0.37 1

0 1 2 B. (0,1)

1 2.72 3

2 7.39 4 C. (1, 2)

3 20.09 5 D. (2,3)

A. (?1,0)

考单招上高职单招网---10.已知点 F 、 A 分别为双曲线 C :

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x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左焦点、右顶点,点 a 2 b2

??? ? ??? ? B(0, b) 满足 FB ? AB ? 0 ,则双曲线的离心率为
( A. 2 ) C.

B. 3

1? 3 2

D.

1? 5 2
( )

11.设函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

) ,则下列结论正确的是

A. f ( x) 的图像关于直线 x ?

?
3

对称

B. f ( x) 的图像关于点 ( , 0) 对称

?

4

C.把 f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,得到一个偶函数的图像 12

D. f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 [0, ] 上为增函数

?

6

12.设奇函数 f ( x) 在 (0, ? ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 的解集为 A. (?1 , 0) ? (1, ? ?) B. (??, ? 1) ? (0, 1)

f ( x) ? f (? x) ?0 x
( )

? 1) ? (1, ? ?) C. (??,

, 0) ? (0, 1) D. (?1

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.抛物线 y ? ?2 x 2 的焦点坐标为 .
2 2 14.从集合 {( x, y ) x ? y ? 4, x ? R, y ? R} 内任选一个元素 ( x, y ) ,则 x, y 满足

x ? y ? 2 的概率为 .
? 3 15.已知 sin( ? x) ? ,则 sin 2 x 的值为 . 4 5
16.若 f ( x) ? a? x 与 g ( x) ? a x ?a (a ? 0 且 a ? 1) 的图象关于直线 x ? 1 对称,则 a ? .

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 育新中学的高二、一班男同学有 45 名,女同学有 15 名,老师按照分层抽样的 方法组建了一个 4 人的课外兴趣小组. (Ⅰ)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数; (Ⅱ)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方 法是先从小组里选出 1 名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学 中选一名同学做实验,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率; (Ⅲ)试验结束后,第一次做试验的同学得到的试验数据为 68, 70, 71, 72, 74 ,第二 次做试验的同学得到的试验数据为 69,70,70,72,74 ,请问哪位同学的实验更 稳定?并说明理由.

18.(本小题满分 12 分)

? ? f (? ) ? a ? b .

已知向量 a ? (sin? , cos? ),b ? (6 sin ? ? cos? ,7 sin ? ? 2 cos? ) ,设函数

?

?

(I)求函数 f (? ) 的最大值; (II)在锐角三角形 ABC 中,角 A、B、C、的对边分别为 a 、 b 、 c , f ( A) ? 6 , 且△ABC 的面积为 3, b ? c ? 2 ? 3 2 ,求 a 的值.

考单招上高职单招网---19.(本小题满分 12 分)

根据历年单招考试大纲出题

在直四棱住 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 2 ,底面是边长为 1 的正方形, E 、

F 、 G 分别是棱 B1B 、 D1D 、 DA 的中点.
(I)求证:平面 AD1E // 平面 BGF ; (II)求证: D1E ? 面 AEC .

D1

C1
B1
F E D B C

A1

G A

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ax 3 ? 3x 2 ? 1 ? 值.

3 (a ? R 且 a ? 0) ,试求函数 f ( x) 的极大值与极小 a

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21.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2 ? 3n ? k (k ? R, n ? N? ) (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 满足 an ? 4(5 ? k )anbn , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,求 Tn .

22.(本小题满分 14 分)

x2 y2 a2 ? 1(a ? 2 2 ) 的右焦点为 F1 ,直线 l : x ? 设椭圆 M : 2 ? 与x轴 8 a a2 ? 8
O 为坐标原点). 交于点 A ,若 OF1 ? 2 AF 1 ? 0 (其中
(I)求椭圆 M 的方程; (II)设 P 是椭圆 M 上的任一点, EF 为圆 N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 的任一条直径,求
2

PE ? PF 的最大值.

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参考答案
一、选择题:BABCC BBDCD CD 二、填空题: 13. (0, ? ) 三、解答题: 17.解:(Ⅰ) P ?

1 8

14.

? ?2 4?

15.

7 25

16.2

n 4 1 1 ? ? ? 某同学被抽到的概率为 ………………2 分 m 60 15 15
45 x ? ,? x ? 3 ? 男、女同学的人数分别为 3,1 …………4 分 60 4

设有 x 名男同学,则

(Ⅱ)把 3 名男同学和 1 名女同学记为 a1 , a2 , a3 , b ,则选取两名同学的基本事件有

(a1, a2 ),(a1, a3 ),(a1 , b),(a2 , a1 ),(a2 , a3 ),(a2 , b),(a3 , a1 ),(a3 , a2 ),(a3 , b), (b, a1 ),(b, a2 ),(b, a3 ) 共 12 种,其中有一名女同学的有 6 种

? 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 P ?
(Ⅲ) x1 ?

6 1 ? ………………………8 分 12 2

68 ? 70 ? 71 ? 72 ? 74 69 ? 70 ? 70 ? 72 ? 74 ? 71 , x2 ? ? 71 5 5

s12 ?

(68 ? 71)2 ? ? (74 ? 71) 2 (69 ? 71)2 ? ? (74 ? 71) 2 2 ? 4 , s2 ? ? 3.2 5 5

? 第二同学的实验更稳定………………………12 分 ? ? 18.解:(Ⅰ) f (? ) ? a ? b ? sin ? (6 sin ? ? cos? ) ? cos? (7 sin ? ? 2 cos? )
? 6sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 8sin ? cos ? ? 4(1 ? cos 2? ) ? 4sin 2? ? 2

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? 4 2 sin(2? ? ) ? 2 ……………………4 分 4

? f (? ) max ? 4 2 ? 2 ………6 分
(II)由(Ⅰ)可得 f ( A) ? 4 2 sin(2 A ? 因为 0 ? A ?

?

? 2 ) ? 2 ? 6 , sin(2 A ? ) ? 4 4 2

?
2

,所以 ?

?
4

? 2A ?

?
4

?

3? ? ? ? , 2 A ? ? , A ? ……………8 分 4 4 4 4

1 2 ? S?ABC ? bc sin A ? bc ? 3 ?bc ? 6 2 ,又 b ? c ? 2 ? 3 2 ……………10 分 2 4 2 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c)2 ? 2bc ? 2bc ? 2 2 ? (2 ? 3 2) 2 ? 12 2 ? 2 ? 6 2 ? ? 10 ? a ? 10 ……………12 分 2
19.证明:(Ⅰ)? E , F 分别是棱 BB1 , DD1 中点

? BE // D1F且BE ? D1F

D1

C1
B1
F E D B C

? 四边形 BED1F 为平行四边形
? D1E // BF
又 D1E ? 平面AD1E, BF ? 平面AD1E

A1

? BF // 平面 AD1E ……………3 分
又 G 是棱 DA 的中点?GF // AD1 又 AD1 ? 平面AD1E,GF ? 平面AD1E

G A

? GF // 平面 AD1E ……………5 分
又 BF ? GF ? F

? 平面 AD1E // 平面 BGF ……………6 分

(II)? AA1 ? 2 ? AD1 ?

A1 A2 ? A1 D12 ? 5 ,同理 AE ? 2, D1E ? 3

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? AD12 ? D1E 2 ? AE 2 ? D1E ? AE ……………9 分 ? AC ? BD, AC ? D1D ? AC ? 面 BD1
又 D1E ? 平面BD1 ,? AC ? D1E 又 AC ? AE ? A , AC ? 面 AEC , AE ? 面 AEC

? D1E ? 面 AEC ………12 分
2 2 20.解:由题设知 a ? 0, f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x ? 3ax( x ? ) 令 f ?( x) ? 0得 x ? 0或x ? …2 a a 分
当 a ? 0 时,随 x 的变化, f ' ? x ? 与 f ? x ? 的变化如下:

x
f ?( x) f ( x)

? ??,0?
+

0

? 2? ? 0, ? ? a?
-

2 a
0 极小

?2 ? ? , ?? ? ?a ?
+

0 极大

? f ? x ?极大 ? f ? 0 ? ? 1 ?

3 4 3 ?2? , f ? x ?极小 ? f ? ? ? ? 2 ? ? 1 ………6 分 a a a ?a?

当 a ? 0 时,随 x 的变化, f ' ? x ? 与 f ? x ? 的变化如下:

x
f ?( x) f ( x)

2? ? ? ??, ? a? ?
-

2 a
0 极小

?2 ? ? ,0? ?a ?
+

0
0 极大

?0, ???
-

? f ? x ?极大 ? f ? 0 ? ? 1 ?

3 4 3 ?2? , f ? x ?极小 ? f ? ? ? ? 2 ? ? 1 …………11 分 a a a ?a? 3 4 3 ?2? , f ? x ?极小 ? f ? ? ? ? 2 ? ? 1 ; a a a ?a?

总之,当 a ? 0 时, f ? x ?极大 ? f ? 0 ? ? 1 ?

考单招上高职单招网---当 a ? 0 时, f ? x ?极大 ? f ? 0 ? ? 1 ?

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3 4 3 ?2? , f ? x ?极小 ? f ? ? ? ? 2 ? ? 1 .……12 分 a a a ?a?

21.解:(Ⅰ)由 Sn ? 2 ? 3n ? k 得: n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 4 ? 3n?1 …………………2 分

??an ? 是等比数列?a1 ? S1 ? 6 ? k ? 4 ? k ? ?2 ,…………………4 分
所以 an ? 4 ? 3n?1 (n ? N? ) …………………6 分 (Ⅱ)由 an ? 4(5 ? k )anbn 和 an ? 4 ? 3n?1 得 bn ?

n ?1 ……………………8 分 4 ? 3n ?1

?Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? bn ?1 ? bn ?

1 2 n?2 n ?1 ? ??? ? ? (1) 2 n?2 4?3 4?3 4 ?3 4 ? 3n ?1 1 2 3 n?2 n ?1 3Tn ? ? ? ?? ? ? ??? (2) 2 n ?3 4 4?3 4?3 4 ?3 4 ? 3n ? 2
1 1 1 1 1 n ?1 ? ? ??? ? ? 2 n ?3 n?2 4 4?3 4?3 4?3 4 ?3 4 ? 3n ?1

? (2) ? (1) : 2Tn ?

1 1 1 1 1 n ?1 3 2n ? 1 ?Tn ? ? ? ??? ? ? ? ? ……………12 分 2 n ?3 n?2 n ?1 8 8?3 8?3 8?3 8?3 8?3 16 16 ? 3n ?1
22.解:(Ⅰ)由题设知: A(

a2 a2 ? 8

,0), F1 ( a 2 ? 8,0)
? ? ? a2 ? 8 ? ? …………4 分 2 ? a ?8 ? a2

2 ? 由 OF1 ? 2 AF 1 ? 0 得: a ? 8 ? 2?

解得 a ? 2 6 ,? 椭圆 M 的方程为 M : (II) PE ? PF ? NE ? NP ? NF ? NP
2

x2 y2 ? ? 1 …………6 分 24 8

?? ? ? ?? NF ? NP ?? ?NF ? NP ? ? ?? NP ? ? NF

?

2

? NP ? 1

2

从而将求 PE ? PF 的最大值转化为求 NP 的最大值…………8 分

2

x y P 是椭圆 M 上的任一点,设 P?x0 , y0 ? ,则有 0 ? 0 ? 1 24 8
即 x02 ? 24 ? 3 y02 ………………10 分

2

2

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2

又 N ?0,2? ,? NP ? x0 ? ? y 0 ? 2? ? ?2? y 0 ? 1? ? 30 …………12 分

y0 ? ? 2 2,2 2 ? 当 y0 ? ?1 时, NP 取最大值 30
? PE ? PF 的最大值为 29 ………………14 分

?

?

2


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