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自己整理的必修二直线方程的几种形式


第二章平面解析几何初步(二)直线方程的几种形式

一、直线方程的五种形式的比较: 形式 点 斜 式 一般 情况 斜截 式 条件 过点 P0 ?x0 , y0 ? ,斜率为 k 在 y 轴上的截距为 b , 斜率为 k 过两点 P 1 ?x1 , y1 ? 和 P 2 ?x2 , y 2 ? 方程 应用范围 不含与 x 轴垂直的直线 不含与 x 轴垂直的直线

y ? y0 ? k ?x ? x0 ?
y ? kx ? b

特 殊 形 式

两 点 式

一般 情况

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x2 ? x1

不含与 x 轴或 y 轴垂直 的直线

?x1 ? x2且y1 ? y2 ?
在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a 与 b ?ab ? 0?

截距 式

x y ? ?1 a b

不含与 x 轴或 y 轴垂直 的直线, 不含过原点的直 线 任何情况

一般式 过点 P0 ?x0 , y0 ? ,斜率不存在 特殊直线 过点 P0 ?x0 , y0 ? ,斜率为 0

?A、B不同时为0?
x ? x0

Ax ? By ? C ? 0

y ? y0
截距式

二、直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化: 一般式 斜截式

?A、B不同时为0?
①方程

Ax ? By ? C ? 0

y??

A C x ? ?B ? 0 ? B B

x y ? ? 1? ABC ? 0? C C ? ? A B

1、下列命题中,所有真命题的序号为

y ? y0 ? k 表示过点 P0 ?x0 , y0 ? 且斜率为 k 的直线方程;②经过定点 P0 ?x0 , y0 ? 的直线,都可 x ? x0

以用 y ? y0 ? k ?x ? x0 ? 来表示;③经过 A?0, b ? 的直线都可以用方程 y ? kx ? b 来表示; ④不经过原点的直线都可用方程

x y ? ? 1 来表示;⑤直线 l 过点 P?x1 , y1 ? ,倾斜角为 900 ,则其方 a b

程为 x ? x1 ; ⑥直线 l 过点 P?x1 , y1 ? , 斜率为 0 , 则其方程为 y ? y1 ; ⑦经过任意不同两点 P 1 ?x1 , y1 ? ,

P2 ?x2 , y 2 ? 的直线都可以用方程 ? y ? y1 ??x2 ? x1 ? ? ?x ? x1 ?? y2 ? y1 ?来表示;
2、若方程 Ax ? By ? C ? 0 表示直线,则 A, B 应满足的条件为( A. A ? 0 B. B ? 0 C. A ? B ? 0
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) D. A ? B ? 0
2 2

第二章平面解析几何初步(二)直线方程的几种形式

例 1:已知直线 l 经过点 ?3, ? 2? ,且在两坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程。 方法一:依题意,直线 l 的斜率 k 存在且不为 0 ,设直线的方程为 y ? 2 ? k ?x ? 3? 令 x ? 0 ,得 y ? ?2 ? 3k ;令 y ? 0 ,得 x ?

2 ?3 k

?x ? y ? 1 ? 0或2x ? 3 y ? 0?
方法二: 设直线 l 在两坐标轴上的截距均为 a . 若 a ? 0 ,则直线 l 过原点,此时 l 的方程为 2 x ? 3 y ? 0 ; 若 a ? 0 ,则 l 的方程可设为

x y ? ?1 a a
) D. 4 条

变式:经过点 A?1,2? ,并且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有( A.1 条 B. 2 条 C. 3 条

例 2:已知直线过点 ?? 3, 4? ,且在两坐标轴上的截距之和为 12 ,求直线 l 的方程. 解:方法一:由题可知所求直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? 4 ? k ?x ? 3??k ? 0? 当 x ? 0 时, y ? 3k ? 4 ;当 y ? 0 时, x ? ? 由题可知 ?

4 ?3 k

4 1 ? 3 ? 3k ? 4 ? 12 ? 3k 2 ? 11k ? 4 ? 0 ? ?3k ? 1??k ? 4? ? 0 ,? k ? 4 或 k ? ? k 3 1 ? 所求直线 l 的方程为 y ? 4 ? 4?x ? 3? 或 y ? 4 ? ? ? x ? 3? ,即 4 x ? y ? 16 ? 0 或 x ? 3 y ? 9 ? 0 3 方法二:由题可知所求直线 l 在两坐标轴上的截距存在且不为零 x y ?3 4 ? ? 1② 设直线 l 的方程为 ? ? 1 ,则 a ? b ? 12 ①, 又直线过点 ?? 3, 4? ,? a b a b
由①②得 ?

?a ? 9 ?a ? ?4 或? ?b ? 3 ?b ? 16

x y x y ? ?1 ? 所求直线 l 的方程为 ? ? 1 或 9 3 ? 4 16

例 3:过点 M ?0,1? 作直线 l ,使它被两已知直线 l1 : x ? 3 y ? 10 ? 0 和 l 2 : 2 x ? y ? 8 ? 0 所截得的线 段恰好被 M 平分,求直线 l 的一般式方程。

? x ? 4 y ? 4 ? 0?

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第二章平面解析几何初步(二)直线方程的几种形式

例 4:已知直线 l 的方程为 2m 2 ? m ? 3 x ? m 2 ? m y ? 4m ? 1 ,根据下列条件,分别确定 m 的值: (1)直线 l 的斜率为 1 ; (2)直线 l 在 x 轴的截距为 1 ; (3)直线 l 在 y 轴的截距为 ?

?

? ?

?

3 . 2

例 5:直线 l 过点 P?? 2,3? ,它与两坐标轴围成的三角形面积等于 4 ,求直线 l 的一般式方程. 【直线过定点问题】

?x ? 2 y ? 4 ? 0或9x ? 2 y ? 12 ? 0?

例 6:求证:不论 m 取什么实数,直线 l: ?2m ? 1?x ? ?m ? 1?y ? 7m ? 4 ? 0 恒过定点,并求出此定点 坐标. 解:直线 l 的方程变为: 2mx ? x ? my ? y ? 7m ? 4 ? 0 ? ?2 x ? y ? 7?m ? ? x ? y ? 4

若不论 m 取什么实数,方程恒成立,必须使 ?

?2 x ? y ? 7 ? 0 ?x ? 3 ?? ?? x ? y ? 4 ? 0 ? y ? 1

? 不论 m 取什么实数,直线 l 恒过定点,定点坐标为 ?3,1?
变式 1:直线 kx ? y ? 1 ? 3k ? 0 恒过定点( ) A. ?3, ? 1? B. ?? 3,1? ) C. ?1 , ? 3? D. ?? 1,3?

变式 2:不论 m 为何值,直线 ?m ? 1?x ? y ? 2m ? 1 ? 0 恒过定点( A. ?1,? ?

? ?

1? 2?

B. ?? 2,0?

C. ?2,3?

D.

?? 2,3?

1、已知点 P?3, m ?,在过 M ?2,?1? 和 N ?? 3,4? 的直线上,则 m 的值是( 2、若点 P?x0 , y0 ? 在直线 Ax ? By ? C ? 0 上,则直线方程可以表示为( A. A?x ? x0 ? ? B? y ? y0 ? ? 0 C. B?x ? x0 ? ? A? y ? y0 ? ? 0

)A. 5 B. 2 C ? 2 .D. ? 6 )

B. A?x ? x0 ? ? B? y ? y0 ? ? 0 D. B?x ? x0 ? ? A? y ? y0 ? ? 0 ) D.第四象限 )

3、如果 AB ? 0, AC ? 0 ,则直线 Ax ? By ? C ? 0 不通过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

4、如果直线 Ax ? By ? C ? 0 在坐标轴上的截距相等,那么 A、B、C 满足( A. A ? B B. A ? B C. A ? B且C ? 0

D. C ? 0且A ? B 或 C ? 0

5、已知三角形的三个顶点 A?? 5,0?, B?3,?3?, C?0,2? . (1)求 BC 边所在的直线方程; (2)求 BC 边上中线所在的直线方程.
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