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四川省成都市龙泉第一中学2015-2016学年高二数学下学期入学考试试题 理


龙泉一中高二年级下学期开学考试 数学(理科)试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分。 ) 1.下列说法中,错误的个数有________个:①平行于同一条直线的两个平面平行. ②平行于同一个平面的两个平面平行.③一个平面与两个平行平面相交,交线平行. ④一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交. A.0 个 B.1 个 C.

2 个 D.3 个 2.若直线 (1 ? a) x ? y ? 1 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 相切,则 a 的值为 A.1 或-1 B.2 或-2 C.1 D.-1

3.如图是某样本数据的茎叶图,则该样本数据的中位数为 A.22 B.25 C.28 D.31

4.执行如图所示的程序框图,则输出的 T 等于 A.32 B.30 C.20 D.0

5.已知直线 l 的倾斜角为 ? ,若 cos ? ? 则该直线的斜率为 A.

4 , 5
4 3

3 4

B. ?

3 4

C. ?

3 4

D. ?

6.已知 ? 、 ? 是两个平面, m 、 n 是两条直线,则下列命题不正确 的是 ... A.若 m ∥ n , m ? ? ,则 n ? ? C.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? B.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? D.若 m ? ? , ? I ? ? n ,则 m ∥ n

7.已知圆 C 过点 A(2,0), B(0, 2 2) ,且圆心 C 在直线 y ? 0 上,则圆

C 的方程为
A. ( x ?1) ? y ? 9
2 2

B. ( x ? 2) ? y ? 16
2 2

C. ( x ? 1) ? y ? 9
2 2

D. ( x ? 2) ? y ? 16
2 2

8.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯 视图为全等的等腰直角三角形,若直角三角形 的直角边为 1,那么这个几何体体积为 A. 1 B.

1 2

C.

1 3

D.

1 6
1

9.点 P(?2,1) 关于直线 l : x ? y ? 1 ? 0 对称的点 P? 的坐标是 A. (1, 0) B. (0,1) C. (0, ?1) D. (?1, 0)

10.如图,已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各条棱长都相等,则异面直线 AB1 和 A1C 所成的角的余弦值大小为

1 4 1 C. 2
A.

1 4 1 D. ? 2
B. ?

11. 已知关于 x 的二次函数 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1, 设集合 A ? {?1,1, 2,3, 4,5} ,

B ? {?2, ?1,1, 2,3, 4} ,分别从集合 A 和 B 中随机取一个数记为 a 和 b ,则函数 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上
单调递增的概率为 A.

1 9

B.

2 9

C.

1 3

D.

4 9

12 .在 Rt△ ABC中,已知 D 是斜边 AB 上任意一点(如图①) ,沿直线 CD 将 △ ABC 折成直二面角

B ? CD ? A (如图②) 。若折叠后 A, B 两点间的距离为 d ,则下列说法正确的是

A.当 CD 为 Rt △ ABC 的中线时, d 取得最小值 B.当 CD 为 Rt △ ABC 的角平分线线时, d 取得最小值 C.当 CD 为 Rt △ ABC 的高线时, d 取得最小值 D.当 D 在 Rt △ ABC 的斜边 AB 上移动时, d 为定值

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13.设直线 l1 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与 l2 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 间的距离为 d ,则 d ? ▲ 。 14.执行如图所示的程序框图, 则输出的 y 等于 ▲ 。

2

15.已知一圆锥的侧面展开图是半径为 2 的半圆,则该圆锥的体积为 ▲ 。 16.底面是同一个边长为 a 的正三角形的两个三棱锥内接于同一个球,它们顶点的连线为球的直径且垂直 于底 面,球的半径为 R 。设两个三棱锥的侧面与底面所成的角分别为 ?、? ,则 t an?? ? ? ? 的值是 ▲ 。 三、解答题(17 至 21 题每小题 12 分,22 题 10 分共计 70 分) 17. (本题满分 12 分) (1)画出计算 S=1·2 +2 ·2 +3·2 +?+10·2 的值的程序框图. (2)用 WHILE 型语句写出上述程序。
2 3 4 11

18. (本题满分 12 分) 已知 ABCD ? A1B1C1D1 为正方体, E 、 F 分别是 AB 、 B1C1 的中点。 (1)求证:直线 EF ∥平面 ACC1 A 1; (2)求直线 BC1 与平面 ACC1 A 1 所成角的余弦值。

19. (本题满分 12 分) 某高校在 2015 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试 成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下表所示. 组号 第 1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计 分组
[160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185]

频数
5
n

频率
0.050

0.350

30

p
0.200
0.100

20
10

100

1.000

(1)求频率分布表中 n, p 的值,并补充完整相应的频率分布直方图; (2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名学 生进入第二轮面试,则第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (3)在(2)的前提下,学校决定从 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试,求第 4 组至少有 1

3

名学生被甲考官面试的概率。

20. (本题满分 12 分) 节日前夕,小明的妈妈给小明买了两只可以装电池的发光玩具狗。这两只玩具狗在装满电池后,都会 在打开电开关后的 4 秒内任一时刻等可能发光,然后每只发光玩具狗以 4 秒为间隔闪亮。那么,当这两只 发光玩具狗同时打开电开关后,求它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率。

21. (本题满分 12 分) 已知平面直角坐标系上一动点 P ( x, y ) 到点 A(?2, 0) 的距离是点 P 到点 B(1, 0) 的距离的 2 倍。 (1)求点 P 的轨迹方程; (2)若点 P 与点 Q 关于点 (2,1) 对称,点 C (3, 0) ,求 | QA |2 ? | QC |2 的最大值和最小值; (3)过点 A 的直线 l 与点 P 的轨迹 C 相交于 E , F 两点,点 M (2,0) ,则是否存在直线 l ,使 S△EFM 取 得最大值,若存在,求出此时 l 的方程,若不存在,请说明理由。

22. (本题满分 10 分) 如图,正四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 2 倍, CD ? 2 ,点 P 在侧棱 SD 上,且 SP ? 3PD 。 (1)求证: AC ? SD ; (2)求二面角 P ? AC ? D 的大小。

龙泉一中高二年级下学期开学考试 数学(理科)答案 一、选择题(5×12=60 分) 题号 1 2 3 答案 B D B 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.2 14.4

4 B

5 A

6 D

7 C

8 D

9 C

10 A

11 D

12 B

15.

3? 3

16. ?

4 3R 3a
4

三、解答题(共 70 分) 17. (本题满分 12 分) 解: (1)程序框图如下

?????????????6 分 (2)程序语句如下:

????????????????12 分 18. (本题满分 12 分) 解: (1 )设 BC 的中点为 G ,连接 EG, FG 。 ∵E、G 分别是 AB 、BC 的中点,则 EG ∥ AC , ∵ EG ? 平面ACC1 A 1 , AC ? 平面ACC1 A 1,

D1

C1 B1

A1

F

FG ∥ 平面 ACC1 A1 。 ∴ EG ∥ 平面 ACC1 A 1 ,同理
又∵ EG I FG ? G ,则平面 EGF ∥ 平面 ACC1 A 1, ∵ EF ? 平面 EGF ,

D A
E

B

G

C

∴ EF ∥ 平面 ACC1 A 1 ???????????????????12 分 (2)令 AC、BD 相交于点 O,连接 C1O, C1 D ,由已知 BO ? AC, BO ? CC1 , 且 CC1 I CO ? C ∴ BO ? 平面 ACC1 A 1 ,即 OC1 是直线 BC1 在平面 ACC1 A 1 内的射影, ∴ ?BC1O 即为 BC1 与平面 ACC1 A 1 所成角的平面角,
5

显然, △DBC1 为正三角形,且 C1O 是 BC1D 的角平分线, ∴ ?BC1O ?

?
6

,即 cos ?BC1O ?

3 。 2
3 。????????????12 分 2

即直线 BC1 与平面 ACC1 A 1 所成角的余弦值为 19. (本题满分 12 分) 解: (1)由已知: 5 ? n ? 30 ? 20 ? 10 ? 100 ,

0.500 ? 0.350 ? p ? 0.200 ? 0.100 ? 1.000 ,
∴ n ? 35, p ? 0.300 ????????4 分 (注:若 p 未保留至小数点后 3 位,则扣 1 分, 图补全 2 分,即第(1)小题满分 6 分) (2)由已知,笔试成绩高的第 3、4、5 组的人 3:2:1,现用分 层抽样的方法选 6 名学生。 故第 3、4、5 组每组各抽学生人数为 3、2、1。???????????????8 分 (3)在(2)的前提下,记第 3 组的 3 名学生为 c1 , c2 , c3 , 第 4 组的 2 名学生为 d1 , d 2 ,第 5 组的 1 名学生为 e1 ,且“第 4 组至少有 1 名学生被甲考官面试”为事 件 A。 则所有的 基本事件有: (c1 , c2 ) , (c1 , c3 ) , (c1 , d1 ) , (c1 , d 2 ) , (c1 , e1 ) , (c2 , c3 ) , (c2 , d1 ) , (c2 , d 2 ) , 一共 15 种。 ???????????? (c2 , e1 ) ,(c3 , d1 ) ,(c3 , d 2 ) ,(c3 , e1 ) ,(d1 , d 2 ) ,(d1 , e1 ) ,(d2 , e1 ) , 10 分 数 之 比 为

A 事件有: (c1 , d1 ) , (c1 , d2 ) , (c2 , d1 ) , (c2 , d 2 ) , (c3 , d1 ) , (c3 , d 2 ) , (d1 , d 2 ) , (d1 , e1 ) , (d2 , e1 ) ,一
共 9 种。???????11 分 ∴ P ( A) ?

9 3 ? 15 5
3 。??????12 分 5

答:第 4 组至少有 1 名学生被甲考官面试的概率为 20. (本题满分 12 分) 解:设这两只玩具狗第一次闪亮的时刻分别为 x, y 由已知: ?

?0 剟 x ?0 剟 y

4 4

6

由第一次闪亮时刻相差不超过两秒可得 | x ? y |? 2 ????????????6 分 现记“这两只玩具狗第一次闪亮的时刻不超过 2 秒”为事件 A 。 4 y

1 2 ? ? 22 2 1 3 2 则 P( A) ? 1 ? ?????? 11 分 ? 1 ? ? 42 4 4
答:这两只玩具狗第一次闪亮的时刻不超过 2 秒的

3 概率为 。??????????????????12 分 4
21. (本题满分 12 分)

0

2

4

x

2 2 2 2 解: (1)由已 知, ( x ? 2) ? ( y ? 0) ? 2 ( x ? 1) ? ( y ? 0) ,? ???????1 分

∴ x2 ? 4 x ? y 2 ? 0 ,即 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,???????????????3 分 (2)设 Q ( x, y ) ,因为点 P 与点 Q 关于点 (2,1) 对称, 则 P(4 ? x, 2 ? y ) , ∵点 P(4 ? x, 2 ? y ) 在圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 上运动, ∴点 Q 的轨迹方程为 (4 ? x)2 ? 4(4 ? x) ? (2 ? y)2 ? 0 ? ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ???????????4 分 ∵ | QA | ? | QC | ? ( x ? 2) ? y ? ( x ? 3) ? y ? 2 x ? 2 x ? 2 y ? 13 ? 2[( x ? ) ? y ] ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2

25 2
1 2

????????????5 分
2 2 2 2 设 t ? ( x ? ) ? y ,圆 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4 的圆心为 N (2, 2) ,半径为 r ? 2 , D ( , 0) 。

1 2

1 81 则 tmax ? (| ND | ?r )2 ? ( (2 ? )2 ? (2 ? 0)2 ? 2)2 ? ? (| QA |2 ? | QC |2 ) max ? 53 , 2 4

1 1 tmin ? (| ND | ?r )2 ? ( (2 ? )2 ? (2 ? 0)2 ? 2)2 ? ? (| QA |2 ? | QC |2 ) min ? 13 , 2 4
∴ | QA | ? | QC | 的最 大值为 53 , | QA | ? | QC | 的最小值为 13 。??????7 分
2 2 2 2

(3)由题意知 l 的斜率一定存在,设直线 l 的斜率为 k,且 E( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ) 。 则 l : y ? k ( x ? 2) ,

7

联立方程: ?

? y ? k ( x ? 2)
2 2 ?( x ? 2) ? y ? 4

? (k 2 ? 1) x 2 ? 4( k 2 ? 1) x ? 4k 2 ? 0 ,?????8 分

∴ △? 16(k ? 1) ? 4(k ? 1) ? 4k ? 0 ? ?
2 2 2 2

3 3 , ?k? 3 3

又∵直线 l 不经过点 M (2,0) ,则 k ? (?

3 3 , 0) ? (0, ) 。?????????9 分 3 3
, | EF |? 2 4 ? d 2 ,

∵点 M (2,0) 到直线 l 的距离 d ? ∴ S△ EFM ? ∵d ?
2

4|k | k ?1
2

1 | EF | ?d ? 4 ? d 2 ? d ? ?(d 2 ? 2) 2 ? 4 , 2

16k 2 16 1 ? , k 2 ? (0, ) ? d 2 ? (0, 4) , 2 k ?1 1? 1 3 2 k
16k 2 1 7 ?11 分 ? 2 ? k2 ? ? k ? ? 2 k ?1 7 7

∴当 d ? 2 时, S△EFM 取得最大值 2,此时,
2

∴直线 l 的方程为 x ? 7 y ? 2 ? 0或x ? 7 y ? 2 ? 0 。?????????12 分

22. (本题满分 10 分) 解: (1)设 AC 的中点为 O ,连接 OD, OS 。 由已知, AC ? OD , SO ? 底面 ABCD , ∵ AC ? 平面 ABCD , ∴ SO ? AC , 又∵ SO I DO ? O , ∴ AC ? 平面 SOD , ∵ SD ? 平面 SOD , ∴ AC ? SD 。????? ?????????????5 分 (2)连接 OP ,作 PQ ? OD ? Q 。由已知, AP ? CP, AD ? CD ∴ △ APC 与 △ ADC 为等腰三角形, ∵ O 为 AC 的中点, ∴ PO ? AC, DO ? AC ,
A

S

P D

Q O
B C

∴ ?POQ 即为二面角 P ? AC ? D 的平面角,????????????????7 分

8

又由已知 CD ?

3 1 2, SP ? , PD ? , OD ? 1 , 2 2

则 OS ? SD2 ? OD2 ? 3 ∵ △SDO ∽ △PDQ ,则 PQ ?

1 3 1 1 1 3 SO ? , QD ? DO ? ? OQ ? 1 ? ? , 4 4 4 4 4 4

∴ tan ?POQ ?

? PQ 3 ,即 ?POQ ? , ? 6 OQ 3
? 。???????????????????10 分 6

∴二面角 P ? AC ? D 的大小为

9


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