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河南省郑州市思齐实验中学2015届高三数学上学期10月月考试卷 理(含解析)


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河南省郑州市思齐实验中学 2015 届高三上学期 10 月月考数学试卷 (理 科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x∈R|2 <e},B={x∈R| >1},则 A∩B=() A. {x∈R|0<x<log2e} D. {x∈R|x<log2e} B. {x∈R|0<x<1} C. {x∈R|1<x<log2e}
x

2. (5 分)以下判断正确的是() A. 函数 y=f(x)为 R 上的可导函数,则 f′(x0)=0 是 x0 为函数 f(x)极值点的充要条件 2 2 B. 命题“存在 x∈R,x +x﹣1<0”的否定是“任意 x∈R,x +x﹣1>0” C. 命题“在△ABC 中,若 A>B,则 sinA>sinB”的逆命题为假命题 2 D. “b=0”是“函数 f(x)=ax +bx+c 是偶函数”的充要条件

3. (5 分)已知复数 z= A. 第一象限 4. (5 分)若 A. B. 第二象限

,则复数 z 在复平面内对应的点位于() C. 第三象限 D. 第四象限

,则 sinα cosα =() B. C. D.

5. (5 分) 一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示, 则这个空间几何体的表面积是()

A.

B.

+6

C. 11π

D.

+3

6. (5 分)执行所示的程序框图,若输出的 S 是 2047,则判断框内应填写()

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A. n≤9?

B. n≤10?

C. n≥10?

D. n≥11?

7. (5 分)函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (其中|φ |< 的图象,只需把 y=f(x)的图象上所有点()

)的图象如图所示,为了得到 y=sinω x

A. 向右平移 C. 向左平移

个单位长度 个单位长度

B. 向右平移 D. 向左平移

个单位长度 个单位长度

8. (5 分)能够把椭圆 C:

+

=1 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数 f(x)称为

椭圆 C 的“亲和函数”,下列函数是椭圆 C 的“亲和函数”的是() A. f(x)=x +x
3 2

B. f(x)=ln

C. f(x)=sinx+cosx D. f(x)=e +e

x

﹣x

9. (5 分)若函数 切,则 a+b 的最大值是() A. 4 B.

的图象在 x=0 处的切线与圆 x +y =1 相

2

2

C. 2

D.

10. (5 分)已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)是单调递增的,若 则下列不等式中一定成立的是() A. f(S1)<f(S2)<f(S3) B. f(S3)<f(S2)<f(S1) C. f(S2)<f (S1)<f(S3) D. f(S3)<f(S1)<f(S2) 11. (5 分)关于方程|log2x|=lg(x+1)的两个根 x1,x2(x1<x2)以下说法正确的是()

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. x1+x2>2 B. x1x2>2 C. 0<x1x2<1 D. 1<x1+x2<2

12. (5 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0)上一点 C,过双曲线中心的直线交双曲线于 +ln|k1|+ln|k2|最小时,双曲线离心

A,B 两点,记直线 AC,BC 的斜率分别为 k1,k2,当 率为() A.

B.

C.

+1

D. 2

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)已知向量 =(1,sin x) , =(2,sin2x) ,其中 x∈(0,π ) ,若 ∥ ,则 tanx 的值等于. 14. (5 分)如图所示的程序框图,若输入 m,n 的值分别为 12,9,执行算法后输出的结果是.
2

15. (5 分)△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边的长分别为 a,b,c,且 a =b(b+c) ,则 =.

2

16. (5 分) 一个半径为 1 的小球在一个棱长为 的正四面体容器内可向各个方向自由运动, 则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是.

三.解答题:本大题共 6 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 2 * 17. (12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn=pn ﹣2n+q(p,q∈R,n∈N ) . (1)求 q 的值; (2)若 a1 与 a5 的等差中项为 18,bn 满足 an=2log2bn,求数列的{bn}前 n 项和. 18. (12 分)如图,在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABCD,AB∥DC,AA1=1,AB=3k, AD=4k,BC=5k,DC=6k(k>0) .

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅰ)求证:CD⊥平面 ADD1A1; (Ⅱ)若直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值为 ,求 k 的值.

19. (12 分)在如图所示的空间几何体中,平面 ACD⊥平面 ABC,△ACD 与△ACB 是边长为 2 的 等边三角形,BE=2,BE 和平面 ABC 所成的角为 60°,且点 E 在平面 ABC 上的射影落在∠ABC 的平分线上. (Ⅰ)求证:DE∥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 E﹣BC﹣A 的余弦值.

20. (12 分)已知椭圆 C1 的中心为原点 O,离心率 e= 准线上,若抛物线 C2 与直线 l:x﹣y+ (Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)若点 T 满足: = +2 + =0 相切.

,其一个焦点在抛物线 C2:y =2px 的

2

,其中 M,N 是 C1 上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为﹣

,试说明:是否存在两个定点 F1,F2,使得|TF1|+|TF2|为定值?若存在,求 F1,F2 的坐标; 若不存在,说明理由.

21. (12 分)已知函数 f(x)=



(Ⅰ)求过原点且与函数 f(x)的图象相切的直线方程; (Ⅱ)设 g(x)=f(x)lnx﹣m,讨论函数 g(x)在区间上零点的个数; (Ⅲ)记 Fn(x)= ,Sn(x)=F1(x)+F2(x)+?+Fn(x) ,n∈N .若对任意正整
*

数 P,|Sn+p(x)﹣Sn(x)|< 对任意 x∈D 恒成立,则称 Sn(x)在 x∈D 上是“高效”的.试 判断 Sn(x)是否是 x∈上是“高效”的?若是,请给出证明,若不是,请说明理由.

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22. (10 分)已知函数 f(x)=x ﹣ax(a≠0) ,g(x)=lnx,f(x)图象与 x 轴异于原点的交 点 M 处的切线为 l1,g(x﹣1)与 x 轴的交点 N 处的切线为 l2,并且 l1 与 l2 平行. (1)求 f(2)的值; (2)已知实数 t∈R,求函数 y=f,x∈的最小值.

2

河南省郑州市思齐实验中学 2015 届高三上学期 10 月月考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x∈R|2 <e},B={x∈R| >1},则 A∩B=() A. {x∈R|0<x<log2e} D. {x∈R|x<log2e} B. {x∈R|0<x<1} C. {x∈R|1<x<log2e}
x

考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 求出 A 与 B 中不等式的解集,确定出 A 与 B,找出两集合的交集即可. x 解答: 解:由集合 A 不等式中 2 <e,变形得 x<log2e, ∴A=(﹣∞,log2e) , 由集合 B 中不等式 >1,去分母得:0<x<1, 即 B=(0,1) , ∴A∩B=(0,1) . 故选 B 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)以下判断正确的是() A. 函数 y=f(x)为 R 上的可导函数,则 f′(x0)=0 是 x0 为函数 f(x)极值点的充要条件 2 2 B. 命题“存在 x∈R,x +x﹣1<0”的否定是“任意 x∈R,x +x﹣1>0” C. 命题“在△ABC 中,若 A>B,则 sinA>sinB”的逆命题为假命题 2 D. “b=0”是“函数 f(x)=ax +bx+c 是偶函数”的充要条件 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: A.利用 f′(x0)=0 是 x0 为函数 f(x)极值点的必要而不充分条件,即可判断出. B.利用特称命题的否定是全称命题即可得出; C.利用三角形的内角和定理、正弦余弦函数的单调性、和差化积即可得出. D.利用偶函数的定义即可判断出. 解答: 解:A.函数 y=f(x)为 R 上的可导函数,则 f′(x0)=0 是 x0 为函数 f(x)极值点 的充要条件,错误.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 导数为零的点不一定为极值点,例如函数 f(x)=x ,而 f′(0)=0,但是此函数单调递增, 无极值点; 2 2 B.命题“存在 x∈R,x +x﹣1<0”的否定是“任意 x∈R,x +x﹣1≥0”,因此 B 不正确; C.命题“在△ABC 中,若 A>B,则 sinA>sinB”的逆命题为“在△ABC 中,若 sinA>sinB, 则 A>B”是真命题;其原因如下:∵0<B<A<A+B<π ,∴ ∴ ∴sinA﹣sinB=
2 3







. >0,即 sinA>sinB.

D.“b=0”是“函数 f(x)=ax +bx+c 是偶函数”的充要条件,正确. 2 其原因如下:函数 f(x)=ax +bx+c 是偶函数?f(﹣x)=f(x)?2bx=0 对于? x∈R 都成立 ?b=0. 故选 D 点评: 本题综合考查了 f′(x0)=0 是 x0 为函数 f(x)极值点的必要而不充分条件、特称 命题的否定是全称命题、三角形的内角和定理、正弦余弦函数的单调性、和差化积、偶函数的 定义等基础知识与基本技能方法,属于难题.

3. (5 分)已知复数 z= A. 第一象限 B. 第二象限

,则复数 z 在复平面内对应的点位于() C. 第三象限 D. 第四象限

考点: 复数代数形式的混合运算;复数的基本概念. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 根据复数的几何意义,先将复数进行化简,即可得到结论. 解答: 解:∵z= = = = ,

∴复数 z 在复平面内对应的点(

)位于第一象限.

故选:A. 点评: 本题主要考查复数的几何意义,根据复数的四则运算是解决本题的关键,比较基础. 4. (5 分)若 A. ,则 sinα cosα =() B. C. D.

考点: 同角三角函数间的基本关系;二倍角的正弦. 专题: 计算题. 分析: 由已知中 ,由于分子是二次三角表达式,故可以利用弦化切思想,将式 子转化成一个只含 α 正切的式子,代入即可得到答案. 解答: 解:∵ , ∴sinα cosα = = =

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故选 D 点评: 本题考查的知识点是同角三角函数间的基本关系,其中利用弦化切思想,找到已知 式与求知式之间的关系是解答本题的关键. 5. (5 分) 一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示, 则这个空间几何体的表面积是()

A.

B.

+6

C. 11π

D.

+3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由三视图判断几何体是半个圆台,且上、下底面圆的直径分别是 2、4,求出圆台的 母线长与高,代入圆台的表面积公式计算. 解答: 解:由三视图判断几何体是半个圆台,且上、下底面圆的直径分别是 2,4, 由正视图得圆台的母线长为 ∴圆台的表面积 S= × =2,高为
2 2

, +3 .

+ π (1 +2 +1×2+2×2)=

故选 D. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的表面积,考查了圆台的表面积公式,解答的关键是 判断几何体的形状及相关数据所对应的量. 6. (5 分)执行所示的程序框图,若输出的 S 是 2047,则判断框内应填写()

A. n≤9?

B. n≤10?

C. n≥10?

D. n≥11?

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 1 2 n 分析: 算法的功能是求 S=2°+2 +2 +?+2 的值,利用等比数列前 n 项和公式确定 n 的值, 从而可得判断框的条件. 1 2 n 解答: 解:根据框图的流程,算法的功能是求 S=2°+2 +2 +?+2 的值,

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∵输出的 S 是 2047,S=

=2 ﹣1=2047,∴n=10,

n+1

∴退出循环体的 n 值为 10, ∴判断框的条件应是:n≤9 或 n<10, 故选:A. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关 键. 7. (5 分)函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (其中|φ |< 的图象,只需把 y=f(x)的图象上所有点() )的图象如图所示,为了得到 y=sinω x

A. 向右平移 C. 向左平移

个单位长度 个单位长度

B. 向右平移 D. 向左平移

个单位长度 个单位长度

考点: 由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 根据周期求出 ω ,再由五点法作图求出?,从而得到函数 f(x)=sin2(x+ 把 y=f(x)的图象向右平移 解答: 解:由题意可得 再由五点法作图可得 2× (x+ ) . 个单位长度可得 y=sinω x 的图象, × 个单位长度可得 y=sinω x 的图象,从而得出结论. = ﹣ = ,∴ω =2. )=sin2 ) ,故

+?=π , ∴?=

,故函数 f(x) =sin(ω x+?)=sin(2x+

故把 y=f(x)的图象向右平移

故选 A. 点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ω x+?)的部分图象求函数的解析式,函数 y=Asin (ω x+?)的图象变换,属于中档题.

8. (5 分)能够把椭圆 C:

+

=1 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数 f(x)称为

椭圆 C 的“亲和函数”,下列函数是椭圆 C 的“亲和函数”的是()

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. f(x)=x +x
3 2

B. f(x)=ln

C. f(x)=sinx+cosx D. f(x)=e +e

x

﹣x

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 关于原点对称的函数都可以等分椭圆面积,验证哪个函数不是奇函数即可. 3 2 解答: 解:∵f(x)=x +x 不是奇函数, 3 2 ∴f(x)=x +x 的图象不关于原点对称, 3 2 ∴f(x)=x +x 不是椭圆的“亲和函数”; ∵f(x)=ln ∴f(x)=ln ∴f(x)=ln 是奇函数, 的图象关于原点对称, 是椭圆的“亲和函数”;

∵f(x)=sinx+cosx 不是奇函数, ∴f(x)=sinx+cosx 的图象不关于原点对称, ∴f(x)=sinx+cosx 不是椭圆的“亲和函数”; x ﹣x ∵f(x)=e +e 不是奇函数, x ﹣x ∴f(x)=e +e 的图象关于原点不对称, x ﹣x ∴f(x)=e +e 不是椭圆的“亲和函数”. 故选:B. 点评: 本题考查椭圆的“亲和函数”的判断,是基础题,解题时要准确把握题意并合理转 化,注意函数的奇偶性的合理运用.
2 2

9. (5 分)若函数 切,则 a+b 的最大值是() A. 4 B.

的图象在 x=0 处的切线与圆 x +y =1 相

C. 2

D.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;直线与圆的位置关系. 专题: 导数的概念及应用. 2 2 2 2 分析: 求导数, 求出切线方程, 利用切线与圆 x +y =1 相切, 可得 a +b =1, 利用基本不等式, 可求 a+b 的最大值. 解答: 解:求导数,可得 令 x=0,则 又 f(0)=
2

,则切线方程为
2

,即 ax+by+1=0

∵切线与圆 x +y =1 相切, ∴

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴a +b =1 ∵a>0,b>0 2 2 ∴a +b ≥2ab, 2 2 2 ∴2(a +b )≥(a+b) ∴ ∴a+b 的最大值是 故选 D. 点评: 本题考查导数的几何意义,考查直线与圆相切,考查基本不等式的运用,属于中档 题. 10. (5 分)已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)是单调递增的,若 则下列不等式中一定成立的是() A. f(S1)<f(S2)<f(S3) B. f(S3)<f(S2)<f(S1) C. f(S2)<f (S1)<f(S3) D. f(S3)<f(S1)<f(S2) 考点: 定积分;不等关系与不等式. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用积分公式求出 S1,S2,S3 的大小,然后利用函数单调性和奇偶性的性质即可判断 大小. 解答: 解:根据积分公式可知 , ∵函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)是单调递增, ∴在区间(0,+∞)是单调递减, ∵e ﹣e>
2 2 2





>0,

∴f(S3)<f(S1)<f(S2) , 故选:D. 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,利用积分公式求出三个数值的大小是解 决本题的关键,考查学生的基本运算能力. 11. (5 分)关于方程|log2x|=lg(x+1)的两个根 x1,x2(x1<x2)以下说法正确的是() A. x1+x2>2 B. x1x2>2 C. 0<x1x2<1 D. 1<x1+x2<2 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 在同一坐标系中作出 y=|log2x|与 y=lg(x+1)的图象,观察图象可得. 解答: 解:在同一坐标系中作出 y=|log2x|与 y=lg(x+1)的图象,如图: 由图可知:0<x1<1,1<x2<2, 所以 1<x1+x2<2. 故选 D.

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点评: 本题以基本初等函数为载体,考查了方程根与函数零点等问题,属于中档题.熟练 运用函数的图象,将方程问题化为直观图象的观察,是解决本题的捷径.

12. (5 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0)上一点 C,过双曲线中心的直线交双曲线于 +ln|k1|+ln|k2|最小时,双曲线离心

A,B 两点,记直线 AC,BC 的斜率分别为 k1,k2,当 率为() A.

B.

C.

+1

D. 2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: 设 A(x1,y1) ,C(x2,y2) ,由双曲线的对称性得 B(﹣x1,﹣y1) ,从而得到 k1k2= +ln|k1|+ln|k2|= 率. 解答: 解:设 A(x1,y1) ,C(x2,y2) , 由题意知点 A,B 为过原点的直线与双曲线 ∴由双曲线的对称性得 A,B 关于原点对称, ∴B(﹣x1,﹣y1) , , , ﹣ =1 的交点, = ,利用点差法能推导出 ,再由构造法利用导数性质能求出双曲线的离心

∴k1k2=

=



∵点 A,C 都在双曲线上,

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∴ 两式相减,得:







∴k1k2= ∴

=

>0, , ,

+ln|k1|+ln|k2|=

对于函数 y= 由 x>2 时, 0<x<2 时,

=0,得 x=0(舍)或 x=2, >0, <0,

∴当 x=2 时,函数 y= +lnx(x>0)取得最小值,

∴当

+ln|k1|+ln|k2|最小时,



∴e=

=



故选:B. 点评: 本题考查双曲线的离心率的求法,涉及到导数、最值、双曲线、离心率等知识点, 综合性强,难度大,解题时要注意构造法的合理运用. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)已知向量 =(1,sin x) , =(2,sin2x) ,其中 x∈(0,π ) ,若 ∥ ,则 tanx 的值等于 1. 考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 三角函数的求值;平面向量及应用. 分析: 由向量共线的坐标表示列式得到 值,则 tanx 的值可求. 解答: 解:∵ =(1,sin x) , =(2,sin2x) ,
2 2

,然后结合 x 的范围求出 x 的

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由 ∥ ,得 1×sin2x﹣2sin x=0, 即 sin2x+cos2x﹣1=0, ∴ ∵x∈(0,π ) , ∴2x+ ∴2x+ 则 ∴tanx= ∈( = . . . ) , , .

2

故答案为:1. 点评: 本题考查了平行向量与共线向量,考查了三角函数值的求法,关键是注意角的范围, 是基础题. 14. (5 分)如图所示的程序框图,若输入 m,n 的值分别为 12,9,执行算法后输出的结果是 3.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 框图的功能是利用更项减损法求 12 和 9 的最大公约数,根据框图的流程依次计算运 行的结果,直到满足条件,可得 12 和 9 的最大公约数. 解答: 解:由框图的流程知:框图的功能是利用更项减损法求 12 和 9 的最大公约数, 第一次运行 12﹣9=3,d=3,m=9,n=3; 第二次运行 9﹣6=3,d=3,m=6,n=3; 第三次运行 6﹣3=3,d=3,m=3,n=3; 第三次运行 3﹣3=0,d=0, 满足条件 d=0,跳出循环体,输出 m=3, 故答案为:3.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查了更项减损法求最大公约数程序框图,根据框图的流程依次计算运行的结 果是解答此类问题的常用方法.
2

15. (5 分)△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边的长分别为 a,b,c,且 a =b(b+c) ,则 = .

考点: 余弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用余弦定理列出关系式,将已知等式变形为 a =b +bc 代入,约分后再将 b+c=
2 2



入,利用正弦定理化简得到 sinA=2sinBcosB=sin2B,进而得到 A=2B,即可求出所求式子的值. 解答: 解:∵a =b(b+c) ,即 a =b +bc,b+c=
2 2 2



∴由正弦、余弦定理化简得:cosB= 则 sinA=sin2B,即 A=2B 或 A+2B=π , 2 2 2 2 2 ∵a =b +c ﹣2bccosA,且 a =b(b+c)=b +bc, ∴cosA= = =

=

=

=

=

=



>0,即 c>b,

∴C>B, ∵A+B+C=π , ∴A+2B<π , 故 A+2B=π 不成立,舍去, ∴A=2B, 则 = . 故答案为: 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,熟练掌握定理是解本题的关键. 16. (5 分) 一个半径为 1 的小球在一个棱长为 的正四面体容器内可向各个方向自由运动, 则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 . 考点: 棱锥的结构特征. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 小球与正四面体的一个面相切时的情况,易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍 为正三角形,正四面体的棱长为 ,故小三角形的边长为 2 ,做出面积相减,得到结果. 解答: 解:考虑小球与正四面体的一个面相切时的情况, 易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形, 正四面体的棱长为 故小三角形的边长为 2 小球与一个面不能接触到的部分的面积为

- 14 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ﹣ =18 ,

∴几何体中的四个面小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 4×18 =72 故答案为:72 点评: 本题考查棱柱的结构特征,本题解题的关键是看出小球的运动轨迹是什么,看出是 一个正三角形,这样题目做起来就方向明确. 三.解答题:本大题共 6 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 2 * 17. (12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn=pn ﹣2n+q(p,q∈R,n∈N ) . (1)求 q 的值; (2)若 a1 与 a5 的等差中项为 18,bn 满足 an=2log2bn,求数列的{bn}前 n 项和. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1) a1=S1=p﹣2+q, 当 n≥2 时, an=Sn﹣Sn﹣1, 由于数列{an}为等差数列, 可得 2a2=a1+a3, 即可解得 q=0. (2)由于 a1 与 a5 的等差中项为 18,可得 a1+a5=2×18=2a3,解得 p=4.可得 an=8n﹣6.由于 bn 满足 an=2log2bn,可 得 .数列的{bn}是等比数列,首项 b1=2,公比 q=2 =16.利用等比
4

数列的{bn}前 n 项和公式即可得出. 解答: 解: (1)a1=S1=p﹣2+q, 2 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=pn ﹣2n+q﹣=(2n﹣1)p﹣2 ∴a2=3p﹣2, a3=5p﹣2, ∵数列{an}为等差数列, ∴2a2=a1+a3,即 2(3p﹣2)=p﹣2+q+5p﹣2,解得 q=0. (2)∵a1 与 a5 的等差中项为 18,∴a1+a5=2×18,∴a3=18, ∴5p﹣2=18,解得 p=4. ∴an=4(2n﹣1)﹣2=8n﹣6. ∵bn 满足 an=2log2bn, ∴8n﹣6=2log2bn,解得 .
4

∴数列的{bn}是等比数列,首项 b1=2,公比 q=2 =16. ∴数列的{bn}前 n 项和 Tn= = .

点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、递推式的意义、对 数的运算法则,考查了推理能力和计算能力,属于中档题. 18. (12 分)如图,在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABCD,AB∥DC,AA1=1,AB=3k, AD=4k,BC=5k,DC=6k(k>0) . (Ⅰ)求证:CD⊥平面 ADD1A1;

- 15 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅱ)若直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值为 ,求 k 的值.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)取 CD 的中点 E,连结 BE,证明 BE⊥CD,可得 CD⊥AD,利用 AA1⊥平面 ABCD, 可得 AA1⊥CD,即可证明 CD⊥平面 ADD1A1; (Ⅱ)以 D 为原点, , , 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,求出

平面 AB1C 的法向量, 利用直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值为 , 建立方程, 即可求 k 的值. 解答: (Ⅰ)证明:取 CD 的中点 E,连结 BE. ∵AB∥DE,AB=DE=3k,∴四边形 ABED 为平行四边形,?(2 分) ∴BE∥AD 且 BE=AD=4k. 2 2 2 在△BCE 中,∵BE=4k,CE=3k,BC=5k,∴BE +CE =BC , ∴∠BEC=90°,即 BE⊥CD, 又∵BE∥AD,∴CD⊥AD. ∵AA1⊥平面 ABCD,CD? 平面 ABCD, ∴AA1⊥CD.又 AA1∩AD=A, ∴CD⊥平面 ADD1A1.?(6 分) (Ⅱ)解:以 D 为原点, , ,

?(4 分)

的方向为 x,y,z 轴的正方向建立如图所示的空间直

角坐标系,则 A(4k,0,0) ,C(0,6k,0) ,B1(4k,3k,1) ,A1(4k,0,1) , 所以 =(﹣4k,6k,0) , =(0,3k,1) , =(0,0,1) .

设平面 AB1C 的法向量 =(x,y,z) , 则

取 y=2,得 =(3,2,﹣6k) (k>0) .?(9 分) 设 AA1 与平面 AB1C 所成角为 θ ,则 sinθ =|cos< , >|= ,

解得 k=1,故所求 k 的值为 1.?(12 分)

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点评: 本题考查棱柱的结构特征,考查线面垂直,考查空间想象能力,逻辑思维能力,属 于中档题. 19. (12 分)在如图所示的空间几何体中,平面 ACD⊥平面 ABC,△ACD 与△ACB 是边长为 2 的 等边三角形,BE=2,BE 和平面 ABC 所成的角为 60°,且点 E 在平面 ABC 上的射影落在∠ABC 的平分线上. (Ⅰ)求证:DE∥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 E﹣BC﹣A 的余弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;与二面角有关的立体几何综 合题. 专题: 空间位置关系与距离;空间向量及应用. 分析: (Ⅰ)取 AC 中点 O,连接 BO,DO,由题设条件推导出 DO⊥平面 ABC,作 EF⊥平面 ABC,由已知条件推导出∠EBF=60°,由此能证明 DE∥平面 ABC. (Ⅱ)法一:作 FG⊥BC,垂足为 G,连接 EG,能推导出∠EGF 就是二面角 E﹣BC﹣A 的平面角, 由此能求出二面角 E﹣BC﹣A 的余弦值. 法二:以 OA 为 x 轴,以 OB 为 y 轴,以 OD 为 z 轴,建立空间直角坐标系 O﹣xyz,利用向量法 能求出二面角 E﹣BC﹣A 的余弦值. 解答: (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意知,△ABC,△ACD 都是边长为 2 的等边三角形, 取 AC 中点 O,连接 BO,DO, 则 BO⊥AC,DO⊥AC,?(2 分) 又∵平面 ACD⊥平面 ABC, ∴DO⊥平面 ABC,作 EF⊥平面 ABC, 那么 EF∥DO,根据题意,点 F 落在 BO 上, ∵BE 和平面 ABC 所成的角为 60°, ∴∠EBF=60°, ∵BE=2,∴ ,?(4 分) ∴四边形 DEFO 是平行四边形, ∴DE∥OF,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∵DE 不包含于平面 ABC,OF? 平面 ABC, ∴DE∥平面 ABC.?(6 分) (Ⅱ)解法一:作 FG⊥BC,垂足为 G,连接 EG, ∵EF⊥平面 ABC,∴EF⊥BC,又 EF∩FG=F, ∴BC⊥平面 EFG,∴EG⊥BC, ∴∠EGF 就是二面角 E﹣BC﹣A 的平面角.?(9 分) Rt△EFG 中, ∴ . .?(12 分) , , .

即二面角 E﹣BC﹣A 的余弦值为

解法二:建立如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz, B(0, ∴ ,0) ,C(﹣1,0,0) ,E(0, ,0) , =(0,﹣1, , ) , ) ,

=(﹣1,﹣

平面 ABC 的一个法向量为 设平面 BCE 的一个法向量为

则 ∴

,∴

, .?(9 分)

所以 又由图知,所求二面角的平面角是锐角, 二面角 E﹣BC﹣A 的余弦值为



.?(12 分)

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要注意空间 思维能力的培养,注意向量法的合理运用.
2

20. (12 分)已知椭圆 C1 的中心为原点 O,离心率 e= 准线上,若抛物线 C2 与直线 l:x﹣y+ (Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)若点 T 满足: = +2 + =0 相切.

,其一个焦点在抛物线 C2:y =2px 的

,其中 M,N 是 C1 上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为﹣

,试说明:是否存在两个定点 F1,F2,使得|TF1|+|TF2|为定值?若存在,求 F1,F2 的坐标; 若不存在,说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (I)由 ,得 ,由△=0 得抛物线 C2 的方程为:

,从而 c=

,由离心率 e=

,能求出椭圆的标准方程. ,得 x=x1+2x2,y=y1+2y2, ,由此利用已知条件推导出存在两个

(II)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,T(x,y) ,由 由直线 OM 与 ON 的斜率之积为﹣ ,得

定点 F1,F2,且为椭圆

的两个焦点,使得|TF1|+|TF2|为定值.

解答: 解: (I)由
2

,得



∵抛物线 C2:y =2px 与直线 l:x﹣y+ =0 相切, 2 ∴△=4p ﹣8 p=0,解得 p=2 .?(2 分) ∴抛物线 C2 的方程为: ∵离心率 e= ,∴a=
2

,其准线方程为:x=﹣ ,b =12﹣6=6,

,∴c=



故椭圆的标准方程为

.?(4 分)

(II)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,T(x,y) , 由 ,

得(x,y)=(x2﹣x1,y2﹣y1)+2(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+2x2,y1+2y2) , x=x1+2x2,y=y1+2y2,?(6 分)

- 19 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 设 kOM,kON 分别为直线 OM, ON 的斜率,由题设条件知: kOM?kON= =﹣ ,


2

,?(8 分)
2

∵点 M,N 在椭圆 x +2y =12 上, ∴ 故 = =60+4(x1x2+2y1y2) , ∴x +2y =60,从而可知:T 点是椭圆
2 2



, +2( )

上的点,?(11 分)

∴存在两个定点 F1,F2,且为椭圆 使得|TF1|+|TF2|为定值,其坐标为

的两个焦点, , .?(12 分)

点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查满足条件的两个定点是否存在的判断与求法,解题 时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用.

21. (12 分)已知函数 f(x)=



(Ⅰ)求过原点且与函数 f(x)的图象相切的直线方程; (Ⅱ)设 g(x)=f(x)lnx﹣m,讨论函数 g(x)在区间上零点的个数; (Ⅲ)记 Fn(x)= ,Sn(x)=F1(x)+F2(x)+?+Fn(x) ,n∈N .若对任意正整
*

数 P,|Sn+p(x)﹣Sn(x)|< 对任意 x∈D 恒成立,则称 Sn(x)在 x∈D 上是“高效”的.试 判断 Sn(x)是否是 x∈上是“高效”的?若是,请给出证明,若不是,请说明理由. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数零点的判定定理;利用导数研究曲线上某点 切线方程. 专题: 导数的综合应用.

- 20 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

分析: (Ⅰ)先求出 f′(x)=

,再求出切线方程为 y﹣y0=

(x﹣x0) ,从



=

x0,进而 x0=


2

(Ⅱ)令 g(x)=0,得 m=f(x)lnx,令 h(x)=f(x)lnx,得 h(x)在时,ln ≤4(n+p) , 而对|sn+p(x)﹣sn(x)|<4< ,综上,sn(x)在区间上是“高效”的.

解答: 解: (Ⅰ)∵f′(x)=



设切点为(x0,y0) ,则切线斜率为



∴切线方程为 y﹣y0= 又∵原点在切线上, ∴ = x0,

(x﹣x0) ,

∴x0= ; (Ⅱ)令 g(x)=0,得 m=f(x)lnx, 令 h(x)=f(x)lnx, ∴h′(x)= , ( ≤x≤e ) ,
2 2

令 h′(x)>0,解得:1<x<e , 令 h′(x)<0,解得: <x<1,x>e , ∴h(x)在
* 2

(n+p)x 成立,
2

又 n,p∈N ,∴x>1 时,ln ≤ 又当 x∈时,
2

(n+p)x 成立,

(n+p)x≤4(n+p) ,

故当 x∈时,ln ≤4(n+p) , 而对|sn+p(x)﹣sn(x)|= + +?+



+

+?+

- 21 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com =4 <4 =4( ﹣ )< ,

综上,sn(x)在区间上是“高效”的. 点评: 本题考查了函数的单调性,函数的最值问题,考查导数的应用,不等式的证明,函 数的零点问题,新概念问题,切线方程问题,是的综合题. 22. (10 分)已知函数 f(x)=x ﹣ax(a≠0) ,g(x)=lnx,f(x)图象与 x 轴异于原点的交 点 M 处的切线为 l1,g(x﹣1)与 x 轴的交点 N 处的切线为 l2,并且 l1 与 l2 平行. (1)求 f(2)的值; (2)已知实数 t∈R,求函数 y=f,x∈的最小值. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 计算题;导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (1)由题意求两个函数的导数,由 l1 与 l2 平行可知 2a﹣a=
2 2 2

,从而解出 a;
2

(2)代入化简可得 y=(xlnx) +(2t﹣1) (xlnx)+t ﹣t,令 u=xlnx,0≤u≤e 可化为 y=u + 2 (2t﹣1)u+t ﹣t,从而利用二次函数的性质求最小值. 解答: 解: (1)由题意,M(a,0) ,f'(x)=2x﹣a; y=g(x﹣1)=ln(x﹣1)的图象与 x 轴的交点 N(2,0) ,y'= 则由题意可得,2a﹣a= , ,

解得,a=1, 2 则 f(x)=x ﹣x,f(2)=4﹣2=2. 2 (2)y=f= ﹣(xlnx+t) 2 2 =(xlnx) +(2t﹣1) (xlnx)+t ﹣t, 令 u=xlnx, ∵x∈,∴0≤u≤e; y=u +(2t﹣1)u+t ﹣t 图象的对称轴 u= 且开口向上, ①当 u= ②当 u= ③0< ymin=y|u= ≤0,即 t≥ 时,ymin=y|u=0=t ﹣t, ≥e,即 t≤ <e,即 =( 时,ymin=y|u=e=e +(2t﹣1)e+t ﹣t, <t< 时, ) +(2t﹣1)
2 2 2 2 2 2



+t ﹣t=﹣ .

2

点评: 本题考查了导数的几何意义,同时考查了换元法及二次函数在闭区间上最值问题, 属于中档题.

- 22 -


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