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宁夏六盘山高级中学2016届高三数学第二次模拟考试试题 理


宁夏六盘山高级中学 2016 届高三年级第二次模拟考试 理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? ?0,1,2?,N ? ?x | x ? -a, a ? M ? ,则集合 M ? N ? ( A. ??2, ?1,0,1,0, 2?

B. ?0? C. ??2, ?1,1, 2? D. ??2, ?1,0,1, 2? ) )

2.若复数 z 满足 z ? ? i ? 2? ? 5, ( i 是虚数单位) ,则 z 在复平面内所 对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

3. 已知 y ? cos ?? x ? ? ? ?? ? 0, ? ??0,2? ?? 的部分图象如图所示,则 ? =( A.

3? 2

B.

? 4

C.

7? 4

D. 0

y H O 1 3 x

4.在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点,则落入阴影外部(曲线 C 为正态分布 N ? 0,1? 的密度 曲线)的点的个数的估计值为( A.3413 B.1193 C.2718 ) D.6587

附:若 X ~ N ?,? 2 ,则 P ? ? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 0.6826 , P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.9544

?

?

y
1 C

O

1

x

5. 已知某几何体的正视图和俯视图如图所示,则该几何体的侧视图是(


1

A.
5

B.

C.

D.

? 1 ? 6. ? x 2 ? 2 ? ? 2 ? 1? 的展开式的常数项是( ?x ?



A.3

B.-2

C.2

D.-3

7. 右图的程序框图是把 k 进制数 a(共有 n 位数)化为十进制数 b 的程序框图,在该框图中若输入
a ? 2134

k ? 5, n ? 4 ,则输出 b 的值为(



A.290

B.294

C.266

D.274

2

8. 已知 sin ? ? A. ?
3 2

5 10 ,sin ?? ? ? ? ? ? , ? , ? 均为锐角,则 cos 2? ? ( 5 10



B. ?1

C. 0

D. 1

9. 已知 f ' ? x ? 是函数 f ? x ? ( x ? R且x ? 0 )的导函数,当 x ? 0 时, xf ' ? x ? ? f ? x ? ? 0 ,记
f ? 20.2 ? 2
0.2

a?

,b ?

f ? 0.22 ? 0.2
2

,c ?

f ? log 2 5? log 2 5

,则(

) D. c ? b ? a

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. c ? a ? b

11. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 与 x 轴负半轴交于点 C,A 为椭圆第一象限上的点,直线 OA 交椭 a 2 b2


圆于另一点 B ,椭圆的左焦点为 F,若直线 AF 平分线段 BC,则椭圆的离心率等于( A.

1 3

B.

3 2

C. 3

D.

1 2

12. 若 P ? a, b ? 在函数 y ? ? x 2 ? 3ln x 的图象上,点 Q ? c, d ? 在函数 y ? x ? 2 的图象上,则

? a ? c?
A. 2

2

? ? b ? d ? 的最小值为(
2

) D. 8
3

B. 2

C. 2 2

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

y2 ? x2 ? 1 的顶点到其渐近线的距离等于__________. 4 ? ? ? ? ? ? ? 14.已知向量 a 是单位向量,向量 b = 2, 2 3 ,若 a ? 2a ? b ,则 a , b 的夹角为__________.
13. 双曲线

?

?

?

?

? x-2?0 ? 15.若实数 x, y 满足不等式组 ? y -1 ? 0 的目标函数 t ? x ? 2 y 的最大值为 2,则实数 a 的值是 ?x ? 2 y - a ? 0 ?

_______. 16. 在 ? ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , 且 ao s c B b o s c ? A , c? 则角 C 的值为_________. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?i ? an ? c ( c 为常数, n ? N * ) ,且 a1 , a2 , a5 是公比 不等于 1 的等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式. (2)令 bn ?
1 1 ,设数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ,求证: Sn ? . an an ?1 2

1 当 tan ? A ? B ? 取最大值时, 2

18. (本小题满分 12 分) 2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度,某市 选取 70 后 80 后作为调查对象,随机调查了 100 位,得到数据如下表:

生二胎 70 后 80 后 合计 30 45 75

不生二胎 15 10 25

合计 45 55 100

(1)根据调查数据,判断是否有 90% 以上把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由: 参考数据:

P? K2 ? k ?

0.15 2.702

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6 .635

0.005 7.879

k

4

(参考公式: K ?
2

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ??b ? d ?

n ? ac ? bd ?

2

, 其中n ? a ? b ? c ? d )

(2)以这 100 人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市 70 后公民中(人 数很多)随机抽取 3 位,记其中生二胎的人数为 X,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 19. (本小题满分 12 分)如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧面 PAD 是正三角形,
PD ? CD ,E 为 PC 的中点.

(1)求证: PA// 平面 DBE ; (2)求二面角 B ? DE ? C 的余弦值.

P E D C

A

B

5 20. (本小题满分 12 分)已知抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 上一点 M ? t ,8? 到焦点 F 距离是 t . 4
(1)求抛物线 C 的方程; (2)过 F 的直线与抛物线 C 交于 A、B 两点,是否存在一个定圆恒以 AB 为直径的园内切,若存在,求 该定园的方程;若不存在,请说明理由.

1 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax2 +x, a ? R. 2
(1)若 f ?1? ? 0, 求函数 f ? x ? 的单调递 减区间; (2)若关于 x 的不等式 f ? x ? ? ax ? 1 恒成立,求整数 a 的最小值. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 AB 是 ? O 的直径, AC 是 ? O 的切线, BC 交 ? O 于点 E . (1)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是 ? O 的切线; (2)若 OA ? 3CE ,求 ?ACB 的大小.
5

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中,设点

P 为 曲线 C1 : ? ? 2cos? 上的任意一点, 点 Q 在射线 OP 上, 且满足 OP ? OQ ? 6 , 记 Q 点的轨迹为 C2 .
(1)求曲线 C2 的直角坐标方程; (2)直线 l : ? ?

?
3

分别交 C1 与 C2 交于 A,B 两点,求 AB .

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? 2x ? 1 ? 2x ? 3 . (1)求不等式 f ? x ? ? 6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ? x ? ? log2 a2 ? 3a ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

?

?

宁夏六盘山高级中学 2016 届高三年级第二次模拟考试答案 一.选择题(共 12 题,每小题 5 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
6

答案

D

B

C

D

B

A

B

C

C

A

A

D

二.填空题(共 4 小题,每小题 5 分) 13.
2 5 5

14.

2? 3

15.2

16.

? 2

三.解答题 17.解: (1)? an?1 ? an ? c, a ? 1, c为常数,
? an ? 1 ? ? n ? 1? c.? a2 ? 1 ? c, a5 ? 1 ? 4c

又a1 , a2 , a5成等比数列, ??1+c ? ? 1 ? 4c, 解得c ? 0或c ? 2
2

当c ? 0时,an?1 ? an不合题意,舍去. ?c=2 ? an ? 2n ? 1

(2) an ? 2n ? 1 ? bn ?

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? an an ?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

? Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?
? 1? 1 ? ?1 ? ? 2 ? 2n ? 1 ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ?

? n ? N*,Sn ?

1 2
100 ? ?30 ?10 ? 45 ?15 ? 75 ? 25 ? 45 ? 55
2

18.解: (1) K 的观测值 k ?
2

?

100 ? 3.030 ? 2.706 ,所以有 90%以上的把握 33

认为“生二胎 与年龄有关”. (2)由已知的该市 70 后“生二胎”的概率为
? 2? ?1? 所以 P ? X ? k ? ? C ? ? ? ? ? 3? ? 3?
k 3 k 3? k

30 2 ? 2? ? ,并且 X ? B ? 3, ? 45 3 ? 3?

? k ? 0,1, 2,3?

其分布列如下: X P 0 1 2 3

1 27

2 9

4 9

8 27

E ? X ? ? 3?

2 ? 2. 3
7

19.(1)证明:连结 AC 交 BD 于点 O1 , 因为底面 ABCD 是正方形,所以 O1 是 AC 的中点. 又因为 E 为 PC 中点,所以 EO1 / / PA, EO1 ? 平面DBE

又 OM / / CD,? OM ? PO.

??? ? ???? ? ??? ? 以 O 为坐标原点,分别以 OA, OM , OP为x, y, z 轴正方向建立空间直角坐标系.
3 ? ? a 3 ? ?a ? ?a ? ? a ? ? a ? ? 设 AD ? a, 则O ? 0,0,0 ? , A ? ,0,0 ? , B ? , a,0 ? , C ? ? , a,0 ? D ? ? ,0,0 ? , P ? 0,0, a , E ? ,0, a? ? ? ? 2 ? 4 ? ?2 ? ?2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? 4 ?
?? ? 取 PD 的中点为 F,可证得 AF ? 平面PCD ,? 可取平面 CDE 的一个法向量为 n 1 ?

?

3, 0, ?1

?

?? ? ??? ? ???? ? a a 3 ? 设平面 BDE 的一个法向量为 n2 ? ? x, yz ? , 又BD= ? ?a, ?a,0 ? , DE ? ? ? 4 , 2 , 4 a? ?, ? ? ?? ? ? ?? ? ??? ? ?? ? ???? a a 3 3? az ? 0, 可取n2 ? ?1, ?1, 由 n2 ? BD ? 0, n2 ? DE ? 0, 可得-ax ? ay ? 0 x ? y ? ? ? 4 2 4 3 ? ? ?
?? ? ?? ? 7 cos ? n1 , n2 ?? ,由图知二面角 B ? DE ? C 是锐二面角 7

所以二面角 B ? DE ? C 的余弦值为

7 . 7

20.解: (1)由抛物线的定义得 MF ? t ?

p 5 p 5 ,又 MF ? t,?t ? ? t 即t ? 2 p 2 4 2 4

? M ? 2 p,8? ? 点 M 在抛物线 y 2 ? 2 px 上,? p 2 ? 16 ? p ? 0

解得 p ? 4 ,所以抛物线方程为 y 2 ? 8 x . (2)当直线 l 的斜率存在,设直线的方程为 y ? k ? x ? 2? ,

l 与抛物线交于点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 联立 y ? k ? x ? 2? 和y 2 ? 8x
化简得 k 2 x2 ? 4k 2 ? 8 x ? 4k 2 ? 0 显然 ? ? 0, x1 ? x2 ? 设 A,B 的中点为 M,则 xm ?

?

?

4k 2 ? 8 , k2

1 2k 2 ? 4 4 ? x1 ? x2 ? ? 2 , ym ? 2 k k

8

AB ? x1 ? x2 ? p ? 8 ?

8 , k2
2 2

假设定园存在,设定圆的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b? ? r 2
? 2k 2 ? 4 ? ?4 ? 又两圆内切可得 ? ? a ? ? ? ? b? ? r2 2 ? ? k ? ?k
2 2

整理得:

32 ? 8a 8b 32 ? 8r 2 2 ? ? ? 2 ? a ? ? b2 ? ? ?4 ? r ? k2 k k2
2 2

?32 ? 8a ? 32 ? 8r, 且? 2 ? a ? ? b2 ? ? 4 ? r ? ,
得 a ? 3, b ? 0, r ? 3 定园的方程为 ? x - 3? ? y 2 ? 9
2 2

当直线斜率不存在使,以 A,B 为直径的圆的方程为 ? x - 2? ? y2 ? 16 该圆也与定园 ? x - 3? ? y 2 ? 9 内切
2

综上存在定园 ? x - 3? ? y 2 ? 9 恒与以 A,B 为直径的圆内切.
2

21.解: (1)因为 f ?1? ? 1 ?

a ? 0,? a ? 2 2

此时 f ? x ? ? ln x ? x2 ? x ? x ? 0? , f ' ? x ? ?

1 ?2x2 ? x ? 1 ? 2x ? 1 ? ? x ? 0? x x

由 f ' ? x ? ? 0, 得2x2 ? x ? 1 ? 0, 又? x ? 0,? x ? 1
? f ? x ? 的单调递减区间为 ?1, +? ? .

1 (2)解法 1:令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? ax ? 1? ? ln x ? ax2 ? ?1 ? a ? x ? 1? x ? 0? , 2
? g '? x? ? ? ax 2 + ?1 ? a ? x ? 1 1 ? ax ? ?1 ? a ? ? ? x ? 0? x x

+? ? 上是增函数. 当 a ? 0 时,? x ? 0 , ? g ' ? x ? ? 0,? g ? x ? 在 ? 0,

3 又? g ? x ? ? ? a ? 2 ? 0,? 关于 x 的不等式 f ? x ? 不能恒成立. 2
当 a ? 0 时? g ' ? x ? ?
1 ? ax ? ?1 ? a ? ? x ?ax 2 + ?1 ? a ? x ? 1 x 1? ? a ? x ? ? ? x ? 1? a? ?? ? x

1 ? 1? ?1 ? 令 g ' ? x ? ? 0, 得x= ,?当x ? ? 0, ? 时,g ' ? x ? ? 0;当x ? ? , ?? ? 时,g ' ? x ? ? 0 a ? a? ?a ? ? 1? ?1 ? ? g ? x ? 在 ? 0, ? 上是增函数,在 ? , ?? ? 上是减函数, ? a? ?a ? ?1? 1 ? ln a . ? g ? x ? 的最大值为 g ? ? ? ? a ? 2a

9

令 h ? a? ?

1 1 1 ? ln a,? h ?1? ? ? 0, h ? 2? ? ? ln 2 ? 0, 又? h ? a ? 在a ? ? 0, ?? ? 上是增函数, 2a 2 4

当 a ? 2 时, h ? a ? ? 0,? 整数 a 的最小值为 2.

1 解法 2:由 f ? x ? ? ax ? 1 恒成立,得 ln x ? ax 2 ? x ? ax ? 1 在 ? 0, +? ? 上恒成立, 2
问题等价于 a ?
ln x ? x ? 1 ,只要 a ? g ? x ?max 即可 1 2 x ?x 2

因为 g ' ? x ?

? x ? 1? ? ??

1 ? x ? ln x ? ? 2 ? ,令 g ' x ? 0 ,得 1 x ? ln x ? 0 ? ? 2 2 ?1 2 ? ? x ? x? ?2 ?

1 1 1 设 h ? x ? ? ? x ? ln x,? h ' ? x ? ? ? ? ? 0,? h ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上单调递减,不妨设 2 2 x 1 ? x ? ln x=0 的根为 x0 . 2
当x ? ? 0, x0 ?时,g ' ? x ? ? 0;当x ? ? x0 , ??? 时,g ' ? x ? ? 0

所以 g ? x ?max ? g ? x0 ? ? 所以

1 1 1 ?1? ,因为 h ? ? ? ln 2 ? ? 0, h ?1? ? ? ? 0 4 2 x0 ?2?

1 1 ? x0 ? 1 ,此时 1 ? ? 2,即g ? x ?max ? ?1, 2 ? x0 2

所以 a ? 2 ,即整数 a 最下值为 2.
??OED ? ?OAD =90? 22.(1)解析连接 OE,OD,可证 ?OAD ? ?OED,

所以 OE 是圆 O 的切线 (2) ?ACB ? 60? 23.(1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x ? 3 ; (2) AB ? 5 24.解: (1)原不等式等价于:
3 1 3 1 ? ? ? x? ? ?x x?? ? ? ? 或? 或? 2 2 2 2 ? ?? 2 x ? 1? ? ? 2 x ? 3? ? 6 ?? 2 x ? 1? ? ? 2 x ? 3? ? 6 ?? ? 2 x ? 1? ? ? 2 x ? 3 ? ? 6 ? ? ?

解得

3 1 3 1 ? x ? 2或- ? x ? 或 ? 1 ? x ? ? ,不等式的解集为 ?x | ?1 ? x ? 2? . 2 2 2 2

(2)不等式 f ? x ? ? log2 a2 ? 3a ? 2等价于log2 a2 ? 3a +2 ? 2x ? 1 ? 2x ? 3

?

?

?

?

10

因为 2x ? 1 ? 2x ? 3 ? 2x ? 1 ? ? 2x ? 3? ? 4 ,所以 f ? x ? 的最小值为 4.
? a 2 ? 3a ? 0 于是 log 2 ? a 2 ? 3a ? ? 2 ? 4,即? 2 , ?a ? 3a ? 4 ? 0

所以 ?1 ? a ? 0或3 ? a ? 4

11


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