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高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案6-7


第6章
一、选择题

第7节

1 1 1 1 1. 证明 1+ + + +?+ n<n+1(n>1),当 n=2 时,左边式子等于( 2 3 4 2 A. 1 1 1 C. 1+ + 2 3 答案:D 解析:当 n=2 时,左边的式子为 1 1 1 1 1 1 1+ + + 2=1+ + + . 2 3 2 2 3

4 1 B. 1+ 2 1 1 1 D. 1+ + + 2 3 4

)

2.若命题 A(n)(n∈N*)在 n=k(k∈N*)时命题成立,则有 n=k+1 时命题成立.现知命题 对 n=n0(n0∈N*)时命题成立,则有( A.命题对所有正整数都成立 B.命题对小于 n0 的正整数不成立,对大于或等于 n0 的正整数都成立 C.命题对小于 n0 的正整数成立与否不能确定,对大于或等于 n0 的正整数都成立 D.以上说法都不正确 答案:C n4+n2 3.用数学归纳法证明 1+2+3+?+n = ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基 2
2

)

础上加上( A.k2+1

) B.(k+1)2 D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+?+(k+1)2

?k+1?4+?k+1?2 C. 2 答案:D

解析:∵当 n=k 时,左侧=1+2+3+?+k2, 当 n=k+1 时, 左侧=1+2+3+?+k2+(k2+1)+?+(k+1)2, ∴当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上加上 (k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+?+(k+1)2. 4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3,(n∈N*)能被 9 整除”,要利用归纳假设 证 n=k+1 时的情况,只需展开( A.(k+3)
3

) B.(k+2)3

C.(k+1)3 答案:A

D.(k+1)3+(k+2)3

解析:假设当 n=k 时,原式能被 9 整除,即 k3+(k+1)3+(k+2)3 能被 9 整除. 当 n=k+1 时, (k+1)3+(k+2)3+(k+3)3 为了能用上面的归纳假设, 只需将(k+3)3 展开, 让其出现 k3 即可. 5. (2010· 怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”, 在第二步时,正确的证法是( )

A.假设 n=k(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立 B.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+1 命题成立 C.假设 n=2k+1(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立 D.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+2 命题成立 答案:D 解析:A、B、C 中,k+1 不一定表示奇数,只有 D 中 k 为奇数,k+2 为奇数. 6.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2an(n≥2),而 a1=1,通过计算 a2,a3,a4,则猜想 an 等于( ) 2 B. n?n+1? 2 D. 2n-1

2 A. ?n+1?2 2 C. n 2 -1 答案:B

解析:由 Sn=n2an 知,Sn+1=(n+1)2an+1, 所以 Sn+1-Sn=(n+1)2an+1-n2an, 所以 an+1=(n+1)2an+1-n2an, n 所以 an+1= a (n≥2). n+2 n a1 1 2 1 3 1 当 n=2 时,S2=4a2,又 S2=a1+a2,所以 a2= = ,a3= a2= ,a4= a3= . 3 3 4 6 5 10 1 1 1 2 由 a1=1,a2= ,a3= ,a4= 猜想 an= ,故选 B. 3 6 10 n?n+1? 二、填空题 7.用数学归纳法证明“2n>n2+1 对于 n≥n0 的所有正整数 n 都成立”时,第一步证明 中的起始值 n0 应取________. 答案:5 解析:当 n=1 时,2>2 不成立;当 n=2 时,4>5 不成立;当 n=3 时,8>10 不成立; 当 n=4 时,16>17 不成立;当 n=5 时,32>26 成立;当 n=6 时,64>37 成立,由此猜测 n0 应取 5.

8. (2010· 淮南调研)若 f(n)=12+22+32+?+(2n)2,则 f(k+1)与 f(k)的递推关系式是 ________. 答案:f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2 解析:∵f(k)=12+22+?+(2k)2, ∴f(k+1)=12+22+?+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2, ∴f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2. 9.如下图是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两黑点间的“短 线”表示化学键,则第 n 个图中所含化学键的个数为________.

答案:5n+1 解析:每个结构简图去掉最左边的一个化学键后,每个环上有 5 个化学键,故第 n 个结 构简图有(5n+1)个化学键.可用数学归纳法验证该结论是否正确. 三、解答题 10.用数学归纳法证明: 1 1 1 3n 1+ 2+ 2+?+ 2≥ (n∈N*). 2 3 n 2n+1 证明:(1)当 n=1 时,左边=1,右边=1, ∴左≥右,即命题成立. (2)假设当 n=k(k∈N*,k≥1)时,命题成立, 1 1 1 3k 即 1+ 2+ 2+?+ 2≥ . 2 3 k 2k+1 那么当 n=k+1 时,要证 3?k+1? 1 1 1 1 1+ 2+ 2+?+ 2+ ≥ , 2 3 k ?k+1?2 2?k+1?+1 只要证 ∵ = ∴ 3?k+1? 3k 1 + ≥ . 2k+1 ?k+1?2 2k+3

3?k+1? 1-?k+1?2 3k 1 - - 2= 2k+3 2k+1 ?k+1? ?k+1?2[4?k+1?2-1] -k?k+2? <0, ?k+1?2?4k2+8k+3? 3?k+1? 3k 1 + ≥ 成立, 2k+1 ?k+1?2 2k+3

3?k+1? 1 1 1 1 即 1+ 2+ 2+?+ 2+ 成立. 2≥ 2 3 k ?k+1? 2?k+1?+1 ∴当 n=k+1 时命题成立. 由(1)、(2)知,不等式对一切 n∈N*均成立.

11. (2010· 开封调研)在数列{an}、{bn}中,a1=2,b1=4,且 an,bn,an+1 成等差数列, bn,an+1,bn+1 成等比数列(n∈N*),求 a2,a3,a4 与 b2,b3,b4 的值,由此猜测{an},{bn} 的通项公式,并证明你的结论. 解:由条件得 2bn=an+an+1,an+12=bnbn+1. 又 a1=2,b1=4,由此可得 a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25,猜测 an =n(n+1),bn=(n+1)2. 用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,a1=2,b1=4,结论成立. ②假设当 n=k(k∈N*)时结论成立, 即 ak=k(k+1),bk=(k+1)2,那么当 n=k+1 时, ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1) =(k+1)[(k+1)+1], ak+12 bk+1= =(k+2)2=[(k+1)+1]2, bk ∴当 n=k+1 时,结论也成立. 由①②知,an=n(n+1),bn=(n+1)2 对一切正整数都成立. 12.设函数 f(x)=x-xlnx,数列{an}满足 0<a1<1,an+1=f(an). (1)证明:函数 f(x)的区间(0,1)是增函数; (2)证明:an<an+1<1. 证明:(1)f(x)=x-xlnx,f′(x)=-lnx, 当 x∈(0,1)时,f′(x)=-lnx>0. 故函数 f(x)在区间(0,1)上是增函数; (2)(数学归纳法)①当 n=1 时,0<a1<1,a1lna1<0, a2=f(a1)=a1-a1lna1>a1, 由函数 f(x)在区间(0,1)是增函数,且函数 f(x)在 x=1 处连续,则 f(x)在区间(0,1]是增函 数,a2=f(a1)=a1-a1lna1<1,即 a1<a2<1 成立. ②假设当 x=k(k∈N*)时,ak<ak+1<1 成立,即 0<a1≤ak<ak+1<1, 那么当 n=k+1 时,由 f(x)在区间(0,1]是增函数,0<a1≤ak<ak+1<1,得 f(ak)<f(ak+1)<f(1). 而 an+1=f(an),则 ak+1=f(ak),ak+2=f(ak+1), ak+1<ak+2<1,也就是说当 n=k+1 时,an<an+1<1 也成立; 根据①②可得对任意的正整数 n,an<an+1<1 恒成立.


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