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江西省九江市第一中学2016届高三数学下学期适应性考试试题(一)文(新)


九江一中 2016 届高三适应性考试数学文科试卷
一.选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) . 1.设全集 U ? x ? N x ? 8 ,集合 A ? ? 1,3,7?, B ? ?2,3,8? ,则 (CU A) ? (CU B) ? ( A. ?0,4,5,6? B. ?4,5,6? C. ? 1,2,7,8? D. ?0,3,4,5,6

? ) D. ? 3

?

?



2.设复数 z ? 1 ? bi (b ? R ) 且 | z |? 2 ,则复数 z 的虚部为( A. 3 B. ? 3i C. ? 1

3. 已知 a,b∈R,则 “a>b”是“a>b?1”成立的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 4.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,2,?,960, 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9. 抽到的 32 人中, 编号落入区间 ?1, 450? 的 人做问卷 A ,编号落入区间 ? 451,750? 的人做问卷 B ,其余的人做问卷 C ,则抽到的人中,做问卷

B 的人数为(
A.15

) B.7 C.9 D.10 )

5. 若实数数列: 1, a1 , a2 , a3 ,81 成等比数列,抛物线 y ? a2 x2 的焦点坐标是( A. (0,

1 ) 36

B. (0,

1 1 ) 或 (0, ? ) 36 36

C.

9 (0, ) 4

D. (0, ) 或 (0, ? )

9 4

9 4

6.已知函数 f ( x ) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) , 且 f (log0.5 4) ? ?3 则 a 的 值为( A. 3 ) B.3 C.9 D.

3 2

7.如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图,如果三个直角三角形 的面积之和为 72,那么这个几何体的外接球的表面积的最小值为( ) A. 72? B. 144? C. 288? D.不能确定
主视图 侧视图

8 .若点 M (1, 0) 和点 N (5, 0) 到直线 l 的距离依次为 1 和 3 ,则这样的直线有 ( ) A.1 条

B.2 条

C.3 条

D.4 条

俯视图

?x ? 0 ? 9.若关于 x, y 的不等式组 ? x ? y ? 0 ,表示的平面区域是等腰直角三角形区域,则其表示的区 ? kx ? y ? 1 ? 0 ?
1

域面积为( A.



1 1 1 1 1 1 或 B. 或 C. 1 或 D. 1 或 2 4 2 8 2 4 3 2 b ? 0) 10. 设 x1 ,x 2 是函数 f ? x ? ? ? a ? 1? x ? bx ? x (a ? 0, 的两个极值点, 且 x1 ? x2 ? 2 2 , 则实数 b 的最小值为( ) A. 6 B. C. D. 2 2 3 2 15
11.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线分别交双曲 a 2 b2


线的左、右两支于点 B 、 C ,且 | BC |?| CF2 | ,则双曲线的渐近线方程为( A. y ? ?3x 12.已知函数 f(x)= A.1 二.填空题 13.已知向量 a ? (2,1) , a ? b ? 10 , | a ? b |? 5 2 ,则 | b |? ________ 14 . 若角 α 终边所在的直线 经过 P(cos 错误!未找到引用源。, sin 错 .. 误!未找到引用源。),O 为坐标原点,则 sinα =________ 15.公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无 限增加 时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术” ,利用 “割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14 ,这就 是著名的“徽率” .如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框
? 图 , 则 输 出 的 值 为 _____ .( 参 考 数 据 : sin 15 ? 0.2588 ,

B. y ? ?2 2x

C. y ? ?( 3 ? 1) x

D. y ? ?( 3 ?1) x

t ? sin x ? t ? 1? 的最大值和最小值分别是 M,m,则 M?m 为 t ? cos x B.2 C.??1 D.??2

?

? ?

? ?

?

sin 7.5? ? 0.1305)
16.在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1, an?1 ? (?1)n an ? cos(n ? 1)? ,记 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, 则 S2015 ? .

或 : 已 知 非 零 向 量 序 列 : a1 , a2 , a3 , . . a . n, 满 足 如 下 条 件 : a1 ? 2 , a 1 ? d 1 ? ?

1 ,且 2

an ? an?1 ? d

?n ? 2,3,4, . . n .? , N *? ,
?
4

S n ? a1 ? a2 ? a1 ? a3 ? ... ? a1 ? an , 当 Sn 最 大 时 ,

n ? _____.8 或 9;
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17 .已知函数 f ( x ) ? a sin(

x) (a ? 0) 在同一半周期内的图象过点

O, P, Q ,其中 O 为坐标原点, P 为函数 f ( x) 图象的最高点, Q 为函数 f ( x) 的图象与 x 轴的正半轴的交点, ?OPQ 为等腰直角三角形.

2

(Ⅰ)求 a 的值;
π? ? (Ⅱ)将 ?OPQ 绕原点 O 按逆时针方向旋转角 ? ? 0 ? ? ? ? ,得到 ?OP ?Q ? ,若点 P ? 恰好落在曲线 4? ?

y?

3 3 ,试判断点 Q ? 是否也落在曲线 y ? ( x ? 0) 上(如图所示) ( x ? 0) 上,并说明理由. x x

18.九江一中高三某班有 50 名学生进行了一场投篮测试,其中男生 30 人,女生 20 人.为了了解其 投篮成绩,甲、乙两人分别都对全班的学生进行编号(1~50 号),并以不同的方法进行数据抽样, 其中一人用的是系统抽样,另一人用的是分层抽样.若此次投篮考试的成绩大于或等于 80 分视为优 秀,小于 80 分视为不优秀,以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据: 编号 2 7 12 17 22 27 32 37 42 47 性别 男 女 男 男 女 男 女 男 女 女 投篮成绩 90 60 75 80 83 85 75 80 70 60 编号 1 8 10 20 23 28 33 35 43 48 性别 男 男 男 男 男 男 女 女 女 女 投篮成绩 95 85 85 70 70 80 60 65 70 60

甲抽取的样本数据 乙抽取的样本数据 (Ⅰ) 观察乙 抽取的样 .

本数据, 若从男同学中 抽取两名,求两名男同学中恰有一名非优秀的概率. (Ⅱ)请你根据乙 抽取的样本数据完成下列 2×2 列联表,判断是否有 95%以上的把握认为投篮成绩 . 和性别有关? 优秀 男 女 合计 10 (Ⅲ)判断甲、乙各用何种抽样方法,并根据(Ⅱ)的结论判断哪种抽样方法更优?说明由. 下面的临界值表供参考: 非优秀 合计

P( K 2 ? k ) k

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

(参考公式: K ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19.如图,已知四边形 ABCD 和 BCEG 均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且∠BCD=∠BCE= ⊥平面 BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2.求证: (Ⅰ)EC⊥CD; (Ⅱ)求证:AG∥平面 BDE; (Ⅲ)求:几何体 EG﹣ABCD 的体积.

? ,平面 ABCD 2

3

20.已知数列{an},圆 C1:x +y -2anx+2an+1y-1=0 和圆 C2:x +y +2x+2y-2=0,若圆 C1 与圆 C2 交于 A,B 两点 且这两点平分圆 C2 的周长. (1)求证:数列{an}是等差数列; (2)若 a1=-3,则当圆 C1 的半径最小时,求出圆 C1 的方程.

2

2

2

2

2 21.已知函数f ( x) ? kex ? x (其中 k ? R, e是自然对数的底数)

()若 1 k<0,试判断函数f ( x)在区间(0, +?)上的单调性 (2)若k ? 2, 当x ? (0, ??)时,试比较f ( x)与2的大小

(3)若函数f ( x)有两个极值点x1, x2 ( x1 ? x2 ), 求k的取值范围,并证明: 0 ? f ( x1 ) ? 1.

请考生在(22).(23).(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分. 22.选修 4─1:几何证明选讲. 如图, A , B 是 ? O 上的两点, P 为 ? O 外一点,连结 PA , PB 分别交 ? O 于点 C , D ,且

AB ? AD ,连结 BC 并延长至 E ,使∠ PEB ? ∠ PAB .

4

(1)求证: PE ? PD ; (2)若 AB ? EP ? 1 ,且 ?BAD ? 120? ,求 AP . 23.选修 4-4:坐标系与参数方程. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 过点 P(2, 6) ,且倾斜角为

3 ? ,在极坐标系(与平面直角坐标系 4

xOy 取相同的长度,以原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴)中,曲线 C 的极坐标方程为

? ? ? ? ? ? 20sin( ? ) cos( ? ) .
4 2 4 2
(1)求直线 l 的参数方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)设曲线 C 与直线 l 交于点 A, B ,求 PA ? PB .

24.选修 4-5:不等式选讲. 关于 x 的不等式 | 2 x ? m |? 1 的整数解有且仅有一个值为 3( m 为整数) . (1)求整数 m 的值;
4 4 4 2 2 2 (2)已知 a , b , c ? R ,若 4a ? 4b ? 4c ? m ,求 a ? b ? c 的最大值.

ADADA, ABCAC,CA 11.试题分析:由 BC ? CF2 ,故 BF 1 ? CF 1 ? CF2 ? 2a ,∴ BF 2 ? 4a .

5

cos?BF 1O ?

2 MF1 BF ? F1F22 ? BF22 , ? 1 OF1 2BF 1?F 1 F2



b (2a) 2 ? (2c) 2 ? (4a) 2 ? , c 2 ? 2a ? 2c

∴ b 2 ? 2ab ? 2a 2 ? 0 ,
2 ∴( ) ?

b a

2b b ? 2 ? 0 ,解得 ? 1 ? 3 , a a

∴ y ? ?(1 ? 3) x ,选 C. 14. ?

13.5

2 2

15. 24

16. -1006

17.解析: (Ⅰ)因为函数 f ( x ) ? a sin(

?
4

x) (a ? 0) 的最小正周期 T ?

2π ?8 , π 4

所以函数 f ( x) 的半周期为 4,所以 OQ ? 4 .即有 Q 坐标为 (4,0) . 又因为 P 为函数 f ( x) 图象的最高点, 所以点 P 坐标为 ( 2, a ) 又因为 ?OPQ 为等腰直角三角形, 所以 a ?

OQ 2

? 2.

(Ⅱ)点 Q ? 不落在曲线 y ?

3 ( x ? 0) 上.理由如下: x

由(Ⅰ)知, OP ? 2 2 , OQ ? 4

? ?? ? ?? ? ? 4sin ? ) , 所以点 P? , Q ? 的坐标分别为 ? 2 2 cos ? ? ? ?,2 2 sin ? ? ? ? ? , (4cos ? , 4? 4 ?? ? ? ?
因为点 P ? 在曲线 y ? 所以 3 ? 8 cos( ? ? 即 cos 2? ?

3 ( x ? 0) 上, x

?

) sin(? ? ) ? 4 sin( 2? ? ) ? 4 cos 2? , 4 4 2

?

?

3 7 ? ,又 0 ? ? ? ,所以 sin 2? ? . 2 4 4

6

又 4 cos? ? 4 sin ? ? 8 sin 2? ? 8 ?

7 ? 2 7 ? 3. 4

所以点 Q ? 不落在曲线 y ? 18.【解析】

3 ( x ? 0) 上. x

(Ⅱ)设投篮成绩与性别无关,由乙抽取的样本数据,得 2? 2 列联表如下: 优秀 非优秀 合计 男 4 2 6 女 0 4 4 合计 4 6 10 ··································· 6 分

K 2 的观测值 k ?

10(4 ? 4 ? 0 ? 2) 2 ? 4.444 ? 3.841, ············ 8 分 4? 6? 6? 4

所以有 95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关. ············· 9 分 (Ⅲ)甲用的是系统抽样,乙用的是分层抽样. 10 分 由(Ⅱ)的结论知,投篮成绩与性别有关,并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异,因 此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优. 12 分 19.【解析】: (Ⅰ)证明:由平面 ABCD⊥平面 BCEG, 平面 ABCD∩平面 BCEG=BC,CE⊥BC,CE? 平面 BCEG, ∴EC⊥平面 ABCD,?(3 分) 又 CD? 平面 BCDA,故 EC⊥CD?(4 分) (Ⅱ)证明:在平面 BCDG 中,过 G 作 GN⊥CE 交 BE 于 M,连 DM, 则由已知知;MG=MN,MN∥BC∥DA,且 ,

∴MG∥AD,MG=AD,故四边形 ADMG 为平行四边形,∴AG∥DM?(6 分) ∵DM? 平面 BDE,AG?平面 BDE,∴AG∥平面 BDE?(8 分) (Ⅲ)解: = ?(12 分) ?(10 分)

7

20. (1)证明 由已知,圆 C1 的圆心坐标为(an,-an+1), 半径为 r1= an+an+1+1, 圆 C2 的圆心坐标为(-1,-1),半径为 r2=2. 又圆 C1 与圆 C2 交于 A,B 两点且这两点平分圆 C2 的周长, 2 2 2 ∴|C1C2| +r2=r1. 2 2 2 2 ∴(an+1) +(-an+1+1) +4=an+an+1+1, 5 ∴an+1-an= . 2 ∴数列{an}是等差数列. 5 11 (2)解 ∵a1=-3,∴an= n- . 2 2 则 r1= an+an+1+1 1 2 2 = (5n-11) +(5n-6) +4 2 = 1 2 50n -170n+161. 2
* 2 2 2 2

∵n∈N ,∴当 n=2 时,r1 可取得最小值, 2 2 此时,圆 C1 的方程是:x +y +x+4y-1=0. 21.解 (1)由 f′(x)=ke -2x 可知,当 k<0 时,由于 x∈(0,+∞),f′(x)=ke -2x<0,故函 数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. x 2 (2)当 k=2 时,f(x)=2e -x , x 则 f′(x)=2e -2x, x x 令 h(x)=2e -2x,h′(x)=2e -2, 由于 x∈(0,+∞), x 故 h′(x)=2e -2>0, x 于是 h(x)=2e -2x 在(0,+∞)为增函数, x 所以 h(x)=2e -2x>h(0)=2>0, x 即 f′(x)=2e -2x>0 在(0,+∞)恒成立, x 2 从而 f(x)=2e -x 在(0,+∞)为增函数, x 2 故 f(x)=2e -x >f(0)=2. (3)函数 f(x)有两个极值点 x1,x2, x 则 x1,x2 是 f′(x)=ke -2x=0 的两个根, 2x 2x 即方程 k= x 有两个根,设 φ (x)= x , e e 2-2x 则 φ ′(x)= x , e 当 x<0 时,φ ′(x)>0, 函数 φ (x)单调递增且 φ (x)<0; 当 0<x<1 时,φ ′(x)>0,
8
x x

函数 φ (x)单调递增且 φ (x)>0; 当 x>1 时,φ ′(x)<0, 函数 φ (x)单调递减且 φ (x)>0. 2x 2 要使 k= x 有两个根,只需 0<k<φ (1)= ,如图所示, e e

2 故实数 k 的取值范围是(0, ). e 又由上可知函数 f(x)的两个极值点 x 1,x2 满足 0<x1<1<x2, 2x1 由 f′(x1)=kex1-2x1=0,得 k= . ex1 2x1 2 2 ∴f(x1)=kex1-x1= ex1-x1 ex1 2 2 =-x1+2x1=-(x1-1) +1, 由于 x1∈(0,1), 2 故 0<-(x1-1) +1<1, 所以 0<f(x1)<1. 22.解析: (1)连结 DC , 因为 ?PCE ? ?ACB ? ?ADB , ?PCD ? ?ABD , 又因为 AB ? AD , 所以 ?ABD ? ?ADB , 所以 ?PCE ? ?PCD . 由已知 ?PEB ? ?PAB , ?PDC ? ?PAB , 所以 ?PEC ? ?PDC , 且 PC ? PC , 所以 ?PEC ? ?PDC , 所以 PE ? PD . (2) 因为 ?ACB ? ?PBA , ?BAC ? ?PAB 所以 ?ABC ∽ ?APB , 则 AB 所以 AP ? AB
2 2 2

? AP ? AC ? AP ( AP ? PC),

? AP ? PC ? PD ? PB ? PD (PD ? BD) 3,

2 2 又因为 PD ? AB , AB ? 1 , 所以 AP ? 2 AB ? AB ? BD ? 2

所以 AP

? 2?

3.

所以 AP ?

2 ? 2

6

.

9

23.解析: (1)因为直线 l 过点 P(2, 6) ,且倾斜角为

3? , 4

? ?x ? 2 ? ? 所以直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 6 ? ? ?
由 ? ? 20sin(

2 t 2 ( 为参数) , t 2 t 2

?

? ) cos( ? ) 得 ? ? 10cos ? , 4 2 4 2
2 2

?

?

?

所以曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 10 x ? 0 .

(2)将

l 的 参 数 方 程 代 入 圆 C 的 直 角 坐 标 方 程 , 得 (?3 ?

2 2 2 2 t ) ? (6 ? t ) ? 25 , 2 2

t 2 ? 9 2t ? 20 ? 0 ,
? ? 82 ? 0 ,
可设 t1 , t 2 上述方程得两个实根,则有 ? 1

?t ? t2 ? ?9 2 ? , ? ? t1t2 ? 20

又直线 l 过点 P(2, 6) ,所以 PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 9 2 .

24.解析: (1)由

2x ? m ? 1



m ?1 m ?1 ?x? 2 2

关于 x 的不等式

2x ? m ? 1

m ?1 ? 2? ?3 ? ? 2 的整数解有且仅有一个值为 3 ,则 ? ,即 5 ? m ? 7 ,又 m 为整 m ? 1 ?3 ? ?4 ? ? 2

数,则 m ? 6 (2 )由 4a 4 ? 4b4 ? 4c4 ? 6 有 a 4 ? b4 ? c4 ? 由柯西不等式有 a 2 ? b2 ? c2 当且仅当 a ? b ? c ? 4
3 , 2

?

? ? ?1
2

2

? 12 ? 12 (a 2 )2 ? (b2 )2 ? (c2 )2 ?

??

?

9 2

1 时,等号成立, 2

2 2 2 所以 a ? b ? c 的最大值为

3 2 2

考点:绝对值不等式的解法及利用不等式求最值.

10

11

12

13

14


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