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2015年高一数学期末考试


2014—2015 学年度高一下学期期末考试

数学试题
命题人:李志红 考试时间:120 分钟 分值:150 分

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若 a ? b ,则下列不等式成立的是( A.a lg x ? b lg x( x ? 0) B. ax 2 ? bx 2 ) C.a 2 ?

b 2 )
a b D. x ? x 2 ?1 2 ?1

2.已知 ab ? 0 , bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c ? 0 通过( A.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限

B.第一、二、三象限 D.第二、三、四象限 )

3.如果方程 x 2 +y 2 ? 4 x ? 2 y ? 5k ? 0 表示圆,那么 k 的取值范围是( A. (??, ??) B. (??,1) C. (??,1]

D. [1, ??)

4、已知直线方程为 ( 2 ? m ) x ? (1 ? 2m ) y ? 4 ? 3m ? 0 .这条直线恒过一定点,这个定点 坐标为( ) A. (-2m,-m-4) B. (5,1) C. (-1,-2) D. (2m,m+4)

5、设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则 △ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B. 直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 6. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a、b、c , a = 2 ,b= 3 , B=60? ,那么角 A 等于 ( ) B. 135? 或 45? C. 45? D. 60?

A. 135?

7.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( A. 1+ 3 B. 2+ 3 C. 1+2 2 D. 2 2



? ? 8. 已知点 ?1,?2 ? 和? 3 ,0 ? 在直线l : ax ? y ? 1 ? 0?a ? 0? 的两侧, 则直线l 倾斜角的取值范围 ? 3 ? ? ?

是(


? 2? 5? ? B.? , ? ? 3 6 ? ? ? ? ? 3? ? C.? 0, ? ? ? , ? ? ? 3? ? 4 ? ? ? 2? ? D.? , ? ?3 3 ?

?? ? ? A.? , ? ?4 3?

9.已知数列 ?an ? 满足 an ?1 ? A.2

1 1 ,若 a1 ? ,则 a2015 ? ( 2 1 ? an

) D.
1 2

B.-2

C. ? 1

10 .在圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0 内,过点 E (0,1) 的最长弦和最短弦分别为 AC 和
BD ,则四边形 ABCD 的面积为(

) C. 15 2 D. 20 2

A. 5 2

B. 10 2

11.已知数列 ?an ? 为等差数列,若 得 S n ? 0 的 n 的最大值为( A.11 B.19

a11 ? ?1 ,且它们的前 n 项和 S n 有最大值,则使 a10

) C.20 D.21

12、平面上的整点(横、纵坐标都是整数)到直线 y ? 值是 A.

5 4 x ? 的距离中的最小 3 5
1 30

34 170

B.

34 85

C.

3 34 170

D.

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.已知正四面体 ABCD 中, E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角的余 弦值为______.

? x ? y ? 2 ? 0, y ? 14.设实数 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 则 的最大值为 x ?2 y ? 3 ? 0, ?
15.若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是________.

.

16.若函数 f ( x) ? x ? a ? x 2 ? 2 (a >0) 没有零点,则 a 的取值范围是________.

三、解答题(共 6 大题,共 74 分) 17. (本题满分 12 分) 已知两直线 l1 : mx ? 8 y ? n ? 0 和 l2 : 2 x ? my ? 1 ? 0 , 试确定 m ,

n 的值,使(1) l1 ? l2 ; (2) l1 ? l2 ,且 l1 在 y 轴上的截距为-1.

18 . (本题满分 12 分)已知 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足
cos

??? ? ???? A 2 5 , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

(1)求 ?ABC 的面积; (2)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

3 19.已知函数 f(x)=sin ωx· cos ωx+ 3cos2ωx- 2 (ω>0),直线 x=x1,x=x2 是 y= π f(x)图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为4. (1)求 f(x)的表达式; π (2)将函数 f(x)的图象向右平移8个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸 长为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,若关于 x 的方程 g(x) π? ? +k=0 在区间?0,2?上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. ? ?

20. (本题满分 12 分)某厂家拟在 2015 年举行促销活动,经调查测算,该产品的 k 年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 m 万元(m≥0)满足 x=3- (k 为 m+1 常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是 1 万件.已知 2015 年生产 该产品的固定投入为 8 万元.每生产一万件该产品需要再投入 16 万元,厂家将每 件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再

投入两部分资金). (1)将 2015 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数; (2)该厂家 2015 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

21. (本题满分 12 分) 如图, 已知定圆 C : x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 , 定直线 m : x ? 3 y ? 6 ? 0 , 过 A(?1, 0) 的一条动直线 l 与直线 m 相交于 N , 与圆 C 相交于 P , Q 两点, M 是 PQ 中点. (1)当 PQ ? 2 3 时,求直线 l 的方程;

???? ? ???? (2)设 t ? AM ? AN ,试问 t 是否为定值,若为定值,请求出 t 的值;
若不为定值,请说明理由. .

y
C? l
M ?Q

/
N

A

P
O

x

m

1 1 22. (本题满分 14 分)已知数列?an ? 是首项为 a1 ? ,公比 q ? 的等比数列, 4 4 bn ? 2 ? 3log 1 an
4

(n ? N *) ,数列 ?cn ? 满足 cn ? an ? bn .

(1)求证: ?bn ? 是等差数列; (2)求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n ; (3)若 cn ?
1 2 m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4

高一数学期末考试参考答案 一.选择题 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 C 5 C 6 C 7 B 8 C 9 A 10 B 11 B 12 C

二.填空题 13.

3 6

14.

3 2

15. 5

16. (0,1) ? (2, ??)

三.解答题 17.(1)? l1 ? l2 ,? ?

?m ? m ? 8 ? 2 ? 0 , ?m ? (?1) ? n ? 2 ? 0
……………6 分

解得 ?

?m ? 4 ?m ? ?4 ,或 ? ?n ? ?2 ?n ? 2 ? 2 m ? 8m ? 0 ?m ? 0 ,解得 ? ?m ? 0 ? 8 ? (?1) ? 0 ?n ? 8

(2)由题得? ?

……………12 分

18.(1)? cos

A 2 5 A 3 ,? cos A ? 2 cos 2 ? 1 ? , ? 2 5 2 5

……………2 分

又? AB ? AC ? 3 ,? bc ? 5 ,

??? ? ????

……………4 分

4 1 ,? S ?ABC ? bc sin A ? 2 ……………6 分 5 2 b 2 ? c 2 ? a 2 (b ? c) 2 ? 2bc ? a 2 3 62 ? 10 ? a 2 3 ? ? ,解 (2)由余弦定理 cos A ? ? ,? 2bc 2bc 10 5 5 ? sin A ?
得 a 2 ? 20 ,? a ? 2 5 19.(1)(1)证明 取 AB 中点 O,连接 CO,DO, 1 ∵DO∥AA1,DO= AA1,∴DO∥CE,DO=CE, 2 ∴四边形 DOCE 为平行四边形,∴DE∥CO,DE?平面 ABC,CO?平面 ABC, ∴DE∥平面 ABC. ……………5 分 ……………12 分

(2)证明 等腰直角三角形△ABC 中 F 为斜边的中点,连接 AF,∴AF⊥BC. ………6 分 又∵三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱,∴平面 ABC⊥平面 BB1C1C, ∴AF⊥平面 BB1C1C,∴AF⊥B1F, …………8 分

设 AB=AA1=1,∴B1F=
2 2 2

6 3 3 ,EF= ,B1E= , 2 2 2 ………12 分

∴B1F +EF =B1E ,∴B1F⊥EF,又 AF∩EF=F,∴B1F⊥平面 AEF.

20. 解:(1)由题意知,当 m=0 时,x=1(万件), ∴1=3-k?k=2,∴x=3- 2

m+1



……………2 分

8+16x 每件产品的销售价格为 1.5× (元),

x

∴2015 年的利润 y=1.5x× =- ?

8+16x -8-16x-m

x

? 16 ? ? (m ? 1) ? +29(m ? 0). ? m ?1 ?
16

……………6 分

(2)∵m≥0 时,

m+ 1

+(m+1)≥2 16=8,

∴y≤-8+29=21, 当且仅当 16 =m+1?m=3(万元)时,ymax=21(万元). m+1 ……………12 分 21 解: (1) 当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 P,Q 的坐标为 (?1,3 ? 3) ,(?1,3 ? 3) ,所以

故该厂家 2015 年的促销费用投入 3 万元时,厂家的利润最大为 21 万元

PQ ? 2 3 ,故 x ? ?1 符合题意;

……………1 分

当直线与 x 轴不垂直时 , 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 由于 PQ ? 2 3 , 所 以 CM ? 1 ,由 CM ?

?k ? 3 k ?1
2

? 1 ,解得 k ?

4 . 3
………………5 分

故直线 l 的方程为 x ? ?1 或 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 .

(2) 当 l 与 x 轴 垂 直 时 , 由 ( 1 ) 得 M (?1,3) , N (?1, ? ) , 又 A(?1, 0) , 则

? ???? ???? ???? ? 5 ???? AM ? (0,3) , AN ? (0, ? ) AM ? AN ? ?5 ,即 t ? ?5 3

5 3

……………6 分

当 l 的斜率存在时 ,设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 代入圆的方程得

(1 ? k 2 ) x 2 ? (2k 2 ? 6k ) x ? k 2 ? 6k ? 5 ? 0

……………7 分

则 xM ?

x1 ? x2 ?k 2 ? 3k 3k 2 ? k ?k 2 ? 3k 3k 2 ? k , , 即 ? ? M ( , ) , y ? k ( x M M ?1) 2 1? k 2 1? k 2 1? k 2 1? k 2
……………9 分

???? ? 3k ? 1 3k 2 ? k AM ? ( , ), 1? k 2 1? k 2
又由 ?

???? ? y ? k ( x ? 1) ?3k ? 6 ?5k ?5 ?5k ,得 N ( , ) ,则 AN ? ( , ) …………11 分 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k ?x ? 3y ? 6 ? 0

故 t ? AM ? AN ?

???? ? ????

?15k ? 5 ?5k (3k 2 ? k ) ?5(1 ? 3k )(1 ? k 2 ) ? ? ? ?5 (1 ? k 2 )(1 ? 3k ) (1 ? k 2 )(1 ? 3k ) (1 ? k 2 )(1 ? 3k )
……………12 分

综上, t 的值为定值-5

22 解. ( 1)由题意? an ? ( ) n , ,? bn ? 2 ? 3n ,? bn ? 3n ? 2 ,? bn ? bn ?1 ? 3 (n ? 2 ,

1 4

n ? N * ) ,∴数列 ?bn ? 是首项为 1,公差为 3 的等差数列
1 4 1 4

……………3 分
*

(2)由(1)知,? an ? ( ) n ,? bn ? 3n ? 2 , cn ? (3n ? 2)( ) n (n ? N )

1 1 1 1 1 ? S n ? 1? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( )3 ? ? ? (3n ? 5) ? ( ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 ? Sn ? 1? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? 7 ? ( ) 4 ? ? ? (3n ? 5) ? ( ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4 4 3 1 1 1 1 1 1 两式相减得 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( )3 ? ( ) 4 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4 4 4 3 1 1 2 (3n ? 2) 1 n ? S n ? ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 ,? S n ? ? ? ( ) , (n ? N * ) ……………9 分 4 2 4 3 3 4 1 1 1 * 4 4 4 1 当 n ? 1 时, c2 ? c1 ? ;当 n ? 2 时, cn ?1 ? cn ,即 c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? cn 4 1 1 ∴当 n ? 1 时,, cn 取最大值是 ,又 cn ? m 2 ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立 4 4 1 1 ……………14 分 ? m 2 ? m ? 1 ? ,即? m 2 ? 4m ? 5 ? 0 ,解得 m ? 1 或 m ? ?5 4 4
(3) cn ?1 ? cn ? (3n ? 1)( ) n ?1 ? (3n ? 2)( ) n ? 9(1 ? n)( ) n ?1 , (n ? N )


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