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2.1.2指数函数及其性质1


2.1.2 指数函数及其性质

材料1:某种细胞分裂时,由1个分
裂成2个,2个分裂成4个……一个这样 的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个 数y与x的函数关系是什么?

材料2:当生物死后,它机体内原有
的碳14会按确定的规律衰减,大约每经 过5730年衰减为原来的一半,这个时间 称为‘‘半衰期”.根据此规律,人们获 得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之 间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?

?1? x 函数P ? ? ? ?t ? 0 ?与函数y ? 2 ?2? * x ? N 有什么共同特征?

t 5730

?

?

?1? 如果用字母a来代替数 ? ? 和2,那么 ?2? 以上两个函数都可以表 示为形如 y ? ax 的函数, 其中自变量x是指数, 底数a是一个大于 0且不等于1的变量。

1 5730

1.指数函数的定义:
一般地,函数y=ax (a>0,且a≠1)叫做指数函数 (exponential function),其中x是自变量,函数的定 义域是R。 练习1:下列函数中,那些是指数函数? (1) (5) (6) (8).
(1) y=4x (5) y=πx (2) y=x4 (6) y=42x (3) y=-4x (7) y=xx (4) y=(-4)x (8) y=(2a-1)x (a>1/2且a≠1)

2.指数函数的图象和性质 用描点法画出指数
?1? 函数y=2 和 y ? ? ? 2? ? 。
x
x

的图象

y=

2x

x -1

0

1

2

3 8 1 0.5

1 x y=( ) 2

y 0.5 1 x -3 -2 y 8 4
y = ( )x
8 7 6 5 4 3 2 1

2 4 -1 0 2 1
y

1 2

y= 2x

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x
-1 -2 -3

?1? y?? ? ?2?

x

y=2x

2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3

1? ? 函数y=2 的图象和函数 y ? ? ? 的图象 x 2 ? ? ?1? x 有什么关系?可否利用y=2 的图象画出 y ? ? ? ?2? 的图象? 两个函数图象关于y轴对称
x

x

a>1 指数函数 y=ax (a>0, 且a≠1)的 图象和性质: 图 象
(1)定义域:
(2)值域: (3)定点:
y
(0,1) O

0<a<1
y

y=1
x

y=1
O

(0,1)

x

R (0,+∞) (0,1)
在R上是增函数
>1 (x>0)

性 质

(4)单调性:

在R上是减函数
<1 (x>0)

(5) 函数 值的 分布 情况

ax

=1 (x=0) <1 (x<0)

ax

=1 (x=0) >1 (x<0)

例6、已知指数函数f(x)=ax (a>0,且a≠1)的图 象经过点(3,π ),求f(0)、f(1)、f(-3)的值.

例7、比较下列各题中两个值的大小: (1) 1.72.5,1.73;

(2) 0.8-0.1,0.8-0.2;
(3) 1.70.3,0.93.1.

?4? ? 2? 练习:将 ? ? ,2 ,? ? ? ?3? ? 3?
1 2

1 3

2 3

3

?3? ,? ? 用 “ ?” 号 连 接 起 来 ?4?
1 3

1 2

? 2? ?3? ?4? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 3? ?4? ?3?

3

2 3

例8、截止到1999年底,我国人口约13亿。如果今 后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年 后,我国人口数最多为多少(精确到亿)?
年份 1999 2000 2001 2002 … 经过年数 0 1 2 3 … 人口数(亿)

1999+x

x y= 13(1+1%)x

练习

1 设y1=a3x+1,y2=a-2x,其中a>0且a?1, 确定x为何值时,有 (1)y1=y2 (2)y1>y2
?1? 2 求函数y ? ? ? ?2?
x2 ?2x ?1

的单调递增区间。

1、指数函数的定义。 ? 2、指数函数简图的作法以及应注意的地方。 ? 3、指数函数的图像和性质。
?


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