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【走向高考】2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题13 立体几何中的向量方法课件 理


走向高考 ·数学
高考二轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第一部分
微专题强化练

第一部分 一 13 考点强化练

立体几何中的向量方法(理)

1

考 向 分 析

3

强 化

训 练

2

考 题 引 路

4

易 错 防 范

考向分析

1.一般不单独命制考查空间向量的概念与运算的题目. 2.若在客观题中考查,通常是在几何体中求空间角.

3 .本部分一般每年考一道大题,试题一般以多面体为载
体,分步设问,既考查综合几何也考查向量几何,诸小问之间 有一定梯度,大多模式是:诸小问依次讨论线线垂直与平行,

线面垂直与平行、面面垂直与平行 → 异面直线所成角、线面
角、二面角→体积的计算.强调作图、证明、计算相结合.考 查的多面体以三棱锥、四棱锥(有一条侧棱与底面垂直的棱锥、 正棱锥)、棱柱(有一侧棱或侧面与底面垂直的棱柱,或底面为 特殊图形——如正三角形、正方形、矩形、菱形、直角三角形等

类型的棱柱)为主.

考题引路

考例

(2015· 新课标Ⅰ理, 18) 如图,四边形 ABCD 为菱

形,∠ ABC = 120°, E , F 是平面 ABCD 同一侧的两点, BE⊥ 平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (1)证明:平面AEC⊥平面AFC;

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

[立意与点拨 ]

考查空间垂直的判定与性质;异面直线所

成角的计算;空间想象能力,推理论证能力. 第(1)问欲证面面垂直,可转化为证明线面垂直,即在其中 一个平面内找一条直线与另一个平面垂直,要充分利用所给垂 直条件及菱形的特殊性通过推理或计算证明线线垂直,得到线 面垂直.第 (2) 问利用 (1) 的结论建立空间直角坐标系用向量法 求.

[解析] (1) 连接 BD,设 BD∩AC=G,连接 EG,FG,EF, 在菱形 ABCD 中,不妨设 GB=1, 由∠ABC=120° ,可得 AG=GC= 3. 由 BE⊥平面 ABCD,AB=BC 可知, AE=EC, 又∵AE⊥EC, ∴EG= 3,EG⊥AC, 2 在 Rt△EBG 中,可得 BE= 2,故 DF= 2 .

6 在 Rt△FDG 中,可得 FG= 2 . 2 在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE= 2,DF= 2 , 3 2 可得 EF= 2 , ∴EG2+FG2=EF2,∴EG⊥FG, ∵AC∩FG=G,∴EG⊥平面 AFC, ∵EG?平面 AEC, ∴平面 AFC⊥平面 AEC.

→ → (2)如图,以 G 为坐标原点,分别以GB,GC的方向为 x 轴,y → 轴正方向,|GB|为单位长度,建立空间直角坐标系 G-xyz, 由(1)可得 A(0,- 3,0),E(1,0, 2), 2 F(-1,0, 2 ),C(0, 3,0), 2 → → ∴AE=(1, 3, 2),CF=(-1,- 3, 2 ). → → AE· CF 3 → → 故 cos〈AE,CF〉= =- 3 . → → |AE|· |CF| 3 所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为 3 .

易错防范

案例

混淆空间角与两向量夹角致误

(2014· 乌鲁木齐市诊断)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已 知 BC=1,BB1=2,∠BCC1=90° ,AB⊥侧面 BB1C1C. (1)求直线 C1B 与底面 ABC 所成角的正弦值; (2)在棱 CC1(不包含端点 C,C1)上确定一点 E 的位置,使得 EA⊥EB1(要求说明理由); (3)在(2)的条件下, 若 AB= 2, 求二面角 A-EB1-A1 的大小.

[易错分析]

1.直线 l 与平面 ABC 成的角为 θ,l 的方向向量

|a· n| 为 a,平面 ABC 的法向量为 n,则应有 sinθ=|a|· |n|,解答中易将 → n· BC1 线面角 θ,代入公式 cosθ= 导致错误; → |n|· |BC1| 2.第(2)问的条件中未给出 AB 的长度,这样点 A 的坐标不能 设为(0,0,1),因为棱柱中有些棱的长度已经给出,因此不能设定 AB=1,解题中设量要紧扣题目条件;

3.设 n1,n2 为平面 AB1E 与 A1B1E 的法向量,则平面 AB1E |n1· n2| 与平面 A1B1E 成的二面角的大小 θ 满足 cosθ= , 但 θ 为锐角 |n1||n2| 还是钝角,需根据实际情况确定,不能认定有两个值.

[解答] ∵AB⊥平面 BB1C1C, ∴AB⊥BC, AB⊥BB1, 又∠BCC1 =90° ,∴BC⊥CC1, ∵BB1∥CC1,∴BB1⊥BC,即 AB、BC、BB1 两两垂直. 如图,以 B 为原点,建立空间直角坐标系,则 B(0,0,0) , C1(1,2,0),B1(0,2,0). → (1) 直三棱柱 ABC - A1B1C1 中,平面 ABC 的法向量 BB1 = → (0,2,0),BC1=(1,2,0),

设 BC1 与平面 ABC 所成的角为 θ, 2 5 → → 则 sinθ=|cos〈BB1,BC1〉|= 5 . → → (2)设 E(1,y,0),A(0,0,z),则EB1=(-1,2-y,0),EA=(-1, -y,z). → → ∵EA⊥EB1,∴EA· EB1=1-y(2-y)=0, ∴y=1,即 E(1,1,0),即 E 是 CC1 的中点.

→ → (3)∵A(0,0, 2),则AE=(1,1,- 2),B1E=(1,-1,0). 设平面 AEB1 的法向量为 n =(x1,y1,z1),

? → ?n · AE=0 则 ? → ? B1E=0 ?n ·

? ?x1+y1- 2z1=0 ,?? ? ?x1-y1=0



取 n =(1,1, 2).

→ → → ∵BE=(1,1,0),BE· B1E=1-1=0, → → ∴BE⊥B1E. 又 BE⊥A1B1,∴BE⊥平面 A1B1E, → ∴平面 A1B1E 的法向量为BE=(1,1,0), → n· BE 2 → ∴cos〈n,BE〉= =2, → |n|· |BE| ∴二面角 A-EB1-A1 的大小为 45° .

[警示]

求空间角时必须严格按空间角的定义及与相应的

直线的方向向量、平面的法向量之间的关系式来求,二面角的 大小还要结合图形判断.


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