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甘肃省兰州市西北师大附中2015届高三上学期12月月考数学试卷(文科)


甘肃省兰州市西北师大附中 2015 届高三上学期 12 月月考数学试 卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知全集 U={x∈N|x<9},集合 A={3,4,5},B={1,3,6},则(?UA)∩(?UB) =() A.{0,2,7,8} B.{0,2,

7} C.{0,2,8} D.{0,2} 2. (5 分)设复数 z=1+i(i 是虚数单位) ,则 +z =() A.﹣1﹣i
x 2

B.﹣1+i

C.1﹣i

D.1+i

3. (5 分)“函数 y=a 是增函数”是“log2a>1”的() A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
2

4. (5 分)已知实数 4,m,1 构成一个等比数列,则圆锥曲线 A. B. C. 或

+y =1 的离心率为() D. 或 3

5. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 B 的值为()

A.63

B.31

C.15

D.7

6. (5 分)在平面直角坐标系中,若不等式组

(a 为常数)所表示的平面区域

的面积等于 2,则 a 的值为() A.﹣5 B. 1

C. 2

D.3

7. (5 分)已知集合 M={x||x+2|+|x﹣1|≤5},N={x|a<x<6},且 M∩N=(﹣1,b],则 b﹣a= () A.﹣3 B . ﹣1 C. 3 D.7

8. (5 分)已知 f(x)=

,则 f( )的值为()

A.
2

B. ﹣
2

C. 1

D.﹣1

9. (5 分)双曲线 x +my =1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则双曲线的渐近线方程为() A.y=±2x B. C. D.

10. (5 分)如图,平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1, ,将其沿对角线 BD 折成四面体 A′﹣BCD,使平面 A′BD⊥平面 BCD,若四面体 A′﹣BCD 顶点在同一个球面 上,则该球的体积为()

A.

B.3π

C.

D.2π

11. (5 分)把正奇数数列依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数, 第四个括号一个数,…,依次循环的规律分为(1) , (3,5) , (7,9,11) , (13) , (15,17) , (19,21,23) , (25) ,…,则第 50 个括号内各数之和为() A.98 B.197 C.390 D.392 12. (5 分)定义在 R 上的函数(x) ,其图象是连续不断的,如果存在非零常数 λ(λ∈R) ,使 得对任意的 x∈R,都有 f(x+λ)=λf(x) ,则称 y=f(x)为“倍增函数”,λ 为“倍增系数”,下 列命题为假命题的是() A.若函数 y=f(x)是倍增系数 λ=﹣2 的函数,则 y=f(x)至少有 1 个零点 B. 函数 f(x)=2x+1 是倍增函数且倍增系数 λ=1 C. 函数 f(x)=e
﹣x

是倍增函数,且倍增系数 λ∈(0,1) (k∈N )
+

D.若函数 f(x)=sin2ωx(ω>0)是倍增函数,则 ω=

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上.. 13. (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线或粗虚线画出了某简单组合体的三视 图和直观图(斜二测画法) ,则此简单几何体的体积是.

14. (5 分)数列{an}满足 a1=3,an﹣anan+1=1,An 表示{an}前 n 项之积,则 A2013=. 15. (5 分)若△ ABC 的面积为
3

,BC=2,C=60°,则边 AB 的长度等于.

16. (5 分)设函数 f(x)=ax ﹣3x+1(x∈R) ,若对于任意的 x∈[﹣1,1]都有 f(x)≥0 成立, 则实数 a 的值为.

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (12 分) △ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 已知 3cos (B﹣C) ﹣1=6cosBcosC. (1)求 cosA; (2)若 a=3,△ ABC 的面积为 ,求 b,c. 18. (12 分)某食品店每天以每瓶 2 元的价格从厂家购进一种酸奶若干瓶,然后以每瓶 3 元的 价格出售,如果当天卖不完,余下的酸奶变质作垃圾处理. (1)若食品店一天购进 170 瓶,求当天销售酸奶的利润 y(单位:元)关于当天的需求量 n (单位:瓶,n∈N)的函数解析式; (2)根据市场调查,100 天的酸奶的日需求量(单位:瓶)数据整理如下表: 日需求量 n 150 160 170 180 190 200 天数 17 23 23 14 13 10 若以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.食品店一天购进 170 瓶酸奶,X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列和数学期望 EX. 19. (12 分)在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC=AA1=3a,BC=2a,D 是 BC 的中点,E, F 分别是 A1A,C1C 上一点,且 AE=CF=2a. (1)求证:B1F⊥平面 ADF; (2)求三棱锥 B1﹣ADF 的体积; (3)求证:BE∥平面 ADF.

20. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的两个焦点 F1,F2 和上下两个顶点 B1,B2

是一个边长为 2 且∠F1B1F2 为 60°的菱形的四个顶点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过右焦点 F2,斜率为 k(k≠0)的直线与椭圆 C 相交于 E,F 两点,A 为椭圆的右顶点, 直线 AE,AF 分别交直线 x=3 于点 M,N,线段 MN 的中点为 P,记直线 PF2 的斜率为 k′.求 证:k?k′为定值. 21. (12 分)已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=﹣x +ax﹣3. (1)求函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; (2)若存在 x0∈[ ,e](e 是自然对数的底数,e=2.71828…) ,使不等式 2f(x0)≥g(x0)成 立,求实数 a 的取值范围.
2

一、请考生在第(22) 、 (23) (24)三体中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (10 分) 【选修 4﹣1:几何证明选讲】 如图,梯形 ABCD 内接于圆 O,AD∥BC,且 AB=CD,过点 B 引圆 O 的切线分别交 DA、CA 的延长线于点 E、F. 2 (1)求证:CD =AE?BC; (2)已知 BC=8,CD=5,AF=6,求 EF 的长.

一、选考题 23. 【选修 4﹣4:坐标系与参数方程】

在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,若以 O 为极点,x 轴

正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 ρ= (1)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长.

cos(θ+

) .

一、选考题 24.选修 4﹣5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x﹣7|﹣|x﹣3|, (Ⅰ)作出函数 f(x)的图象; (Ⅱ)当 x<5 时,不等式|x﹣8|﹣|x﹣a|>2 恒成立,求 a 的取值范围.

甘肃省兰州市西北师大附中 2015 届高三上学期 12 月月考 数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知全集 U={x∈N|x<9},集合 A={3,4,5},B={1,3,6},则(?UA)∩(?UB) =() A.{0,2,7,8} B.{0,2,7} C.{0,2,8} D.{0,2} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 先计算(?UA) , (?UB) ,再计算(?UA)∩(?UB) . 解答: 解:全集 U={x∈N|x<9}={0,1,2,3,4,5,6,7,8}. 集合 A={3,4,5},B={1,3,6}, 所以?UA={0,1,2,6,7,8},?UB}={0,2,4,5,7,8}. 则(?UA)∩(?UB)={0,2,7,8} 故选 A. 点评: 本题考查集合的基本运算.属于基础题.
2

2. (5 分)设复数 z=1+i(i 是虚数单位) ,则 +z =() A.﹣1﹣i B.﹣1+i C.1﹣i D.1+i

考点: 复数代数形式的混合运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 把复数 z 代入表达式化简整理即可. 解答: 解:对于 ,

故选 D. 点评: 本小题主要考查了复数的运算和复数的概念,以复数的运算为载体,直接考查了对 于复数概念和性质的理解程度. 3. (5 分)“函数 y=a 是增函数”是“log2a>1”的() A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先判断两个命题 p?q 与 q?p 的真假,再根据充要条件的定义给出结论. 解答: 解:∵条件 p:“函数 y=a 是增函数”即 a>1, 又∵条件 q:“log2a>1”即 a>2, 由于 a>2?a>1,反之不能. x 则“函数 y=a 是增函数”是“log2a>1”的必要不充分条件. 故选 A. 点评: 判断充要条件的方法是:①若 p?q 为真命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件;②若 p?q 为假命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分 条件;③若 p?q 为真命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件;④若 p?q 为假 命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件.⑤判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题 p 与命题 q 的关系.
2 x x

4. (5 分)已知实数 4,m,1 构成一个等比数列,则圆锥曲线 A. B. C. 或

+y =1 的离心率为() D. 或 3

考点: 椭圆的简单性质;双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由 4,m,1 构成一个等比数列,得到 m=±2.当 m=2 时,圆锥曲线是椭圆;当 m= ﹣2 时,圆锥曲线是双曲线,由此入手能求出离心率. 解答: 解:∵4,m,1 构成一个等比数列, ∴m=±2. 当 m=2 时,圆锥曲线 它的离心率是 当 m=﹣2 时,圆锥曲线 +y =1 是椭圆 ; +y =1 是双曲线
2 2





它的离心率是 e2=



故选 C. 点评: 本题考查圆锥曲线的离心率的求法,解题时要注意等比数列的性质的合理运用,注 意分类讨论思想的灵活运用. 5. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 B 的值为()

A.63

B.31

C.15

D.7

考点: 程序框图. 专题: 计算题;图表型;算法和程序框图. 分析: 由程序框图依次计算第一、第二…的运行结果,直到不满足条件 A≤5 时,输出 B,即 为所求. 解答: 解:由当型程序框图得: 第一次运行 B=2×1+1=3,A=2; 第二次运行 B=2×3+1=7,A=3; 第三次运行 B=2×7+1=15,A=4; 第四次运行 B=2×15+1=31,A=5; 第五次运行 B=2×31+1=63,A=6; 不满足条件 A≤5 结束运行,输出 B=63. 故选 A. 点评: 本题考查了当型循环结构的程序框图,解答的关键是读懂程序框图.

6. (5 分)在平面直角坐标系中,若不等式组

(a 为常数)所表示的平面区域

的面积等于 2,则 a 的值为() A.﹣5 B. 1 考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;数形结合.

C. 2

D.3

分析: 本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件

的可行域,根据

已知条件中,表示的平面区域的面积等于 2,构造关于 a 的方程,解方程即可得到答案.

解答: 解:不等式组

所围成的区域如图所示.

∵其面积为 2, ∴|AC|=4, ∴C 的坐标为(1,4) , 代入 ax﹣y+1=0, 得 a=3. 故选 D.

点评: 平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画 出平面区域,然后结合有关面积公式求解. 7. (5 分)已知集合 M={x||x+2|+|x﹣1|≤5},N={x|a<x<6},且 M∩N=(﹣1,b],则 b﹣a= () A.﹣3 B . ﹣1 C. 3 D.7 考点: 绝对值不等式的解法;交集及其运算. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 解绝对值不等式求得 M={x|﹣3≤x≤2},再由 N={x|a<x<6},且 M∩N=(﹣1,b], 可得 a=﹣1,b=2,从而求得 b﹣a 的值. 解答: 解:由于|x+2|+|x﹣1|表示数轴上的 x 对应点到﹣2 和 1 对应点的距离之和, 而﹣3 和 2 对应点到﹣2 和 1 对应点的距离之和正好等于 5,故由|x+2|+|x﹣1|≤5 可得﹣3≤x≤2, ∴集合 M={x||x+2|+|x﹣1|≤5}={x|﹣3≤x≤2}. 再由 N={x|a<x<6},且 M∩N=(﹣1,b],可得 a=﹣1,b=2,b﹣a=3, 故选 C. 点评: 本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,两个集合的交集的定义,属于 中档题.

8. (5 分)已知 f(x)=

,则 f( )的值为()

A.

B. ﹣

C. 1

D.﹣1

考点: 函数的值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,f( )=f(﹣ )+1= 解答: 解:f( )=f(﹣ )+1= =﹣ ? +1=﹣ ; sin(﹣ )+1=﹣ ? +1=﹣ ;从而求解.

sin(﹣

)+1

故选 B. 点评: 本题考查了函数的值的求法,属于基础题. 9. (5 分)双曲线 x +my =1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则双曲线的渐近线方程为() A.y=±2x B. C. D.
2 2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用双曲线 x +my =1 的虚轴长是实轴长的 2 倍, 求出 m 的值, 从而可求双曲线的渐 近线方程. 解答: 解:双曲线 x +my =1 中 a=1,b= ∵双曲线 x +my =1 的虚轴长是实轴长的 2 倍, ∴ ∴m=﹣ , ,
2 2 2 2 2 2



∴双曲线方程为 x ﹣

2

=1,

∴双曲线的渐近线方程为 y=±2x. 故选 A. 点评: 本题考查双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,确定 m 的值是关键. 10. (5 分)如图,平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1, ,将其沿对角线 BD 折成四面体 A′﹣BCD,使平面 A′BD⊥平面 BCD,若四面体 A′﹣BCD 顶点在同一个球面 上,则该球的体积为()

A.

B.3π

C.

D.2π

考点: 球内接多面体;球的体积和表面积. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 说明折叠后几何体的特征,求出三棱锥的外接球的半径,然后求出球的体积. 解答: 解:由题意平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1, ,将其沿对角 线 BD 折成四面体 A′﹣BCD,使平面 A′BD⊥平面 BCD,若四面体 A′﹣BCD 顶点在同一个球 面上,可知 A′B⊥A′C,所以 BC 是外接球的直径,所以 BC= ,球的半径为: ;所以球

的体积为:

=



故选 A 点评: 本题是基础题,考查折叠问题,三棱锥的外接球的体积的求法,考查计算能力,正 确球的外接球的半径是解题的关键. 11. (5 分)把正奇数数列依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数, 第四个括号一个数,…,依次循环的规律分为(1) , (3,5) , (7,9,11) , (13) , (15,17) , (19,21,23) , (25) ,…,则第 50 个括号内各数之和为() A.98 B.197 C.390 D.392 考点: 归纳推理. 专题: 推理和证明. 分析: 由题意将三个括号作为一组,判断出第 50 个括号应为第 17 组的第二个括号,由题 意和奇数对应数列的通项公式,求出第 50 个括号内各个数,再求出第 50 个括号内各数之和. 解答: 解:由题意可得,将三个括号作为一组, 则由 50=16×3+2,第 50 个括号应为第 17 组的第二个括号, 即 50 个括号中应有两个数, 因为每组中有 6 个数, 所以第 48 个括号的最后一个数为数列{2n﹣1}的第 16×6=96 项, 第 50 个括号的第一个数为数列{2n﹣1}的第 16×6+2=98 项, 即 2×98﹣1=195,第二个数是 2×99﹣1=197, 所以第 50 个括号内各数之和为 195+197=392, 故选:D. 点评: 本题考查了归纳推理,等差数列的通项公式,难点在于发现其中的规律,考查观察、 分析、归纳能力.

12. (5 分)定义在 R 上的函数(x) ,其图象是连续不断的,如果存在非零常数 λ(λ∈R) ,使 得对任意的 x∈R,都有 f(x+λ)=λf(x) ,则称 y=f(x)为“倍增函数”,λ 为“倍增系数”,下 列命题为假命题的是() A.若函数 y=f(x)是倍增系数 λ=﹣2 的函数,则 y=f(x)至少有 1 个零点 B. 函数 f(x)=2x+1 是倍增函数且倍增系数 λ=1 C. 函数 f(x)=e
﹣x

是倍增函数,且倍增系数 λ∈(0,1) (k∈N )
+

D.若函数 f(x)=sin2ωx(ω>0)是倍增函数,则 ω=

考点: 函数的值. 专题: 新定义;函数的性质及应用. 分析: 根据题意,利用“倍增函数”的定义 f(x+λ)=λf(x) ,对题目中的选项进行分析判断, 即可得出正确的答案. 解答: 解:对于 A,∵函数 y=f(x)是倍增系数 λ=﹣2 的倍增函数,∴f(x﹣2)=﹣2f(x) , 当 x=0 时,f(﹣2)+2f(0)=0,若 f(0) 、f(﹣2)任意一个为 0,则函数 f(x)有零点; 若 f(0) 、f(﹣2)均不为 0,则 f(0) 、f(﹣2)异号,由零点存在性定理得, 在区间(﹣2,0)内存在 x0,使得 f(x0)=0,即 y=f(x)至少存在 1 个零点, ∴A 正确; 对于 B,∵f(x)=2x+1 是倍增函数,∴2(x+λ)+1=λ(2x+1) ,∴λ= ∴B 错误; 对于 C,∵f(x)=e ∴ =
﹣x

≠1 ,

是倍增函数,∴e ∈(0,1) ,

﹣(x+λ)

=λe ,

﹣x

,∴λ=

∴C 正确; 对于 D,∵f(x)=sin2ωx(ω>0)是倍增函数, ∴sin[2ω(x+λ)]=λsin2ωx,∴ω= (k∈N ) ,
*

∴D 正确. 故选:B. 点评: 本题考查了新定义的函数的性质与应用的问题,解题时应理解新定义的内容是什么, 是综合性题目. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上.. 13. (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线或粗虚线画出了某简单组合体的三视 图和直观图(斜二测画法) ,则此简单几何体的体积是 ﹣ .

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知,该几何体是一个三棱锥挖去四分之一个圆锥剩下的部分,三棱锥的 底面是一个腰长为 4 的等腰直角三角形,高为 4,还原的圆锥的底面半径为 2,高为 4,代入 棱锥体积公式,可得答案. 解答: 解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个三棱锥挖去四分之一个圆锥剩下的部 分,三棱锥的底面是一个腰长为 4 的等腰直角三角形,高为 4,还原的圆锥的底面半径为 2, 高为 4, 故体积 V= × ×4×4×4﹣ 故答案为: ﹣ . = ﹣ ,

点评: 本题考查的知识点是由三视图,求体积,其中根据已知分析出几何体的形状是解答 的关键. 14. (5 分)数列{an}满足 a1=3,an﹣anan+1=1,An 表示{an}前 n 项之积,则 A2013=﹣1. 考点: 数列递推式. 专题: 计算题;压轴题;等差数列与等比数列. 分析: 先通过计算,确定数列{an}是以 3 为周期的数列,且 a1a2a3=﹣1,再求 A2013 的值. 解答: 解:由题意,∵a1=3,an﹣anan+1=1, ∴ , ,a4=3,

∴数列{an}是以 3 为周期的数列,且 a1a2a3=﹣1 ∵2013=3×671 ∴A2013=(﹣1) =﹣1 故答案为:﹣1 点评: 本题考查数列递推式,考查学生的计算能力,确定数列{an}是以 3 为周期的数列,且 a1a2a3=﹣1 是解题的关键. 15. (5 分)若△ ABC 的面积为 ,BC=2,C=60°,则边 AB 的长度等于 2.
671

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用三角形面积公式列出关系式,把已知面积,a,sinC 的值代入求出 b 的值,再利 用余弦定理求出 c 的值即可. 解答: 解:∵△ABC 的面积为 ,BC=a=2,C=60°, ∴ absinC= ,即 b=2,
2 2 2

由余弦定理得:c =a +b ﹣2abcosC=4+4﹣4=4, 则 AB=c=2, 故答案为:2 点评: 此题考查了余弦定理,三角形面积公式,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.

16. (5 分)设函数 f(x)=ax ﹣3x+1(x∈R) ,若对于任意的 x∈[﹣1,1]都有 f(x)≥0 成立, 则实数 a 的值为 4. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题. 分析: 先求出 f′(x)=0 时 x 的值,进而讨论函数的增减性得到 f(x)的最小值,对于任意 的 x∈[﹣1,1]都有 f(x)≥0 成立,可转化为最小值大于等于 0 即可求出 a 的范围. 2 解答: 解:由题意,f′(x)=3ax ﹣3, 2 当 a≤0 时 3ax ﹣3<0,函数是减函数,f(0)=1,只需 f(1)≥0 即可,解得 a≥2,与已知矛盾, 当 a>0 时,令 f′(x)=3ax ﹣3=0 解得 x=± ①当 x<﹣ ②当﹣ ③当 x> 所以 f(
2

3



时,f′(x)>0,f(x)为递增函数, 时,f′(x)<0,f(x)为递减函数,

<x<

时,f(x)为递增函数. )≥0,且 f(﹣1)≥0,且 f(1)≥0 即可

由 f(

)≥0,即 a?

﹣3?

+1≥0,解得 a≥4,

由 f(﹣1)≥0,可得 a≤4, 由 f(1)≥0 解得 2≤a≤4, 综上 a=4 为所求. 故答案为:4. 点评: 本题以函数为载体,考查学生解决函数恒成立的能力,考查学生分析解决问题的能 力,属于基础题. 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (12 分) △ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 已知 3cos (B﹣C) ﹣1=6cosBcosC. (1)求 cosA; (2)若 a=3,△ ABC 的面积为 ,求 b,c. 考点: 余弦定理;诱导公式的作用;两角和与差的余弦函数;正弦定理. 专题: 计算题. 分析: (1)利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式左边的第一项,移项合并后再利 用两角和与差的余弦函数公式得出 cos(B+C)的值,将 cosA 用三角形的内角和定理及诱导 公式变形后,将 cos(B+C)的值代入即可求出 cosA 的值; (2)由 cosA 的值及 A 为三角形的内角,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinA 的值,利 用三角形的面积公式表示出三角形 ABC 的面积,将已知的面积及 sinA 的值代入,得出 bc=6, 记作①,再由 a 及 cosA 的值,利用余弦定理列出关于 b 与 c 的关系式,记作②,联立①② 即可求出 b 与 c 的值.

解答: 解: (1)3cos(B﹣C)﹣1=6cosBcosC, 化简得:3(cosBcosC+sinBsinC)﹣1=6cosBcosC, 变形得:3(cosBcosC﹣sinBsinC)=﹣1, 即 cos(B+C)=﹣ , 则 cosA=﹣cos(B+C)= ; (2)∵A 为三角形的内角,cosA= , ∴sinA= 又 S△ ABC=2 = , ,解得:bc=6①,

,即 bcsinA=2

又 a=3,cosA= , ∴由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA 得:b +c =13②, 联立①②解得: 或 .
2 2 2 2 2

点评: 此题考查了余弦定理,三角形的面积公式,两角和与差的余弦函数公式,诱导公式, 以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式及定理是解本题的关键. 18. (12 分)某食品店每天以每瓶 2 元的价格从厂家购进一种酸奶若干瓶,然后以每瓶 3 元的 价格出售,如果当天卖不完,余下的酸奶变质作垃圾处理. (1)若食品店一天购进 170 瓶,求当天销售酸奶的利润 y(单位:元)关于当天的需求量 n (单位:瓶,n∈N)的函数解析式; (2)根据市场调查,100 天的酸奶的日需求量(单位:瓶)数据整理如下表: 日需求量 n 150 160 170 180 190 200 天数 17 23 23 14 13 10 若以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.食品店一天购进 170 瓶酸奶,X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列和数学期望 EX. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (1)由于食品店一天购进 170 瓶,故 n<170 时,当天卖不完;n>170 时,当天全 部卖完,由此可得分段函数; (2)确定 X 的可能取值,确定相应的频率,即可求 X 的分布列和数学期望 EX. 解答: 解: (1)当 n<170 时,y=3n﹣170×2=3n﹣340; 当 n>170 时,y=(3﹣2)×170=170 ∴y= ;

(2)X 的可能取值为:110,140,170 由题意,n=150,160 及不小于 170 的频率分别为 0.17.0.23.0.6

∴X 的分布列为 X 110 140 170 P 0.17 0.23 0.6 ∴EX=110×0.17+140×0.23+170×0.6=152.9. 点评: 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,考查利用数学知识解决实际问题, 考查学生的计算能力,属于中档题. 19. (12 分)在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC=AA1=3a,BC=2a,D 是 BC 的中点,E, F 分别是 A1A,C1C 上一点,且 AE=CF=2a. (1)求证:B1F⊥平面 ADF; (2)求三棱锥 B1﹣ADF 的体积; (3)求证:BE∥平面 ADF.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题: 计算题;证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)由直棱柱的性质,得 B1B⊥底面 ABC,从而有 AD⊥B1B,结合等腰△ ABC 中 AD⊥BC,证出 AD⊥平面 B1BCC1,从而得出 AD⊥B1F,矩形 B1BCC1 中利用 Rt△ DCF≌Rt△ FC1B1 证出∠B1FD=90°,从而 B1F⊥FD,最后根据 AD∩FD=D,证出 B1F⊥平 面 AFD; (2)由(1)B1F⊥平面 AFD,得 B1F 是三棱锥 B1﹣ADF 的高.根据题中数据分别算出 AD、 DF、B1F 的长度,用锥体体积公式即可算出棱锥 B1﹣ADF 的体积; (3)连 EF、EC,设 EC∩AF=M,连结 DM.矩形 AEFC 中证出 M 为 EC 中点,从而得到 MD 是△ CBE 的中位线,得到 MD∥BE,再利用线面平行判定定理,即可证出 BE∥平面 ADF. 解答: 解: (1)∵AB=AC,D 为 BC 中点,∴AD⊥BC. 在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, ∵B1B⊥底面 ABC,AD?底面 ABC,∴AD⊥B1B. ∵BC∩B1B=B,∴AD⊥平面 B1BCC1. ∵B1F?平面 B1BCC1,∴AD⊥B1F. 在矩形 B1BCC1 中,∵C1F=CD=a,B1C1=CF=2a, ∴Rt△ DCF≌Rt△ FC1B1. ∴∠CFD=∠C1B1F.∴∠B1FD=90°,可得 B1F⊥FD. ∵AD∩FD=D,∴B1F⊥平面 AFD.

(2)∵B1F⊥平面 AFD,∴B1F 是三棱锥 B1﹣ADF 的高 等腰△ ABC 中,AD= 矩形 BB1C1C 中,DF=B1F= 因此,三棱锥 B1﹣ADF 的体积为 V = ×S△ AFD×B1F= = . =2 = ,

(3)连 EF、EC,设 EC∩AF=M,连结 DM, ∵AE=CF=2a,∴四边形 AEFC 为矩形,可得 M 为 EC 中点. ∵D 为 BC 中点,∴MD∥BE. ∵MD?平面 ADF,BE?平面 ADF,∴BE∥平面 ADF.

点评: 本题在直四棱柱中证明线面平行、线面垂直,并求三棱锥的体积.着重考查了空间 直线与平面平行的判定定理、 直线与平面垂直的判定定理和锥体体积公式等知识, 属于中档题.

20. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的两个焦点 F1,F2 和上下两个顶点 B1,B2

是一个边长为 2 且∠F1B1F2 为 60°的菱形的四个顶点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过右焦点 F2,斜率为 k(k≠0)的直线与椭圆 C 相交于 E,F 两点,A 为椭圆的右顶点, 直线 AE,AF 分别交直线 x=3 于点 M,N,线段 MN 的中点为 P,记直线 PF2 的斜率为 k′.求 证:k?k′为定值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: 解: (1)由题意利用菱形和含 30°角的直角三角形的性质可得 a=2, ,c=1.即 可得到椭圆 C 的方程. (2)设过点 F2(1,0)的直线 l 的方程为:y=k(x﹣1) .设点 E(x1,y1) ,F(x2,y2) ,与 椭圆方程联立即可得到根与系数的关系, .可得直线 AE 的方程及直线 AF 的方程,令 x=3,得 点 M,N 的坐标.利用中点坐标公式可得点 P 的坐标.即可得到直线 PF2 的斜率为 k′,把根 与系数代入即可得出 k?k′为定值. 解答: 解: (1)由题意可得 a=2, ,c=1.

∴椭圆 C 的方程为



(2)设过点 F2(1,0)的直线 l 的方程为:y=k(x﹣1) . 设点 E(x1,y1) ,F(x2,y2) ,联立 ,化为(3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0.
2 2 2 2

显然△ >0,∴



(*) .

直线 AE 的方程为

,直线 AF 的方程为



令 x=3,得点 M

,N



∴点 P



直线 PF2 的斜率为 k′=

=

=

=



把(*)代入得 k =



=﹣





为定值.

点评: 熟练掌握椭圆的标准及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数 的关系、直线的点斜式方程、中点坐标公式、斜率计算公式等是解题的关键. 21. (12 分)已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=﹣x +ax﹣3.
2

(1)求函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; (2)若存在 x0∈[ ,e](e 是自然对数的底数,e=2.71828…) ,使不等式 2f(x0)≥g(x0)成 立,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)由已知知函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,f′(x)=lnx+1,由此利用导数性质 能求出函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值. (2)由已知得 a≤2lnx+x+ ,x∈[ ,e],设 h(x)=2lnx+x+ ,x∈[ ,e],则 ,x∈[ ,e],由此利用导数性质能求出实数 a 的取值 解答: 解: (1)由已知知函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,f′(x)=lnx+1, 当 x∈(0, ) ,f′(x)<0,f(x)单调递减, 当 x∈( ) ,f′(x)>0,f(x)单调递增,

①0<t<t+2< ,没有最小值; ②0<t< <t+2,即 0<t< 时,f(x)min=f( )=﹣ ; ③ ,即 t 时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt.





(2)∵不等式 2f(x0)≥g(x0)成立,即 2x0lnx0≥﹣ ∴a≤2lnx+x+ ,x∈[ ,e], 设 h(x)=2lnx+x+ ,x∈[ ,e], ,x∈[ ,e],





①x∈[ ,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减, ②x∈(1,e]时,h′(x)>0,h(x)单调递增, ∴h(x)max=h(e)=2+e+ ,对一切 x0∈[ ,e]使不等式 2f(x0)≥g(x0)成立,

∴a≤h(x)max=2+e+ . 点评: 本题重点考查利用导数研究函数的性质,利用函数的性质解决不等式、方程问题.重 点考查学生的代数推理论证能力.解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用. 一、请考生在第(22) 、 (23) (24)三体中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (10 分) 【选修 4﹣1:几何证明选讲】 如图,梯形 ABCD 内接于圆 O,AD∥BC,且 AB=CD,过点 B 引圆 O 的切线分别交 DA、CA 的延长线于点 E、F. 2 (1)求证:CD =AE?BC; (2)已知 BC=8,CD=5,AF=6,求 EF 的长.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 直线与圆. 分析: (1)由已知条件,利用直线平行的性质和弦切角定理推导出△ EAB∽△ABC,由此 2 能证明 CD =AE?BC. (2)由已知条件和(1)先求出 AE,再由三角形相似的判定定理得到△ FEA∽△FAB,由此 能求出结果. 解答: 解: (1)因为 AD∥BC,所以∠EAB=∠ABC. 又因为 FB 与圆 O 相切于点 B, 所以∠EBA=∠ACB, 所以△ EAB∽△ABC, 所以 = ,即 AB =AE?BC,
2 2

因为 AB=CD,所以 CD =AE?BC. 2 (2)因为 AB =AE?BC,BC=8,CD=5,AF=6,AB=CD, 所以 AE= = ,

因为 AD∥BC,所以∠FAE=∠ACB, 又因为∠EBA=∠ACB, 所以∠FAE=∠EBA,∠F=∠F, 所以△ FEA∽△FAB, 所以 所以 EF= , = .

点评: 本题考查三角形相似的应用,考查与圆有关的线段长的求法,解题时要注意弦切角 定理和三角形相似的性质的灵活运用.

一、选考题 23. 【选修 4﹣4:坐标系与参数方程】

在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,若以 O 为极点,x 轴

正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 ρ= (1)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长. 考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程.

cos(θ+

) .

分析: 本题的关键(1)是直线 l 的参数方程为

(t 为参数)和曲线 C 的极坐

标方程为 ρ=

cos(θ+

)的普通方程的转化, (2)是借助垂径定理,求解弦长问题.

解答: 解: (1)∵直线 l 的参数方程为

(t 为参数) , (t 为参数)

∴化为普通方程为 l:3x+4y+1=0. 又∵曲线 C 的极方程为 ρ=
2 2

cos(θ+

) ,

∴化为直角坐标方程为 x +y ﹣x+y=0. (2)由(1)可知曲线 C 表示圆心为( ) ,半径为 的圆,

∴则圆心到直线 l 的距离 d═ ∴直线 l 被曲线 C 截得的弦长为

=



点评: 此题考查参数方程和极坐标方程化为普通方程,是一道 2015 届高考常见的题目 一、选考题 24.选修 4﹣5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x﹣7|﹣|x﹣3|, (Ⅰ)作出函数 f(x)的图象; (Ⅱ)当 x<5 时,不等式|x﹣8|﹣|x﹣a|>2 恒成立,求 a 的取值范围. 考点: 带绝对值的函数;绝对值不等式的解法.

专题: 函数的性质及应用.

分析: (I)由于函数 f(x)=|x﹣7|﹣|x﹣3|=

,由此根据函数的解析

式作出函数的图象. (II)当 x<5 时,由题意可得|x﹣a|<6﹣x 恒成立.平方可得(12﹣2a)x<36﹣a .结合题 意可得 12﹣2a>0,且 x< .故有 ≥5,且 a<6,由此求得 a 的范围.
2

解答: 解: (I)由于函数 f(x)=|x﹣7|﹣|x﹣3|=

,如图所示:

(II)当 x<5 时,由于不等式|x﹣8|﹣|x﹣a|>2 恒成立, 故|x﹣a|<6﹣x 恒成立. 2 平方可得, (12﹣2a)x<36﹣a . 结合题意可得 12﹣2a>0,且 x< 故有 ≥5,且 a<6,解得 6>a≥4. .

故所求的 a 的范围为[4,6) .

点评: 本题主要考查带有绝对值的函数,函数的恒成立问题,绝对值不等式的解法,属于 中档题.


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