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第四讲 二次函数(火)


望子成龙学校九年级春季(火)资料

我学习,我收获,我成长,我快乐!

第四讲
【考点解读】

二次函数与最值问题专题讲座

?定义: y ? ax 2 ? bx ? c( a ? 0) ? ?图象:抛物线 ? ? ?a ? 0,开口向上 ? ?开口方向 ? ? ?a ? 0,开口向下 ?

? ? b 4ac ? b 2 ? ?顶点坐标( ? , ) ? 2a 4a ? ? ? ? ? ? ?对称轴: x ? ? b ? ? 2a ? ? ?性质 ? ? ?在对称轴的右侧, y随x的增大而增大; ? ? ?a ? 0 ? 二次函数 ? ? ?在对称轴的左侧, y随x的增大而减少。 ?增减性 ? ? ? ? ? ?在对称轴的右侧, y随x的增大而减少; ? ? ? ?a ? 0?在对称轴的左侧, y随x的增大而增大。 ? ? ? ? ? ? ? b 4ac ? b 2 ? ? a ? 0时,当 x ? ? 时, y有最小值 ; ? ? ? ? 2a 4a 最值 ? ? ? 2 ?a ? 0时,当 x ? ? b 时, y有最大值 4ac ? b 。 ? ? ? ? ? 2a 4a ? ? ? 2 ?一般式: y ? ax ? bx ? c ( a ? 0) ? ?解析式 ?顶点式: y ? a ( x ? h) 2 ? k ( a ? 0) ? ? ?两点式: y ? a ( x ? x )( x ? x )(a ? 0) ? 1 2 ? ?

【典例解析】
例 1. (2010 广州) (12 分)已知抛物线 y=-x2+2x+2. (1)该抛物线的对称轴是 ,顶点坐标 ; (2)选取适当的数据填入下表,并在图 7 的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象;
x y ? ? ? ?

(3)若该抛物线上两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)的横坐标满足 x1>x2>1,试比较 y1 与 y2 的大小.
y

1 -5-4-3-2-1 O 1 2 3 4 5 -1 x

1

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例 2. (2010 荆州)若把函数 y=x 的图象用 E(x,x)记,函数 y=2x+1 的图象用 E(x, (1)
2 2 2x+1)记,??则 E(x, x ? 2 x ? 1 )可以由 E(x, x )怎样平移

得到?( ) A.向上平移1个单位 B.向下平移1个单位 C.向左平移1个单位 D.向右平移1个单位 (2) (2010 丽水)如图,四边形 ABCD 中,∠BAC= ∠ACB=90°,AB=AD,AC=4BC,设 CD 的长为 x,四边形 ABCD 的面积为 y, 则 y 与 x 之间的函数关系式是( )

A D

2 2 A、 y ? x 25

4 2 B、 y ? x 25

2 C、 y ? x 2 5

4 D、 y ? x 2 5

B

C

(3) (2010 盐城) 给出下列四个函数: y ? ? x ;② y ? x ;③ y ? ① 时,y 随 x 的增大而减小的函数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个

1 ;④ y ? x 2 .x ? 0 x

D.4 个 )

例 3. (2010 南充)抛物线 y ? a( x ? 1)( x ? 3)(a ? 0) 的对称轴是( (1)

A、x=1 B、x= ? 1 C、x= ? 3 D、x=3 2 (2) (2010 咸宁)已知抛物线 y ? ax ? bx ? c ( a <0)过 A( ? 2 ,0) 、O(0,0) 、 B( ? 3 , y1 ) 、C(3, y2 )四点,则 y1 与 y2 的大小关系是 A. y1 > y2 B. y1 ? y2 C. y1 < y2 D.不能确定 (3) (2010 宁夏) .把抛物线 y ? ?x2 向左平移 1 个单位,然后向上平移 3 个单位,则平移后 抛物线的表达式( A.y ? ?( x ?1)2 ? 3 ) B.y ? ?( x ?1)2 ? 3 C.y ? ?( x ?1)2 ? 3 D.y ? ?( x ?1)2 ? 3.

例 4. (2010 东营) (1) 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图形如图所示, 则一次函数 y ? bx ? ac 与y?

a ?b?c 在同一坐标系内的图象大致为( x
y y



y y y

-1

?

0 1

?

x

O A
2

x

O B

x C

O

x D

O

x
y

(2)2010 荆门) ( 二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示, 下列结论错误的是( .. (A)ab<0 (B)ac<0

)
o
2

x

(C)当 x<2 时,函数值随 x 增大而增大;当 x>2 时,函数值随 x 增大而减小 (D)二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 ax +bx+c=0 的根。
2
2 2

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例 5. (2010 肇庆)已知二次函数 y ? x 2 ? bx ? c ? 1的图象过点 P(2,1) 。 (1)求证: c ? ?2b ? 4 ; (2)求 bc 的最大值; (3)若函数的图象与 x 轴交于点 A( x1,) 0 ,B( x2,) 0 ,△ABP 的面积是

3 ,求 b 的值。 4

【压轴训练】
1.如图,Rt△AB ?C ? 是由 Rt△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到的,连结 CC ? 交斜边于点 E, CC ? 的延长线交 BB ? 于点 F. (1)证明:△ACE∽△FBE; (2)设∠ABC= ? ,∠CAC ? = ? ,试探索 ? 、 ? 满足什么关系时,△ACE 与△FBE 是 全等三角形,并说明理由. (2010 眉山)
B C' E F B'

C

A

2。如图,Rt△ABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上,O 为坐标 2 原点,A、B 两点的坐标分别为( ? 3 ,0)(0,4) 、 ,抛物线 y ? x 2 ? bx ? c 经过 B 点, 3 且顶点在直线 x ?

5 上. 2 (1)求抛物线对应的函数关系式;

3

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(2)若△DCE 是由△ABO 沿 x 轴向右平移得到的,当四边形 ABCD 是菱形时,试判断 点 C 和点 D 是否在该抛物线上,并说明理由; (3)若 M 点是 CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点 M 作 MN 平行于 y 轴交 CD 于点 N.设点 M 的横坐标为 t,MN 的长度为 l.求 l 与 t 之间的函数关系式,并求 l y 取最大值时,点 M 的坐标. (2010 眉山)

B N M A O D

C

E

x

【家庭作业】
(1) (2008 福州)已知抛物线 y ? x 2 ? x ? 1 与 x 轴的一个交点为(m,0) ,则代数式

m 2 ? m ? 2008 的值为_____________。
(2) (2009 鄂州)把抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的图象先向右平移 3 个单位,再向下平移 2 个单位,所得的图象的解析式是 y ? x 2 ? 3x ? 5 ,则 a+b+c=_______________。 (3) (2009 湖州)已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的对称轴为直线 x=1,且经过 ( ? 1 y1 )( 2,y 2 ) ,试比较 y1,y 2 的大小: y1 _______ y 2 .(填“<”或“>”或“=”) , , (4) (2008 青海)二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图所示,则点 A( b 2 ? 4ac, ? 第___________象限。 (5) (2010 株洲) .已知二次函数 y ? ? x ? 2a? ? ? a ?1? ( a 为常数) ,当 a 取不同的值时,
2

b )在 a

其图象构成一个“抛物线系” .下图分别是当 a ? ?1 , a ? 0 , a ? 1 , a ? 2 时二次函数的 图象.它们的顶点在一条直线上,这条直线的解析式是 y ? .

y

o

x

4


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