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第24到29届全国中学生物理竞赛预赛试卷及参考解答


第 24 届全国中学生物理竞赛预赛试卷 2007.9.2 本卷共八题。满分 200 分
一、(25 分)填空题 1.2006 年诺贝尔物理学奖授予美国科学家约翰·马瑟和乔治.斯穆特,以表彰他们发现了宇宙微波背景辐 射的黑体辐射形式和各向异性. 这一发现为有关宁宙起源的 理论提供了进步的支持, 使 宇宙学进入了“精确研究”时代. 2.恒星演化到了后期,某些恒星在其内部核燃

料耗尽时,会发生强烈的爆发,在短短的几天中亮度陡增千 万倍乃至上亿倍.我国《宋史》第五十六卷中对当时观测到的上述现象作了详细记载.2006 年 5 月是我国发现此 现象一千周年,为此在杭州召开了有关的国际学术研讨会.天文学上把演化到这一阶段的恒星称 为 ,恒星演变到这一阶段,预示着一颗恒星的终结.此后,它可能成为 或 . 3.2006 年 ll 月 21 日,中国、欧盟、美国、日本、韩国、俄罗斯和印度七方在法国总统府正式签署一个能 源方面的联合实施协定及相关文件,该协定中的能源是指 能源. 4.潮汐是一种常见的自然现象,发生在杭州湾钱塘江入海口的“钱江潮”是闻名世界的潮汐现象.在农历 初一和十五前后各有一次大潮,在两次大潮之间又各有一次小潮. 试把每月中出现两次大潮时地球、月球和太阳的相对位置示意图定性地画在下面. 试把每月中出现两次小潮时地球、月球和太阳的相对位置示意图定性地画在下面.

5.如图所示,用双线密绕在一个长直圆柱上,形成两个螺线管线圈 aa 和 bb (分别以实线和虚线表示), 已知两个线圈的自感都是 L.今若把 a 与 b 两端相连,把 a 和 b 两端接人电路,这时两个线圈的总自感等 于 ;若把 b 与 a 相连,把 a 和 b 两端接入电
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路,这时两个线圈的总自感等



; 若把 a 与 b 两端相连作为一端, 与 b 相 a

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连作为另一端,把这两端接入电路,这时 两个线圈的总自感等于 二、(25 分)如图所示,一块光滑的 平板能绕水平固定轴 HH 调节其与水平 面所成的倾角.板上一根长为 l=1.O0m 的轻细绳,它的一端系住一质量为 m 的 小球 P,另一端固定在 HH 轴上的 0 点.当平板的倾角固定在 ? 时,先将轻 绳沿水平轴 HH 拉直(绳与 HH 重合),
/ / / /



然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度 ? 0 ? 50m/s.若小球能保持在板面内作圆周运动,问倾角 ? 的值 应在什么范围内(取图中 ? 处箭头所示方向为 ? 的正方向).取重力加速度 g=10 m/s .
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三、(25 分)如图所示,绝热的活塞 s 把一定质量的 稀薄气体(可视为理想气体)密封在水半放置的绝热气缸 内.活塞可在气缸内无摩擦地滑动.气缸左端的电热丝 可通弱电流对气缸内气体十分缓慢地力热.气缸处在大 气中,大气压强为 P 0 .初始时,气体的体积为 V 0 、压强 为 Po 已知 l 摩尔该气体温度升高 1K 时其内能的增量为一 已知恒量 c.求以下两种过程中电热丝传给气体的热量 Q 1 与 Q 2 之比. 1.从初始状态出发,保持活塞 s 位置固定,在电热丝中通以弱电流,并持续一段时间,然后停止通电,待 气体达到热平衡时,测得气体的压强为 P 1 2 仍从初始状态出发,让活塞处在自由状态,在电热丝中通以弱电流,也持续一段时间,然后停止通电,最 后测得气体的体积为 V 2 . 四、 (25 分)如图所示, 1 M 2 和 M 3 都是由无限多根无限长的外表面绝缘的细直导线紧密排列成的导线排横截 M 面,两导线排相交成 l20 ,00 为其角平分线.每根细导线中都通有电流 I,两导线排中电流的方向相反,其中 M 1 M 2 中电流的方向垂直纸面向里.导线排中单位长度上细导线的根数为 ? .图中的矩形 abcd 是用 N 型半导体材 料做成的长直半导体片的横截面,( ab 《 bc ),长直半 导体片与导线排中的细导线平行,并在片中通有均匀电 流 I 0 ,电流方向垂直纸面向外.已知 ab 边与 00 垂直,
/ 0 /

bc ? l ,该半导体材料内载流子密度为 n,每个载流子
所带电荷量的大小为 q.求此半导体片的左右两个侧面 之间的电势差. 已知当细的无限长的直导线中通有电流 I 时,电流 产生的磁场离直导线的距离为 r 处的磁感应强度的大小 为 B=k

I ,式中 k 为已知常量 r

五、(25 分)如图所示,ACD 是由均匀细导线制成的边长为 d 的等 边三角形线框, 它以 AD 为转轴, 在磁感应强度为 B 的恒定的匀强磁场 中以恒定的角速度 ? 转动(俯视为逆时针旋转),磁场方向与 AD 垂 直.已知三角形每条边的电阻都等于 R.取图示线框平面转至与磁场 平行的时刻为 t=0. 1.求任意时刻 t 线框中的电流. 2.规定 A 点的电势为 0,求 t=0 时,三角形线框的 AC 边上任一 点 P(到 A 点的距离用 x 表示)的电势 U P ,并画出与 U P 与 x 关系的图 线 六、(25 分)空间存在垂直于纸面方向的均匀磁场,其方向随时间 作周期性变化,磁感应强度 B 随时间 t 变化的图线如图 l 所示.规定
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B>0 时,磁场的方向穿出纸面.现在磁场区域中建立一与磁场方向垂直的平面坐标 0xy,如图 2 所示.一电荷量 q=5 ? ? 10 C ,质量 m= 5 ?10?10 kg 的带电粒子,位于原点 0 处,在 t=0 时刻以初速度 ?0 ? ?m / s 沿 x 轴正方
?7

向开始运动.不计重力的作用,不计磁场的变化可能产生的一切其它影响

1. 试在图 2 中画出 0~20ms 时间内粒子在磁场中运动的轨迹, 并标出图 2 中纵横坐标的标度值(评分时只按图评 分,不要求写出公式或说明.) 2.在磁场变化 N 个(N 为整数)周期的时间内带电粒子的平均速度的大小等于 . 七、(25 分)如图所示,L 是一焦距为 f 的薄凸透 镜(F 与 F 为其焦点). 在透镜右侧焦点 F 处放置一曲 率半径大小为 R 的球面反射镜(其顶点位于 F 处), 透 镜和球面镜组成一轴对称的光学系统.在透镜 L 左侧 光轴上有限远处有一发光点 P,它发出的傍轴光线经 此光学系统后,恰好成像在 P 点.试在下面笫 1 和第 2 小题中填空,在第 3 小题中作图. 1.若球面镜为凹面镜,则 P 点到透镜的距离等于 ;若球面镜为凸面镜,则 P 点到透镜的距 离等于 . 2.若将一短细杆垂直于光轴放置,杆的下端位于 P 点,则此细杆经上述光学系统所成的最后的像的大小与 物的大小之比对凹面镜等于 ;对凸面镜等于 . 3.若球面镜的半径大小 R=2f,试按作图法的规范要求,画出第 2 问中短杆对上述光学系统逐次成的像及成 像光路图.(要求将凹面镜和凸面镜分别画在两张图上.评分时只按图评分,不要求写出作图理由和说明,但须 用已知量标出各个像在光轴上的具体位置.) 八、(25 分)如图所示,有一固定的、半径为 a、 内壁光滑的半球形碗(碗口处于水平位置),0 为球 心.碗内搁置一质量为 m、边长为 a 的等边三角形 均匀薄板 ABC.板的顶点以位于碗内最低点,碗的 最低点处对 A 有某种约束使顶点 A 不能滑动(板只能 绕 A 点转动). 1. 当三角形薄板达到平衡时, 求出碗对顶点 A、 B、C 的作用力的大小各为多少. 2 当板处于上述平衡状态时,若解除对 A 点的 约束, 让它能在碗的内表而上从静止开始自由滑动, 求此后三角形薄板可能具有的最大动能.
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第 25 届全国中学生物理竞赛预赛卷
1. 如图所示,两块固连在一起的物块 a 和 b,质量分别为 ma 和 mb,放在水平的光滑桌面上。现同时施给它们方 向如图所示的推力 Fa 和拉力 Fb,已知 Fa>Fb,则 a 对 b 的作用力 A. 必为推力 B. 必为拉力 C. 可能为推力,也可能为拉力 D. 可能为零 2. 用光照射处在基态的氢原子,有可能使氢原子电离。下列说法中正确的是 A. 只要光的光强足够大, 就一定可以使氢原子电离 B. 只要光的频率足够高, 就一定可以使氢原子电离 C. 只要光子的能量足够大,就一定可以使氢原子电离 D. 只要光照的时间足够长,就一定可以使氢原子电离 3. 如图所示,一 U 形光滑导轨串有一电阻 R,放置在匀强的外磁场中,导轨平面与磁场 方向垂直。一电阻可忽略不计但有一定质量的金属杆 ab 跨接在导轨上,可沿导轨方向 平移。现从静止开始对 ab 杆施以向右的恒力 F,若忽略杆和 U 形导轨的自感,则在杆 运动过程中,下列哪种说法是正确的? A. 外磁场对载流杆 ab 的作用力对 ab 杆做功,但外磁场的能量是不变的 B. 外力 F 的功总是等于电阻 R 上消耗的功 C. 外磁场对载流杆 ab 作用力的功率与电阻 R 上消耗的功率两者的大小是相等的 D. 电阻 R 上消耗的功率存在最大值 4. 如图所示,放置在升降机地板上的盛有水的容器中,插有两根相对容器的位置是固定的玻璃 管 a 和 b,管的上端都是封闭的,下端都是开口的。管内被水各封有一定质量的气体。平衡时, a 管内的水面比管外低,b 管内的水面比管外高。现令升降机从静止开始加速下降,已知在此过 程中管内气体仍被封闭在管内,且经历的过程可视为绝热过程,则在此过程中 A. a 中气体内能将增加,b 中气体内能将减少 B. a 中气体内能将减少,b 中气体内能将增加 C. a、b 中气体内能都将增加 D. a、b 中气体内能都将减少 5. 图示为由粗细均匀的细玻璃管弯曲成的“双 U 形管”,a、b、c、d 为其四段竖直的部分,其 中 a、d 上端是开口的,处在大气中。管中的水银把一段气体柱密封在 b、c 内,达到平衡时, 管内水银面的位置如图所示。现缓慢地降低气柱中气体的温度,若 c 中的水银面上升了一小段 高度 Δh,则 A. b 中的水银面也上升 Δh B. b 中的水银面也上升,但上升的高度小于 Δh C. 气柱中气体压强的减少量等于高为 Δh 的水银柱所产生的压强 D. 气柱中气体压强的减少量等于高为 2Δh 的水银柱所产生的压强 6. 图中 L 是绕在铁心上的线圈,它与电阻 R、R0、电键和电池 E 可构成闭合回路。线圈上的 箭头表示线圈中电流的正方向,当电流的流向与箭头所示的方向相同时,该电流为正,否则 为负。电键 K1 和 K2 都处在断开状态。设在 t=0 时刻,接通电键 K1,经过一段时间,在 t=tl 时刻,再接通电键 K2, 则能较正确地表示 L 中的电流 I 随时间 t 变化的图线是下面给出的四个图中的哪个图?

A. 图 l

B. 图 2

C. 图 3

D. 图 4

7. (8 分)为了估算水库中水的体积,可取一瓶无毒的放射性同位素的水溶液,测得瓶内溶液每分钟衰变 6×107 次,已知这种同位素的半衰期为 2 天。现将这瓶溶液倒入水库,8 天后可以认为溶液已均匀分布在水库中,这时 取 1.0m3 水库中的水样,测得水样每分钟衰变 20 次。由此可知水库中水的体积约为________________m3。

8. (8 分)在一条笔直的公路上依次设置三盏交通信号灯 L1、L2 和 L3,L2 与 L1 相距 80m,L3 与 L1 相距 120m。每 盏信号灯显示绿色的时间间隔都是 20s,显示红色的时间间隔都是 40s。L1 与 L3 同时显示绿色,L2 则在 L1 显示红 色经历了 10s 时开始显示绿色。 规定车辆通过三盏信号灯经历的时间不得超过 150s。 若有一辆匀速向前行驶的汽 车通过 L1 的时刻正好是 L1 刚开始显示绿色的时刻,则此汽车能不停顿地通过三盏信号灯的最大速率______m/s。
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若一辆匀速向前行驶的自行车通过 L1 的时刻是 L1 显示绿色经历了 10s 的时刻,则此自行车能不停顿地通过三盏 信号灯的最小速率是________________m/s。

9. (8 分)位于水平光滑桌面上的 n 个完全相同的小物块,沿一条直线排列,相邻小物块间都存在一定的距离。 自左向右起,第 1 个小物块标记为 P1,第 2 个小物块标记为 P2,第 3 个小物块标记为 P3,……,最后一个小物块 即最右边的小物块标记为 Pn。现设法同时给每个小物块一个方向都向右但大小各不相同的速度,其中最大的速 度记作 v1,最小的速度记作 vn,介于最大速度和最小速度间的各速度由大到小依次记为 v2、v3、…、vn?1。若当小 物块发生碰撞时,碰撞都是弹性正碰,且碰撞时间极短,则最终小物块 P1、P2、P3、…、Pn。速度的大小依次为 ________________________________________________。 10. (11 分)有两块无限大的均匀带电平面,一块带正电,一块带负电,单位面 积所带电荷量的数值相等。现把两带电平面正交放置如图所示。图中直线 A1B1 和 A2B2 分别为带正电的平面和带负电的平面与纸面正交的交线, 为两交线的交 O 点。 (i)试根据每块无限大均匀带电平面产生的电场 (场强和电势) 具有对称性的特点, 并取 O 点作为电势的零点,在右面给的整个图上画出电场(正、负电荷产生的总 电场)中电势分别为 0、1V、2V、3V、?1V、?2V 和?3V 的等势面与纸面的交线的 示意图,并标出每个等势面的电势。 (ii)若每个带电平面单独产生的电场的场强是 E0=1.0V/m,则可求出(i)中相邻两 等势面间的距离 d=________________________________。

11. (10 分)一列简谐横波在 x 轴上传播(振动位移沿 y 轴)。已知 x=12cm 处的质元的振动图线如图 1 所示, x=18cm 处的质元的振动图线如图 2 所示。根据这两条振动图线,可获得关于这列简谐横波的确定的和可能的信 息(如频率、波速、波长等)是哪些? ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 12. (8 分)一座平顶房屋,顶的面积 S=40m2。第一次连续下了 t=24 小时的雨,雨滴沿竖直 方向以 v=5.0m/s 的速度落到屋顶,假定雨滴撞击屋顶的时间极短且不反弹,并立即流走。第 二次气温在摄氏零下若干度,而且是下冻雨,也下了 24 小时,全部冻雨落到屋顶便都结成冰 并留在屋顶上, 测得冰层的厚度 d=25mm。 已知两次下雨的雨量相等, 冰的密度为 9×102kg/m3。 由以上数据可估算得第二次下的冻雨结成的冰对屋顶的压力为_______N,第一次下雨过程 中,雨对屋顶的撞击使整个屋顶受到的压力为_______N。 13.(10 分) 在示波器的 YY'偏转电极上, 加电压 u1=U0sin2πνt, 式中 ν=50Hz。 同时在示波器的 XX'偏转电极上加如图 1 所示的锯齿波电压 u2,试在图 2 中画出荧光屏上显示出的图线。如果由于某种原因,此图线很缓慢地向右 移动,则其原因是 _____________________________________________________________ _____________________________________________________。 14. (14 分) 一电流表, 其内阻 Rg=10.0Ω, 如果将它与一阻值 R0=44990Ω 的定值电阻串联, 便可成为一量程 U0=50V 的电压表。现把此电流表改装成一块双量程的电压表,两个量程分别为 U01=5V 和 U02=10V。当用此电压表的 5V 挡去测量一直流电源两端的电压时, 电压表的示数为 4.50V; 当用此电压表的 10V 挡去测量该电源两端的电压时, 电压表的示数为 4.80V。问此电源的电动势为多少 15. (12 分)为训练宇航员能在失重状态下工作和生活,需要创造一种失重的环境。在地球表面附近,当飞机模 拟某些在重力作用下的运动时,就可以在飞机座舱内实现短时间的完全失重状态。现要求一架飞机在速率为 v1=500m/s 时进入失重状态试验,在速率为 v2=1000m/s 时退出失重状态试验。重力加速度 g=10m/s2。试问: (i)在上述给定的速率要求下,该飞机需要模拟何种运动,方可在一定范围内任意选择失重时间的长短?试定 量讨论影响失重时间长短的因素。 (ii)飞机模拟这种运动时,可选择的失重状态的时间范围是多少? 16. (12 分)假定月球绕地球作圆周运动,地球绕太阳也作圆周运动,且轨道都在同一平面内。已知地球表面处
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的重力加速度 g=9.80m/s2,地球半径 R0=6.37×106m,月球质量 mm=7.3×1022kg,月球半径 Rm=1.7×106m,引力恒 量 G=6.67×10?11N· 2/kg2,月心地心间的距离约为 rem=3.84×108m m (i)月球的球心绕地球的球心运动一周需多少天? (ii)地球上的观察者相继两次看到满月需多少天? (iii)若忽略月球绕地球的运动,设想从地球表面发射一枚火箭直接射向月球,试估算火箭到达月球表面时的速度 至少为多少(结果要求两位数字)? 17. (12 分) 如图所示, 和 2 是放在水平地面上的两个小物块 1 (可视为质点) , 与地面的滑动摩擦系数相同, 两物块间的距离 d=170.00m, 它们的质量分别为 m1=2.00kg、m2=3.00kg。现令它们分别以初速度 v1=10.00m/s 和 v2=2.00m/s 迎 向运动,经过时间 t=20.0s,两物块相碰,碰撞时间极短,碰后两者粘在一起 运动。求从刚碰后到停止运动过程中损失的机械能。 18. (11 分)磅秤由底座、载物平台 Q、杠杆系统及硅码组成,图示为其等效的在 竖直平面内的截面图。Q 是一块水平放置的铁板,通过两侧的竖直铁板 H 和 K 压在 E、B 处的刀口上。杠杆系统由横杆 DEF、ABCP 和竖杆 CF、MP 以及横梁 MON 组成, 另有两个位于 A、D 处的刀口分别压在磅秤的底座上(Q、K、H、E、B、A、D 沿垂直于纸面的方向都有一定的长 度,图中为其断面)。C、F、M、N、O、P 都是转轴,其中 O 被位于顶部并与磅秤底座固连的支架 OL 吊住,所 以转轴 O 不能发生移动,磅秤设计时,已做到当载物平台上不放任何待秤物品、游码 S 位于左侧零刻度处、砝 码挂钩上砝码为零时,横梁 MON 处于水平状态,这时横杆 DEF、ABCP 亦是水平的,而竖杆 CF、MP 则是竖直的。 当重为 W 的待秤物品放在载物平台 Q 上时,用 W1 表示 B 处刀口增加的压力,W2 表示 E 处刀口增加的压力,由 于杠杆系统的调节,横梁 MON 失去平衡,偏离水平位置。适当增加砝码 G 或移动游码 S 的位置,可使横梁 MON 恢复平衡,回到水平位置。待秤物品的重量(质量)可由砝码数值及游码的位置确定。为了保证待秤物品放在载 物台上不同位置时磅秤都能显示出相同的结果,在设计时,AB、DE、AC、DF 之间应满足怎样的关系? 19. (11 分)如图所示,一细长的圆柱形均匀玻璃棒,其一个端面是平面(垂直于轴线),另一个端面是球面, 球心位于轴线上。现有一很细的光束沿平行于轴线方向且很靠近轴线入射。当光从平端面射入棒内时,光线从另 一端面射出后与轴线的交点到球面的距离为 a;当光线从球形端面射入棒内时,光线在棒内与轴线的交点到球面 的距离为 b。试近似地求出玻璃的折射率 n。

20. (13 分)光子不仅具有能量,而且还具有动量,频率为 ν 的光子的能量为 hν,动量

hν ,式中 h 为普朗克常 c

量,c 为光速。光子射到物体表面时将产生压力作用,这就是光压。设想有一宇宙尘埃,可视为一半径 R=10.0cm 的小球,其材料与地球的相同,它到太阳的距离与地球到太阳的距离相等。试计算太阳辐射对此尘埃作用力的大 小与太阳对它万有引力大小的比值。假定太阳辐射射到尘埃时被尘埃全部吸收。已知:地球绕太阳的运动可视为 圆周运动,太阳辐射在单位时间内射到位于地球轨道处的、垂直于太阳光线方向的单位面积上的辐射能 S=1.37×103W/m2 ,地球到太阳中心的距离 rse=1.5×1011m,地球表面附近的重力加速度 g=10m/s2 ,地球半径 Re=6.4×106m,引力恒量 G=6.67×10?11N· 2/kg2。 m 21. (16 分)设空间存在三个相互垂直的已知场:电场强度为 E 的匀强电场,磁感应强度为 B 的匀强磁场和重力 加速度为 g 的重力场。一质量为 m、电荷量为 q 的带正电的质点在此空间运动,已知在运动过程中,质点速度的 大小恒定不变。 (i)试通过论证,说明此质点作何种运动(不必求出运动的轨迹方程)。 (ii)若在某一时刻,电场和磁场突然全部消失,已知此后该质点在运动过程中的最小动能为其初始动能(即电场和 磁场刚要消失时的动能)的一半,试求在电场、磁场刚要消失时刻该质点的速度在三个场方向的分量。

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第 25 届全国中学生物理竞赛预赛卷 参考解答与评分标准
一、选择题(36 分)答案: 1. CD 2. BC 3. ACD 4. B 5. AD 6. A 评分标准:每小题 6 分。全都选对的得 6 分,选对但不全的得 3 分,有选错或不 答的得 0 分。 二、填空题及作图题答案及评分标准 7. 1.9×105(8 分) 8. 2(4 分)、

12 (4 分) 13

9. vn、vn?1、?、v3、v2、v1。(8 分) 10. (i)如图所示(8 分) (ii)

2 m (3 分) 2
1 ?1 s (2 分) 12

11. (1)振幅 A=4cm(2 分) (2)周期 T=12s,或频率 ν ?

(3) 若波沿正 x 方向传播, 则此波可能的最大的传播速度 vm ?

2 2 cm / s , 其他可能的传播速度为 vn ? cm / s , 3 3 ? 4n

24 cm ,n=1,2,3,?(3 分) 3 ? 4n 2 (4)若波沿负 x 方向传播,则此波可能的最大的传播速度 vm=2cm/s,其他可能的传播速度为 vn ? cm / s , 1 ? 4n
n=1,2,3,?;此波可能的最大波长为 λ=8cm,其他可能的波长为 λn ? n=1,2,3,?;此波可能的最大波长为 λ=24cm,其他可能的波长为 λn ?

24 cm ,n=1, 1 ? 4n

2,3,?(3 分) 12. 9×103(2 分)0.058(6 分) 13. 如图(6 分) 锯齿波的周期不正好等于正弦波周期的 2 倍,而是稍小一点。(4 分) 三、计算题 14. 参考解答: 设电流表的量程为 Ig,当电流表与定值电阻 R0 串联改装成电压表时,此电压表的内阻

? R0 ? Rg ? R0
由于此电压表的量程 U 0 ? 50V ,故有

(1)

? I g R0 ? U 0
由(1)(2)两式得 、

(2)

Ig ?
即电流表的量程为 1.11mA.

U0 ? 1.11? 10?3 A Rg ? R0

(3)

电流表改装成的双量程电压表的电路如图所示,图中 R1 和 R2 是为把

A

? 电流表改装成双量程电压表必须串联的电阻,其值待求.用 R1 表示电压表

+

A

Rg

R1

R2

5V

10V

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量程 U 01 ? 5V 挡的内阻,则有

? R1 ? Rg ? R1


(4)

? I g R1 ? U 01
由(3)(5)式得 、

(5)

? R1 ?

U 01 ? ?.50 ? ??? Ω Ig

(6)

同理得电压表量程 U 02 ? 10V 挡的内阻

? R2 ? Rg ? R1 ? R2 ?

U 02 ? 9.?? ? ??? ? Ig

(7)

设电源的电动势为 E,内阻为 r,当用电压表的 5V 挡测电源两端的电压时,电压表的 示数为 U 1 ,已知 U1 ? 4.50V ,设此时通过电压表的电流为 I 1 ,有

U1 ? I1r ? E ? U1 ? I1 R1

(8) (9)

当用电压表的 10V 挡测量该电源两端的电压时,电压表的示数为 U 2 ,己知 U 2 ? 4.80V ,设此时通过电压表的 电流为 I 2 ,有

U2 ? I 2r ? E ? U 2 ? I 2 R2
解(8)(9)(10)(11)式,并注意到(6)(7)式得 、 、 、 、

(10) (11)

E ? 5.14V

(12)

评分标准: 本题 14 分.(3)式 3 分, (6)式 2 分, (7)式 2 分, (8)式、 (9)式、 (10)式、 (11)式共 4 分, (12)式 3 分. 15. 参考解答: (i)当飞机作加速度的大小为重力加速度 g,加速度的方向竖直向下的运动时,座舱内 的试验者便处于完全失重状态。 这种运动可以是飞机模拟无阻力下的自由落体运动或 竖直上抛运动,也可以是斜抛运动。当进入试验的速率和退出试验的速率确定后,飞 机模拟前两种运动时,失重时间的长短都是一定的、不可选择的。当飞机模拟无阻力 作用下的斜抛运动时,失重时间的长短与抛射角有关,可在一定范围内进行选择。 考察飞机模拟无阻力作用下的斜抛运动。设开始试验时飞机的初速度的大小为 v1,方 向与水平方向成 θ 角,起始位置为 A 点,经做抛物线运动在 B 点退出试验,如图所 示。以 t 表示试验经历的时间,在退出试验时的速率为 v2,则有 v2x=v1cosθ (1) v2y=v1sinθ?gt (2) 而 v2 ? v2 x ? v2 y
2 2 2

(3)
2 2 2 2

由(1)、(2)、(3)式得 g t ? 2v1 gt sin θ ? v1 ? v2 ? 0

(4)
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2 v1 sin θ ? v12 sin 2 θ ? (v2 ? v12 ) 解(4)式得 t ? g

(5)

由(5)式可知,当进入试验时飞机的速度 v1 和退出试验时飞机的速度 v2 确定以后,失重时间的长短可通过角 θ 来 调节。 (ii)当 θ=90°时失重时间最长,由(5)式可求得最长失重时间 tmax=150s (6) 当 θ=?90°时,失重时间最短,由(5)式可求得最短失重时间 tmin=50s (7) 失重时间的调节范围在 150s 到 50s 之间。 评分标准:本题 12 分。第(i)小问 8 分。指明斜抛运动得 2 分,求得(5)式并指出失重时间的长短可通过角 θ 来调 节得 6 分。第(ii)小问 4 分。求得(6)式得 2 分,求得(7)式得 2 分。 16. 参考解答: (i)月球在地球引力作用下绕地心作圆周运动,设地球的质量为 me,月球绕地心作圆周运动的角速度为 ωm,由万 有引力定律和牛顿定律有 G 另有 G

me mm 2 ? mm remωm 2 rem

(1) (2)

me ?g Re2
2π ωm
3 rem gRe2

月球绕地球一周的时间 Tm ?

(3)

解(1)、(2)、(3)三式得 Tm ? 2π

(4) (5)

代入有关数据得 Tm=2.37×106s=27.4 天 (ii)满月是当月球、地球、太阳成一条直线时才有的,此时地球在月球和太 阳之间,即图中 A 的位置。当第二个满月时,由于地球绕太阳的运动,地 球的位置已运动到 A'。若以 T'm 表示相继两次满月经历的时间,ωe 表示地 球绕太阳运动的角速度,由于 ωe 和 ωm 的方向相同,故有 ωmT'm=2π+ωeT'm (6) 而 ωm ?

2π Tm

(7) (8)

ωe ?

2π Te TeTm Te ? Tm

式中 Te 为地球绕太阳运动的周期,Te=365 天。由(6)、(7)、(8)三式得

T'm ?

(9)

注意到(5)式,得 T'm=29.6 天 (10) (iii)从地面射向月球的火箭一方面受到地球的引力作用,另一方面也受到月球引力的作用。当火箭离地球较近时, 地球的引力大于月球的引力;当离月球较近时,月球的引力大于地球的引力。作地心和月心的连线,设在地月间 某一点 O 处,地球作用于火箭的引力的大小正好等于月球作用于火箭的引力大小。以 r 表示 O 点到月球中心的 距离,则有

G

me m m m ? G m2 2 (rem ? r ) r

(11)

式中 m 是火箭的质量。由(11)式得 (

me 2 ? 1)r 2 ? 2remr ? rem ? 0 mm

(12)

解(12)式,注意到(2)式,代入有关数据,得 r=3.8×107m (13) 从地球表面发射直接射向月球的火箭只要能到达 O 点,则过 O 点后,因月球引力大于地球引力,它便能在月球 引力作用下到达月球,这样发射时火箭离开地面时的速度最小,它到达月球时的速度也最小。设火箭刚到达月球 时的最小速度为 v,则由机械能守恒定律有

?G

me m me m m m m m 1 ? G m ? ?G ? G m ? m v2 rem ? r r rem ? Rm Rm 2

(14)

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解得 v ?

2Gme (

1 1 1 1 ? ) ? 2Gmm ( ? ) rem ? Rm rem ? r Rm r

(15)

注意到(2)式,代入有关数据得 v=2.3×103m/s (16) 评分标准:第(i)小问 3 分。求得(4)式得 2 分,求得(5)式得 1 分。第(ii)小问 3 分。求得(9)式得 2 分,求得(10)式得 1 分。第(iii)小问 6 分。(11)式 2 分,(14)式得 2 分,(16)式 2 分。 17. 参考解答: 因两物块与地面间的滑动摩擦系数相同, 故它们在摩擦力作用下加速度的大小是相同的, a 表示此加速度的大 以 小。先假定在时间 t 内,两物块始终作减速运动,都未停下。现分别以 s1 和 s2 表示它们走的路程,则有

1 s1 ? v1t ? at 2 2 1 s2 ? v2t ? at 2 2

(1) (2)

而 s1+s2=d (3) 2 解(1)、(2)、(3)三式并代入有关数据得 a=0.175m/s (4) 经过时间 t,两物块的速度分别为 v'1=v1?at (5) v'2=v2?at (6) 代入有关数据得 v'1=6.5m/s (7) v'2=?1.5m/s (8) v'2 为负值是不合理的,因为物块是在摩擦力作用下作减速运动,当速度减少至零时,摩擦力消失,加速度不复 存在,v'2 不可为负。v'2 为负,表明物块 2 经历的时间小于 t 时已经停止运动,(2)式从而(4)、(6)、(7)、(8)式都不
2 v2 成立。在时间 t 内,物块 2 停止运动前滑行的路程应是 s2 ? 2a

(9) (10) (11) (12) (13) (14) (15)

解(1)、(9)、(3)式,代入有关数据得 a=0.20m/s2 由(5)、(10)式求得刚要发生碰撞时物块 1 的速度 v'1=6.0m/s 而物块 2 的速度 v'2=0 设 V 为两物块碰撞后的速度,由动量守恒定律有 m1v'1=(m1+m2)V 刚碰后到停止运动过程中损失的机械能 ΔE ? 由(13)、(14)得 ΔE ?

1 (m1 ? m2 )V 2 2

1 m12v'12 2 m1 ? m2

代入有关数据得 ΔE=14.4J (16) 评分标准:本题 12 分。通过定量论证得到(9)式共 4 分,求得(11)式得 4 分,(13)式 1 分,(14)式 1 分,(15)式 1 分,(16)式 1 分。 18. 参考解答: 根据题意,通过增加砝码和调节游码的位置使磅秤恢复平衡,这时横梁 MON、横杆 ABCP、DEF 以及载物台 Q 都 是水平的,竖杆 MP、CF 都是竖直的。B、E 处的刀口增加的压力分别为 W1 和 W2,它们与待秤量物体的重量 W 的关系为 W=W1+W2 (1) W1 与 W2 之和是确定的,但 W1、W2 的大小与物品放置在载物台上的位置有关。对于横杆 DEF,它在 E 点受到向 下作用力(为了叙述简单,下面所说的作用力皆指载物后增加的作用力)的大小 W2,设在 F 点受到向上作用力 的大小为 W'2,平衡时有 W2· DE=W'2· DF (2) 对横杆 ABCP,在 B 点受到向下作用力的大小为 W1,在 C 点受到向下的作用力的大小为 W'2,设在 P 点受到向上 的作用力的大小为 W3,平衡时有 W3· AP=W1· AB+W'2· AC (3) 由以上三式得 W3 ? AP ? W ? AC ?

DE DE ? W1 ? ( AB ? AC ) DF DF

(4)

要使重物在平台上的位置不影响的 W3 大小,就必需要求 W3 与 W1 无关,即有

AB ? AC

DE ?0 DF
AB DE ? AC DF

(5) (6)
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即 AB、DE、AC、DF 应满足的关系为

评分标准:本题 11 分。(1)式 2 分,(2)式 2 分,(3)式 2 分,(4)式 3 分,(5)式或(6)式 2 分。

19. 参考解答:

入射的两条光线如图所示。α1、β1 是从平端入射的光线通过球形端面时的入射角和折射角;α2、β2 是从球形端面 入射的光线通过球面时的入射角和折射角。根据折射定律有 nsinα1=sinβ1 (1) sinα2=nsinβ2 (2) 由几何关系有 β1=α1+δ1 (3) α2=β2+δ2 (4) 设球面的半径为 R,注意到 α1、α2、δ1、δ2 都是小角度,故有 Rα1=aδ1 (5) Rα2=bδ2 (6) 根据题给的条件,(1)、(2)式可近似表示成 nα1=β1 (7) α2=nβ2 (8) 由(3)式?(8)式得 n ?

b a

(9)

评分标准:本题 11 分。(1)式 1 分,(2)式 1 分,(3)式 1 分,(4)式 1 分,(5)式 1 分,(6)式 1 分,(7)式 1 分,(8)式 1 分,(9)式 3 分。 20. 参考解答: 设宇宙尘埃的质量为 m,太阳的质量为 M,则太阳作用于尘埃的万有引力

f ?G

Mm 2 rse
4 3 πR ρ 3

(1) (2) (3)

设地球的密度为 ρ,地球的质量为 me,按题意有 m ?

4 3 πRe 3 me 另有 G 2 ? g Re Mm 2π 2 和 G 2 e ? me ( ) rse rse T

ρ?

me

(4) (5)

式中 T 为地球绕太阳作圆周运动的周期, T=365×24×60×60s=3.15×107s。 由(1)、 (3)、 (5)式得 f ? (2)、 (4)、

gR3 2π 2 ( ) rse GRe T

(6) 太阳辐射中含有各种频率的光子, 设单位时间内, 射到尘埃所在处的与太阳辐射垂直的单位面积上频率为 νi 的光 子数为 Ni,根据 S 的定义有 S ?

? N hν
i i

i

(7)

光子不仅具有能量,还具有动量。由题意可知频率为 νi 的光子动量 pi ? 光子射到尘埃表面被尘埃吸收,故光子作用于尘埃的冲量 ΔIi=pi 单位时间内射到尘埃单位面积上的各种频率的光子对尘埃的总冲量

hνi c

(8) (9) (10)

ΔI ? ? Ni ΔI i ? ? Ni pi
i i

ΔI 也就是压强。由于尘埃的表面是球面,球面上各部分并不都与太阳辐射垂直,但射到球面上的光辐射与射到与 太阳辐射相垂直的球的大圆面上的光辐射是相等的,故太阳辐射作用于尘埃的力 F=πR2ΔI (11)

πR2 S 由(7)式?(11)式得 F ? c

(12)

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由(6)式和(12)式得 带入有关数据得

F GRe ST 2 ? f 4πgRcr se

(13) (14)

F ? 1.0 ?10?6 f

评分标准:本题 13 分。求得(6)式得 4 分,求得(12)式得 7 分,求得(13)式得 1 分,求得(14)式得 1 分。 21. 参考解答: (i)在空间取如图所示的直角坐标 Oxyz,Ox 轴沿电场方向,Oy 轴沿磁场方向, Oz 轴与重力方向相反。因为磁场作用于质点的洛仑兹力与磁场方向垂直,即在 Oxz 平面内;作用于质点的电场力和重力也在 Oxz 平面内,故质点在 y 方向不受 力作用,其速度沿 y 方向的分速度的大小和方向都是不变的。根据题意,质点 速度的大小是恒定不变的,而磁场作用于质点的洛仑兹力对质点不做功,故质 点的速度沿垂直磁场方向的分速度的大小一定也是恒定不变的,故此分速度必 须与电场力和重力的合力垂直。由于电场力和重力的合力的方向是不变的,故 此分速度的方向也是不变的。由此可得到结论:质点速度的方向也是不变的, 即质点在给定的场中做匀速直线运动,其轨迹是直线,在 Oxz 平面内,与电场力和重力的合力垂直。 (ii)质点作匀速直线运动表明电场、磁场和重力场对质点作用力的合力 F 等于 0。设存在电场、磁场时质点速度的 大小为 v0,它在坐标系中的三个分量分别为 v0x、v0y 和 v0z,这也就是在电场、磁场刚要消失时质点的速度在三个 场方向的分量,以 Fx、Fy 和 Fz 分别表示 F 在坐标标系中的分量,则有 Fx=qE?qv0zB=0 (1) Fy=0 (2) Fz=?mg+qv0xB=0 (3) 由(1)、(3)式得 v0 z ?

E B

(4) (5)
2 2 2 2

v0 x ?

mg qB

若知道了粒子的速率 v0,粒子速度的 y 分量为 v0 y ? v0 ? v0 x ? v0 z 因为电场和磁场消失后,粒子仅在重力作用下运动,任何时刻 t 质点的速度为 vx=v0x vy=v0y vz=v0z?gt 当 vx 等于 0 时,粒子的动能最小,这最小动能 Ek min ?

(6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13)

1 2 2 m(v0 x ? v0 y ) 2

1 1 2 ( mv 0 ) 2 2 2 2 2 由(10)、(11)式得 v0 ? 2(v0 x ? v0 y )
根据题意有 Ek min ? 由(4)、(5)、(6)、(12)各式得 v0 y ?

1 (qE) 2 ? (m g) 2 qB

评分标准:本题 16 分。第(i)小问 4 分。通过论证得到质点作匀速直线运动的结论得 4 分。第(ii)小问 12 分。(4) 式 3 分,(5)式 3 分,求得(13)式 6 分。

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第 26 届全国中学生物理竞赛预赛试卷
一、选择题。本题共 5 小题,每小题 7 分。选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分。 1.图中 a、b 和 c、d 分别是两个平行板电容器的极板,E 为电池,彼此相距较远。用导线 a c 将 E 的正极与 a、c 相连,将 E 的负极与 b、d 相连,待电容器充电后,去掉导线。这时已 + E 知 a 带的电荷量大于 c 带的电荷量,称此状态为原始状态。现设想用两根导线分别都从原 d b 始状态出发,进行以下两次连接:第一次用一根导线将 a、c 相连,用另一根导线将 b、d 相连;第二次用一根导线将 a、d 相连,用另一根导线将 b、c 相连,每次连接后都随即移 去导线。下面哪种说法是正确的?[ ] A.经过第一次连接,a、b 间的电压下降,c、d 间的电压上升 B.经过第一次连接,a、b 间和 c、d 间的电压都不变 C.经过第二次连接,a、b 间的电压和 c、d 间的电压中有一个上升,一个下降 D.经过第二次连接,a、b 间的电压和 c、d 间的电压都下降 2.两根不同金属导体制成的长度相等、横截面积相同的圆柱形杆,串联后接在某一直流电源两端,如图所示。 已知杆 a 的质量小于杆 b 的质量,杆 a 金属的摩尔质量小于杆 b 金属的摩尔质量,杆 a 的电阻大于杆 b 的电阻, 假设每种金属的每个原子都提供相同数目的自由电子(载流子) 。当电流达到稳恒时,若 a、b 内存在电场,则该 电场可视为均匀电场。下面结论中正确的是[ ] A.两杆内的电场强度都等于零 a b B.两杆内的电场强度都不等于零,且 a 内的场强大于 b 内的场强 C.两杆内载流子定向运动的速度一定相等 D.a 内载流子定向运动的速度一定大于 b 内载流子定向运动的速度 3.一根内径均匀、两端开中的细长玻璃管,竖直插在水中,管的一部分在水面上。现用手指封住管的上端,把 一定量的空气密封在玻璃管中,以 V0 表示其体积;然后把玻璃管沿竖直方向提出水面,设此时封在玻璃管中的 气体体积为 V1;最后把玻璃管在竖直平面内转过 900,让玻璃管处于水平位置,设此时封在玻璃管中的气体体积 为 V2。则有 A.V1>V0≥V2B。V1>V0>V2C。V1=V2>V0D。V1>V0,V2>V0 4.一块足够长的白板,位于水平桌面上,处于静止状态。一石墨块(可视为质点)静止在白板上。石墨块与白 板间有磨擦,滑动磨擦系数为μ 。突然,使白板以恒定的速度做匀速直线运动,石墨块将在板上划下黑色痕迹。 经过某一时间 t,令白板突然停下,以后不再运动。在最后石墨块也不再运动时,白板上黑色痕迹的长度可能是 (已知重力加速度为 g,不计石墨与板磨擦划痕过程中损失的质量) 。[ ] A.
2 v0 2 ?g

B. v0 t

C。v0 t—

1 μ gt2 2

D。

2 v0 ?g

5. 如图 1 所示, 一个电容为 C 的理想电容器与两个阻值皆为 R 的电阻串联后通过 电键 K 连接在电动势为 E 的直流电源的两端,电源的内电阻忽略不计,电键 K 是 断开的。在 t=0 时刻,闭合电键 K,接通电路。在图 2 中给出了六种电压 V 随时 间 t 变化的图线 a、b、c、d、e、f,现从其中选取出三种图线用来表示图 1 所示 电路上 1、2、3、4 四点中某两点间的电压随时间 t 的变化,下面四个选项中正确 的是[ ] V E O a t V E O b t V E O c t

E 1 R 2 C 3 V E O R

K

4

V E O d t

V E O e t

图1

f

t

A.a、b、f B。a、e、f C。b、d、e D。c、d、e 二、填空题和作图题。把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方。只要给出结果,不需写出求得结 果的过程。
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6. 分)传统的雷达天线依靠转动天线来搜索空中各个方向的目标,这严重影响了搜索的速度。现代的“雷达” (8 是“相位控制阵列雷达” ,它是由数以万计的只有几厘米或更小的小天线按一定的顺序排列成的天线阵,小天线 发出相干的电磁波,其初相位可通过电子计算机调节,从而可改变空间干涉极强的方位,这就起了快速扫描搜索 空中各个方向目标的作用对下的简单模型的研究,有助于了解改变相干波的初相位差对空间干涉级强方位的影 响。 a 图中 a、b 为相邻两个小天线,间距为 d,发出波长为λ 的相干电磁波。Ox 轴通过 a、 b 的中点且垂直于 a、b 的连线。若已知当 a、b 发出的电磁波在 a、b 处的初相位相 x θ d O 同即相位差为 0 时,将在与 x 轴成θ 角(θ 很小)方向的远处形成干涉级强,现设 法改变 a、b 发出的电磁波的初相位,使 b 的初相位比 a 的落后一个小量 φ ,结果, b 原来相干极强的方向将从θ 变为θ ,则θ —θ 等于______________________。 7. 分)He—Ne 激光器产生的波长为 6。33×10-7m 的谱线是 Ne 原子从激发态能级(用 E1 表示)向能量较低 (8 的激发态能级(用 E2 表示)跃迁时发生的;波长为 3。39×10-6m 的谱线是 Ne 原子从能级 E1 向能量较低的激发 态能级(用 E3 表示)跃迁时发生的。已知普朗克常量 h 与光速 c 的乘积 hc=1。24×10-6m ? eV。由此可知 Ne 的 激发态能级 E3 与 E2 的能量差为________________eV。 8. 分)一列简谐横波沿 x 轴负方向传播,传播速度 v=200m/s。已知位于坐标原点(x=0)处的质元的振动图 (8 线如图 1 所示。试在图 2 中画出 t=40ms 时该简谐波的波形图线(不少于一个波长) 。 y/mm 60 40 20 20 40 60 80 100 120 140 160 t/ms y/mm 60 40 20 4 8 12 16 20 24 28 32 x/m
“ “

9. 分)图于为某一圆形水池的示意图(竖直截面) (8 。AB 为池中水面的 B 直径, 为水池底面的直径, 为圆形池底的圆心。 MN O 已知 ON 为 11。 4m, A AM、BN 为斜坡,池中水深 5。00m 水的折射率为 4/3。水的透明度极好, c 不考虑水的吸收。图中 a、b、c、d 为四个发光点,天空是蓝色的,水面 M a b N O 是平的。在池底中心处有一凹槽,一潜水员仰卧其中,他的眼睛位于 O 处,仰视水面的最大范围的直径为 AB。 (i)潜水员仰视时所看到的蓝天图象对他的眼睛所张的视角为__________________。 (ii) 四个发光点 a、 c、 中, b、 d 其发出的光能通过全反射到过潜水员的眼睛的是____________________________。 三、计算题。解答应写出必要的文字说明、方程式的重要的演算步骤。只写出最后结果的不能得分。有数值计 算的,答案中必须明确写出数值和单位。 10. 分)试分析下面两个实验操作中的误差(或失误)对实验结果的影响。 (9 (i)用“插针法”测量玻璃的折射率时,要先将透明面平行的玻璃砖放置在铺平的白纸上,然 后紧贴玻璃砖的两个透明面,分别画出两条直线,在实验中便以这两条直线间的距离作为透明 面之间的距离。如果由于操作中的误差,使所画的两条直线间的距离大于玻璃砖两透明面间的 实际距离,问这样的测得的折射率与实际值相比,是偏大,偏小,还是相同?试给出简要论证。 (ii)在用单摆测量重力加速度 g 时,由于操作失误,致使摆球不在同一竖直平面内运动,而 是在一个水平面内作圆周运动,如图所示。这时如果没出摆球作这种运动的周期,仍用单摆的 周期公式求出重力加速度,部这样求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比,哪个大?试定量比较。 11. 分)现有以下器材:电流表一只(量程适当。内阻可忽略不计。带有按钮开关 k1,按下按钮电流表与电 (8 路接通,有电流通过电流表,电流表显出一定的读数) ,阻值已知为 R 的固定电阻一个,阻值未知的待测电阻 Rx 一个,直流电源一个(电动势 ? 和内阻 r 待测) ,单刀双掷开关 K 一个,接线用的导线若干。
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试设计一个实验电路,用它既能测量直流电源的电动势 ? 和内阻 r,又能测量待测电阻的阻值 Rx(注意:此电路 接好后,在测量过程中不许再拆开,只许操作开关,读取数据) 。具体要求: ()画出所设计的电路图。 ()写出测量 ? 、r 和 Rx 主要的实验步骤。 ()导出用已知量和实验中测量出的量表示的 ? 、r 和 Rx 表达式。 12(18 分)一静止的原子核 A 发生α 衰变后变成原子核 B,已知原子核 A、原子核 B 和α 粒子的质量分别为 mA, mB 和 mα ,光速为 c(不考虑质量与速度有关的相对论效应) ,求衰变后原子核 B 和α 粒子的动能。 13. (18 分)近代的材料生长和微加工技术,可制造出一种使电子的运动限制在半导体的 4 一个平面内(二维)的微结构器件,且可做到电子在器件中像子弹一样飞行,不受杂质 3 1 原子射散的影响。这种特点可望有新的应用价值。图 1 所示为四端十字形二维电子气半 2 导体,当电流从 1 端进入时,通过控制磁场的作用,可使电流从 2,3,或 4 端流出。 对下面摸拟结构的研究, 有助于理解电流在上述四端十字形导体中的流动。 在图 2 中, a、 b、c、d 为四根半径都为 R 的圆柱体的横截面,彼此靠得很近,形成四个宽度极 a 窄的狭缝 1、2、34,在这此狭缝和四个圆柱所包围的空间(设为真空)存在匀 d 4 强磁场,磁场方向垂直于纸面指向纸里。以 B 表示磁感应强度的大小。一个质 V0 1 量为 m、电荷量为 q 的带正电的粒子,在纸面内以速度 v0 沿与 a、b 都相切的方 3 向由缝 1 射入磁场内,设粒子与圆柱表面只发生一次碰撞,碰撞是弹性的,碰 2 撞时间极短,且碰撞不改变粒子的电荷量,也不受磨擦力作用。试求 B 为何值 b c 时,该粒子能从缝 2 处且沿与 b、c 都相切的方向射出。 14. (20 分)如图所示,M1N1N2M2 是位于光滑水平桌面上的刚性 U 型金属导轨, 导轨中接有阻值为 R 的电阻,它们的质量为 m0。导轨的两条轨道间的距 离为 l。PQ 是质量为 m 的金属杆,可在轨道上滑动,滑动时保持与轨道 P N1 M1 垂直,杆与轨道的接触是粗糙的,杆与导轨的电阻均不计。初始时,杆 F PQ 位于图中的虚线处,虚线的右侧为一匀强磁场区域,磁场方向垂直于 R 桌面,磁感应强度的大小为 B。现有一位于导轨平面内的与轨道平行的恒 M2 力 F 作用于 PQ 上,使之从静止开始的轨道上向右作加速运动。已知经过 N2 Q 时间 t,PQ 离开虚线的距离为 x,此时通过电阻的电流为 I0,导轨向右移 动的距离为 x0(导轨的 N1N2 部分尚未进入磁场区域) 。求在此过程中电阻所消耗的能量。不考虑回路的自感。 15. (20 分)图中 M1 和 M2 是绝热气缸中的两个活塞,用轻质刚性细 杆连结,活塞与气缸壁的接触是光滑的、不漏气的,M1 是导热的, M2 M2 是绝热的, M2 的横截面积是 M1 的 2 倍。 1 把一定质量的气体 且 M M1 封闭在气缸为 L1 部分,M1 和 M2 把一定质量的气体封闭在气缸的 L2 L2 部分,M2 的右侧为大气,大气的压强 p0 是恒定的。K 是加热 L2 中气 P0 L1 体用的电热丝。初始时,两个活塞和气体都处在平衡状态,分别以 V10 和 V20 表示 L1 和 L2 中气体的体积。现通过 K 对气体缓慢加热一段 K 时间后停止加热,让气体重新达到平衡太,这时,活塞未被气缸壁挡 住。加热后与加热前比,L1 和 L2 中气体的压强是增大了、减小还是 未变?要求进行定量论证。 16. (20) 一个质量为 m1 的废弃人造地球卫星在离地面 h=800km 高空作圆周运动, 在某处和一个质量为 m2=
1 m1 9

的太空碎片发生迎头正碰, 碰撞时间极短, 碰后二者结合成一个物体并作椭圆运动。 碰撞前太空碎片作椭圆运动, 椭圆轨道的半长轴为 7500km,其轨道和卫星轨道在同一平面内。已知质量为 m 的物体绕地球作椭圆运动时,其 总能量即动能与引力势能之和 E=—G
Mm ,式中 G 是引力常量,M 是地球的质量,a 为椭圆轨道的半长轴。设地 2a

球是半径 R=6371km 的质量均匀分布的球体,不计空气阻力。 ()试定量论证碰后二者结合成的物体会不会落在地球上。 ()如果此事件是发生在北极上空(地心和北极的连线方向上) ,碰后二者结合成的物体与地球相碰处的纬度是 多少?
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第 26 届全国中学生物理竞赛预赛试卷 参考解答与评分标准
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一、选择题. (共 35 分) 答案: 1.B , D 2.B 3.A 4.A , C 5.A , B 评分标准:每小题 7 分.在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一项是正确的,有的小题有多项是正确 的.全部选对的得 7 分.选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分. 二、填空题和作图题.共 32 分,每小题 8 分.按各小题的答案和评分标准给分.
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6.答案与评分标准:

?? (8 分) 2? d

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7.答案与评分标准: 1.59(8 分) 8.答案:

评分标准:8 分.有任何错误都给 0 分. 9.答案与评分标准: (i)97.20 ( 4 分) (ii)c、d(两个都对得 4 分,只填一个且正确得 2 分,有填错的得 0 分) 10.参考解答: (i)以两条实线代表在白纸上所画出的直线,以两条虚线代表玻璃砖的两个 透明面,根据题意,实线间的距离大于虚线间的距离,如图所示.根据实线位置 定出的折射角为 γ,按实际的玻璃砖两透明面的位置即虚线定出的折射角为 γ' , 由图知 γ>γ' (l) 由折射定律 sini=nsinγ (2 ) 令入射角 i 相等,当折射角偏大时,测出的折射率将偏小. (ii)以 l 表示摆长,θ 表示摆线与竖直方向的夹角,m 表示摆球的质量,F 表示摆线对摆球的拉力,T 表示
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摆球作题图所示运动的周期.有

2? F s i n ? m l s ?n ( 2 ? i T
(2)
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)

(l)

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F cos ? ? mg
由(l)(2)式得 、

T ? 2?

l cos ? g T ? ? 2? l g

(3)

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而单摆的周期公式为

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即使在单摆实验中,摆角很小,θ< 50,但 cosθ< l,这表示对于同样的摆长 l,摆球在水平面内作圆周运动的
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周期 T 小于单摆运动的周期 T' ,所以把较小的周期通过(4)求出的重力加速度的数值将大于 g 的实际值. 评分标准:本题 19 分. 第(i)小题 9 分.得到(l)式给 4 分,得到正确结论给 5 分.只有结论给 0 分. 第(ii)小题 10 分.得到(3)式给 5 分,得到正确结论给 5 分.只有结论给 0 分. 11.参考解答: 解法一 (i)电路如右图所示, (ii)实验步骤: (1)将单向双掷开关 K 置于空位,按所设计的电路图接线. (2)按下电流表上的按钮开关 K1,读下电流表的示数 I1. (3)将 K 打向左侧与 a 接通,读下电流表的示数 12. (4)将 K 打向右侧与 b 接通,读下电流表的示数 13 . (iii)由欧姆定律有
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? ? I1R ? I1r
? ? I2r ? I2
RRx R ? Rx

(1)

(2)

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? ? ? ? ? ? I3 R ? ? I 3 ? Rx ? RRx ? r ? ? R?R ? x ? ?
解以上三式得

(3)

??

( I 2 ? I 3 ) I1 R I 2 ? I1 ( I1 ? I 3 ) R I 2 ? I1 I3 R I 2 ? I3

(4)

r?

(5)

Rx ?

(6)

评分标准:本题 18 分. 第(i)小题 9 分.若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流,都得 0 分. 第(ii)题 3 分.在电路正确的前提下,每测一个电流的步骤占 1 分. 第(iii)题 6 分. 、 、 (4)(5)(6)式各 2 分. 解法二 (i)电路如右图所示. (ii)实验步骤: (1)将单向双掷开关 K 置于空位,按所设计的电路图接线. (2)按下电流表上的按钮开关 K1,读下电流表的示数 I1. (3)将 K 打向左侧与 a 接通,读下电流表的示数 I2. (4)将 K 打向右侧与 b 接通,读下电流表的示数 13. (iii)由欧姆定律有
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? ? I1 ( R ? Rx ? r )

(1)

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? ? I2 (R ? r)

(2)

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? ? I3 ( Rx ? r )
解以上三式得

(3)

??

I1 I 3 R I 3 ? I1 I1I 2 ? I1I 3 ? I 2 I 3 R I 2 ( I 3 ? I1 ) I 3 ( I 2 ? I1 ) R I 2 ( I 3 ? I1 )

(4)

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r?

(5)

Rx ?

(6)

评分标准:本题 18 分. 第(i)小题 9 分.若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流,都得 0 分. 第(ii)题 3 分.在电路正确的前提下,每测一个电流的步骤占 1 分. 第(iii)题 6 分. 、 、 (4)(5)(6)式各 2 分. 12.参考解答: 设 α 粒子速度的大小为 vα,原子核 B 速度的大小为 vB,在衰变过程中动量守恒,有 mαvα+mBvB=0 (1) 衰变过程中能量守恒,有
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mA c 2 ?

1 1 2 2 m? v? ? mB vB ? m? c 2 ? mB c 2 2 2

(2)

解(l)(2)二式得 、

m? 1 2 mB vB ? (mA ? mB ? m? )c 2 2 m? ? mB mB 1 2 m? v? ? (mA ? mB ? m? )c 2 2 m? ? mB

(3)

(4)

评分标准:本题 18 分. (1)式 4 分, (2)式 8 分, 、 (3)(4)各 3 分. 13.参考解答: 解法一 在图中纸面内取 Oxy 坐标(如图) ,原点在狭缝 l 处,x 轴过缝 1 和缝 3.粒 子从缝 1 进人磁场,在洛仑兹力作用下作圆周运动,圆轨道在原点与 x 轴相切, 故其圆心必在 y 轴上.若以 r 表示此圆的半径,则圆方程为 x2+(y-r)2=r2 (1) 根据题的要求和对称性可知,粒子在磁场中作圆周运动时应与 d 的柱面相碰 于缝 3、4 间的圆弧中点处,碰撞处的坐标为 x=2R-Rsin450 (2) 0 y=R-R cos45 (3) 由(l)(2)(3)式得 r=3R 、 、 (4)
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由洛仑兹力和牛顿定律有

v2 q v B m0 ? 0 r

(5)

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由(4)(5)式得 、

B?

mv0 3qR

(6)

评分标准:本题 18 分. (1)(2)(3)式各 4 分, 、 、 (4)(5)(6)式各 2 分. 、 、 解法二 如图所示,A 为 a、b 两圆圆心的连线与缝 l 的交点,F 为 c、d 两圆圆心的连线与缝 3 的交点.从 1 缝中射 人的粒子在磁场作用下与圆柱 d 的表面发生弹性碰撞后,反弹进人缝 2,这个过程一定对连结 b、d 两圆圆心的 直线 OP 对称,故直线 OP 与 d 圆的交点 C 必是碰度点.由于粒子在磁场中做圆运动过 A 点,因此这个轨道的圆 心必在过 A 点并垂直于 AF 的直线 AE 上;同时这个轨道经过 C 点,所以轨道的圆心也一定在 AC 的垂直平分线 DE 上.这样 AE 与 DE 的交点 E 就是轨道的圆心,AE 就是轨道的半径 r.过 C 点作 AF 的垂线与 AF 交于 H 点,则

有 由图可知

?AHC∽?EDA AC r? AD HC
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(1)

HC ? R ?

2 R 2 2 R 2

(2)

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AH ? 2 R ?

(3)

AC ? AH 2 ?HC 2
AD ?
由以上各式得 r=3R 由洛仑兹力和牛顿定律有

(4) (5) (6)

1 AC 2

v2 q v B m0 ? 0 r

(7)

得到

B?

mv0 3qR

(8)

评分标准:本题 18 分. (1)式 8 分, (2)(3) 、 (4)(5)式各 1 分, 、 、 、 (6)(7)(8)式各 1 分. 14.参考解答: 杆 PQ 在磁场中运动时,受到的作用力有:外加恒力 F,方向向右;磁场的安培力,其大小 FB=BIl,方向向左, 式中 I 是通过杆的感应电流,其大小与杆的速度有关;摩擦力,大小为 Fμ,方向向左.根据动能定理,在所考察 过程中作用于杆的合力做的功等于杆所增加的动能,即有

WF ? WFB ? W

F?

?

1 2 mv 2

(1)

式中 v 为经过时间 t 杆速度的大小,WF 为恒力 F 对杆做的功,WF 安为安培力对杆做的功,WFμ 为摩擦力对杆 做的功.恒力 F 对杆做的功 WF=Fx (2) 因安培力的大小是变化的, 安培力对杆做的功用初等数学无法计算, 但杆克服安培力做的功等于电阻所消耗 的能量,若以 ER 表示电阻所消耗的能量,则有 -WF 安=ER (3) 摩擦力 Fμ 是恒力,它对杆做的功 WFμ=-Fμx (4) 但 Fμ 未知.因 U 型导轨在摩擦力作用下做匀加速运动,若其加速度为 a,则有 Fμ=m0a (5)
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a=2x0/t2

(6)

由(4)(5)(6)三式得 、 、

WF? ? ?2m0

x0 x t2

(7)

经过时间 t 杆的速度设为 v,则杆和导轨构成的回路中的感应电动势 ε=Blv (8) 根据题意,此时回路中的感应电流

I0 ?
由(8)(9)式得 、

?
R

(9)

v?

I0 R Bl

(10)

由(l)(2)(3)(7)(10)各式得 、 、 、 、
2 x0 1 I0 R2 ER ? ( F ? 2m0 2 ) x ? m 2 2 t 2 Bl

(11)

评分标准:本题 20 分. (1)式 3 分, (2)式 l 分, (3)式 4 分, (7)式 4 分, (10)式 5 分, (11)式 3 分. 15.参考解答: 解法一 用 n1 和 n2 分别表示 L1 和 L2 中气体的摩尔数,P1、P2 和 V1、V2 分别表示 L1 和 L2 中气体处在平衡态时的压强 和体积,T 表示气体的温度(因为 M1 是导热的,两部分气体的温度相等) ,由理想气体状态方程有 p1V1=n1RT (1) P2V2=n2RT (2) 式中 R 为普适气体常量.若以两个活塞和轻杆构成的系统为研究对象,处在平衡状态时有 p1S1-p2S1+p2S2-p0S2=0 (3) 已知 S2=2S1 (4) 由(3)(4)式得 、 p1+p2=2p0 (5) 由(l)(2)(5)三式得 、 、

n1 p0V2 n2 p1 ? n V1 ? 1 V2 n2 2

(6)

若(6)式中的 V1、V2 是加热后 L1 和 L2 中气体的体积,则 p1 就是加热后 L1 中气体的压强.加热前 L1 中气体 的压强则为

n1 p0V20 n2 p10 ? n V10 ? 1 V20 n2 2

(7)

设加热后,L1 中气体体积的增加量为△V1,L2 中气体体积的增加量为△V2,因连结两活塞的杆是刚性的,活 塞 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍,故有 △V1=△V2=△V (8) 加热后,L1 和 L2 中气体的体积都是增大的,即△V > 0 .[若△V< 0,即加热后,活塞是向左移动的,则大气将 对封闭在气缸中的气体做功,电热丝又对气体加热,根据热力学第一定律,气体的内能增加,温度将上升,而体 积是减小的,故 L1 和 L2 中气体的压强 p1 和 p2 都将增大,这违反力学平衡条件(5)式] 于是有 V1=V10+△V (9)
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V2=V20+△V 由(6)(7)(9)(10)四式得 、 、 、

(10)

n1 p0 (V10 ? V20 )?V n2 p1 ? p10 ? n n [V10 ? ?V ? 1 (V20 ? ?V )](V10 ? 1 V20 ) n2 n2 2

(11)

由(11)式可知,若加热前 V10=V20,则 p1=p10,即加热后 p1 不变,由(5)式知 p2 亦不变;若加热前 V10 <V20,则 p1< p10,即加热后 P1 必减小,由(5)式知 P2 必增大;若加热前 V10>V20, 则 p1> p10,即加热后 p1 必 增大,由(5)式知 p2 必减小. 评分标准:本题 20 分。得到(5)式得 3 分,得到(8)式得 3 分,得到(11)式得 8 分,最后结论得 6 分. 解法二 设加热前 L1 和 L2 中气体的压强和体积分别为 p10、p20 和 V10、V20,以 pl、p2 和 V1、V2 分别表示加热后 L1 和 L2 中气体的压强和体积,由于 M1 是导热的,加热前 L1 和 L2 中气体的温度是相等的,设为 T0,加热后 L1 和 L2 中 气体的温度也相等,设为 T.因加热前、后两个活塞和轻杆构成的系统都处在力学平衡状态,注意到 S2=2S1,力 学平衡条件分别为 p10+p20=2p0 (1) p1+p2=2p0 (2) 由(l)(2)两式得 、 p1-p10=- (p2-p20) (3) 根据理想气体状态方程,对 L1 中的气体有
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p1V1 T ? p10V10 T0
对 L :中的气体有

(4)

p2V2 T ? p20V20 T0
由(4)(5)两式得 、

(5)

p1V1 pV ? 2 2 p10V10 p20V20
(6)式可改写成

(6)

(1 ?

p1 ? p10 V ?V p ? p20 V ?V )(1 ? 1 10 ) ? (1 ? 2 )(1 ? 2 20 ) p10 V10 p20 V20

(7)

因连结两活塞的杆是刚性的,活塞 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍,故有 V1-V10=V2-V20 把(3)(8)式代入(7)式得 、

(8)

(1 ?

p1 ? p10 V ?V p ?p V ?V )(1 ? 1 10 ) ? (1 ? 1 10 )(1 ? 1 10 ) p10 V10 p20 V20

(9)

若 V10=V20,则由(9)式得 p1=p10,即若加热前,L1 中气体的体积等于 L2 中气体的体积,则加热后 L1 中气体 的压强不变,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强亦不变. 若 V10<V20,则由(9)式得 p1< p10,即若加热前,L1 中气体的体积小于 L2 中气体的体积,则加热后 L1 中气体 的压强必减小,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强必增大. 若 V10>V20,则由(9)式得 p1> p10,即若加热前, L1 中气体的体积大于 L2 中气体的体积,则加热后 L1 中气 体的压强必增大,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强必减小.
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评分标准:本题 20 分. 得到(l)式和(2)式或得到(3)得 3 分,得到(8)式得 3 分,得到(9)式得 8 分,最后结论得 6 分. 16.参考解答: (i)图 1 为卫星和碎片运行轨道的示意图.以 v1 表示碰撞前卫星作圆周运动的速度,以 M 表示地球 E 的质 量,根据万有引力定律和牛顿定律有
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G

Mm1 v2 ? m1 1 ( R ? h)2 R?h
式中 G 是引力常量.由(l)式得

(1)

v1 ?

GM R GM ? R?h R?h R

(2)

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以 v2 表示刚要碰撞时太空碎片的速度,因为与卫星发生碰撞时,碎片到地心的距离等于卫星到地心的距离, 根据题意,太空碎片作椭圆运动的总能量

Mm2 Mm2 1 2 m2 v2 ? G ? ?G 2 R?h 2a
式中 a 为椭圆轨道的半长轴.由(3)式得

(3)

v2 ?

2GM GM 2R R GM ? ? ? R?h a R?h a R

(4)

卫星和碎片碰撞过程中动量守恒,有 m1v1-m2v2=(m1+m2)v (5) 这里 v 是碰后二者结合成的物体(简称结合物)的速度.由(5)式得

v?

m1v 1? m v 2 m1 ? m2

2

(6)

由(2)(4)(6)三式并代人有关数据得 、 、

GM v?0.7520 R

(7)

结合物能否撞上地球, 要看其轨道 (椭圆) 的近地点到地心的距离 rmin, 如果 rmin<R, 则结合物就撞上地球. 为 此我们先来求结合物轨道的半长轴 a '.结合物的总能量

?G

M (m1 ? m 2) 1 M (m 1 m )2 ? ? (m1 ? m2 )v 2 ? G 2a? 2 R?h

(8)

代人有关数据得 a '=5259km (9) 结合物轨道的近地点到地心的距离 rmin=2 a '-(R+h)=3347km<R (10) 据此可以判断,结合物最后要撞上地球. (ii)解法一 在极坐标中讨论.取极坐标,坐标原点在地心处,极轴由北极指向南极,如图 2 所示.碰撞点在北极上空,是椭圆轨道的远地点,结合物轨道的椭圆方程

r?

p 1 ? e cos ?

(11)

式中 e 是偏心率,p 是椭圆的半正焦弦,远地点到地心的距离 rmax=R+h (12) 由解析几何有

e?

rm a x? r 2a?

mi n

(? 0 . 3 6 3 5 )

(13)
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在轨道的近地点,r=rmin,θ=0,由(11)式得 p=rmin(1+e)(=4563km) 或有 p=rmax (1-e) 在结合物撞击地球处;r= R,由(11)式有

(14) (15)



p 1 ? e c o? s p?R co? ? s eR R?

(16) (17)

代人有关数据可得 cosθ=-0.7807 (18) 0 θ=141.32 (19) 0 这是在北纬 51.32 . 评分标准:本题 20 分. 第(i)小题 12 分. (1)或(2)(3)或(4)(5)或(6)式各 2 分, 、 、 (8)式 3 分, (10)式 3 分. 第(ii)小题 8 分. (11)(12)(13)(14)或(15)(16)或(17)式各 l 分, 、 、 、 、 (19)式 2 分(答案在 1410 到 1420 之间的都给 2 分) ,正确指出纬度给 l 分. 解法二 在直角坐标中讨论. 取直角坐标系, 以椭圆的对称中心为坐标原点 O, x 轴通过近地点和远地点并由远地点指 向近地点,如图 3 所示.结合物轨道的椭圆方程是

x2 y 2 ? ?1 a ? 2 b? 2

(20)

式中 a' 、b'分别为结合物椭圆轨道的半长轴和半短轴.远地点到地心的距离 rmax=R+h (21) 根据解析几何,若 c 为地心与坐标原点间的距离, c= rmax-a'(=1912km) (22) 而

b? ? a?2 ? c2

(23)

注意到 a'由(9)式给出,得 b'=4899km (24) 结合物撞击地面处是结合物的椭圆轨道与地面的交点,设该处的坐标为 xp 和 yp,则有 xp=Rcosθ+c (25) yp=Rsinθ (26) 式中 θ 为从地心指向撞击点的矢经与 x 方向的夹角.因撞击点在结合物的轨道上,将(24)(25)式代入轨 、 道方程(20)式,经整理得
2 ? ? R2 ( b 2? a 2) c o ? ? s

?2 2c R ? o s ? a2 ? 2 ? ? b b c?

2 2 a? R

0 (27)

引人以下符号并代人有关数据得
1 ? ? ( ? ? R2 ( b 2? a 2) ? ? 1 4 ? 4 11k m 8 0
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)

? ? 2b?2 c R ? 5 8 4 ? 11 0 m ) ( 6 1k
ht

? ? ? R 5 ? ? b?2 c2 ? a 2 b 2? a 2 ( 2? 4 6 5 ? 1 01 1k m)
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代入(27)式得

? c o 2 ?? ? c o ?? ?? s s

0

(28)
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解得

co? ? s

?? ? ?2 ? ? ? 4 2?

(29)

舍掉不合理的答案,得 cosθ=-0.7807 (30) 0 θ=141.32 (31) 0 这是在北纬 51.32 . 评分标准: (20)(21)(22)(23)或(24)(27)式各 l 分, 、 、 、 、 (31)式 2 分(答案在 1410 到 1420 之间的都给 2 分) , 正确指出纬度给 1 分.
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第 29 届全国中学生物理竞赛预赛试卷
本卷共 16 题,满分 200 分. 一、选择题.本题共 5 小题,每小题 6 分.在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一项符合题意,有的小题 有多项符合题意.把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内.全部选对的得 6 分,选对但不 全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分. 1.下列说法中正确的是 A.水在 0℃时密度最大. B.一个绝热容器中盛有气体,假设把气体中分子速率很大的如大于 vA 的分子全部取走,则 气体的温度会下降,此后气体中不再存在速率大于 vA 的分子. C.杜瓦瓶的器壁是由两层玻璃制成的,两层玻璃之间抽成真空,抽成真空的主要作用是既 可降低热传导,又可降低热辐射. D.图示为一绝热容器,中间有一隔板,隔板左边盛有温度为 T 的理想气体,右边为真空.现抽掉隔板,则气体 的最终温度仍为 T. 2.如图,一半径为 R 电荷量为 Q 的带电金属球,球心位置 O 固定,P 为球外一点.几位同学在讨论 P 点的场强 时,有下列一些说法,其中哪些说法是正确的? A.若 P 点无限靠近球表面,因为球表面带电,根据库仑定律可推知,P 点的场强趋于无穷 大. B.因为在球内场强处处为 0,若 P 点无限靠近球表面,则 P 点的场强趋于 0 C.若 Q 不变,P 点的位置也不变,而令 R 变小,则 P 点的场强不变. D.若保持 Q 不变,而令 R 变大,同时始终保持 P 点极靠近球表面处,则 P 点的场强不变. 3.图中 L 为一薄凸透镜,ab 为一发光圆面,二者共轴,S 为与 L 平行放置的屏,已知这时 ab 可在屏上成清晰的 像.现将透镜切除一半,只保留主轴以上的一半透镜,这时 ab 在 S 上的像 A.尺寸不变,亮度不变. B.尺寸不变,亮度降低. C.只剩半个圆,亮度不变. D.只剩半个圆,亮度降低. 4.一轻质弹簧,一端固定在墙上,另一端连一小物块,小物块放在摩擦 系数为μ 的水平面上,弹簧处在自然状态,小物块位于 O 处.现用手将 小物块向右移到 a 处,然后从静止释放小物块,发现小物块开始向左移 动. A.小物块可能停在 O 点. B.小物块停止以后所受的摩擦力必不为 0 C.小物块无论停在 O 点的左边还是右边,停前所受的摩擦力的方向和停后所受摩擦力的方向两者既可能相同, 也可能相反. D.小物块在通过 O 点后向右运动直到最远处的过程中,速度的大小总是减小;小物块在由右边最远处回到 O 点 的过程中,速度的大小总是增大. 5.如图所示,一内壁光滑的圆锥面,轴线 OO’是竖直的,顶点 O 在下方,锥角为 2α ,若 有两个相同的小珠(均视为质点)在圆锥的内壁上沿不同的圆轨道运动,则有: A.它们的动能相同. B.它们运动的周期相同. C.锥壁对它们的支撑力相同. D.它们的动能与势能之比相同,设 o 点为势能零点.

二、填空题和作图题.把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方.只要给出结果,不需写出求得结果 的过程. 6. 分)铀 238(92 U)是放射性元素,若衰变时依次放出α ,β ,β ,α ,α ,α ,α ,α ,β ,β ,α , (6
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β ,β ,α 粒子,最终形成稳定的核 X Pb ,则其中 X=

Y

, Y=



7. (10 分)在寒冷地区,为了防止汽车挡风玻璃窗结霜,可用通电电阻加 热. 图示为 10 根阻值皆为 3Ω 的电阻条, 和一个内阻力 0. 的直流电源, 5Ω 现在要使整个电路中电阻条上消耗的功率最大, i.应选用根电阻条. ii.在图中画出电路连线.

8. (10 分)已知:光子有质量,但无静止质量,在重力场中也有重力势能.若 从地面上某处将一束频率为ν 的光射向其正上方相距为 d 的空间站,d 远小于 地球半径,令空间站接收到动光的频率为ν ’ ,则差ν ’-ν = , 已知地球表面附近的重力加速度为 g. 9. (10 分)图中所示两物块叠放在一起,下面物块位于光滑水平桌面上,其质量为 m,上面物块的质量为 M, 两物块之间的静摩擦系数为μ .现从静止出发对下面物块施以随时间 t 变化的水平推力 F=γ t,γ 为一常量,则 从力开始作用到两物块刚发生相对运动所经过的时间等于 ,此时物块的速度等于 . 10. (16 分)图中 K 是密封在真空玻璃管内的金属电极,它受光照射后能释 放出电子;W 是可以透光的窗口,光线通过它可照射到电极 K 上;C 是密封 在真空玻璃管内圆筒形的收集电极,它能收集 K 所发出的光电子.R 是接在 电池组 E(电压足够高)两端的滑动变阻器,电极 K 通过导线与串联电池组 的中心端 O 连接;G 是用于测量光电流的电流计.已知当某一特定频率的 单色光通过窗口照射电极 K 时,能产生光电子.当滑动变阻器的滑动接头 处在某一点 P 时,可以测到光电流,当滑动头向右移动时,G 的示数增大, 使滑动头继续缓慢向右不断移动时,电流计 G 的示数变化情况 是: . 当滑动变阻器 的滑动接头从 P 点缓慢向左不断移动时,电流计 G 的示数变化情况 是: . 若测得用频率为ν 1 的单色光照射电极 K 时的遏止电压为 V1,频率为ν 2 的单色光照射电极时的遏止电压为 V2, 已知电子的电荷量为 e,则普朗克常量 h= , 金 属 电 极 K 的 逸 出 功 W0 = . 三、计算题.计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤,只写出 最后结果的不能得分.有数值计算的,答案中必须明确写出数值和单位. 11. (18 分)如图所示,一根跨越一固定的水平光滑细杆的柔软、不可伸长的轻绳,两 端各系一个质量相等的小球 A 和 B,球 A 刚好接触地面,球 B 被拉到与细杆同样高度的 水平位置,当球 B 到细杆的距离为 L 时,绳刚好拉直.在绳被拉直时释放球 B,使球 B 从静止开始向下摆动.求球 A 刚要离开地面时球 B 与其初始位置的高度差.

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12. (20 分)一段横截面积 S=1.0mm2 的铜导线接入直流电路中,当流经该导线的电流 I=1.0A 时,该段铜导 线中自由电子定向运动的平均速度 u 为多大?已知, 每个铜原子有一个 “自由电子” 每个电子的电荷量 e= 1. , 6 -19 -1 3 23 ×10 C;铜的密度ρ =8.9g/cm ,铜的摩尔质量μ =64g/mol.阿伏枷德罗常量 N0=6.02×10 mol .

13. (20 分)电荷量分别为 q 和 Q 的两个带异号电荷的小球 A 和 B(均可视为点电荷) ,质量分别为 m 和 M.初 始时刻,B 的速度为 0,A 在 B 的右方,且与 B 相距 L0,A 具有向右的初速度 v0,并还受到一向右的作用力 f 使 其保持匀速运动,某一时刻,两球之间可以达到一最大距离. i.求此最大距离. ii.求从开始到两球间距离达到最大的过程中 f 所做的功.

14. (20 分)由双原子分子构成的气体,当温度升高时,一部分双原子分子会分解成两个单原子分子,温度越高, 被分解的双原子分子的比例越大, 于是整个气体可视为由单原子分子构成的气体与由双原子分子构成的气体的混 合气体.这种混合气体的每一种成分气体都可视作理想气体.在体积 V=0.045m3 的坚固的容器中,盛有一定 质量的碘蒸气,现于不同温度下测得容器中蒸气的压强如下: 试求温度分别为 1073K 和 1473K 时该碘蒸气中单原子分子碘蒸气的质量与碘的总质量之比值. 已知碘蒸气的总质 -1 -1 量与一个摩尔的双原子碘分子的质量相同,普适气体常量 R=8.31J·mol ·K

15. (20 分)图中 L 是一根通电长直导线,导线中的电流为 I.一电阻为 R、每边长为 2a 的导线 方框,其中两条边与 L 平行,可绕过其中心并与长直导线平行的轴线 OO’转动,轴线与长直导 线相距 b,b>a,初始时刻,导线框与直导线共面.现使线框以恒定的角速度ω 转动,求线框中 的感应电流的大小.不计导线框的自感.已知电流 I 的长直导线在距导线 r 处的磁感应强度大小 为k

I ,其中 k 为常量. r

16. (20 分)一质量为 m=3000kg 的人造卫星在离地面的高度为 H=180 km 的高空绕地球作圆周运动,那里的 - 重力加速度 g=9. 3m· 2. s 由于受到空气阻力的作用, 在一年时间内, 人造卫星的高度要下降△H=0. 50km. 已 知物体在密度为ρ 的流体中以速度 v 运动时受到的阻力 F 可表示为 F=

1 ρ 2

ACv2, 式中 A 是物体的最大横截面积,

C 是拖曳系数,与物体的形状有关.当卫星在高空中运行时,可以认为卫星的拖曳系数 C=l,取卫星的最大横截 面积 A=6.0m2.已知地球的半径为 R0=6400km.试由以上数据估算卫星所在处的大气密度.
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