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6.2等差数列


等差数列 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数 列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母__d__表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,那么它的通项公式是 an=a1+(n-1)d. 3.等差中项 a+b 如果 A= ,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中

项. 2

考点 1.等差数列的定义 一.等差数列的证明思路 (1)定义法:证明对任意正整数 n 都有 an+1-an 等于同一个常数. (2)等差中项法:证明对任意正整数 n 都有 2an+1=an+an+2 后,可递推得出 an+2-an+1=an+1 -an=an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1,根据定义得出数列{an}为等差数列. (3)通项公式法:得出 an=pn+q 后,得 an+1-an=p 对任意正整数 n 恒成立,根据定义判定 数列{an}为等差数列. (4)前 n 项和公式法:得出 Sn=An2+Bn 后,根据 Sn,an 的关系,得出 an,再使用定义法证明 数列{an}为等差数列. 二.1.在解有关等差数列的基本量问题时,可通过列关于 a1,d 的方程组进行求解. 2.在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为(1)a,a+d,a+2d;(2)a-d,a,a+d; (3)a-d,a+d,a+3d 等,可视具体情况而定. 1.若{an}是公差为 1 的等差数列,则{a2n-1+2a2n}是( B.公差为 4 的等差数列 C.公差为 6 的等差数列 ) A.公差为 3 的等差数列 D.公差为 9 的等差数列

1 1 1 2.已知数列{an}中,a1=1 且 = + (n∈N*),则 a10=________. an+1 an 3 3. 已知等差数列{an}满足 a1+a2=10,a4-a3=2.求{an}的通项公式 4 已知等差数列{an}中,a2=6,a3+a6=27. 数列{an}的通项公式为________.
2 5.已知递增的等差数列{an}满足 a1=1,a3=a2 -4,则 an=________.

6.(2015· 肇庆二模)在等差数列{an}中,a15=33,a25=66,则 a35=________. 7.已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x2-5x+6=0 的根.求{an}的通项公式; 考点 2 等差数列的性质 (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 ak+al=am+an. (3)若{an}是等差数列,公差为 d,则{a2n}也是等差数列,公差为 2d. (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列. (5)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为 md 的等差数列.

-1-

1.在等差数列{an}中,若 a2=4,a4=2,则 a6 等于(

)A.-1

B.0

C.1

D.6

2.在等差数列{an}中,a15=33,a25=66,则 a35=________. 1 2 1 1 3.在数列{an}中,若 a1=1,a2= , = + (n∈N*),则该数列的通项为( 2 an+1 an an+2 1 A.an= n 2 B.an= n+1 C.an= 2 n+2 3 D.an= n )

4.(2015· 广东)在等差数列{an}中,若 a3+a4+a5+a6+a7=25,则 a2+a8=________. 5.设数列{an}是等差数列,若 a3+a4+a5=12,则 a1+a2+…+a7 等于( A.14 B.21 C.28 D.35 )

6.在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73.求数列{an}的通项公式; 7.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20 等于( A.-1 B.1 C.3 D.7 )A. 0 ).

8.设数列{an}, {bn}都是等差数列, 且 a1=25, b1=75, a2+b2=100, 则 a37+b37 等于( B.37 C.100 D.-37 命题点 3 等差数列的 n 项和 (1) .等差数列的前 n 项和公式 n?a1+an? n?n-1? 设等差数列{an}的公差为 d,其前 n 项和 Sn= 或 Sn=na1+ d. 2 2 d? d (2) .等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 Sn= n2+? ?a1-2?n. 2 数列{an}是等差数列?Sn=An2+Bn(A、B 为常数).

1.在数列{an}中,若 a1=-2,且对任意的 n∈N*有 2an+1=1+2an,则数列{an}前 10 项的和为 ( )A.2 B.10 5 C. 2 5 D. 4 )

2.(2014· 福建卷)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6 等于( A.8 B.10 C.12 D.14

3. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,n∈N*,a3=5,S10=100. 求数列{an}的通项公式; 4 已知等差数列{an}的前 5 项和为 105,且 a10=2a5.求数列{an}的通项公式; 5.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S2=S6,a4=1,则 a5=________. 6. 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+a4+a6=12,则 S7 的值是( A.21 B.24 C.28 D.7 ) )

99 7.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,S11= ,则 a12 的值是( 2 A.15 B.30 C.31 D.64

8.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 2a6=6+a7,则 S9 的值是(

)

-2-

A.27

B.36

C.45

D.54 )

9. 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1+a3+a5=3,则 S5 等于( A.5 B.7 C.9 D.11

10.(2015· 石家庄模拟)已知等差数列{an},且 3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48,则数列{an}的 前 13 项之和为( ) A.24 B.39 C.104 D.52

11.(2015· 广州综合测试)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,公差 d≠0,若 S11=132,a3+ak =24,则正整数 k 的值为( ) A.9 B.10 C.11 D.12

12.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S5=35,a5 和 a7 的等差中项为 13.求 an 及 Sn; Sn 2n-3 13.设等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若对任意自然数 n 都有 = , Tn 4n-3 则 a9 a3 + 的值为________. b5+b7 b8+b4

An 7n+45 an 14.已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn,且 = ,则使得 为整 Bn n+3 bn 数的正整数 n 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 )

15.在等差数列 {an } 中, a2 ? 1, a4 ? 5 ,则 {an } 的前 5 项和 S5 =( A.7 B.15 C.20 D.25

16.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11 等于( A.58 B.88 C.143 D.176

)

17 在等差数列{an}中,2(a1+a3+a5)+3(a7+a9)=54,则此数列前 10 项的和 S10 等于( A.45 B.60 C.75 D.90

)

3 18. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1=-3, ak+1= , S =-12, 则正整数 k=________. 2 k 19.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S8=4a3,a7=-2,则 a9=( A.-6 B.-4 C.-2 D.2 20..若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数 列的项数为( )A.13 B.12 C.11 D.10 )

21.设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为 44,偶数项之和为 33,则这个数列的中间项是 ________,项数是________. 22.已知{an}是等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S21=S4 000,O 为坐标原点, → → 点 P(1,an),Q(2 011,a2 011),则OP·OQ等于( A.2 011 B.-2 011 C.0 D.1 )

-3-

S3 S2 23 .已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 - =1,则数列{an}的公差是( 3 2 1 A. 2 B.1 C.2 D.3

)

S12 S10 24. 在等差数列{an}中, a1=-2016, 其前 n 项和为 Sn, 若 - =2, 则 S2016 的值为________. 12 10 S4 S3 25.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 - =1,则公差为________. 12 9 26.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m 等于( A.3 B.4 C.5 D.6 )

27.在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,则 S110=________. 28.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=10,S20=30,则 S30=________. 29.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9 等于( A.63 B.45 C.36 D.27 ) )

30. {an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和.若 S10=S11,则 a1=( A.18 B.20 C.22 D.24

31. 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和, 若 a1=1, 公差 d=2, Sk+2-Sk=24, 则 k=( B.7 C.6 D.5

). A. 8

1 32. 数列{an}满足 an+an+1= (n∈N*), 且 a1=1, Sn 是数列{an}的前 n 项和, 则 S21=( 2 B.6 C.10 D.11

21 ). A. 2

33.设数列{an}的通项公式为 an=2n-10(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|=________. 34.在数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足 an+2+an=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式;(2)设 Sn 是数列{|an|}的前 n 项和,求 Sn. 考点 4 求等差数列前 n 项和 Sn 最值的两种方法: ①函数法: 利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Sn=an2+bn, 通过配方或借助图象求二次函 数最值的方法求解.
? ?am≥0, ②邻项变号法:a.当 a1>0,d<0 时,满足? 的项数 m 使得 Sn 取得最大值 Sm; ?am+1≤0 ? ?am≤0, ? b.当 a1<0,d>0 时,满足? 的项数 m 使得 Sn 取得最小值 Sm. ? ?am+1≥0

1. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1=-11, a4+a6=-6, 则当 Sn 取最小值时, n=_______. 2. 已知等差数列{an}的首项 a1=20,公差 d=-2,则前 n 项和 Sn 的最大值为________. 5 3.已知数列{an}满足 an+1=an- ,且 a1=5,设{an}的前 n 项和为 Sn,则使得 Sn 取得最大值 7 的序号 n 的值为( ) A.7 B.8 C.7 或 8 D.8 或 9

-4-

4

等差数列{an}中,已知 a5>0,a4+a7<0,则{an}的前 n 项和 Sn 的最大值为( A.S4 B.S5 C.S6 D.S7

)

5.等差数列{an}满足 a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当 n=________时,{an}的前 n 项和最大. 6. 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a5+a7=4,a6+a8=-2,则当 Sn 取最大值时,n 的 值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 ).

7.在等差数列{an}中,S15>0,S16<0,则使 an>0 成立的 n 的最大值为 ( A.6 B.7 C.8 D.9

a8 8.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,(n+1)Sn<nSn+1(n∈N*).若 <-1,则( a7 A.Sn 的最大值是 S8 B.Sn 的最小值是 S8 C.Sn 的最大值是 S7

)

D.Sn 的最小值是 S7

9.设数列{an}是公差 d<0 的等差数列,Sn 为前 n 项和,若 S6=5a1+10d,则 Sn 取最大值时, n 的值为( )A.5 B .6 C.5 或 6 D.11

10.在等差数列{an}中,a5<0,a6>0 且 a6>|a5|,Sn 是数列的前 n 项的和,则下列说法正确的是 ( ) A.S1,S2,S3 均小于 0,S4,S5,S6…均大于 0 C.S1,S2,…S9 均小于 0,S10,S11…均大

B.S1,S2,…S5 均小于 0,S6,S7,…均大于 0 于0

D.S1,S2,…S11 均小于 0,S12,S13…均大于 0

1+an 11.已知数列{an}是首项为 a,公差为 1 的等差数列,bn= ,若对任意的 n∈N*,都有 an bn≥b8 成立,则实数 a 的取值范围为________. 12.等差数列{an}中,设 Sn 为其前 n 项和,且 a1>0,S3=S11,则当 n 为多少时,Sn 最大? 13. 在等差数列{an}中,已知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10=S15,求当 n 取何值时,Sn 取得 最大值,并求出它的最大值. 14. 在等差数列{an}中,已知 a1=-20,前 n 项和为 Sn,且 S10=S15,求当 n 取何值时, Sn 取得最小值,并求出最小值. 考点 4 求通项公式 an 题型一 利用累加法解决递推问题
?1? 1.设数列{an}满足 a1=1,且 an+1-an=n+1(n∈N*),则数列?a ?前 10 项的和为________. ? n?

2.数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列,且 bn=an+1-an(n∈N*),若 b3=-2,b10=12,则 a8 等于( 题型二 ) A.0 B.3 C.8 D.11

构造法求通项公式

an 1 已知 a1=1,an+1= ,求 an. an+1

考点 5 解答题

-5-

1.已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a3· a4=117,a2+a5=22. Sn (1)求通项 an;(2)求 Sn 的最小值;(3)若数列{bn}是等差数列,且 bn= ,求非零常数 c. n+c

3 1 1 2 已知数列{an}中,a1= ,an=2- (n≥2,n∈N*),数列{bn}满足 bn= (n∈N*). 5 an-1 an-1 (1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.

3.设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S5S6+15= 0.(1)若 S5=5,求 S6 及 a1;(2)求 d 的取值范围.

4.已知等差数列的前三项依次为 a,4,3a,前 n 项和为 Sn,且 Sk=110. (1)求 a 及 k 的值; Sn (2)设数列{bn}的通项 bn= ,证明数列{bn}是等差数列,并求其前 n 项和 Tn. n 3 5. 数列{an}中, a1= ,nan+1=(n+1)an+n(n+1),求数列{an}的通项公式. 5 6.在等差数列{an}中,a2=4,其前 n 项和 Sn 满足 Sn=n2+λn(λ∈R).求实数 λ 的值,并求数 列{an}的通项公式; 1 7.若数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2SnSn-1=0(n≥2),a1= . 2
?1? (1)求证:?S ?成等差数列;(2)求数列{an}的通项公式. ? n?

2an 8.数列{an}中,a1=1,Sn 为数列{an}的前 n 项和,且满足 =1 (n≥2).求数列{an}的 anSn-S2 n 通项公式. n - 9.设数列{an}满足 a1+3a2+32a3+…+3n 1an= ,n∈N*.求数列{an}的通项; 3

-6-


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