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河北省石家庄市2013届高三第二次模拟数学理试题含答案


河北省石家庄市 2013 届高中毕业班第二次模拟考试 数学理
(时间 120 分钟,满分 150 分)

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. tan(-14100)的值为

A.

3 3

B. ?

3 3

C. 3

D. ?

3

2.已知 i 是虚数单位,则复数 A.1 B.

1 ? 3i ,则 z 的共轭复数的模为 1? i
D.5

5

C.

7

3. 给定一组数据 x1,x2,…,x20 若这组数据的方差为 3,则 数据 2x1+3,2x2+3,…,2x20+3 的方差为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 15

4.若 ? ? 0 ,函数 y ? cos( ?x ? 最小值为 A.

?
6

) 的图像向右平移

2? 个单位后与原图像重合,则 ? 的 3

4 3

B.

3 2

C. 3

D. 4

5.定义 min( 1 , a2 ,?, an )是a1 , a2 ,?, an 中的最小值,执行程序框图(如右图) ,则输出的 a 结果是

1

开始 输入 a1 ? 1, n ? 2

n 是偶数?
n=n+1




an ? a n ? 1
2

an ?

1 an ? 1



n>7?


T ? min{ 1 , a2 ,?, an } a
输出 T

结束

A.

1 5

B.

1 4

C.

1 3

D.

2 3
1 NC ,P 是 BN 上的一点,若 2
P B C A N

6.如右下图,在 ? ABC 中, AN ?

AP ? m AB ?

2 AC ,则实数 m 的值为 9 1 1 D. 3 9

A.3

B. 1 C.

7. 袋中有编号为 1,2 的两个红球和编号为 1,2,3 的三个黑球(所有这 5 个球除颜色 和编 号外没有其他区别),每次从袋中摸出一个球(不放回),则前两次摸出的球中一个 是黑球一个是红球的概率是 A, 3 B. 2 C. 3 D. 3

10

5

5

4

? x ? 0, y?1 ? 8.设 x, y 满足约束条件 ? y ? x , 则 的取值范围是 x?2 ?4 x ? 3 y ? 14, ?
2

A. [ ,

1 17 3 17 1 3 ] B. [ , ] C. [ , ] 2 6 4 6 2 4

D. [ ,? ?)

1 2

9. 双曲线

2? x2 y2 ,离心率为 e,则 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的倾斜角为 2 3 a b

a2 ? e2 的最小值为 2b
A. 10.

2 6 3

B.

2 3 3

C 3

D.

6

B, 已知球 0 夹在一个锐二面角 a-l-β 之间, 与两个半平面分别相切于点 A、 若 AB=

3 ,球心 0 到该二面角的棱 l 的距离为 2,则球 0 的体积为
A. 8 3? B. 4 3? C 4? D.

4 ?3

11.在平面直角坐标系 xoy 中, C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 8 x ? 15 ? 0 , 圆 若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则实数 k 的最大值为 A. 0 B. 12.

4 3

C.

3 2

D. 3

已知函数

f ( x) ? 1 ? x ?

x2 x3 x4 x 2013 x2 x3 x4 x 2013 , g ( x) ? 1 ? x ? 设 ? ? ? ... ? ? ? ? ... ? 2 3 4 2013 2 3 4 2013

F(x)=f(x+4).g(x-4),且函数 F(x)的零点在区间[a-1,a]或[b-1,b](a<b,a,b∈ Z)内,则 a+b 的值为 A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
本试卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题?第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 作答.第 22 题?第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设(x-1)5(2x+l )=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a6(x+1)6,则 a1+a2+…+a6 的值为 _____ 14.巳知一个空间几何体的三视图 (如右图) 则该几何体的表 面积为______ ,

3

15.已知 ΔABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别为 A,B,C 且角 A,B、C 成等差数列,MBC 的面积 S ?

b 2 ? (a ? c) 2 -,则实数 k 的值为______ k

16.将函数 y=-x2+x(e∈[0, 1])的图象绕点 M(1, 0)顺时针旋转 θ 角 ( 0 ? ? ? C,若曲线 C 仍是一个函数的图象,则角 θ 的 最大值为_______

?
2

) 得到曲线

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.
(本小题满分 12 分)

已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项为 2,且 a1,a2,a4 成等比数列.
(I )求数列{an}的通项公式;

(II)令 bn ?

1 (n ? N * ) ,求数列{bn}的前 n 项和. (a n ? 1) 2 ? a

18.

(本小题满分 12 分)

在四边形 ABC D 中,BC//AD,CD //AD,AD=4,BC=CD=2,E、P 分别为 AD,CD 的中 点(如图 1 ),将 ΔABE 沿 BE 折 起,使二面角为 A-BE-C 直二面角(如图 2).
(I )如图 2, 在线段 AE 上, 是否存在一点 M, 使得 PM//平面 ABC?

若存在,请指出点 M 的位置,并证明你的结论,若不存在,请说明 理由.
(II)如图 2,若 H 为线段 AB 上的动点, PH 与平面 ABE 所成的 当

角最大时,求二面角 H-PC-E 的余弦值.

4

19.(本小题满分 12 分) 某商店每天(开始营业时) 以每件 15 元的价格购入 A 商品若干(A 商品在商店的保鲜时 间 为 8 小时,该商店的营业时间也恰好为 8 小时),并开始以每件 30 元的价格出售,若前 6 小时内所购进的 4 商品没有售完,则商店对没卖出的 A 商品将以每件 10 元的价格低价 处 理完毕(根据经验,2 小时内完全能够把 A 商品低价处理完毕,且处理完毕后,当天不再 购 进 A 商品).该商店统计了 100 天 A 商品在每天的前 6 小时内的销售量,由于某种原因 销 售量频数表中的部分数据被污损而不能看清,制成如下表格(注:视频率为概率).

(I )若某天商店购进 A 商品 4 件,试求商店该天销售 A 商品获取利润 ? 的分布列和均值; (II)若商店每天在购进 4 件 A 商品时所获得的平均利润最大,求 x 的取值范围.

20.

(本小题满分 12 分)

在平面直角坐标系中,已知点 F(0,

1 1 ),直线 l:y=- ,P 为平面内动点,过点 P 作直线 l 4 4

的垂线,垂足为 M,且 MP.MF ? FP.FM (I)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (III)若曲线 E 与圆 Q:x2+(y-4)2=r2(r>0)有 A、B、C、D 四个交点,求四边形 ABCD 面积 取 到最大值时圆 Q 的方程.

5

21.

(本小题满分 12 分)

已知函数 f(x)=

1 2x e -ax(a∈R,e 为自然对数的底数). 2 1 2x 2 e +x +x 在区间(0,+ ? )上为增函数,求整数 m 的 4

(I)讨论函数 f(x)的单调性; (II)若 a=1,函数 g(x)=(x-m)f(x)最大值.

请考生在第 22?24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

在 RtΔABC 中, ? B =90。,AB=4,BC=3,以 AB 为直径
做 圆 0 交 AC 于点 D (I)求线段 CD 的长度; (II)点 E 为线段 BC 上一点,当点 E 在什么位置时,直 线 ED 与圆 0 相切,并说明理由.

s 23. (本小题_分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 0 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已 知 圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2a cos(? ?

?
4

)( a ? 0) .

(I)当 a ? 2 2 时,设 OA 为圆 C 的直径,求点 A 的直角坐标; (II)直线 l 的参数方程是 ? 求 a 的取值范围.

? x ? 2t (t 为参数),直线 l 被圆 C 截得的弦长为 d,若 d ? 2 , ? y ? 4t

6

24.

(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

设函数 f(x)=lg(|x+1|+|x-a|-2),a∈R.
(I)当 a=-2 时,求函数/f(x)的定义域; (II )若函数 f(x)的定义域为 R,求 a 的取值范围.

7

2013 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试 数学(理科答案) 一、选择题: 1-5 ABCCC 6-10BCABD 11-12BD

12 题解析: 由 F ( x) ? f ( x ? 4) ? g ( x ? 4) 可知, 函数 F ( x) 的零点即为 f ? x ? 4 ? 的零点或 g ? x ? 4? 的零 点.

f ' ( x) ? 1 ? x ? x2 ? x3 ???? ? x2012 ,
当 x ? ?1 时, f ( x)?1? x ? x ? x ????? x
' 2 3 2012

1? x 2013 ? ?0 成立, 1? x

f ' (?1) ? 1 ? x ? x2 ? x3 ???? ? x2012 ? 1 ? 0 ,
当 x ? ?1 时, f ( x) ? 1 ? x ? x ? x ? ??? ? x
' 2 3 2012

1 ? x 2013 ? ? 0 也成立, 1? x

即 f ' ( x) ? 1 ? x ? x2 ? x3 ???? ? x2010 ? 0 恒成立, 所以 f ( x) ? 1 ? x ?

x 2 x3 x 4 x 2013 ? ? ? ??? ? 在 R 上单调递增. 2 3 4 2013

1 1 ? ? 1 1? ? f (0) ? 1, f ? ?1? ? ?1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ??0, ? 2 3? ? 2012 2013 ?

f ? x ? 的惟一零点在 ? ?1,0? 内, f ? x ? 4? 的惟一零点在 ? ?5, ?4? 内.
同理 g ? x ? 4? 的惟一零点在 ?5,6? 内,因此 b ? 6, a ? ?4, a ? b ? 2. 二、填空题: 13. -33 14.

3? + 3 2

15.

4 3 3

16.

? 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

8

解: (I)设等差数列 {an } 的公差为 d,由 (a2 )2 ? a1 ? a4 ,…………2 分 又首项为 2 ,得

(a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d ) ,

因为 d ? 0 ,所以 d ? 2 ,……………4 分 所以 an ? 2n .………………6 分 (Ⅱ)设数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 由(Ⅰ)知 an ? 2n , , 所以 bn ?

1 1 = bn ? 2 (2n ? 1)2 ? 1 ……………8 分 (a n ? 1) ? 1

=

1 1 1 1 1 ) ,…………10 分 ? = ?( 4 n(n+1) 4 n n+1

所以 Tn =

n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1- + ? + ? + ) = ? (1)= , 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1) n .………………12 分 4(n+1)

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn = 18. (本小题满分 12 分) 解法一:

(Ⅰ)存在点 M ,当 M 为线段 AE 的中点时, PM∥平面 BCA ,……………1 分 取 EB 的中点 N,连接 PN,MN,则 MN∥BA,PN//CB, 所以平面 PMN//平面 ABC, ……………3 分 因为 PM 在平面 PMN 内, 所以 PM∥平面 ABC.………………5 分 (Ⅱ)连接 PH,NH ,可知 PN ? 平面ABE , 所以 PH 与平面 ABE 所成角为 ?PHN , 又 tan ?PHN ?

PN , PN ? 2 , NH

所以当 NH ? AB 时, PH 与平面 ABE 所成角最大,……………7 分 可得 BH ?

2 ,…………………8 分 2

9

过 H 做 HR ? EB 交 EB 于 R , 则 HR ? 平面BCDE ,且 BR ? HR ?

1 , 2

过 R 做 RG ? CD 垂足为 G ,连接 HG , 则 HG ? CD , 所以 ?HGR 为二面角 H ? PC ? E 的平面角,………………10 分 所以在直角 ?HRG 中 tan ?HGR ? 所以 cos ?HGR ?

HR 1 ? , RG 4

4 17 4 17 ,所以二面角 H ? PC ? E 的余弦值为 . 17 17

解法二: (Ⅰ)存在点 M ,当 M 为线段 AE 的中点时,PM∥平面 BCA ,………1 分 建立如图所示空间直角坐标系,则 A?0,0,2? , M ?0,0,1? , P?2,1,0? , B?0,2,0?

C ?2,2,0? ,
AB 中点 F ?0,1,1? ,
所以 PM ? ? ?2, ?1,1? , BC ? ?2,0,0? , AB ? ?0,2,?2? , EF ? ?0,1,1? 可知 EF ? BC ? 0 , EF ? AB ? 0 ,? EF ? 平面 ABC ,…………3 分 又 EF ? PM ? 0 ,

???? ?

? PM // 平面 ABC .……………5 分
(Ⅱ) 可知 P ( 2, 1,0 ),A(0,0,2),E(0,0,0) ,B(0,2,0) , 设 H ( x,y,z ) ,则 BA ? ?0,?2,2? , BH ? ( x,y ? 2,z) , 设 BH ? ? BA ,则得 H (0,? 2?, ) , 2 2? 所以 PH ? (?2, 2?, ) ,因为点 P 到平面 ABE 的距离为定值 2,……………7 分 1? 2? 所以当 PH 最小时 PH 与平面 ABE 所成角最大, 此时 PH ? BA ,即 PH ? BA ? 0 ,得 ? ?

1 3 1 ,所以 H (0, , ) , 2 2 4

? 所以 BH ? (0,

1 1 , ) ,…………………8 分 2 2

设平面 PCH 的一个法向量为 n ? ( x0,y0,z0 ) ,

10

???? ??? ? 1 1 PC ? (0,1,0) , PH ? (?2, , ) 2 2

? y0 ? 0; ??? ? ???? 1 ? 则由 n ? PC ? 0 , n ? PH ? 0 ,可得 ? ,则 n ? ( ,0, , 2) 1 1 2 ??2 x ? 2 y ? 2 z ? 0. ?
平面 PBE 的一个法向量为 EA ? ?0,0,2? ,…………………10 分 设二面角 H ? PC ? E 的大小为 ? ,

??? ? n ? EA 4 17 则 cos ? ? . ……………………12 分 ??? ? ? 17 n ? EA
19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设商店某天销售 A 商品获得的利润为 ? (单位:元) 当需求量为 3 时, Y ? 15 ? 3 ? 5 ? (4 ? 3) ? 40 当需求量为 4 时, Y ? 15 ? 4 ? 60 , 当需求量为 5 时, Y ? 15 ? 4 ? 60 , ………………2 分 ,

? 的分布列为
Y
40 60 0.7

P

0.3

……………4 分 则 E (? ) ? 40 ? 0.3 ? 60 ? 0.7 ? 54 (元) 所以商店该天销售 A 商品获得的利润均值为 54 元.……………………………6 分 (Ⅱ)设销售 A 商品获得的利润为 Y, 依题意, 视频率为概率,为追求更多的利润, 则商店每天购进的 A 商品的件数取值可能为 3 件,4 件,5 件. 当购进 A 商品 3 件时,

E (Y ) = [(30 ?15) ? 3] ? 0.3 ? [(30 ? 15) ? 3] ? 0.4 ? [(30 ? 15) ? 3] ? 0.3 ? 45 ,
当购进 A 商品 4 件时,

E (Y ) =
[(30 ? 15) ? 3 ? (15 ? 10) ?1] ? 0.3 ? [(30 ? 15) ? 4] ?
11

x 70 ? x ? [(30 ? 15) ? 4] ? ? 54 100 100

……………8 分 当购进 A 商品 5 件时,

E (Y )
? [(30 ? 15) ? 3 ? (15 ? 10) ? 2] ? 0.3 ? [(30 ? 15) ? 4 ? (15 ? 10) ?1] ?
? 63 ? 0.2x
……………10 分

x 70 ? x ? [(30 ? 15) ? 5] ? 100 100

由题意 63 ? 0.2 x ? 54 ,解得 x ? 45 ,又知 x ? 100 ? 30 ? 70 , 所以 x 的取值范围为 ?45,70? , x ? N .………………12 分
*

20. (本小题满分 12 分)

1 1 4 4 ???? ???? ???? ? ? 1 1 1 ??? 1 MP 则 MF ? (? x, ), ? (0, y ? ), FM ? ( x, ? ), FP ? ( x, y ? ) ,…………………2 分 2 4 2 4 ???? ???? ??? ???? ? ? 由 MP ? MF ? FP ? FM ,得 y ? x 2 ,动点 P 的轨迹 E 的方程为 y ? x 2 .………………4 分
解: (Ⅰ)设 P ( x, y ) ,则 M ( x, ? ) ,又 F (0, )
2 (Ⅱ)将抛物线 E : y ? x 2 代入圆 Q : x 2 ? ( y ? 4) 2 ? r 2 ( r ? 0 )的方程,消去 x ,整

理得 y 2 ? 7 y ? 16 ? r 2 ? 0 ....... , ......(1)
2 2 2 2 抛物线 E : y ? x 与圆 Q : x ? ( y ? 4) ? r ( r ? 0 )相交于 A 、 B 、 C 、 D 四个点

的充要条件是:方程(1)有两个不相等的正根 y1、y 2 ,

?49 ? 4(16 ? r 2 ) ? 0 15 ? ∴ ? y1 ? y 2 ? 7 ? 0 解这个方程组得 ? r ? 4 ,………………6 分 2 ? 2 ? y1 ? y 2 ? 16 ? r ? 0
设四个交点的坐标分别为 A( y1,y1 ) 、 B(? y1,y1 ) 、 C(? y2 ,y2 ) 、 D( y2,y2 ) , 则 S ?| y2 ? y1 | ( y1 ?

y2 ) ,
y1 y2 )? ( 7? 2 1 6 2r ? ) (2r ? ,5) 4 1 …………8

2 2 所 以 S ? [ ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ] ( y ? y2 ? 2 1

分 设 t ? 16 ? r 得 t ? (0, ) 代入上式,则 S ? (7 ? 2t ) (7 ? 2t ) ,并令 f (t ) ? S ,
2
2 2

7 2

2

7 f ( t ) ? (7 ? 2t ) 2 (7 ? 2t ) ? ?8t 3 ? 28t 2 ? 98t ? 343(0 ? t ? ) , 2

12

∴ f `(t ) ? ?24t 2 ? 56t ? 98 ? ?2(2t ? 7)(6t ? 7) ,……………10 分 令 f `(t ) ? 0 得 t ?

7 7 ,或 t ? ? (舍去) 6 2

当0 ? t ?

7 7 7 7 时, f `(t ) ? 0 ;当 t ? 时 f `(t ) ? 0 ;当 ? t ? 时, f `(t ) ? 0 6 6 6 2
7 527 2 时, f (t ) 有最大值,即四边形 ABCD 的面积最大,此时 r ? , 6 36
527 36 .……………12 分

故当且仅当 t ?

2 2 圆的方程为 x ? ( y ? 4) ?

21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)定义域为 (??, ?) , f ' ( x) ? e ?
2x

?a,

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f (x ) 在 (??, ?) 上为增函数;………………2 分 ? 当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 得 x ? 当 x?(

ln a ln a ,且当 x ? ( ?? , ) 时, f ' ( x) ? 0 , 2 2

ln a , ? ) 时 f ' ( x) ? 0 , ? 2 ln a ln a , ?) 为增函数.………………4 分 ? 所以 f (x ) 在 x ? ( ?? , ) 为减函数,在 x ? ( 2 2 1 2x 1 2x 2 (Ⅱ)当 a ? 1 时, g ( x) ? ( x ? m)( e ? x) ? e ? x ? x , 2 4
若 g (x) 在区间 (0, ?) 上为增函数, ? 则 g '( x) ? ( x ? m)(e 即m ?
2x

? ?1) ? x ? 1 ? 0 在 (0, ?) 恒成立,

x ?1 ? x 在 (0, ?) 恒成立, ? e2 x ? 1 x ?1 ? x , x ? (0, ?) ;………………6 分 令 h( x ) ? 2 x ? e ?1

e 2 x (e 2 x ? 2 x ? 3) 2x ? , x ? (0, ?) ;令 L( x) ? e ? 2 x ? 3 , h' ( x) ? 2x 2 (e ? 1)
2 可知 L ( ) ? e ? 4 ? 0 , L(1) ? e ? 5 ? 0 ,

1 2

? 又当 x ? (0, ?) 时 L' ( x) ? 2e
所以函数 L( x) ? e
2x

2x

? 2 ? 0,

? ? 2x ? 3 在 x ? (0, ?) 只有一个零点,………………8 分

13

1 ) 设为 ? ,即 e 2? ? 2? ? 3 ,且 ? ? ( , ;
由 上 可 知 当 x ? (0,? ) 时 L( x) ? 0 , 即 h' ( x) ? 0 ; 当 x ? (?, ?) 时 L( x) ? 0 , 即 ?

1 2

h' ( x ) ? 0 ,
所以 h( x ) ? 把 e 2?

x ?1 ? ?1 ? x , x ? (0, ?) ,有最小值 h(? ) ? 2? ? ? ,……………10 分 ? 2x e ?1 e ?1 1 1 3 1 ) ( ? 2? ? 3 代入上式可得 h(? ) ? ? ? ,又因为 ? ? ( , ,所以 h(? ) ? 1, ) , 2 2 2

又 m ? h( x) 恒成立,所以 m ? h(? ) ,又因为 m 为整数, 所以 m ? 1 ,所以整数 m 的最大值为 1.…………………12 分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 解 : ( Ⅰ ) 连 结

BD

, 在 直 角 三 角 形

ABC

中 , 易 知

AC ? 5 , ?BDC ? ?ADB ? 900 ,…………2 分
所以 ?BDC ? ?ABC ,又因为 ?C ? ?C ,所以 ?ABC 与 ?BDC 相似, 所以

BC 2 9 CD BC ? ? .…………5 分 ,所以 CD ? BC AC AC 5

(Ⅱ)当点 E 是 BC 的中点时, 直线 ED 与圆 O 相切.……………6 分 连接 OD ,因为 ED 是直角三角形 ?BDC 斜边的中线,所以

ED ? EB ,所以 ?EBD ? ?EDB ,因为 OD ? OB ,所以

?OBD ? ?ODB ,………………8 分
所以

?ODE ? ?ODB ? ?BDE ? ?OBD ? ?EBD ? ?ABC ? 900 ,所以直线 ED 与圆 O 相
切.……………10 分 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
2 2 解: (Ⅰ)法一: a ? 2 2 时,圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 8 ,……2 分

∴圆心 C(2,-2) 又点 O 的直角坐标为(0,0) ,且点A与点 O 关于点 C 对称, 所以点 A 的直角坐标为(4,-4)……………5 分

14

法二: a ? 2 2 时,圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 ∴圆心 C(2,-2) 又点 O 的直角坐标为(0,0) , 所以直线 OA 的直线方程为 y ? ? x 联立①②解得 ? ②

①…………2 分

?x ? 0 ?x ? 4 (舍)或 ? ?y ? 0 ? y ? ?4

所以点 A 的直角坐标为(4,-4)…………5 分 法三:由 ? ? 4 2 cos(? ?

?

) 得圆心 C 极坐标 ( 2 2 ,? ) , 4 4

?

所以射线 OC 的方程为 ? ? ? 代入 ? ? 4 2 cos(? ?

?

?
4

4

,……………2 分

)得? ? 4 2

所以点 A 的极坐标为 ( 4 2 ,?

?
4

)

化为直角坐标得 A(4,-4).…………………5 分 (Ⅱ)法一:圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 直线 l 的方程为 y=2x.

2 2 2 2 a) ? ( y ? a) ? a 2 , 2 2

?
所以圆心 C(

2 2 a ,? a )到直线 l 的距离为 2 2

2 a ? 2a 2 5

,……………8 分

∴d=2 a 2 ?

10 9a 2 = a. 5 10

所以

10 a ≥ 2 ,解得 a ? 5 .…………………10 分 5

法二:圆 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? 0 , 将?

? x ? 2t 化为标准参数方程 y ? 4t ?

15

2 ? ? x ? 20 m 10 10 ? 2 代入得 m ? am ? 0 ,解得 m1 ? 0, m2 ? ? a, ? 5 5 ?y ? 4 m ? 20 ?
∴d= | m1 ? m2 | =

10 a ,…………………8 分 5

,所以

10 a ≥ 2 ,解得 a ? 5 .…………………10 分 5

法三:圆 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? 0 , 直线 l 的方程为 y=2x.

? x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? 0 联立 ? ? y ? 2x
得 5x ? 2ax ? 0
2

解得 x1 ? 0, x 2 ? ?

2 a 5 10 a ,…………………8 分 5

∴d= 2 2 ? 1 | x1 ? x2 | =

所以

10 a ≥ 2 ,解得 a ? 5 .………………10 分 5

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)当 a ? ?2 时,设函数 f ( x) ? lg(| x ? 1| ? | x ? 2 | ?2)

| x ? 1| ? | x ? 2 | ?2 >0,
令 g ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | ?2

? ?2 x ? 3 ? 则 g ( x ) ? ?1 ?2 x ? 3 ?
若 g ( x) ? 0, 则 x ? ?

x ? ?2; ? 2 ? x ? ?1; …………………3 分 x ? ?1.
1 5 , x?? . 2 2 或

16

? ? 所以 f ( x ) 定义域为 ( ?? , ) ? ( ? , ?) .…………………5 分
( Ⅱ ) 由 题 意 , | x ? 1 | ? | x ? a |? 2 在

5 2

1 2

R

上 恒 成 立 , 因 为

| x ? 1| ? | x ? a |?|1 ? a | ,……………8 分
所以 | 1 ? a |? 2 ,得 a ? ?3或a ? 1.………………10 分

17



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