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4.2.2


4.2.2 圆与圆的位置关系

无公共点 4条公切线
R r O1 O2 外离 |O1O2|>|R+r|

无公共点 无公切线
R

唯一公共点 3条公切线
R O1

r
O2

O1 O2

r

内含 0≤|O1O2|<|R-r| 唯一公共点 1条公切线
R

圆与圆 的位置 关系

外切 |O1O2|=|R+r|

两个公共点 2条公切线
R O1 r O2

O1 O2

r

内切 |O1O2|=|R-r|

相交 |R-r|<|O1O2|<|R+r|

例1 设圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2:x2+y2-4x-4y2=0,试判断圆C1与圆C2的关系.
y C2

A O

. (2,2)

x

B
. (-1,-4)

C1

解法一: 把圆C1的方程化为标准方程,得

? x ? 1?

2

? ? y ? 4 ? ? 25.
2

圆C1的圆心是点(-1,-4),半径长r1=5. 把圆C2的方程化为标准方程,得 求两圆心坐

标及半径 圆C1的圆心是点(2,2),半径长r2= 10 . (配方法)
2 2
2 2 圆C1与圆C2的圆心距为 ? ?1 ? 2? ? ? ?4 ? 2? ? 3 5, 求圆心距d 圆C1与圆C2的半径之和是

? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 10.

(两点间距 离公式) 比较d和 而5 ? 10 ? 3 5 ? 5 ? 10, 即r1 ? r2 ? 3 5 ? r1 ? r2, r1+r2,|r1r2|的大小, 所以圆C1与圆C2相交 下结论

r1 ? r2 ? 5 ? 10, 两半径之差是 r1 ? r2 ? 5 ? 10,

? 解:联立两个方程组得
? x2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 ① ? ? 2 2 ?x ? y ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 ② ?

联立方程组 消去二次项

①-②得 x ? 2 y ?1 ? 0 ③ 把上式代入①
x ? 2x ? 3 ? 0 ④ ? ? (?2)2 ? 4 ?1? (?3) ? 16
2

消元得一元 二次方程

用Δ判断两 所以方程④有两个不相等的实根x1,x2 把x1,x2代入方程③得到y1,y2 圆的位置关
所以圆C1与圆C2有两个不同的交点 系 A(x1,y1),B(x2,y2)

探究
? x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 ? ? 2 ? x ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 ? 则两圆相交弦方程为( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? ( F1 ? F2 ) ? 0

两圆相交时,相交弦 所在直线方程为两圆方程 相减的一次方程

小结:判断两圆位置关系
几何方法
两圆心坐标及半径 (配方法)

代数方法
? ( x ? a1 ) 2 ? ( y ? b1 ) 2 ? r12 ? ( x ? a2 ) 2 ? ( y ? b2 ) 2 ? r2 2 ?
消去y(或x)

圆心距d (两点间距离公式)

px 2 ? qx ? r ? 0

比较d和r1+r2的大 小,下结论

? ? ? 0 : 相交 ? ? ? ? 0 :内切或外切 ?? ? 0 : 相离或内含 ?

思考
? 几何方法 判断两圆位置关系 ? 代数方法 ?
各有何优劣,如何选用?
(1)当Δ=0时,有一个交点,两圆位置关系如何? 内切或外切 (2)当Δ<0时,没有交点,两圆位置关系如何? 内含或相离
几何方法直观,但不能 求出交点; 代数方法能求出交点,但Δ=0, Δ<0时,不能判 圆的位置关系。

变式1点A在圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0上,点B在圆 C2:x2+y2-4x-4y-2=0圆上,求|AB|的最大值和最小 值. y B
.
C2

. (2,2)
x

.
C1

O B

.

.
A

(-1,-4)

拓展练习:
c1 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0

? 实数K为何值时,圆
2 2

c2 : x ? y ? 2 x ? 14 y ? k ? 0

相切 相交 相离

小结:
研究两圆的位置关系可以有两种方法:
1 圆心距与r1 ? r2与 r1 ? r2 的关系 2 两圆方程组成的方程组解的组数

数学思想方法:数形结合

等价转化


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