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浙江省温州市十校联合体2016届高三数学上学期期中试题 理


2015 学年第一学期十校联合体高三期中联考 数 学 试 卷(理)
(满分 150 分,考试时间:120 分钟) 一. 选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 1.已知集合 A ? {x | x

? x ? 2 ? 0} , B ? { y | y ? log2 x} ,

则 (CR A) ? B ? ( A. (?2,1) B. [?2,1] C. (??,?2) ? (1,??) D. (?2,1] 1 1 2.已知 a ? R, b ? R ,则“ a ? b ”是“ ? ”成立的 ( ) a b
2



A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

3.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的 体积为( A. ) . B.

2? 3

? 3

C.

16? 9

D.

2? 9
第3题

4.已知等比数列{ a n}首项为 1 ,公比 q ? 2 ,前 n 项和为 S n ,则下 列结论正确的是 (
?

) B. ?n ? N , an ? an?1 ? an? 2 D. ?n0 ? N ? , an0 ? an0 ?3 ? an0 ?1 ? an0 ?2
?

A. ?n ? N , S n ? a n ?1 C. ?n0 ? N ? , an0 ? an0 ?2 ? 2an0 ?1 5.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )

(? ? 0 , ? ?

?

2

) 的最小正周期为 ? ,且其图像向右平移
)

? 个单位后得到函数 g ?x? ? sin??x ? 的图像,则函数 f ( x ) 的图像 ( 6 ? 5?
A.关于直线 x ? C.关于点 (

12

对称

B.关于直线 x ?

12

对称

?
12

, 0 ) 对称

D.关于点 (

5? , 0 ) 对称 12
)

?y ? 3 ? 6.若实数 x,y 满足不等式组 ?3 x ? 7 y ? 24 ? 0 , 则 z ? x ? 2 y 的最大值是( ?x ? 3 y ? 8 ? 0 ?
A.6 B.7 C.8 D.9

7.若关于 x 的不等式 x ? x ? a ? 2 至少有一个正数解,则实数 a 的取值范围是(
2



A. (?2,2)

B. ( ?2, )

9 4

C. ( ? , )

9 9 4 4

D. ( ?

9 , 2) 4
1

8.已知 A ? ? , AB ? 5 , AC ? 2 2 ,且 AB 与 ? 所成角的正弦值为 角为 45 ,点 B, C 在平面 ? 同侧,则 BC 长的范围为(
0

4 , AC 与 ? 所成的 5

) D. [ 29, 61]

A. [5 ? 2 2,5 ? 2 2 ]

B. [ 5, 29]

C. [ 5, 61]

二.填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。 ) 9.已知 0 ? ? ? ? , sin ? ? 1 ,则 cos ? ? ______ ; cos 2? ? ______.

2

3

10.在等差数列 {an } 中, 若 a4 ? a8 ? 8, a7 ? a11 ? 14 , ak ? 18 ,则 k ? 的前 n 项和 S n ? .

; 数列 {an }

11.已知直线 l :mx ? y ? 4 ,若直线 l 与直线 x ? (m ? 1) y ? 1 垂直,则 m 的值为 若直线 l 被圆 C : x ? y ? 2 y ? 8 ? 0 截得的弦长为 4,则 m 的值为
2 2

; .

12. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x2 ? ax ? a ?1,则

f (?2) ?
是 13.若 x ? [ ? .

; 若 函 数 f ( x) 为 R 上 的 单 调 减 函 数 , 则 a 的 取 值 范 围

? ?

3sin 2 x ? 2 , ] ,则 f ( x) ? 的最大值为 6 4 sin x cos x ? cos 2 x



14.已知向量 a, b ,且 b ? 2 , a ? b ? 2 ,则 t b ? (1 ? 2t )a (t ? R) 的最小值为



x2 y 2 15. 已 知 双 曲 线 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 左 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 抛 物 线 a b
C1与C2 在第一象限相交于点 C2 : y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦点与双曲线 C1 的一个焦点重合,
P,且 F1 F2 ? PF1 ,则双曲线的离心率为 .

三.解答题(本大题有 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 16. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 ?ABC 中 角 A, B, C 对 边 分 别 为 a, b, c , 且 满 足

2a s i nC (?

) ?b?c. 6 (Ⅰ)求 A 的值;
2

?

(Ⅱ)若 B ?

?
4

, b ? a ? 2 ? 3 ,求 ?ABC 的面积.

17. (本小题满分 15 分) 如图, 已知四边形 ABCD 为菱形, 且 ?A ? 60 , E , F 分别为 AB , AD 的中点,现将四边形 EBCD 沿 DE 折起至 EBHD . (Ⅰ)求证: EF // 平面ABH ; (Ⅱ)若平面 EBHD ⊥平面 ADE ,求二面角 B ? AH ? D 的平面角的余弦值. B E A F D A C B B E B F H

?

D

18.(本小题满分 15 分)已知椭圆 C 的离心率为

2 ,右焦点为 F2 (1,0) ,过点 B(2,0) 作直 2

线交椭圆 C 于 P、Q 两点,设直线 PF2 和 QF2 的斜率分别为 k1 , k2 . (Ⅰ)求证: k1 ? k2 为定值; (Ⅱ)求△PF2Q 面积 S 的最大值.

19.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1(a, b ? R) .
2

3

(Ⅰ)若函数 f ( x)的值域为? , 且 f ( x ? 1) ? f (? x) ,求函数 f ( x) 解析式; ? ? ?, (Ⅱ) 设b ? a ? 1 ,当 0 ? a ? 1 时,对任意 x ? ?0,2? ,都有 m ? f ( x) 恒成立,求 m 的 最小值.

?3 ?4

? ?

20.(本小题满分 15 分)已知数列 ?a n ?满足 an ? 0 且 an ? (Ⅰ)证明: a n ?1 ?
2

2an ?1 (n ? N * ) . 1 ? an ?12

1 a (n ? N * ) ; 2 n
1 2 a1 . 3

(Ⅱ)令 bn ? ?an ?1 ? anan ?1 (n ? N * ) ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ?

4

2015 学年第一学期十校联合体高三期中联考 数 学 (理)参考答案

一、选择题:本大题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 A 5 A 6 C 7 D 8 B

二.填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。 ) 9.

2 2 3
1 2 1 ? 2 ?

7 9
?2

10.

20
3 ? 3a
1

n 2 ? 3n 2
a ? ?1
15.

11. 13.

12. 14.

2? 3

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 ?ABC 中 角 A, B, C 对 边 分 别 为 a, b, c , 且 满 足

2a sin( C ?

?

6

) ?b?c.

(Ⅰ)求 A 的值 (Ⅱ)若 B ?

?

4

, b ? a ? 2 ? 3 ,求 ?ABC 的面积。
3 1 ? cos C ? ) ? sin B ? sin C , ------------------------------2 2

2 sin A(sin C ? 解: (Ⅰ)

2

分 即 3 sin A sin C ? sin A cos C ? sin B ? sin C , 所以 3 sin A sin C ? sin A cos C ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin C , 所以 3 sin A sin C ? cos A sin C ? sin C , 所以 3 sin A ? cos A ? 1 ,
A? ) ?1 6 ------------------------------------------------------ 6 分 得

------ 4 分





2s

?

i



n

. ------------------------------------------------3 --7 分 (Ⅱ)设△ABC 外接圆半径为 R,由正弦定理得:

A?

?

5

b ? c ? 2 R(sin B ? sin C ) ? 2 R(
? R ? 1.

2 3 ? )? 2? 3 2 2

--------------------------------------- 9 分

?A?? ? B?C ?

5? 12

? sin A ?

6? 2 4

--------------------------------------- 11 分

1 1 6 ? 2 3? 3 . ------------------------? S△ABC ? bcsin A ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 4 4
14 分 17. (本小题满分 15 分) 如图, 已知四边形 ABCD 为菱形, 且 ?A ? 60 , E , F 分别为 AB , AD 的中点,现将四边形 EBCD 沿 DE 折起至 EBHD 。 (Ⅰ)求证: EF // 平面ABH ; (Ⅱ)若平面 EBHD ⊥平面 ADE ,求二面角 B ? AH ? D 的平面角的余弦值。 B E A F D 解: (Ⅰ)取 AH 的中点 G,连接 BG,FG,EF 分 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 BE 平行且等于 C A H B B E B F
?

D

---------------------------2

1 HD 2 1 HD 2
行 BG

又因为 FG 为三角形 ABH 的中位线,所以 FG 平行且等于 故 BE 平行且等于 FG,即 BEFG 为平行四边形, 因 此 EF -----------------------------------4 分 所 以



EF // 平面ABH

--------------------------------------- 5 分
? (Ⅱ)因为 ?A ? 60 ,所以 DE ? AB

故翻折之后 BE ? ED, AE ? ED ,因此 ? BED 为二面角 A-DE-H 的平面角, 故 ?BED ? 90? .因此 BE ? AE ----------------------7 分 建立直角坐标系,以 E 为坐标原点,以 AE 为 x 轴,DE 为 y 轴,且设菱形边长为 2,

6



A (, 1 0, 0),D(0, 3,0), B(0,0,1), H (0, 3,2)

??? ? ???? ? ???? ? 因此, AB=(-1 ,0,1), AH ? (?1, 3,2), DH ? (0,0,2) ?? 设平面 ABH 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,则

?? ??? ? ?? ? ? ?? x ? z ? 0 ?m ? AB ? 0 即? , 取 m ? ( 3, ?1, 3) -----------------------------? ? ?? ???? ? ?? x ? 3 y ? 2 z ? 0 ?m ? AH ? 0 ?
10 分 同 理 , 平 面 ADH 的 法 向 量 为

? n ? ( 3,1,0)

---------------------------------------1 2 分 于 是 ,
c ?? ? m?n ?? ? 7 ?m n? ? o ?? ? ? 7 m?n s

,

,

--------------------------------------- 14 分 由题知,所求二面角为钝角, 故二面角 B ? AH ? D 的平面角的余弦值为 ?
7 。 7

--------------- 15 分

18.(本小题满分 15 分)已知椭圆 C 的离心率为

2 ,右焦点为 F2 (1,0) ,过点 B(2,0) 作直 2

线交椭圆 C 于 P、Q 两点,设直线 PF2 和 QF2 的斜率 分别为 k1 , k2 . (Ⅰ)求证: k1 ? k2 为定值; (Ⅱ)求△PF2Q 面积 S 的最大值.
P O y

F2 Q

B x



: (























x2 ? y2 ? 1 2

----------------------------------- 3 分 设 PQ 直线方程为 y ? k ( x ? 2) ,代入椭圆方程得: (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 ,
2 2 2 2

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

8k 2 8k 2 ? 2 , x x ? ??????????5 分 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

k1 ? k 2 ?

y1 y k ( x1 ? 2) k ( x2 ? 2) x ? x2 ? 2 ? 2 ? ? ? k[ 2 ? 1 ] ? 0 ?? 7 分 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)(x2 ? 1)
7

(Ⅱ)由 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 ,得

? ? 0 ,所以 k 2 ?

1 2

8(1 ? 2k 2 ) 1 1 1 S ? ? BF2 ? y1 ? y2 ? k x1 ? x2 ? k 2 2 2 1 ? 2k 2
--------------------------------10 分

(1 ? 2k 2 )k 2 ? t 2 ? 3t ? 2 1 3 1 =? 2 , ? 2 ? ( ? )2 ? ( t ? 1 ? 2k 2 ) ? 2 2 2 2 2t t 4 16 (1 ? 2k )
所 以

k2 ?

1 6





S











2 4

--------------------------------------- 15 分

19.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1(a, b ? R) 。

?3 ? ?4 ? (Ⅱ)若 设b ? a ? 1 ,当 0 ? a ? 1 时,对任意 x ? ?0,2? ,都有 m ? f ( x) 恒成立,求 m 的
(Ⅰ)若函数 f ( x)的值域为? , 且 f ( x ? 1) ? f (? x) ,求函数 f ( x) 解析式; ? ? ?, 最小值。 解(Ⅰ)由已知得 a ? 0,

4a ? b 2 3 b 1 ? , ? ,则 a ? 1, b ? 1 4a 4 2a 2
―――――――――― 5分

f ( x) ? x2 ? x ? 1

(Ⅱ)①当 a=0 时, f ( x) ?| x ? 1 | 在[0,2]上的最大值为 1----------------- 7 分 ② 0 ? a ? 1 时,对称轴为 x ? 若

a ?1 2 >0, ? ? (a ? 1) ? 0 2a

a ?1 1 ? 2 即 0 ? a ? 时, f ( x) max ? max{| f (0) |, | f (2) |} ? max{ 1, | 2a ? 1 |} , 2a 3
----------------------------------10 分

而 2a ? 1 ? 1 ,所以 f ( x) max ? 1 ③若

1 a ?1 ? 2 即 ? a ? 1, 3 2a

f ( x)max

a ?1 (a ? 1)2 ? max{| f (0) |, | f ( ) |, | f (2) |} ? max{ 1, , | 2a ? 1 |} 2a 4a



1 (a ? 1)2 ? a ? 1, ? ? 1, | 2a ? 1 |? 1 ,所以 f ( x) max ? 1 ------------- 13 分 3 4a
------------------ 15 分
8

综上: m ? 1

20.(本小题满分 15 分)已知数列 ?a n ?满足 an ? 0 且 an ? (Ⅰ)证明: a n ?1 ?
2

2an ?1 (n ? N * ) . 1 ? an ?12

1 a (n ? N * ) ; 2 n
1 2 a1 . 3

(Ⅱ)令 bn ? ?an ?1 ? anan ?1 (n ? N * ) ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? 解:(Ⅰ)由 a n ?

2a n ?1 1?
2 an ?1

, an ? 0 ,所以有 1 ? an ?12 ? 0 ,

?0 ? 1 ? an?12 ? 1

1a 。 --------------- 7 分 2 n 1 1 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 a n ? a n ?1 ? 2 a n ? 2 ? ? ? n ?1 a1 ,即 a n ? n ?1 a1 ,---10 分 2 2 2 2 2 1 又 bn ? ?an ?1 ? anan ?1 , bn 是关于 an ?1 的二次函数,? a n ?1 ? a n 2 1 2 1 1 2 ? bn ? ? an ? an ? ( an ) ? an , --------------------------------- 12 分 4 2 4 1 1 2 由an ? n ?1 a1得 , bn ? n a1 2 4 1 1 2 1 ? Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? a1 ( ? 2 ? ? ? n ) 4 4 4 1 2 1 1 2 = a1 (1 ? n ) ? a1 -----------------------------------------3 4 3
因此 a n ? 2a n ?1 ,即 a n ?1 ? 15 分

9

2015 学年第一学期十校联合体高三期中联考数学(理)试卷细目表 考查点 参考《指导意见》 、 《考 试说明》 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 集合的运算和不等式的运算 充要条件 三视图 逻辑连结词 三角函数 线性规划 函数问题 立体几何 三角函数求值 数列 直线与圆 函数与奇偶性 基本不等式 平面向量问题 离心率问题 三角与解三角形 立体几何综合应用 直线与椭圆的综合应用 函数性质的综合应用 数列综合问题 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 14 15 15 15 15 考查要求 A 了解 B 理解 C 应用 D 综合 B B C B B C C D B C C C C D D C D C D D 试题难度 I 容易 II 稍难 III 较难 I I I 1 2 II 3 III I 1 1 II II III III II II II III III 题目来源 (原创或改编) 改编 改编 改编 原创 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编

题号

分 值

选 择 题

填 空 题

12 13 14 15 16 17

解 答 题

18 19 20

10


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