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2003年全国高中数学联赛模拟试卷


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2 2  

中 学 生 数 学 

2 0 0 3年 7月 上 

2 0 0 3年全 国高中数 学联赛 模拟试 卷 
上 海市 上 海 中学 ( 2 0 0 2 3 1 )   冯 忘 刚 
若 ‰一4 ,  

  ) .   ( A) 1   ( B) 2   ( C)4   ( D)5  

数 学 奥 林 匹 克 在 上 海 中学 
上 海 中学 始 创 于 1 8 6 5年 , 占地 面积 3 2 0亩 , 是 上 

1 一 f(   ) ,   一0 , 1 , 2 , …. 则  2 o o 3 为 

海 市教 委 直 属 的 大 型 寄 宿 制 高 中 , 是 一 所在 国际 、 国   内都 享 有 盛 誉 的 中学 .  
1 9 9 0年 起 。 上 海 中学 开 办 高 中数 学 班 . 经 市 教 委 批 

2 .设 , (  ) 一v / — s i n  ̄ x + — 4 c o s 2 x一 
则 函数 _ 厂 ( z ) 的一个等 价形式 为(   ) .  



.  

准, 每 年 面 向 全 市数 理 化 及 科 技 竞 赛 中 获 奖 的 初 中 学  生提 前 招 生 , 对 上 海 市 的 理 科 竞 赛 尖 子 学 生 集 中 培 养.   多年 以 来 。 上 海 中学 高 中 数 学 班 一 直 把 培 养 高素 
质、 有 创 新 意 识 的 理 科 人 才 作 为 办 学 目标 , 要 求 学 生  在全面发展的基础上 。 某 一 门 学 科 特 剐 突 出. 就 数 学 奥  林 匹克 而 言 , 从 开 班 以来 每 年 都 有 学 生 进 入 冬 令 营 , 最  近 5年 , 每 年 都 有 学 生 进 入 国家 集 训 队 , 其中2 0 0 0年 吴 

( A ) c 。 s 号  n 专  
( C)c o s 2 x 

( B ) c 。 s X - S i n x  
( D)s i n 2 x 

3 .设 口 , b为 大 于 1的 实 数 , 且存 在一 个不 等 于 1   的正实数 f , 使得 2 ( 1 o g . c +l o g :) 一9 l o g i c . 则 l o g , b的 
最大可能值 为(   ) .  

( A) √   ( B )2 ( c )  

( D)3  

忠 涛 同学 入 选 国家 队 , 并在 第 4 1 届 I M0 中获 得 金 牌 .   2 0 0 2年 中 国数 学 奥 林 匹 ( 暨第 1 7届 全 国 中 学 生 
数 学冬 令 营 ) 于 2 0 0 2年 1月 2 5 日至 1月 3 0 日在 上 海 

4 .关 于 复 数 Z 的 方 程 ( Z+ 2 0 0 3 i ) ( Z+ 2 0 0 4 i ) ( Z   +2 0 0 6 1 ) =2 0 0 2 i 有 一 个 形 如 口+ b i 的根 , 其中 a , b为  正实数. 则 a为 (   ) .  

中学隆重举行. 这 是 这 一 国 内 最 高级 剐 的 数 学 竞 赛 第 


次 由中学举 办 , 赢 得 了 与 会 专 家 和 营 员 的 一 致 好 

( A)何

 

( B )  
( D)、 /  石 i  

评。 上 海 中 学在 全 国 的 影 响 得 到 进 一 步 提 升 .  

( c )、 /  石  

作者 简 介 
冯志 刚, 1 9 6 9年 4 月 生 , 湖南 南县 人 。 理 学 硕 士.  

5 .四 面 体 AB C D 中, 面 AB C和B CD 都 是 边 长 

为 2的正三角形 , AD=2 厄 点 M, N分 别是棱 AB 和 
C D 的中点. 一 只蚂 蚁沿 四面体 的表 面从 M 爬 到 N ,  
走过 的最短距 离为(   ) .  

1 9 9 0年 华 东 师 范 大 学 毕 业 后 。 留上 海 中学工作 至今.   现任 上 海 中 学 教 学 处 副 主 任 , 中 学 特 级 教 师. 他 指 导 
的 学 生 中有 2 0 0多人 次 获 得 上 海 市 一 等 奖 , 3 O多人 次 

获得参加冬 令 营、 国 家集训 队 的 资格 , 其 学 生 吴 忠 涛  在2 0 0 0年 国际 数 学 奥 林 匹 克 中 获 金 牌 . 已 累 计 发 表 
1 O多篇 论 文  和 多部 数 学 竞 赛 方 面 的 专 著. 他 还 是 

( A ) 1   ( B ) 号   ( c ) 2   ( D ) 三 2  
6 .平 面 上 给 定 5个 点 , 它 们 中任 意 3 个 不共 线.  
以 这 些 点 为 端 点 连 4条 线 段 , 已 知 每 个 点 至 少 是 其 中 


2 0 0 3年 参 加 第 4 4届 I MO 中 图国 家 队 副 领 队 , 是我国  
第 一 住 出任 副领 队 的 中 学教 师 .  

条 线 段 的 端 点 .则 连 出 这 4 条 线 段 的 方 式 有 
) .  

(  

第 一试  


( A)1 2 0种 ( B)1 2 5种 ( C)1 3 0种 ( D)1 3 5种 



选择息 ( 每小题 6 分, 共 3 6分 )  

二、 填 空息( 每 小 题 9分 , 共 5 4分 )   7 .一 个 4元 集 s 的 所 有 子 集 的 元 紊 和 的 总 和 等 

1 . 函数 _ 厂由 下 表 定 义 

l  1  l  2  }  3   4  l  5  
, ( z )f  4  I  1  l  3   5  I  2  

于2 0 0 8 ( 空 集 的 元 素 和认 为 是 零 ) , 则 s的 元 素 之 和 等 

.  
— —

8 ? 设z 为 锐 角 , 满 足s i n   x + s i n 。 z 一 寺, 则z 一  

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中 学 生 数 学 

2 3  

为偶 数. 这 里朋友关系 是相互的.  

9 .将 棱 长 为 1的 正 方 体 AB C D— A   B— C   D一切 
去 四个 三 棱 锥 A — A1 BD, B— Bl AC, C— C1 BD, D— 

答 案 或提 示 
第 一 试 
1 .( A) . 易知 { “   } 是 一 个 以 4为 周 期 的 数 列 , 故 
“ 2 0 0 3一 U 3   1 .  

D。 AC . 剩 余 部 分所 成 的 几 何 体 的 体 积 为

. 
— —

1 O .实 数 z, Y满 足 z   +  ≤ 5 , 则代数式 3 1  + l   +l   4   +9 l +I   7  一   一1 8 l 的最 大 可 能 值 为
.  
— —

2 .( C ) . 注意 到, , / — s i n  ̄ x - I - — 4 c o s 2 x= , / — s i n * x -4 — s i n z x +4  
。。-。_● 一  

●。。。

1 1 . 设n , b , c 为非 负实 数 , 则代 数式 √   a   +  
+  的  值 为 



I   2 一s i n z  I =2 一s i n  . 类似 地 , v / — c o s 4 x+ — 4 s i n 2 x= 

2 一C O S   z, 从而 , 厂 ( z) 一C O S   x- -s i n   z  c o s 2 x.  

3 .( B ) . 令 :l o g  ̄ a ,   一l o   b , 由条件 , 可知 2 ( ÷ 
+  ) 一 
V 

1 2 .平 面上 的 整 点 P( x,  ) 的 坐 标 满 足 
f 2 z ≥3  ,   3 x≥ 4 y,  

, 进而 2 z 2 —5 x y +2   :o , t &- y 一 2或
37  

Z 1_ V  

专, 而 l 。 g . b 一 詈 , 所 以 选 ( B ) .  
4 .( A) . 令 “ 一 Z+ 2 0 0 3 i , 则 U ( U +i ) ( U +3 i ) 一   2 0 0 2 i =2 X   7 X   1 1 ×1 3 i , 可知 U =一1 4 i 为 方 程 的解.   从而 , 令  一 U+ 1 4 i , 就有 (   一1 4 i ) (   一1 3 i ) (   一  1 1 i ) 一2 0 0 2 i , 展 开 后 得  一3 8 i w  一4 7 9 w=0 . 其 根 为 

【 5 z 一7   ≤2 O .   则 这 样 的整 点 P 共 有
— —

个.  

三、 解答题 ( 每小题 2 O分 , 共6 O分 )  
1 3 .对 任 意 实 数 b , 定 义 f( 6 ) 为 函数 l   s i n x+ 

一0 ,  . 。 一± 何
J 1_ Sl r l x 

+1 9   . 依此 可得结论.  

+b l 的最 大值. 求 函 数 厂( 6 ) 的最 小 值 , 并 求 

5 .( C ) . 分 别 沿 边 AD、 BC、 AC 将 与 该 边 相 邻 的  面展开在 一个平 面上 , 计算 可得结论.  

厂 ( 6 ) 取最 小值时 , b的 值 .   1 4 .在 坐 标 平 面 上 , 一 个 过 原 点 半 径 为 r的 圆 完 

6 .( D) . 共 可连 出 1 0条 线 段 , 所求 的 答案 为 C { 。  


全 落 在 区 域 Y≥一 内. 求 r的 最 大 值 .  
1 5 .设 , l 为 给 定 的 大 于 1的 奇 数 , 集合 S 一( 1 , 2 ,   …, , l } , 称 单 射  : S — S为 S 的 排 列 . 求 S的 排 列  的  个数 , 使得 
l  ( 1 ) 一1 l +I  ( 2 ) 一2 l +…+ I  ( , 1 ) 一, l I :  .  

C{ C: =1 3 5 .  

7 .  

. 注意 到, 设 s 一( n, 6 , c , d} 就有 2 。 ( a - - } 6 + 

f + d) 一2 0 0 8 , 故 a +b +c + d一 2 5 1 .  

8 .  . 由 于s i n 。 z + s i n   z 为 ( o , 号) 上 的 单 调 递  

增 函 数 , 而s  焉+ s . n 2  一 s . n 2  ( 1 + c 。 s 警 ) 一  
s i n z 孥  ,  

加 试 题 
( 每题 5 O分 , 合计 1 5 0分 )  


2 s i n  C O S 2 詈一 8 —




c  ̄

sZ  

告 ? 所 以 z 一 蠢 ?  

1 0



如 图所 示 , 凸 四 边 

形 ABC D 有 内切 圆 , 且 其 
内 切 圆 切 AB 于 点 E, 切 

C D 于 点 F. 证 明: 四 边 形  AB C D 有 外 接 圆 的 充 要 条 

g f t a  ̄4 个 三 棱 譬 的 体 积 都 为 ÷ × ÷ ,   而 每 相 邻 两 块 的 公 共 部 分 的 体 积 为 ÷ × ÷ × ÷ . 依   此 可 知 剩 余 部 分 的 体 积 为 1 — 4 ( ÷ ×   1 一 了 1  1 ×  


9 .   1



件 是 篮一 笫,  
二、 设  为 正 整数 , 复  系 数 多 项 式 P( Z ) =a 0 +a l Z+ … + a   Z   ( n   ≠0 ) . 证 

1  )


1  

Z .  
1 0 .2 7 - t - 6   由条 件可知 3 f ≥ 一  , 故9 +4 3   f ≥ 

0 . 又( 7 y -3 x )   ≤( 7   +3   ) (   +  ) ≤5 8 X   5 =2 9 0 . 所 

明: 存 在 一 个 复 数 Z, 使得 I Zl ≤1 , 并且 I P( Z ) I ≥I a 。 f  
+  .  

以1 8 -( 7 y -3 x ) >0 . 依 此 可 知 原 代 数 式 一 3l   +y l  


} - 9 - } - 4 y - } - 1 8 -7 y +3 x =3 }   + } +3 ( x - ) +2 7 . 注 

三、 设  为正 整 数 , S是 由 2  个 人 组 成 的 集 合 . 证  明: S中必有 两个 人 , 他 们 在 S 中 的 公 共 朋 友 的 个 数 

意到 I   x +y   l +(  一  ) ≤、 / ,   2   v /   2  

干 1 r =  i 

一  

所以, 有 3   I   +y』 +』 4  + 9 』 +  

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中 学 生 数 学 

2 0 0 3年 7月 上 

  I 7 y -3 x -1 8 l ≤2 7 +6 4 5 . 当 z=4 5 ,  一 0时 , 等 号 成 

综上可知, , ( 6 ) 的最小值为÷ , 且, ( 6 ) 取最小值  

立. 于是, 所求最 大值为 2 7 +6 √   ,  


l 1 .

2 . 当n 一 6 —1 , c — o 时, . 、 , /Z - +


6十



时 , 6 ; 一 导 .  
1 4 . 由对 称 性 , 为求 r 的最 大值 , 可 设 圆 的 方 程 为 
z   +( y- -r )  一  .  



、 ,c十 n  

√  一 2 . 由 于 n , 6 , c 中 至 多 有 一 个 零 , 而 c — o 时 ,  
原 式 为  +  ≥z   -2 . 又  都 

由条件 , 对任意 z ∈[ 一r , r ] , 均有 r 一 ̄ /  一  ≥一.  
令  一 r c o s   , 我 们 只需 对 o ≤  <  讨 论 , 即 对 任 

大 于 零 时 , 原 式 一 — 赢
≥  + 
1 2. 2 3 1 . 作


+ 志
+ 

+ 志
一z .  

E[ o , 要) , 均有 r 一 ̄ /  =7     意0
于 是  r —r s i n 0  ̄r   C O S   0, 进 而 
一≤  一 

≥一 C O S   0 成立.  

变换 “ 一2 x一 3 y ,  一 3 x一 4 y . 反 解 得 

.  

z =3 v -4 u ,  一2 v -3 u . 这 表 明 z, Y同 为 整 数 的 充 要  条件是 U ,   同为 整数. 因此 , 满 足 条 件 的 整 点 P 的 个 

注意到( 1 一s i n O ) ( 1 +s i 硼)   一  1( 2 —2 s i n 0 ) ( 1 + 
s i n   ) ( 1 +s i  ) ≤  1  x ‘ 了 4) 。


数 等 于 满 足 如 下 条 件 的整 点 ( U ,   ) 的个数 :  
’ 

等 号 在 s i 硼 一 ÷ 时 取 到 .  
对 任 意0 E [ o , 号) 成  

f “ ≥ 0,  
≥O ,  

由 于, ≤  = i  瓣
而 r 3 ≤  1   澈  

l “ +  2 o .  

这 样 的 整 点 ( “ ,   ) 的 个 数 容 易 求 得 , 它 等 于 ÷ ( 2 1   +  
2 1 ) 一2 3 1个 .  

反过来, 当r 一{  时, 对任意z ∈[ 一r , r ] 时, 均  
有, 一、 / ,  =  , 故圆  i +(  一, ) z 一, 卫 完全落在 
一3 . 令  一 3 +£ , 则2 ≤“  
时, ^ (   ) 单 调  ≥z  内.  

1 3 .令 t —s i n x, 则 一 1 ≤ t ≤ 1 . 并设g ( £ ) 一t + 
2  


可知 g ( £ ) 一3 +£ + 

≤4 . 于是设 ^ (  ) 一  +  , 可 知 当 

综 上, 所 求r 的 最大 值 为 ÷ 拉 
1 5 .将 和 式 I  ( 1 ) 一1 I +…+ I  (  ) _1 。 / " I 去 绝 对 值 

递增 , 从而, 3 ≤h ( “ ) ≤÷ Q   , 因此 0 ≤g ( £ ) ≤昔, 且 
g( 一1 ) 一 O, g( 1 ) 一  3
.  

符号后 , 所得结果 为 2 n个 数 的 代 数 和 , 其中 1 , 2 , …, 1 / "   各 恰 好 出现 2次 , 并 且 该 代 数 和 中恰 好 有 1 / " 个 数 前 面 
为减号 , 这 表 明 

由上 可 知 , , ( 6 ) 为 I g ( £ ) +6 l 的 最 大 值. 故 , ( 6 ) ≥ 

l g ( 一1 ) +6   I , ,( 6 ) ≥ I   g( 1 ) +b   l , 依 此得 2 f( 6 ) ≥ 
I g ( 一1 ) 一g ( 1 ) l —  3


言 I   ( 志 ) 一 志 I ≤ 2 ( , z + ( n - 1 ) + … +  ) +  


故 , ( 6 ) ≥ 号 . 另 一 方 面 , 当 6 一  


2 ( 1 +2 + … + 

) 一n T +l 一2 ( (  一 1 ) +(  一3 ) +  



 

3时 函 数 l g ( £ ) +6 I —I g ( £ ) 一  3   l


结合 O ≤g ( £ ) ≤ 



+2 ) 一  

. 此不等式成立是因为前面为减号的  
. 

可 知 1 g (   ) 一 丢 l ≤ 丢 , 这 表 明 , ( 6 ) 的 最 小 值 为 丢 .   下 求 f ( b ) = + B e I , 6 的 值 .  
这时 , 对任 意一1 ≤z ≤1 , 应有I g ( £ ) +b 1  ̄ 3 4, 特 

个 数最小为 2 个 1 , 2个 2 , …, 2 个T n -1 市 . u 一 ̄ , r n T +1
上面 的 讨 论 表 明, 题 中 所 求 的 排 列  是 使 得  I  ( 1 ) 一1   l +… + l  (  ) 一  I 最 大的排 列. 这 样 的 排 列 
在 设  一2 k + 1时 , 要 求  ( 志 +2 ) , …, u ( 2 k +1 ) ∈{ 1 ,  

别地 , I g ( 一1 ) +b l  ̄3

I g ( 1 ) + 6 l ≤ } 卿I b l <  ̄ 3 ,   } 号 + 6 I ≤   3 . 前 者 要 求 一   3  。  3 , 后 者 要 求 一 号   ≤6 ≤ 一  3 故 只 能 是 6 一 一 号 .  



2 , …, k +l } , 而  ( 1 ) , …,  ( 志 ) ∈{ 志 +1 , k  ̄2 , …, 2 k +  1 } . 于是 , 所 求排列 的个数为 ( 2 志 +1 )   ?( 志 ! )   .  

综上, 满 足 条 件 的 排 列 的个 数 为 ( (  

) ! ) z .  

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中 学 生 数 学 

2 5  

加 试 题 答 案 
一  

则 厂 ( Z) 的 复 根 的模 长 都 大 于 1 . 从 而 其 复 根 乘 积  ( 一( 一1 )  
解 因 式 有 
1 一 nZ一 … 一  
a i  

设 AB C D 的 内 切 

) 不 为零 , 若 n   ≠O . 于是 , 将旦 , ( Z ) 分 
“^   c ‘l  

圆 圆心 为 0, 内 切 圆 半 径  为 r .   必 要 性  若 A, B, C,   D 四点 共 圆 , 则 A+ C— B  
+ D一 1 8 0 。 .于 是 ,   OAE 
一9 0   一  OCF一  C OF. 依 此 司 知 △ A0E∽ △ OCF,  

Z, f 一 ( 1一 b1 Z) … ( 1一 b   Z ).  

其中b   ∈C, 且l b   l <1 , 1 ≤  ≤  . 注 意到 b , +b z + … + 
b   一 , 从 而  一 l b 。 +b   + … +b   l ≤ l b 。 l +l b z   l + … + 

  l l <  . 这是 一个矛盾. 所 以, 命题成立 .   三、 若 S中 每 两 个 人 的 公 共 朋 友 数 都 为 奇 数 .  
先证一个 引 理 : 对 任 意 A ∈ S, A 的 朋 友 数 为 偶  数.  

从 而 

一 r , 即 有 AEX CF= / 同 理 可 证 , BEX  


D F = / . 所 以 , A E X C F = B E X D F , 故 篙一   D F .   充 分 性设 篙一   D F , 要 证 A , B , c , D 四 点 共 圆 .  
对此采用反证 法.  

事实上 , 设 M一{ F1 , F 2 , …, F k } 为 A 的所 有 朋 友  组 成的集合. 考 虑 每个 F   在 M 中的 朋 友 的个数 , 对  A,   而言, 其公共朋 友都属 于 M, 且 公 共 朋 友 数 为 奇  数. 从 而, 若 k为奇 数 , 那 么 M 中每个 F   在 M 中 的 朋  友数 ( 都是奇数 ) 的总 和为 奇数 , 这是 一 个矛 盾 ( 因 为  这个 总和是 M 中每对朋友个数 的两倍 , 应为偶数 ) . 从 
而引理 获证.  

若 A, B, c , D四点不共 圆 , 不 妨 设 A+ c <1 8 0 。 , B  

+D >I S 0 。 . 依此可得 o A E <9 o 。 一LO C F =/C O F  

< 9 0 。 , 从 而t a n L O A E < t a n / C O F , 即 矗<  , r 2 <  
AEXF c . 类 似可 证 , BE×DF<  . 从而 B E× DF< 

现 在 任 取 一 个 A ∈S, 设 A 的朋友 数 为 2 m, 朋 友  集为 M一 { F   ”, F 2  } . 对 每 个  ∈M , 考 虑  的 除 

AE ̄F C, 即丽 AE>  DF



矛盾.  

综 上 可知 命 题 成 立 .  


A 以 外 的朋 友 集 ( 不 局限于 M 中) , 他 的这 样 的 朋 友 数 





将 P( Z) 乘 以一 个 单 位 向量 , 可使 a 。 I > - o , 然 后 

为奇数 ( 因 为 S中 F  的朋 友 数 为 偶 数 , 而 A 不 考 虑 在  内) . 因此 , 所有 2 m个F  的 朋 友 集 的元 素 个 数 之 和 为  偶数. 从而 , 在 除 A 以外 的 2   一 1个 人 中 , 必 有 一 个 人  出现 在 偶 数 个  的 上述 朋 友 集 中 , 这 样 他 与 A 恰 有 偶  数 个 F 作 为他 们 的 公共 朋 友 . 这 是 一 个 矛盾 .  
上述矛盾 表明 : S 中有 两 个 人 , 他 们 的 公 共 朋 友 数 

将 Z 乘 以一 个 单 位 向 量 , 可使 a 。 ≥0 . 因此 , 我 们 只 需 
在 a 。 ≥O , a 。 ≥ O的前 提 下 证 明 题 中 的 结 论 . 对 此 采 用  反 证法.  

若 对 任 意 Z6C, I   ZI ≤1 , 均有 I   P( Z) I <n 。 +  .  
我 们令 , ( Z ) 一n 。 +  一P( Z ) 一   一n 。 Z 一 … 一n   Z 一 ,  

为偶 数 .   口 

将  一5分 别 代 入 上 式 , 均有 A =0 . 9 9 .   又 由 图上 可 查 得 一 1 时, A 一1 . 2 1 填入 表中.  
r 1 . 0 8 —4 n+ 2 6 +f ,  
1 . 0 3— 9 n+ 3 6 +f ,  

( I I )设 所 建 楼 房 占地  平 方 米 , 当  一 5时 造 价  最低 ,   . ‘ . A =0 . 9 9 , 则 总建筑 面 积为 5  平 方米 , 其  总造价为 0 ? 9 9 ×8 0 0× 5 x+ 
9  
o — 

【 1 —1 6 a+ 4 b +f ,  

×3 0 0 . 依 题 意, 有 

i 0 0 0 0 0 0 =0 . 9 9 ×8 0 0 ×5 x +5 ~ - K 解得 5  ≈ 1 2 6 2 ( 米  ) ,  
● U  

即最多可建 房 1 2 6 2 米  .  

{ 1 . 2 6 : 8   + 6 ,懈 得志 一 o ? o 。 ,6 — 0 ?  ,  

评析

此 问 题 的实 际背 景 是 “ 建房 ” , 是 函 数 与 方 

程的数学思 想在生产 实际 中的应用. 问题 ( I) 是 根 据  经 验数 据 建 立 函 数 式 , 而同题 ( Ⅱ) 则 是 在 总 造 价 一 定  情 况下求总建筑 面积最 多的 问题 , 即 要 求 单 位 建 筑 面  积造价最 低 , 这 样 的 实 际 背 景 是 所 有 考 生 都 能 理 解 
的.   口  ( 责审   余炯 沛)  


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