tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
当前位置:首页 >> 数学 >>

江苏省张家港常青藤实验中学2013届高三周考3数学试题(教师版)


常青藤实验中学 2013 届高三周考(三)

数 学 试 题
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.答案写在答卷纸上. ) 1.若全集 U ? R ,集合 M ? ?x x 2 ? x ? 0 ? ,则集合?U M=
a ? 3i 1 ? 2i
( ) .1. 0 ,1 ;

2.若复



( a ? R , i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为

.2. ? 6 ;

3. 在平面直接坐标系 xOy 中, ? 的始边与 x 轴的正半轴重合, 角 终边在直线 y ? ? 3 x 上,
3 2

且 x ? 0 ,则 sin ? ?

.?

4.“ a ? 1 ”是“函数 f ( x ) ?

2 ? a
x

2 ? a
x

在其定义域上为奇函数”的

条件.(填“充分不必

要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 充分不必要 5. 已知函数 f ( x ) ? a 1 o g 2 ? b 1 o g 3 x ? 2 且 f (
1 2012 ) ? 4 , 则 f ( 2 0 1 2 )的 值 为

.0

x 3 6. 已知函数 f ( x ) ? 2 ? x , g ( x ) ? x ? lo g 2 x , h ( x ) ? x ? x 零点依次为 a , b , c , a , b , c 的 则

y

大小关系为

. a?c?b
?
2 ) 的部分图象如图所示,

7. 已知函数 y ? A s in ( ? x ? ? )( ? ? 0 , | ? |? 则函数的解析式为 . y ? s in ( 2 x ?
?
3 )

?
3

7? 12
x

O
?

2

8.若二次函数 f ( x ) ? 4 x ? 2 ( p ? 2 ) x ? 2 p ? p ? 1 在区间 ? ? 1 ,1 ? 内至少存在一点 c , 使得
2 2

f ( c ) ? 0 , 则实数 p 的取值范围是_______________. ( ? 3,

3 2

)

9.给出下列四个命题,其中不正确命题的序号是

①,②,④
?
3 ) 的图象关于 x=

①若 cos ? ? cos ? , 则 ? ? ? ? 2 k ? , k ? Z ; ②函数 y ? 2 cos( 2 x ? 称; ③函数 y ? cos(sin

?



12 x )( x ? R ) 为偶函数, ④函数 y ? sin | x | 是周期函数, 且周期为 2 ? .

10. 某工厂生产的 A 种产品进入某商场销售,商场为吸引厂家第一年免收管理费,因此第一 年 A 种产品定价为每件 70 元,年销售量为 11.8 万件. 从第二年开始,商场对 A 种产品 征收销售额的 x % 的管理费(即销售 100 元要征收 x 元),于是该产品定价每件比第一年增 加了
70 ? x% 1 ? x%

元,预计年销售量减少 x 万件,要使第二年商场在 A 种产品经营中收取的管理 .1 0
??? ?
2

费不少于 14 万元,则 x 的最大值是 11.已知平面上的向量 P A 、P B 满足 P A 则 P C 的最小值是
????
??? ? ??? ?

??? ? ? PB

2

???? ??? ? ??? ? ??? ? ? 4 , AB ? 2 , 设向量 P C ? 2 P A ? P B ,

2

{ b a 12. 已知数列 { a n } 是公差不为 0 的等差数列, b n } 是等比数列, 其中 a 1 ? 3 , 1 ? 1 , 2 ? b 2 , 3 a 5 ? b3 , 若 存 在 常 数 u , v 对 任 意 正 整 数 n 都 有 a n ? 3 l o g bn ? v , 则 u

u?v ?

.12.6
A D

13.如图,线段 EF 的长度为 1,端点 E , F 在边长不小于 1 的正方形

当 ABCD 的四边上滑动, E , F 沿正方形的四边滑动一周时,EF 的 中点 M 所形成的轨迹为 G ,若 G 的周长为 l ,其围成的面积为 S ,

E M B

F

C

则 l ? S 的最大值为

.13. ? ;
4

5

14.在平面直角坐标系 x O y 中,点 P 是第一象限内曲线 y ? ? x ? 1 上的一个动点,点 P 处
3

的切线与两个坐标轴交于 A , B 两点,则 △ A O B 的面积的最小值为

. 14.

3

3

2

4

二、 解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 15.(本小题满分 14 分) 如图:直角三角形 ABC 中,AC⊥BC,AB=2,D 是 AB 的中点,M 是 CD 上的动点. (1)若 M 是 CD 的中点,求 M A ? M B 的值 ;
???? ???? ???? ? (2)求 M A ? M B ? M C 的最小值.
???? ????

C M

?

?

15. (1)∵ M A ? M D ? D A , M B ? M D ? D B ? M D ? D A ,

????

???? ?

??? ?

????

???? ?

????

???? ?

??? ?

A

D

B

???? ???? ???? 2 ??? 2 ? ? 1 ???? ∴MA ?MB =MD ? DA ? CD 2

2

??? ? ? DA

2

3 ?1 ? 2 ? ? ? ? 1 ? ? .………………6 分 4 ?2?

2

(2)设 MD=x,则 MC=1-x. 其中 0<x<1 ∴ ? M A ? M B ? ? M C = 2 M D ? M C = ? 2 M D ? M C = ? 2 x ?1 ? x ? ? ? 2 ? ? 当且仅当 x ? ∴当 x ?
1 2 1 2
???? ???? ???? ?
???? ???? ? ?

???? ?

???? ?

1 ?1 ? ? ? ? , 2 ?2?

2

时取等号. ………………12 分

时,

? M A ? M B ? ? M C 的最小值为 ? 2 .………………14 分
1 2? 3

????

????

???? ?

16. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? cos(2 x ?
) ? cos 2 x ( x ? R )

(1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间;
B 2 3 2

(2) ? ABC 内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 f ( 且 a ? b ,试求角 B 和角 C .

) ? ?

,b ? 1 ,c ?

3 ,

17. (本小题满分 14 分) 如图,现有一个以 ? AOB 为圆心角、湖岸 OA 与 OB 为半径的扇形湖面 AOB .现欲在 弧 AB 上取不同于 A , B 的点 C ,用渔网沿着弧 AC (弧 AC 在扇形 AOB 的弧 AB 上) 、半 径 OC 和线段 CD (其中 CD // OA ) ,在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和 养殖区域Ⅱ. 若 OA ? 1cm , ? AOB ?
?
3

, ? AOC ? ? .

(1)用 ? 表示 CD 的长度; (2)求所需渔网长度(即图中弧 AC 、半径 OC 和线段 CD 长度之和)的取值范围.

17. (本小题满分 14 分) π 解:(1) 由 CD∥OA,∠AOB= ,∠AOC=θ,得∠OCD=θ, 3 2π π ∠ODC= ,∠COD= -θ. 3 3 在△ OCD 中,由正弦定理, π π 2 得 CD= sin?3-θ?,θ∈?0,3?(6 分) ? ? ? ? 3 (2) 设渔网的长度为 f(θ).由(1)可知, π 2 f(θ)=θ+1+ sin?3-θ?.(8 分) ? ? 3 所以 f′(θ)=1- π π π 2 π cos? -θ?,因为 θ∈?0,3?,所以 -θ∈?0,3?, ? ? ? ? 3 3 ?3 ?

π 3 π π π 令 f′(θ)=0,得 cos?3-θ?= ,所以 -θ= ,所以 θ= . ? ? 2 3 6 6 θ f′(θ) f(θ)

?0,π? ? 6?
+ ?

π 6 0 极大值

?π,π? ?6 3?
- ?

? π+6+2 3? 所以 f(θ)∈?2, ?. 6 ? ? ? π+6+2 3? 故所需渔网长度的取值范围是?2, ?.(14 分) 6 ? ?
18.函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且对任意实数 x ,都有 f ( x ? 1 ) ? f ( x ? 1 ) 成立.已知 当 x ? [1, 2 ] 时, f ( x ) ? log 最大值为
1 2

a

x. (1)求 x ? [ ? 1,1 ] 时,函数 f ( x ) 的表达式; (2)若函数 f ( x ) 的
f (x) ? 1 4

,在区间 [ ? 1, 3 ] 上,解关于 x 的不等式



19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ? a ( x ? x )
2

(1)若 a ? ? 1 ,求证 f ( x ) 有且仅有一个零点; (2) 若对于 x ? ?1, 2 ? , 函数 f ( x ) 图象上任意一点处的切线的倾斜角都不大于 的取值范围; (3)若 f ( x ) 存在单调递减区间,求实数 a 的取值范围.
2 19. (1) f ( x ) ? ln x ? x ? x ( x ? 0 ) , f ? ( x ) ?

?
4

, 求实数 a

1 x

? 2x ?1 ?

? ( x ? 1)( 2 x ? 1) x

令 f ? ( x ) ? 0 , 得 x ? 1 , f ( x ) 在 ( 0 ,1 ) 上单调递增,在
? f ( x ) 最大值

(1, ?? ) 上单调递减

.

? f (1 ) ? 0 ,? f ( x ) 有且仅有一个零点,该零点即为 1 .---------4 分

(2) f ? ( x ) ?

2ax ? ax ? 1
2

,由已知, 0 ? f ? ( x ) ? 1 在 x ? ?1 , 2 ? 上恒成立. ---------6 分
x ?1 2x
2

x

由 f ? ( x ) ? 1 在 x ? ?1 , 2 ? 上恒成立,可得 a ? (

? x

) min ? 0

由 f ? ( x ) ? 0 在 x ? ?1 , 2 ? 上恒成立,可得 a ? (
2x

?1
2

? x

) max ? ?

1 6

? ?

1 6

? a ? 0

-------------------10 分

(3) f ( x ) 存在单调递减区间 ? f ? ( x ) ?

2ax ? ax ? 1
2

? 0 在 ( 0 , ?? ) 上有解

x

? 2 a x ? a x ? 1 ? 0 在 ( 0 , ?? ) 上有解
2

记 g ( x ) ? 2 a x ? a x ? 1 , x ? ( 0 , ?? )
2

当 a ? 0 时, g ( x ) ? 1 ,不满足条件; 当 a ? 0 时, g ( x ) 为开口向下的二次函数, 2 a x ? a x ? 1 ? 0 在 ( 0 , ?? ) 上恒有解;
2

当 a ? 0 时, ( x ) 为开口向上的二次函数, 对称轴为 x ? g 上有解只需 g ( x ) min ? 0 ,即 g ( ) ? 0 ,解得 a ? 8
4 1

1 4

, a x ? a x ? 1 ? 0 在 ( 0 , ?? ) 2
2

综上所述, a 的取值范围为 ( ?? , 0 ) ? ( 8 , ?? )

20. (本小题满分 16 分) 已知数列 { a n } 是等差数列, c n
? a n ? a n ?1 ( n ? N )
2 2 *

(1)判断数列 { c n } 是否是等差数列,并说明理由; (2)如果 a 1
? a 3 ? ? ? a 25 ? 1 3 0 , a 2 ? a 4 ? ? ? a 26 ? 1 4 3 ? 1 3 k

(k 为常数),试写出数列 { c n } 的

通项公式; (3)在(2)的条件下,若数列 { c n } 得前 n 项和为 S n ,问是否存在这样的实数 k ,使 S n 当 且仅当 n ? 1 2 时取得最大值.若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由. 【解析】 (1)设 { a n } 的公差为 d ,则
c n ?1 ? c n ? ( a n ?1 ? a n ? 2 ) ? ( a n ? a n ?1 ) ? 2 a n ?1 ? ( a n ?1 ? d ) ? ( a n ?1 ? d )
2 2 2 2 2 2 2

? ?2d

2

?

数列 { c n } 是以 ? 2 d 2 为公差的等差数列
? a 3 ? ? ? a 25 ? 1 3 0

(2)? a 1

, a2

? a 4 ? ? ? a 26 ? 1 4 3 ? 1 3 k

?

两式相减: 1 3 d
1 3 (1 3 ? 1) 2

? 13 ? 13k
? 2d ? 130

,? d

?1? k

? 1 3 a1 ?

? a3 ? ? 2 ? 12 k
2 2

,? a n

? a 1 ? ( n ? 1) d ? (1 ? k n ? (1 3 k ? 3 ))
2

? c n ? a n ? a n ? 1 ? ( a n ? a n ? 1 )( a n ? a n ? 1 ) ? 2 6 k

? 3 2 ? 6 ? ( 2 n ? 1)(1 ? k )
2

? ? 2 (1 ? k ) ? n ? 2 5 k ? 3 0 k ? 5
2

(3)因为当且仅当 n
2

? 12

时 S n 最大,? 有 c1 2
2

? 0 , c1 3 ? 0

即?

? ? 2 4 (1 ? k ) ? 2 5 k ? 3 0 k ? 5 ? 0 ? ? ? 3 6 (1 ? k ) ? 2 5 k ?
2 2

?k ? 18k ? 19 ? 0 ? ? ? 2 ? 30k ? 5 ? 0 ?k ? 22k ? 21 ? 0 ?

? k ? 1或 k ? ? 1 9 ? ? ? k ? ? 1 9或 k ? 2 1 ? k ? 2 1或 k ? 1

数学Ⅱ(附加题) 注意事项:考试时间 30 分钟,由选考物理的考生作答。 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 ....... ........... 答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . B. 已知矩阵 M 量.
?1 ? ? ?2 2? ? x ?

的一个特征值为 3,求另一个特征值及其对应的一个特征向

C. 在极坐标系中,圆 C 的方程为 ?

? 2

2 s in (? ?

? 4

)

,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴
? x ? t,

的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ?
l

? y ? 1 ? 2t

( t 为参数) ,判断直线

和圆 C 的位置关系.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分。请在答题卡指定区域内作答,解答 ....... 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为 击中目标的次数记为 ? . (1)求 ? 的分布列及数学期望; (2)在概率 P ( ? ? i ) ( i =0,1,2,3)中, 若 P ( ?
1 2 , a , a ( 0 ? a ? 1)

,三人各射击一次,

? 1) 的值最大,

求实数 a 的取值范围.

23. (本小题满分 10 分) 已知 f n ( x ) ? (1 ?
x ) ,n∈N .
n

*

2 (1) 若 g ( x ) ? f 4 ( x ) ? 2 f 5 ( x ) ? 3 f 6 ( x ) ,求 g ( x ) 中含 x 项的系数;

(2) 若 p n 是 f n ( x ) 展开式中所有无理项的系数和, 数列 { a n } 是各项都大于 1 的数组成的 数列,试用数学归纳法证明: p n ( a 1 a 2 ? a n ? 1 ) ≥(1+ a 1 )(1+ a 2 )…(1+ a n ).

附加题答案

21. B.解:矩阵 M 的特征多项式为
f (? ) ?

? ?1
? 2

? 2

? ? x

= ( ? ? 1 )( ? ? x ) ? 4 ………………………1 分

因为 ? 1 ? 3 方程 f ( ? ) ? 0 的一根,所以 x ? 1 ………………………3 分 由 ( ? ? 1 )( ? ? 1 ) ? 4 ? 0 得 ? 2 ? ? 1 ,…………………………………5 分 设 ? 2 ? ? 1 对应的一个特征向量为 ? ? ? ? ,
? y?
?? 2 x ? 2 y ? 0 ?? 2 x ? 2 y ? 0

?x ?

则?

得 x ? ? y …………………………………………8 分

令 x ? 1, 则 y ? ? 1 ,
?1 ? ? ………10 分 ? ? 1?

所以矩阵 M 的另一个特征值为-1,对应的一个特征向量为 ? ? ? C.消去参数 t ,得直线 l 的直角坐标方程为 y
? ? 2
2 (s in ? ?

? 2 x ? 1 ;…………… 2



?
4

)

即?

? 2 (s in ? ? c o s ? )



两边同乘以 ? 得 ? 2

? 2 ( ? s in ? ? ? c o s ? )


2

得⊙ C 的直角坐标方程为: ( x

? 1) ? ( x ? 1) ? 2
2

, …………………… 6 分

圆心 C 到直线 l 的距离 d

?

|2 ?1?1| 2 ?1
2 2

?

2 5

5

?

2



所以直线 l 和⊙ C 相交. …………………………………………………… 10 分 22. (1) P ( ? ) 是“ ? 个人命中, 3 ? ? 个人未命中”的概率.其中 ? 的可能取值为 0,1,2,3.
1 ? 1 0 ? 0 2 P ( ? ? 0 ) ? C 1 ? 1 ? ? C 2 (1 ? a ) ? (1 ? a ) 2 ? 2 ?

,2

P ( ? ? 1) ? C 1 ?
1

1

1 ? 1 1 0 2 0 ? 2 C 2 (1 ? a ) ? C 1 ? 1 ? ? C 2 a (1 ? a ) ? (1 ? a ) 2 2 ? 2 ?

,

P (? ? 2 ) ? C 1 ?
1

1

1 ? 2 2 1 1 0 ? 2 C 2 a (1 ? a ) ? C 1 ? 1 ? ? C 2 a ? ( 2 a ? a ) 2 2 ? 2 ?

,

P (? ? 3 ) ? C 1 ?
1

1 2

C 2a

2

2

?

a

2

.

2

所以 ? 的分布列为
?
1

0
(1 ? a )
2

1
1 2

2
2

3
2

P
2

(1 ? a )

1 2

(2a ? a )

a

2

2

?

的数学期望为
1 2

E? ? 0 ?

(1 ? a ) ? 1 ?
2

1 2

(1 ? a ) ? 2 ?
2

1 2

(2 a ? a ) ? 3 ?
2

a

2

?

4a ? 1 2

.

……………5 分

2

(2)

P ( ? ? 1) ? P ( ? ? 0 ) ? 1 2

1

? ? 1 ? a 2 ? ? (1 ? a ) 2 ? ? a (1 ? a ) ? 2 ?
2 2

,

P ( ? ? 1) ? P ( ? ? 2 ) ?

? (1 ? a ) ? ( 2 a ? a ) ? ? ? ?
? (1 ? a ) ? a ? ? ? ?
2 2

1 ? 2a 2
2

,

P ( ? ? 1) ? P ( ? ? 3 ) ?

1 2

1 ? 2a 2

.

? ? a (1 ? a ) ? 0 , ? 1 ? 1 ? 2a 由? ? 0 , 和 0 ? a ? 1 ,得 0 ? a ? 2 2 ? 2 ? 1 ? 2a ? 0 ? 2 ?

,即 a 的取值范围是 ? 0 ,
?

?

1? ? 2?

.

…… 10 分

4 23. (1) 解:g(x)中含 x2 项的系数为 C4+2C4+3C6=1+10+45=56.(3 分) 4 5 - (2) 证明:由题意,pn=2n 1.(5 分) ① 当 n=1 时,p1(a1+1)=a1+1,成立; ② 假设当 n=k 时,pk(a1a2…ak+1)≥(1+a1)(1+a2)…(1+ak)成立, 当 n=k+1 时, - (1+a1)(1+a2)…(1+ak)(1+ak+1)≤2k 1(a1a2…ak+1)(1+ak+1) - =2k 1(a1a2…akak+1+a1a2…ak+ak+1+1).(*) ∵ ak>1,a1a2…ak(ak+1-1)≥ak+1-1,即 a1a2…akak+1+1≥a1a2…ak+ak+1, 代入(*)式得(1+a1)(1+a2)…(1+ak)(1+ak+1)≤2k(a1a2…akak+1+1)成立. 综合①②可知,pn(a1a2…an+1)≥(1+a1) (1+a2)…(1+an)对任意 n∈N*成立. (10 分)


推荐相关:

2012年初三第二次周考数学试题

高二周考数学试题(3) 2页 2财富值 曹县一中高三第...安徽省潜山野寨中学2012届... 暂无评价 11页 8财富...江苏省张家港常青藤实验中... 10页 1财富值 第六...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com