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第四节 参数方程和极坐标


第四节 参数方程和极坐标
对于平面直角坐标系上的一条曲线C,其对应的方 程一般可用方程 y ? f (x)或 F ( x, y) ? 0 表示. 但在有些 情况下,建立曲线的方程 y ? f (x)或 F ( x, y) ? 0 十分 困难, 本节将介绍曲线的参数方程和极坐标方程. 一、参数方程 二、极坐标

一、 参数方程

一般地,在直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐
标 x、y 都是某个变量 t 的函数

? x ? f (t ) ---------(1) ? ? y ? g( t ) 并且对于t 的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点M
(x,y) 都在这条曲线上,那么方程组(1) 就叫做这条曲线 的参数方程, 联系x、y 之间的变数 t 叫做参变数,简称

为参数.

1.圆 x2+y2=r2(r>0) 的参数方程:

x2 y2 2.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程: a b

? x ? a cos ? ? ? y ? b sin ?

二、极坐标 在平面上定义由一定点和一条定轴所组成的坐标系称

为极坐标系,其中定点称为极点,定轴称为极轴.如图 P ( ? ,? )
?

坐标系中的点 P 用有序数 ( ? ,? ) 表示. 其中 ? 表示点P到极 点O的距离, ? 表示射线OP与极轴正向的夹角.这里

??0

0 ? ? ? 2?.

若取极点作为原点,极轴作为x轴建立直角坐标系,
这样得到极坐标与直角坐标的关系: x =? cos?, y = ? sin? (1) (2)



?? x ?y
2

2

y ? ? arctan x

建立 ? 与? 关系的等式称为极坐标方程,如 ? =1,
表示圆心在极点,半径为1的圆.

利用式(1)、(2)可以把直角坐标方程和极坐标方程进 行互化.

例1 将极坐标方程

? =2cos?
化为直角坐标方程,并说明它表示什么曲线. 解 方程两边同乘以 ? 得

? ? 2? cos?
2



x2 + y2 = 2x (x-1)2 + y2 = 1,

所以它表示圆心为(1,0),半径为1的圆.

例2 将直线 解

y ? 2 x 化为极坐标.
y ? ? sin ?

将 x ? ? cos ?

代入上式,得 tan ? ? 2
得相应的极坐标方程为

? ? arctan 2

例3 已知直角坐标点 A( 3, 1) ,求相应的极坐标点. ?



? ? ( 3 ) 2 ? (?1) 2 ? 2

tan ? ?

?1 3

? ??

?
6

? 所以相应的极坐标点为 A( 2,

?
6

)

例4 已知极坐标点 A(4, ) ,求相应的直角坐标点. 6 解
3 x ? 4 cos ? 4 ?2 3 6 2

?

?

1 y ? 4 sin ? 4 ? 2 6 2

?

所以相应的直角坐标点为 A(2 3,2)

下面给几个特殊的极坐标方程: (1) 心形线 (外摆线的一种)如图 极坐标方程为 r = a(1 + cos?), 化为直角方程为
y

?

a

x

x 2 ? y 2 ? ax ? a x 2 ? y 2 .

下面给几个特殊的极坐标方程: (2) 双纽线, 如图 极坐标方程为 r2 = a2cos2? 化为直角方程为 (x2 + y2)2 = a2(x2 - y2)
o
y

? ?? 4
a
x

? ? ?? 4

下面给几个特殊的极坐标方程: (3) 阿基米德螺线, 如图 极坐标方程为 r = a?
y

2?a

o

x

例 试写出下列图形的极坐标表达式,如果图形是 封闭的,写出该图形所包围的区域极角θ的范围。

1. x ? y ? a
2 2
2

2
2

r ?a
r ? 2a sin ?
r ? 2a cos?
? ?? 6

0 ? ? ? 2?
0 ?? ?? ? ? ? ?? ?
2

2. x ? ? y ? a ? ? a 2

3. ? x ? a ? ? y 2 ? a 2
2

2

3 4. y ? x 3

5. y ? 5 x ? 4
6. x ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

4 r?? sin ? ? 5cos ?
2? ?? ? r ? 2sin ? ? 4sin ? ? 3 3 3
2

?

作业

P23

2(1)(3),3

以深南大道为X轴 以南新路为Y轴...

请问: 去蛇口怎么走?

以深南大道为X轴 以南新路为Y轴...

精神病!

以深南大道为X轴 以南新路为Y轴...

精神病!

从这向南 2000米。

请问: 去蛇口怎么走?

请分析上面这句话,告诉了人家什么?

从 这 向 南 走 2 0 0 0 米 !

出发点

方向

距离

在生活中我们经常用距离和方向来表示 一点的位置。用距离和方向表示平面上 一点的位置,就是极坐标。


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