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含参二次方程根的分布问题


2 0 1 4年第 6期 

中学数 学 月刊 

?   5 9   ?  

含 参 二 次 方 程 根 的分 布 问题 
戈晨 曦  ( 江 苏省 苏 州市 陆慕 高级 中学  2 1 5 1 3 1 )  
二次函数是高 中数 学的重 要 内容 , 而 含 有 参 数 
并 涉 及

函数 的零 点 或 根 的 分 布 问 题 往 往 成 为 教 与 学  的难 点 . 本 文结 合 实 例 探 析 含有 参 数 的 二 次 方 程 的 
根 的分布问题.  
m ≤一 4 .  

形就可 以了 , 图 象如 图 1 , 解得 4 ≤  ≤  或一  ≤ 

分析 2   函数 Y 一优应 与 Y—z+ _ 兰 - ,  E[ 一3 ,   0 )U ( O , 3 ]的 图象 有 两 个 公 共 点 , 故可能得到 m   E  
[ 一  , 一4 )U ( 4,   ]这 个 错 误 的 答 案 , 错 误 的 原 因  就 在 于  一4或  =一4时 , 有 一个 交 点但 却有 两 个  相等的实根. 故 4≤ m ≤  或一  ≤ m ≤一 4 .  
J  

问题 1   已知 方 程 X   一  z+ 4 —0 在[ 一3 , 3 ]   上有 解 , 求 实数 m 的 取 值 范 围.   分析 1   把 方 程 左 边 视 为二 次 函数 , 即令  =z   一 mx+ 4 , 问题 就转 化 为 二 次 函数 的 图象 与 z轴 有 
交 点 的 问题 . 但有几个解 , 需 要讨 论 :  

① 在[ 一3 ,3 ]上有两 个解 ,  
如 图  l ,  
f △ ≥ 0,  

等 价 条 件

为 

|  / ~  


如 果 将 问 题 2改 为 已知 方 程  一 mx+4—0在 

j 一   b   E [ 一 3 , 3 ] ,  
I f( -3 )≥ 0 ,  

1  『   _

[ 一3 , 3 ] 上 有 两 个 不 同 的解 , 则  E [ 一   , 一4 )U  

( 4 ,   ] . 因此 , 看清 问题 的实 质非 常重要.  
图 1  

I 厂 ( 3 ) ≥0 .  

问题 3   已知 方 程 z   一m x+ 4 —0 在[ 一3 , 3 J  
上 有 且 只有 一 个 解 , 求 实 数 m 的取 值 范 围.   分析 1   只 要 考 虑 问 题 1分 析 1的 第 二 种 情 形  就可 以了, 图象 如 图 2 , 等 价 条 件 为 厂( 3 ) , ( 一3 )≤ 

解 得 4 ≤ m ≤ 萼 或 一 萼 ≤ m ≤ 一 4 .  
② 在L 一3 ,3 J上 有 一 个 
J   l Y 

解,如 图 2 , 等 价 条 件 为  f ( 3 ) f ( -3 )≤ O ( 其 中 也 有 两 
解的情形 ) , 解 得 m ≥ 
≤ 一  1 3
.  

\   . /  ,  
\ - 3/ O |  \ \ 
图 2  
。  

0 , 但还 要检验 - 厂 ( 3 ) 一O 或, ( 一3 ) 一O 时, 另 一 根 是 否 

在[ 一3 , 3 ]内. 若 在则舍 去 , 若 不在则 保 留( 这里 的 
检验是非常必要 的, 不少学生会遗漏 ) . 解 得 m >  或 m <一  .  

或 m 

由 ①② 可知 m   E( 一c 。, 4 ]U [ 4 , +o o ) .  
分析 2   分离参数 : ① 当 z一0时 ,   一  z+ 4   ≠ 0, 所 以 z一 0不 是 方 程 的 根 .   ② 把 方 程  一 mx + 4一O   变 形 为  — z+ _ 兰 _ , z∈ [ 一3 ,  
A  


分析 2   函数 Y —m应 与 Y—  + _ 兰 _ , z∈ [ 一3 ,  
O )U ( 0, 3 J的 图 象有 一 个 公 共 点 , 故 解 得 m> 5 -或   

y 
盟 
3  
4  

m < 一  1 3
.  

如 果 把 问题 3中 的 区 间[ 一3 , 3 ] 改 为( 一3 , 3 ) ,  
~  

o )U( o , 3 J . 令Y — z +÷,  E  
[ 一3 ,0 )U ( O,3 ] , 画 出 图 象 后  容 易发 现 y   E ( 一。 。 ,一 4 ]U  

3— 2  

问题 有 什 么变 化 呢 ?  

2   3  

厂   旦 3  


分 析 1变 化 为 厂 ( 3 ) 厂 ( 一3 )< 0 , 但 还 要 检 验  , ( 3 ) 一0或 , ( 一3 )一0时 , 另 一根 是否 在[ 一3 ,3 ]  
内, 若 在则 保 留 , 若 不 在则 舍 去.  

r 4 , +。 。 ) , 所 以m   E( 一c o , , 一4 ]   U[ 4 , +。 。 ) .  
上 有 两解 , 求 实 数 m 的取 值 范 围 .   这 里 要 值 得 注 意 的两 个 概 念 是 “ 根 ”和 “ 零点 ” :   当二 次 方 程 的 △一 0的 时 候 , 有 两个 相等 的根 , 但 零  点 只有一个.   分析 1   只要 考 虑 问 题 1分 析 1中 的第 一 种 情 
图 3  

以 上结 合 问 题 1 ~3 , 分 别 研 究 了含 参 二 次 方 程  在 给定 区 间 上 有解 、 有 两解 以及 有 一解 的 情 形 , 利 用 
二 次 函 数 图象 和参 数 分 离两 种方 法 都 可 以解 决 这 类  问题. 对这两种方法进行比较 , 方 法 1是 利 用 二 次 函  数 的 图 象 和根 的 分 布 来 处 理 , 方 法 2是 分 离 参 数 利  用 图 象 与 图象 的 交 点 来 处 理 . 方 法 1给 人 的感 觉 是 

问题 2   已知方程 z  一 mx+ 4   0 在[ 一3 , 3 j  

讨 论要 周 全 , 条 件要 写 到位 ; 方法 2 给 人 的感 觉则 是 
思 路 比较 顺 畅 , 处理起来相对简便.  


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