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2012年全国高中数学联赛黑龙江赛区预赛


2 0 1 3年 第 4期 

3 l  

2 0 1 2年全 国高中数学联赛 黑龙江赛 区预赛 
中图分类号: c 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文章编号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 3 ) 0 4— 0 0 3 1 —0 5  





选择题 ( 每小题 5分 , 共6 0分)  

1 . (  )   。 : c  ) .  
( A) i ( B) 一i ( c) 2   叭 ’ ( D )一2   叭 ’  

2 . 设集合 
A={ 1 , 2 , …, 6 } , B={ 4 , 5 , 6, 7 } .  
( A)   ( B)  
J   ‘ Y 

则满足 S _ C A且 s n  ≠   的集合 s的个 
数为(   ) .  
( D) 8  
( C)  

1   、 
l   盂  

( A) 5 7   ( B ) 5 6   ( C) 4 9  


3 . “ 三个数 l g  、 l g  、 l g   z 成等差数列” 是  Y   = 艋” 成立的(   ) 条件.  
( A) 充 分且 不必 要 
( B) 必要且 不 充分 
网 1  

厂  
( D)  

5 . 函数 Y=e  的 图像 与 直 线  =0 、 Y:e  
所 围成 的 区域面 积是 (   ) .   ( A) 1  ( B) e一1  ( C ) e ( D) 2 e—l  

( C ) 充分必 要  ( D) 既不 充 分也不 必要  4 ? 函数 , , =   ( 0< n<1 ) 图像 的大 致形  状 是 图 l中的 (   ) .  

6 . 将十个相 同的小球装人编号为 l 、 2 、 3   的三个盒子 ( 每次要把十个球装完 ) 中, 要求  每个盒子里的个数 不少于盒子的编号数. 则  即将数 P进制表示后 , a 、 b 、 c的数字 和的和  等于其和  的数字和 , 当且仅 当在将 a 、 b 、 c  

n=n 0 + n i p+… +n , p ‘ ( 0 ≤n   ≤p一1 ) ,  

a=a 0 + a j p+… + a t P 。 ( 0 ≤口   ≤ p一1 ) ,   b =b 0 +b l p+… + b , p   ( O ≤6 f ≤ p一1 ) ,  
C =   + c l p+… + c , p   ( 0 ≤c   ≤p一 1 ) ,  
冥中, n=a+b+c .  

( p 进制表示 ) 做竖式加法运算 时, 不产生进 
位, 即当且仅 当 
n i = a i + b i + c i ( 0≤   ≤£ ) .  

则p  

当且 仅 当 

又 不定 方 程  +Y+z =m 的非 负 整 数解 

( n ! )=  ( 口! )+  ( 6   1 )+  ( c ! ) .  

的个数为 c  

因此 , 满足 条件的有序 i元 

南式①知p  

当且仅当 

组( a , b , c ) 的个数为 
l   I s   I =c     。+: c . +   …c : 。 + : .  

∑凡   = ∑( 口   + { ,   + c   ) ,  

( 吴忠麟

提供 )  

3 2  

中 等 数 学 

这 样 的装法 种数 为(  

) .  

( A  1 ( B   丽1 ( c )  

( D )  

( A) 9   ( B ) 1 2   ( C ) 1 5   ( D) 1 8   7 . 函数 Y:C O S 。  +s i n   —C O S   的最 大  值为(   ) .  

二、 填空题 ( 每小 题 5分 , 共2 0分 )   1 3 . 已知 函数 f (  )=2 s i n   ( ∞>0) 在 

0 , 詈 】 上 单 调 递 增 , 且 在 该 区 问 上 的 最 大 值   ( A   3 2( B )   ( c )   ( D ) 刍   [
8 . 图 2是一个 算法 的程 序框 图.  
是  . 则  =  

1 4 . 已知 实数 、 , , 满足 3  + 2 y一1 f0 > . 则 
M:   +Y  +6 x一2 y  

的最小 值是— — .   1 5 . 如图 3 , 记正方体 A B C D —A   B   C   D   的中心为 0, 面B   B C C   的中心为 E ,  为 B   C   的 中点 . 则 空问 四边形 D   O E F在 该 正方 体 的  各个 面 上 的投影 可 能 是 图 4中 的— — ( 填  出所有 可能 的序 号 ) .  
C  
A 

① 
C  

② 

该算 法输 出的结 果是 (  

) .  
A  

( A ) 专(   了 2( c   3( D )  
9 . 已知不等式 寻< 0的解集为   若  十 1  


⑨ 
图3   图4  

④ 

1 6 ? 设 尸 是 椭 圆  + 分   l 上 异 于 长 轴  
端点 的 任 意 一 点 , ,, 、   分别是其左 、 右 焦  点, 0为 中心. 则 
I PFl   lI P 2 l+ l OP I  :
. 
— —

∈ M, 则 l o g 2( ‰ +1 ) < 1的 概 率 为 
) .  

(  

( A ) ÷( B   了 1( c   1( D )  
1 O . 已知 过 正方 体 A B C D —A . B . C   D。 的  体 对角 线 B D . 的截 面面 积 为 S , 记 S的 最 大 

三、 解 答题 ( 共7 0分 )   1 7 . ( 1 0分 ) 在△ A B C中 ,   A、   8、   C   的对 边分 别为 a 、 b 、 c . 记 


值、 最小值分别为 S  、 S   则  ' J m a x =(  

) .  

( 2 s i n   B, 一   ) ,  

J l:

( A )  ( B )  ( c ) 学( 。 )  
1 1 . 设 A、 B为抛物线 C: y 2 = 4 x 上 的不 同 

f   O O S   2 B , 2 c o s  一 1   1 , 且J , l ∥ J 1 .  

两点, F为抛物线 C的焦点. 若F A:一 4   F B ,   则直线 A B的斜率为(   ) .   ( A ) ± 了 2( B ) ±   3 D  (   c ) ±   3( D ) ±   4 l 2 . 已知数列 { 。   } 满足 
,,   ,  



a   ( a   + a   )= 2 a   a   一 l ( n ≥2 ) .   则数列 { a   } 的第 2   0 1 2项 为 (   ) .  

( 1 ) 求 锐角  曰的大小 ;   ( 2 ) 若 b= 2 , 求J s ~ 的最 大值.   1 8 . ( 1 2分 )   如 图 5, 四 边 形  P Q R S是 圆 内 接  四边 形 ,   尺   : 9 0 。 , 过 点 Q作  P R、 P S的 垂 线 ,   垂 足 分 别 为  、   K 证明:   ( 1 ) p、 H、 K、  

2 0 1 3年第 4期 

3 3  

P四点共圆 ;  
( 2 ) qr:T S .   1 9 . ( 1 2分 ) 某公 司由 甲 、 乙、 丙 三人 投票 


参 考 答 案 


1 . B.  
叭‘  
=  

决定是 否对 某一项 目投 资 , 他们 三人 都有  “ 同意” “ 中立 ” “ 反对 ” 三类 票 各 一 张 投 票  时, 每人必须且只能投一张票 , 每人投三类票 
1  

1+ i /   刚 ’


2. B.  

一 一i .  

中的任何一类票的概率都为  1, 且三人投票 
J 

相 互没 有影 响. 规定 : 若 投票结 果 中 至少有 两  张同意票 , 则决定对该项 目投资 ; 否则 , 放弃  对项 目的投资. 求:   ( 1 ) 该 公 司决定 对此项 目投 资 的概 率 ;   ( 2 ) 该公司放弃对此项 目投资且投票结  果中最多有一张中立票的概率.  

事实 上 , { 1 , 2 , 3} 的子 集 有 8个 , { 4 , 5 ,   6 } 的真子 集有 7个 .   故满 足题 意 的集 合 有 5 6个 .  
3 . A.  

由题 意知 
2 1 g   Y=l g   +l g  
l g   y 2=l g   y 2= 愆
. 

反 之不 然 , 当  、 y 、  : 0时 , 无 意 义.  
4.D.  
  .

2 0 . ( 1 2分) 已知函数  ) =  
{ a   } 满 足 
, 1 、  

, 数列 

:{ 【   一a  
,  

f a   ,  

> 0 ;  
<0 .  

5. A.  

口 t = l ,  一   ) ( n ∈ N + ) ?  
( 1 ) 求数列 { a   } 的通项公式 ;  
2 n  

I( e — e   ) d x =1 .  
6. C.  

( 2 ) 令  = ∑( 一 1 ) ¨   a i 口 …, 求 .  
i =1  


由隔板法得 C : = 1 5 .  
7.A.  

2  



2  

2 1 . ( 1 2分 ) 设椭 圆 c :   +   =1 (  >  
a  £ ,  

原 函数 可化 为 
Y   C O S   —C O S   一C O S   +1 .  

b > 0 ) 经过点 ( 0 , 1 ) , 离心率为  .   ( 1 ) 求椭圆 c的方程.   ( 2 ) 设 直线 Z :   =m y+1与椭 圆 C交 于  两点 , 点 A关于  轴的对称 点为 A   ( 点  A ’ 与  不 重合 ) . 问: 直线 A   B与  轴 是 否 交  于一定点?若是 , 请写出定点坐标 , 并证 明你  的结论 ; 若不是 , 请说明理由.  
、 

设t = C O S  . 则t ∈[ 一 1 , 1 ] .  

由 导数法求得极大值点为 £ =一 ÷.  
故函数的最大值为  .  
8. C.  

利 用变 量更 新法 有 
1   1  
+ 

1  
+ 

3  

2 2 . ( 1 2分 ) 设 

循 环结 束 , 输 出 .  
9. B.  

, (   ) = 詈+   1 n   z , g (   ) - . 3 _ X 2 — 3 .  
( 1 ) 当 a= 2时 , 求 曲线 Y= - 厂 (  ) 在  =1   处 的切线 方程 ;   ( 2 ) 若存在 。 、   ∈[ 0 , 2 ] 使得  g (  1 )一 g (  2 ) ≥  成立 , 求满足上述条件的最大整数  ;  

由题 设 知 M =   一l <  < 5 } .   而l o g 2 (  。 +1 )<1 的解 集 为  {  l 一1 <   <1 } ,  

故所求概率为 ÷ .  
1 0. C.  

( 3 ) 若对 任意的s 、   ∈ l ÷, 2   I 都 有  
L 二  J 

注意到, 截面 F } 1   B D。 分 为 两 个 相 同 的 i  角形 , 即以 B D. 为 底 高 的 比就 是 面 积 比 , 高  的最 大值 为  , 高的 最小值 为  .  

s ) ≥g ( f )   成立 , 求 实数 a的取 值 范同.  

中 等 数 学 
Sm a x


学.  

而n  + c    ̄2 > a c , 代 人上 式得 ∞≤4 .   当且仅 当 口= c= 2时 , 上 式等号 成立 .  
: = j由 1 『  
  一 , 

1 1 .D.  

c   /   。一 一+    设 A(  l , Y 1 ) , B(  2 , Y 2 ) .   +  由  F A: 一 4一 F B   I :一 4  .   ①  仅当 口 = c = 2时, 式①等号成立.   设  : y= k (  一1 ) , 与抛物线 联立 得  所以, J s ~ 的最大值为  .  


故S △ 删   1口 c s l n   B=   口 c ≤   , 当且 

1  

/ a 5 -  

4 ) , 一4   =0  

1 8 . ( 1 ) 因为  P H Q=   P K Q= 9 0 。 , 所 


Yl+ Y 2:

+  。 孚, T,   Y l Y 2 : 一 4 . ?  

I I●一   (  
n 

②  

以, Q、 日、 K、 P四点 共 圆.   ( 2 ) 由 Q、 日、 K、 P四点共 圆知 

式① 、 ②联立解得 k =±   .  
1 + 口   + 1 )  



“   ≥ 



一  





2.  

2 ) .  

H K S=   H Q P .   ①  又/ P S R= 9 0 。 , 则P R为圆的直径.   故  P Q 尺= 9 0 。 ,   Q R H=   明P .   ②  而/ Q S P=   Q R H ,   ③  由式① 、 ②、 ③得 
Q S P=   H K S , T S=T K .  

0 



1  

则 f L  . 0 } 是 等 差 数 列 , 且 上: l , d : 1 .   J   ,  
n  

故n   =   1


所以 , 第2   0 1 2 项为 

.  

1 3. 4


3 .  

又  S K Q= 9 0 。 , 且  S Q K=   T K Q, 故  Q r:T K,   即 Q r=T S .   1 9 . ( 1 ) 该公 司决定对此项 目投 资的概  率 为 

由题 意 知 

P = c   (   )   (   ) + c ; (   )   =  .  
( 2 ) 该公司放弃对此项 目投资且投票结  果 中最 多有一 张 中立 票 , 情 形见 表 1  
表 1  

≤ 詈 , 且 2 s ‘ 1 n 手 ∞ =  
4  

了‘  

l 4 . 一 篝 .  
由 “=   + , ,   + 6 x一 2 ,   (  +3 )  +( Y一1 )  一1 0 ,  


事件  同意票张数  中立票张数  反对票张数 
, 4   0   0   3  

1  
C  1  

0  
1  

2  
l     ’

知函数 u的几何意义是可行域任意一点到点  ( 一 3 , 1 ) 距 离平 方再减 去 1 0 .   1 5 . ①、 ②、 ③.  
1 6. 2 5.  

D 

0  

1  

2  

由椭圆的定义及余弦定理可求.   三、 1 7 .( 1 ) 由m∥, l , 知 
2 s i n   B ( 2 t m 2   B 2 _ _ 1 ) :一 √   ( . ( 1 s   2 B  
: = 》s i n   2 B=一   c o s   2B  t a n   2 B= 一  

(  c i (   )   =   1 ,   ( ÷ )   =   ,  
P ( C )=C   P( D)=C  

j  2/ B:  

/ B:  

.  

南事件 A、 B、 C、 D互斥 知 
J p ( A+ B+C+  )   =P ( A) +P ( B)+P ( C )+ P( D)  
1 3  


( 2 ) I t l Z   B = 詈 , 6 = 2 及 余 弦 定 理 , 知  
j 。 。  : 
Zr 王 C 

2 7‘  

j   2+c  


口 c 一 4= 0 .  

① 

2 0 . ( 1 ) 南 

2 0 1 3年第 4期 

3 5  

. =  

=  

+ 了 2  

Y一2= 一 (   一1 ) .  

口 n  Tn + 了’  

( 2 )  : ∑( 一 1 ) ¨   口   n …  
=口 2 ( 口 l 一 口 3 )+ 口 4 (  3 一口 5 )+… +   口 2 n ( 0 2   一 I 一 口 2   + I )  
= 一  

( 2 ) 由  ) = 3 X 2 - 2   = 3   (   一   ) , 且   g ( 0 ) = 一 3 , g ( 2 ) = l , g (   ) 一2 5 8 7 ,   知   )  g (   ) 一2 5 8 7 ,  
g ( x )   = g ( 2 )=1 .  

( 口  + 。  +. . . +   )  

则[ g ( x 。 ) 一 g ( x   ) ]   = g (  )   一 g ( x )   i  
一 ’  





4   n ( 【   了 + 警 了 + ÷ 了 ) J  
4  n
一  

2 7 ‘  

3  
= 一  

2  

所以, 满 足条 件 的最大 整数 M = 4 .  

( 2 n 2 + 3 n ) .  

2 1 . ( 1 ) 依 题 意得 
r b=1,  

( 3 ) 对 任 意 s 、   ∈ [ ÷ , 2 】 , 都 有   s ) ≥ g ( t )  
成立 等价 于 

在 区 间 【   1 , 2 】 上 厂 (   )  ≥ g (   )   .  
,   .  

【 口 z = 6   + c z  

由 ( 2 ) , 知 在 区 间 【 虿 1 , 2 】 上  
g ( x )   i  = g ( 2 )=1 .   故  )   ;   ≥1 .   又  1 )=a   a ≥1 .  

所 以 , 椭 圆 C 的 方 程 为 等 + ) ,   = 1 .  
( 2 ) 由  + ) ,  =l ,  

L   = m y + 1  
( m   + 4 ) ) , 。 + 2 m y- 3= O .  

下 面 证 明 : 当 n ≥ l 时 , 在 区 间 【   1 , 2 】 上  
函数  ) ≥1 成 立.  
3   一   2  
。  

设a ( x 。 , Y 。 ) ,  (   : ,  ) . 则A   (   。 , - - y 。 ) , 且 
) , t+, ,  

2m  一   2   , y— y  

当 口 ≥ 1 且   ∈ 【  , 2  

设 经过 点 A   (  。 , - - y 。 ) , B(  , ) ,   ) 的直 线  方 程为  y   =   (  - - X 1 ) .  

) = 詈 +   ≥ ÷ +  .  
记 (  ) :  一 +戈 1 n  . 则 
, (  ):一— 1   +1 n   +1
,  

令 Y= 0 . 则 
, , l  2+y2 xj  
^ 一  

, ( 1 ): 0 。  

Y 2+, , l  
一  

当   ∈ 【   1 , 1 ) 时 ,   (   ) < 0 ;  
当  ∈( 1 , 2 ] 时, h   (   ) > 0 .   故h ( x )   = h ( 1 )=1 , 即h ( x ) ≥1 .  
:4 .  

!  
  ,

±   2 ± 丝   ! ±  
Y 2+Yl  

: 
y 2十) , ’  

所 以 , 当 。 ≥ l , 且   ∈ 【  , 2 】 时 ,  ) ≥  

即直线 A   与  轴交 于定 点 ( 4, 0 ) .   2 2 . ( 1 ) 当 a= 2时 ,   , ( 1 ) = 2 , f   ( 1 ) =一 1 .   故 曲线  =   ) 在 =1 处 的切线 方程 为 

l 成 立 , 即 对 于 任 意 的 s 、 £ ∈ 【 ÷ , 2 】 , 都 有  
s ) ≥g ( t ) .  
( 吴丽华 提供 )  


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