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直线与圆的习题


高二数学《直线和圆的方程》综合测试题
一、 选择题:

1.如果直线 l 将圆: x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 平分,且不通过第四象限,那么 l 的斜率取值范围是 ( A. [0,2] ) B. (0,2) C. (??,0) ? (2,??) ) C.
2? 3

D. (??,0] ? [2,??

)

2.直线 x ? 3 y ? 8 ? 0 的倾斜角是( A.

? 6

B.

? 3

D.

5? 6

3. 若直线 l1 : ax ? (1 ? a) y ? 3 ? 0 ,与 l 2 : (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直, 则 a 的值为( A. ? 3 ) B.1 C.0 或 ?
3 2

D.1 或 ? 3

4. 过点 (2,1) 的直线中被圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 截得的弦长最大的直线方程 是( ) B. 3x ? y ? 7 ? 0 C. x ? 3 y ? 5 ? 0
3 x 的距离是( 3

A. 3x ? y ? 5 ? 0

D. x ? 3 y ? 5 ? 0 )

5.圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1的圆心到直线 y ?
1 2

A.

B.

3 2

C.1

D.

3
)

6.圆 C1 : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 关于直线 x ? y ? 0 对称的圆 C 2 的方程为:( A. ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 C. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 B. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 D. ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 )

7.过点 (2,1) 且与两坐标轴都相切的圆的方程为( A. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1

B. ( x ? 5) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 25

C. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1或 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 25 D. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1或 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 25

8.若直线 y ? x ? m 与曲线 x ? 1 ? y 2 只有一个公共点,则实数 m 的取值范围 是( ) B. m ? 2 或 m ? ? 2 D. ? 1 ? m ? 1 或 m ? ? 2

A. m ? ? 2 C. ? 2 ? m ? 2 二.填空题:

13.已知直线 kx ? y ? 6 ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 25 截得的弦长为 8,则 k 的值为:_____ 14.过点 (?2,5) ,且与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的直线方程为:__________; 15. 已知实数 x, y 满足 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 ,则 三.解答题: 16.求与 x 轴切于点 (5,0) ,并且在 y 轴上截得弦长为 10 的圆的方程.
y 的取值范围是:_______________. x

17.已知一个圆 C 和 y 轴相切,圆心在直线 l1 : x ? 3 y ? 0 上,且在直线 l 2 : x ? y ? 0 上截得的弦长为

2 7 ,求圆 C 的方程.

18.已知圆 x 2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 和直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 相交于 P, Q 两点,O 为原点,且 OP ? OQ , 求实数 m 的取值.

19.已知圆 C : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 和直线 l : kx ? y ? 4k ? 3 ? 0 (1)求证:不论 k 取什么值,直线和圆总相交; (2)求 k 取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.

参考答案
一.选择题: ADDAA BCD 14. 15x ? 8 y ? 10 ? 0, 或x ? ?2 二.填空题: 13. ? 3 15. [? 3, 3] 三.解答题: 16.答案: ( x ? 5) 2 ? ( y ? 5 2 ) 2 ? 50. 17.解:∵圆心在直线 l1 : x ? 3 y ? 0 上,∴设圆心 C 的坐标为 (3t , t ) ∵圆 C 与 y 轴相切, ∴圆的半径为 r ?| 3t | 设圆心到 l 2 的距离为 d ,则 d ?
| 3t ? t | 2 ? 2t

又∵圆 C 被直线 l 2 上截得的弦长为 2 7 , ∴由圆的几何性质得: | 3t |2 ? ( 7 ) 2 ? ( 2 | t |) 2 ,解得 t ? ?1 ∴圆心为 (3,1) 或 (?3,?1),t ? 3 , ∴圆 C 的方程为: ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9, 或( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 18. 解: 设点 P, Q 的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) .

一方面,由 OP ? OQ ,得 kOP ? kOQ ? ?1 ,即 从而, x1 x2 ? y1 y2 ? 0????①

y1 y 2 ? ? ?1, x1 x2

?x ? 2 y ? 3 ? 0 另一方面, ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) 是方程组 ? 2 ,的实数解, 2 ?x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0
即 x1 , x 2 是方程 5x 2 ? 10x ? 4m ? 27 ? 0 …… ②的两个实数根, ∴ x1 ? x2 ? ?2 , x1 ? x 2 ?
4m ? 27 5

………… ③

又 P, Q 在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,
1 1 1 (3 ? x1 ) ? (3 ? x 2 ) ? [9 ? 3( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 ] 2 2 4 m ? 12 将③式代入,得 y1 ? y 2 ? ………… ④ 5 又将③,④式代入①,解得 m ? 3 ,代入方程②,检验 ? ? 0 成立。 ∴m ? 3

∴ y1 ? y 2 ?

19.解:(1)证明:由直线 l 的方程可得, y ? 3 ? k ( x ? 4) ,则直线 l 恒通过点
(4,3) ,把 (4,3) 代入圆 C 的方程,得 (4 ? 3) 2 ? (3 ? 4) 2 ? 2 ? 4 ,所以点 (4,3) 在圆的内部,

又因为直线 l 恒过点 (4,3) , 所以直线 l 与圆 C 总相交. (2)设圆心到直线 l 的距离为 d ,则

d?

| 3k ? 4 ? 4k ? 3 | 3 ?4
2 2

?

| k ?1| 5

L L (k ? 1) 2 又设弦长为 L ,则 ( ) 2 ? d 2 ? r 2 ,即 ( ) 2 ? 4 ? . 2 2 25

L ∴当 k ? ?1 时, ( ) 2 min ? 4 ? Lmin ? 4 2 所以圆被直线截得最短的弦长为 4.


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