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数学(理)卷·2016届浙江省温州市十校联合体高三上学期期中联考试题(2015.10)


2015 学年第一学期十校联合体高三期中联考 数 学 试 卷(理)
(满分 150 分,考试时间:120 分钟) 一. 选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。)

x 2 ? x ? 2 ? 0} , B ? { y | y ? log 2 x} ,则 (C R A) ? B ? ( A. ( ?2,1) B. [ ?2,1] C. ( ??,?2) ? (1,??) D. ( ?2,1] 1 1 2.已知 a ? R, b ? R ,则“ a ? b ”是“ ? ”成立的 ( ) a b
1.已知集合 A ? {x | A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的 体积为( A. ) . B.



2? 3

?
3

C.

16? 9

D.

2? 9

4.已知等比数列{ a n}首项为 1 ,公比 q ? 2 ,前 n 项和为 S n ,则下 列结论正确的是 ( ) B. ?n ? N ? , a n ? a n ?1 ? a n ? 2 D. ?n0 ? N ? , an0 ? an0 ?3 ? an0 ?1 ? an0 ? 2
第3题

A. ?n ? N ? , S n ? a n ?1 C. ?n0 ? N ? , an0 ? an0 ? 2 ? 2an0 ?1 5.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )
位后得到函数 g

(? ? 0, ? ?

?

2

) 的最小正周期为 ? ,且其图像向右平移
( )

?
6

个单

?x ? ? sin ??x ? 的图像,则函数 f ( x) 的图像
?
12
对称 B.关于直线 x ? D.关于点 (

A.关于直线 x ? C.关于点 (

?
12

, 0 ) 对称

5? , 0 ) 对称 12

5? 对称 12

?y ? 3 ? 6.若实数 x,y 满足不等式组 ?3 x ? 7 y ? 24 ? 0 , 则 z ? x ? 2 y 的最大值是( ?x ? 3 y ? 8 ? 0 ?
A.6 B.7 C.8 D.9

)

7.若关于 x 的不等式 x ? x ? a ? 2 至少有一个正数解,则实数 a 的取值范围是(
2



A. (?2,2)

B. (?2, )

9 4

C. (? , )

9 9 4 4

D. (? ,2)

9 4

8.已知 A ? ? , AB ? 5 , AC ? 2 2 ,且 AB 与 ? 所成角的正弦值为

4 , AC 与 ? 所成的 5
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角为 450,点 B, C 在平面 ? 同侧,则 BC 长的范围为( A. [5 ? 2 2 ,5 ? 2 2 ] B. [ 5 , 29 ] C. [ 5 , 61]



D. [ 29 , 61]

二.填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。) 9.已知 0 ? ? ? ? , sin ? ? 1 ,则 cos ? ? ______ ; cos 2? ? ______ .

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2

3

10.在等差数列 {an } 中, 若 a4 ? a8 ? 8, a7 ? a11 ? 14 , ak ? 18 ,则 k ? 项和 S n ? .

; 数列 {an } 的前 n

11.已知直线 l : mx ? y ? 4 ,若直线 l 与直线 x ? (m ? 1) y ? 1 垂直,则 m 的值为 直线 l 被圆 C : x ? y ? 2 y ? 8 ? 0 截得的弦长为 4,则 m 的值为
2 2 2

; 若 .

12. 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x ? 0 时 , f ( x) ? ? x ? ax ? a ? 1 , 则

f (?2) ?
13.若 x ? [?

;若函数 f ( x) 为 R 上的单调减函数,则 a 的取值范围是

.

? ?

3sin 2 x ? 2 的最大值为 , ] ,则 f ( x) ? 6 4 sin x cos x ? cos 2 x



14.已知向量 a, b ,且 b ? 2 , a ? b ? 2 ,则 t b ? (1 ? 2t )a (t ? R ) 的最小值为



x2 y 2 15. 已 知 双 曲 线 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 左 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 抛 物 线 a b

C2 : y 2 ? 2 px? p ? 0 ? 的焦点与双曲线 C1 的一个焦点重合, C1与C2 在第一象限相交于点 P,
且 F1 F2 ? PF1 ,则双曲线的离心率为 .

三.解答题(本大题有 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 16. (本小题满分 14 分) 已知 ?ABC 中角 A, B, C 对边分别为 a, b, c ,且满足 2a sin(C ? (Ⅰ)求 A 的值; (Ⅱ)若 B ?

?
6

) ?b?c.

?
4

, b ? a ? 2 ? 3 ,求 ?ABC 的面积.

17.(本小题满分 15 分)如图,已知四边形 ABCD 为菱形,且 ?A ? 60? , E , F 分别为 AB, AD 的 中点,现将四边形 EBCD 沿 DE 折起至 EBHD . (Ⅰ)求证: EF // 平面ABH ; (Ⅱ)若平面 EBHD ⊥平面 ADE ,求二面角 B ? AH ? D 的平面角的余弦值. B
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E A F D A C

H B B E B F

D

18.(本小题满分 15 分)已知椭圆 C 的离心率为

2 ,右焦点为 F2 (1,0) ,过点 B (2,0) 作直线交 2

椭圆 C 于 P、Q 两点,设直线 PF2 和 QF2 的斜率分别为 k1 , k 2 . (Ⅰ)求证: k1 ? k 2 为定值; (Ⅱ)求△PF2Q 面积 S 的最大值.

19.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1(a, b ? R) .
2

(Ⅰ)若函数 f ( x)的值域为? , 且 f ( x ? 1) ? f (? x) ,求函数 f ( x) 解析式; ? ? ?, (Ⅱ)设b ? a ? 1 ,当 0 ? a ? 1 时,对任意 x ? ?0,2? ,都有 m ? f ( x) 恒成立,求 m 的最小值.

?3 ?4

? ?

20.(本小题满分 15 分)已知数列 ?a n ?满足 an ? 0 且 an ? (Ⅰ)证明: a n ?1 ?
2

2an ?1 (n ? N * ) . 1 ? an ?12

1 a (n ? N * ) ; 2 n
*

(Ⅱ)令 bn ? ? an ?1 ? an an ?1 (n ? N ) ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ?

1 2 a1 . 3

2015 学年第一学期十校联合体高三期中联考 数 学 (理)参考答案
一、选择题:本大题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 A 5 A 6 C 7 D 8 B

二.填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。) 9. 11. 13.

2 2 3

7 9
?2

10.

20

n 2 ? 3n 2

?

1 2 1 ? 2

12. 14.

3 ? 3a
1

a ? ?1
15.

2? 3

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 14 分) 已知 ?ABC 中角 A, B, C 对边分别为 a, b, c ,且满足 2a sin(C ? (Ⅰ)求 A 的值 (Ⅱ)若 B ?

?
6

) ?b?c.

?

4

, b ? a ? 2 ? 3 ,求 ?ABC 的面积。
3 1 ? cos C ? ) ? sin B ? sin C ,------------------------------2 2

解:(Ⅰ) 2 sin A(sin C ?

2分

即 3 sin A sin C ? sin A cos C ? sin B ? sin C , 所以 3 sin A sin C ? sin A cos C ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin C , 所以 3 sin A sin C ? cos A sin C ? sin C , 所以 3 sin A ? cos A ? 1 , 所以 2 sin( A ? 得A? ------ 4 分

. ---------------------------------------------------7 分 3 (Ⅱ)设△ABC 外接圆半径为 R,由正弦定理得:

?

? ) ? 1, 6

------------------------------------------------------ 6 分

b ? c ? 2 R(sin B ? sin C ) ? 2 R(

2 3 ? )? 2? 3 2 2

? R ? 1.

5? ?A?? ? B?C ? 12 6? 2 --------------------------------------- 11 分 ? sin A ? 4 1 1 6 ? 2 3? 3 . ------------------------- 14 分 ? S△ ABC ? bc sin A ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 4 4

--------------------------------------- 9 分

17. (本小题满分 15 分)如图,已知四边形 ABCD 为菱形,且 ?A ? 60? , E , F 分别为 AB, AD 的 中点,现将四边形 EBCD 沿 DE 折起至 EBHD 。 (Ⅰ)求证: EF // 平面ABH ; (Ⅱ)若平面 EBHD ⊥平面 ADE ,求二面角 B ? AH ? D 的平面角的余弦值。 B E A F D 解:(Ⅰ)取 AH 的中点 G,连接 BG,FG,EF C A H B B E B F

D

---------------------------2 分

1 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 BE 平行且等于 HD 2
又因为 FG 为三角形 ABH 的中位线,所以 FG 平行且等于

1 HD 2

故 BE 平行且等于 FG,即 BEFG 为平行四边形, 因此 EF 平行 BG -----------------------------------4 分 所以 EF // 平面ABH (Ⅱ)因为 ?A ? 60? ,所以 DE ? AB 故翻折之后 BE ? ED, AE ? ED ,因此 ?BED 为二面角 A-DE-H 的平面角, 故 ?BED ? 90? .因此 BE ? AE ----------------------7 分 建立直角坐标系,以 E 为坐标原点,以 AE 为 x 轴,DE 为 y 轴,且设菱形边长为 2, 则
A ( 1, 0, 0),D (0, 3, 0), B (0, 0,1), H (0, 3, 2)

--------------------------------------- 5 分

??? ? ???? ? ???? ? AH ? (?1, 3, 2), DH ? (0, 0, 2) 因此, AB=(-1,0,1), ?? 设平面 ABH 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,则

?? ??? ? ?? ? ? ?? x ? z ? 0 ?m ? AB ? 0 即? ,取 m ? ( 3, ?1, 3) ------------------------------ 10 分 ? ? ?? ???? ? ?? x ? 3 y ? 2 z ? 0 ?m ? AH ? 0 ?

? 同理,平面 ADH 的法向量为 n ? ( 3,1,0)

---------------------------------------1 2 分 --------------------------------------- 14 分

?? ? m?n ?? ? 7 于是, cos ? m, n ? ? ?? ? ? , 7 m?n
由题知,所求二面角为钝角, 故二面角 B ? AH ? D 的平面角的余弦值为 ?

7 。 7

--------------- 15 分

18.(本小题满分 15 分)已知椭圆 C 的离心率为

2 ,右焦点为 F2 (1,0) ,过点 B (2,0) 作直线交 2

y

椭圆 C 于 P、Q 两点, 设直线 PF2 和 QF2 的斜率分别

k1 , k2 .
(Ⅰ)求证: k1 ? k 2 为定值; (Ⅱ)求△PF2Q 面积 S 的最大值.
P O

F Q

B x

解:(Ⅰ)由题意得椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 2

----------------------------------- 3 分
2 2 2 2

设 PQ 直线方程为 y ? k ( x ? 2) ,代入椭圆方程得: (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 , 设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

8k 2 8k 2 ? 2 , x x ? ??????????5 分 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

k1 ? k 2 ?

y1 y k ( x1 ? 2) k ( x 2 ? 2) x ? x2 ? 2 ? 2 ? ? ? k[2 ? 1 ] ? 0 ?? 7 分 x1 ? 1 x 2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)
2 2 2 2

(Ⅱ)由 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 ,得

? ? 0 ,所以 k 2 ?

1 2

1 1 1 S ? ? BF2 ? y1 ? y2 ? k x1 ? x2 ? k 2 2 2

8(1 ? 2k 2 ) --------------------------------10 分 1 ? 2k 2

(1 ? 2k 2 )k 2 ? t 2 ? 3t ? 2 1 3 1 ? 2 ? 2 ? ( ? ) 2 ? ( t ? 1 ? 2k 2 ), =? 2 2 2 2 2t t 4 16 (1 ? 2k )
所以 k 2 ?

2 1 时, S 的最大值为 4 6

--------------------------------------- 15 分

19.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1(a, b ? R) 。
2

?3 ? ?4 ? (Ⅱ)若 设b ? a ? 1 ,当 0 ? a ? 1 时,对任意 x ? ?0,2? ,都有 m ? f ( x) 恒成立,求 m 的最小
(Ⅰ)若函数 f ( x)的值域为? , 且 f ( x ? 1) ? f (? x) ,求函数 f ( x) 解析式; ? ? ?, 值。 解(Ⅰ)由已知得 a ? 0,

4a ? b 2 3 b 1 ? , ? ,则 a ? 1, b ? 1 4a 4 2a 2
―――――――――― 5分

f ( x) ? x 2 ? x ? 1

(Ⅱ)①当 a=0 时, f ( x) ?| x ? 1 | 在[0,2]上的最大值为 1----------------- 7 分 ② 0 ? a ? 1 时,对称轴为 x ? 若

a ?1 1 ? 2 即 0 ? a ? 时, f ( x) max ? max{| f (0) |, | f (2) |} ? max{1, | 2a ? 1 |} , 2a 3
----------------------------------10 分

a ?1 2 >0, ? ? (a ? 1) ? 0 2a

而 2a ? 1 ? 1 ,所以 f ( x) max ? 1 ③若

a ?1 1 ? 2 即 ? a ? 1, 2a 3

f ( x) max ? max{| f (0) |, | f (

a ?1 (a ? 1) 2 ) |, | f (2) |} ? max{1, , | 2a ? 1 |} 2a 4a

(a ? 1) 2 1 ? 1, | 2a ? 1 |? 1 ,所以 f ( x) max ? 1 ------------- 13 分 由 ? a ? 1, ? 4a 3
综上: m ? 1 ------------------ 15 分
2an ?1 (n ? N * ) . 2 1 ? an ?1

20.(本小题满分 15 分)已知数列 ?a n ?满足 an ? 0 且 an ? (Ⅰ)证明: a n ?1 ?

1 a (n ? N * ) ; 2 n

(Ⅱ)令 bn ? ? an ?1 ? an an ?1 (n ? N ) ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ?
2 *

1 2 a1 . 3

解:(Ⅰ)由 a n ?

2a n ?1 1?
2 an ?1

, an ? 0 ,所以有 1 ? an ?12 ? 0 ,

? 0 ? 1 ? an ?12 ? 1

因此 a n ? 2a n ?1 ,即 a n ?1 ? 1 a n 。 --------------- 7 分 2 1 1 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 a n ? a n ?1 ? 2 a n ? 2 ? ? ? n ?1 a1 ,即 a n ? n ?1 a1 ,---10 分 2 2 2 2 2 1 又 bn ? ? an ?1 ? an an ?1 , bn 是关于 an ?1 的二次函数,? a n ?1 ? a n 2 1 2 1 1 2 --------------------------------- 12 分 ? bn ? ? an ? an ? ( an ) ? an , 4 2 4 1 1 2 由an ? n ?1 a1得 , bn ? n a1 2 4 1 1 2 1 ? Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? a1 ( ? 2 ? ? ? n ) 4 4 4 1 2 1 1 2 = a1 (1 ? n ) ? a1 ------------------------------------------ 15 分 3 4 3

2015 学年第一学期十校联合体高三期中联考数学(理)试卷细目表
题号 考查点 参考 《指导意见》 、 《考 试说明》 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
【 来.

分 值
5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 14 15 15 15 15

考查要求 A 了解 B 理解 C 应用 D 综合 B B C B B C C D B C C C C D D C D C D D

试题难度 I 容易 II 稍难 III 较难 I I I 1 2 II 3 III I 1 1 II II III III II II II III III

题目来源 (原创或改编) 改编 改编 改编 原创 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编

集合的运算和不等式的运算 充要条件 三视图 逻辑连结词 三角函数 线性规划 函数问题 立体几何 三角函数求值 数列 直线与圆 函数与奇偶性 基本不等式 平面向量问题 离心率问题 三角与解三角形 立体几何综合应用 直线与椭圆的综合应用 函数性质的综合应用 数列综合问题

选 择 题

填 空 题

源: 全,品?中&高*

考*网】

13 14 15 16 17

解 答 题

18 19 20


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