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恒成立问题的求解策略(全)


1.对任意

,不等式

恒成立,求 的取值范围。 的一元二次不等式,但若把 在 看成主元,则问题可转化

分析:题中的不等式是关于 为一次不等式

上恒成立的问题。

解: 令

, 则原问题转化为

恒成立 (





时,可得

,不合题意。



时,应有

解之得



故 的取值范围为



2.已知函数

的定义域为 R,求实数 的取值范围。

解:由题设可将问题转化为不等式



恒成立,即有

解得



所以实数 的取值范围为



若二次不等式中 的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。 3设 围。 解:设 ,则当 时, 恒成立 ,当 时, 恒成立,求实数 的取值范



时,

显然成立;



时,如图,

恒成立的充要条件为:

解得



综上可得实数 (2)、最值法

的取值范围为



将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有: 1) 恒成立

2)

恒成立

4 . 已 知 恒成立,求实数 的取值范围。

, 当

时 ,

解:设 恒成立.

,则由题可知

对任 意



,得

.







即实数 的取值范围为



5.函数 求实数 的取值范围。 解:若对任意 ,

,若对任意



恒成立,

恒成立,

即对



恒成立,

考虑到不等式的分母

,只需



时恒成立而得.

而抛物线



的最小值



注: 本题还可将 三.分离变量法

变形为

, 讨论其单调性从而求出

最小值。

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端, 从而问题转化为求主 元函数的最值,进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值,但它思路更清晰,操作性 更强。一般地有: 1) 恒成立

2)

恒成立

6.已知当 x R 时,不等式 a+cos2x<5-4sinx+

恒成立,求实数 a 的取值范围。

分析:在不等式中含有两个变量 a 及 x,其中 x 的范围已知(x R),另一变量 a 的范 围即为所求,故可考虑将 a 及 x 分离。 解:原不等式即:

要使上式恒成立,只需 化成求 f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。

大于

的最大值,故上述问题转

f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+3 3, ∴ 即

上式等价于



解得

.

注:注意到题目中出现了 sinx 及 cos2x,而 cos2x=1-2sin2x,故若把 sinx 换元成 t,则可把 原不等式转化成关于 t 的二次函数类型。 另解:a+cos2x<5-4sinx+ 即

a+1-2sin2x<5-4sinx+

,令 sinx=t,则 t [-1,1],

整理得 2t2-4t+4-a+

>0,( t [-1,1])恒成立。

设 f(t)= 2t2-4t+4-a+

则二次函数的对称轴为 t=1,

f(x)在[-1,1]内单调递减。 只需 f(1)>0,即 >a-2.(下同)

四.根据函数的奇偶性、周期性等性质 若函数 f(x)是奇(偶)函数,则对一切定义域中的 x ,f(-x)=-f(x) (f(-x)=f(x))恒成立; 若函数 y=f(x)的周期为 T, 则对一切定义域中的 x,f(x)=f(x+T)恒成立。 7.若 f(x)=sin(x+ )+cos(x)为偶函数,求 的值。

分析:告诉我们偶函数的条件,即相当于告诉我们一个恒成立问题。 解:由题得:f(-x)=f(x)对一切 x R 恒成立, sin(-x+ 即 sin(x+ 2sinx·cos )+cos(-x)+sin(x)=sin(x+ )=cos(x+ )+cos(x)-cos(xsinx(sin ) +cos )=0 +cos =0。 )

=-2sinx·sin

对一切 x R 恒成立,

只需也必须 sin

五.数形结合

若把等式或不等式进行合理的变形后, 能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象, 则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。 8.当 x (1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立,求 a 的取值范围。 分析:若将不等号两边分别设成两个函数,则左边为二次函数,图象是抛物线,右边为 常见的对数函数的图象,故可以通过图象求解。

解:设 y1=(x-1)2,y2=logax,则 y1 的图象为右图所示的抛物线,要使对一切 x (1,2),y1<y2 恒 成立,显然 a>1,并且必须也只需当 x=2 时 y2 的函数值大于等于 y1 的函数值。 故 loga2>1,a>1,

1<a 2.

9.已知关于 x 的方程 lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0 有唯一解,求实数 a 的取值范围。 分析:方程可转化成 lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得 x2+20x=8x-6a-3>0,注意到若将等号两 边看成是二次函数 y= x2+20x 及一次函数 y=8x-6a-3,则只需考虑这两个函数的图象在 x 轴上 方恒有唯一交点即可。

解:令 y1= x2+20x=(x+10)2-100,y2=8x-6a-3,则如图所示,y1 的图象为一个定抛物线,y2 的图象是一条斜率为定值 8,而截距不定的直线,要使 y1 和 y2 在 x 轴上有唯一交点,则直 线必须位于 l1 和 l2 之间。(包括 l1 但不包括 l2)

当直线为 l1 时,直线过点(-20,0)此时纵截距为-6a-3=160,a=

;

当直线为 l2 时, 直线过点 0)纵截距为-6a-3=0, (0, , a=

∴a 的范围为[



) 。

由上可见,含参的恒成立问题因其覆盖知识点多,方法也多种多样,但其核心思想还是 等价转化,抓住了这点,才能以“不变应万变”,当然这需要我们不断的去领悟、体会和总 结。


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