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正弦定理第一课时教案1


§1.1

正弦定理第一课时教案
主讲人:李芳 共 2 课时第一课时

一、学习目标 1、知识目标: (1)使同学们理解正弦定理的推导过程;(2)能应用正弦定理解斜三角形 2、能力目标: 培养同学们分析归纳的能力、分析问题解决问题的能力 二、重难点 正弦定理的推导及在已知两角和任意一边解三角形 三、学法指导 1.要注意定理的几种证法,自己能够发现通过探索、讨论研究,发现证明方法;2.体会向量 是一种处理问题的工具 四、课前预习 1. 在

?ABC中,已知a, b 分别为?A, ?B













a ? b ? A ___ B ? sin A ____sin B
2.正弦定理:在三角形中, ________________________________________________________ 即 ______? _______? _________ =_______( )

3.一般的,把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素。已知三角形 的几个元素求其他元素的过程叫做____. 4.正弦定理的证明方法有哪些? 五、课堂探究 探索 1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系, 在 Rt ?ABC 中 , 设 C ? 90? , 则 sinA=_______, sinC=_______ 即: 探索 2 探索 3

sinB=________,

对于任意三角形,这个结论还成立吗? 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的.不妨设 C 为最大角,若 C 为直角 ,我 .. 们已经证得结论成立,如何证明 C 为锐角、钝角时结论也成立? D ,此时有 证法 1 若 C 为锐角 (图 (1) ) , 过点 A 作 AD ? BC 于 ..

sin B ?

AD AD , sin C ? ,所以 c sin B ? b sin C , c b b c a c ? ? .同理可得 ,所以 sin B sin C sin A si Cn a b c ? ? . sin A s iB n sC in



若 C 为钝角 (图 (2) ) , 过点 A 作 AD ? BC , 交 BC 的延长线于 D , 此时也有 sin B ? , .. c 且 sin C ? sin(180? ? C ) ?

AD

AD a b c ? ? .同样可得 .综上可知,结论成立. b sin A sin B sin C

证法 2 利用三角形的面积转换,先作出三边上 CF , 则 A D? s ci n B , BE ? a sin C ,

BE 、 的高 AD 、

CF ? b sin A . 所以 S ?ABC ?
a b c ? ? . sin A sin B sin C

1 1 1 1 ab sin C ? ac sin B ? bc sin A , 每项同除以 abc 即得: 2 2 2 2

探索 4 充分挖掘三角形中的等量关系,可以探索出不同的证明方法.我们知道向量也是解 决问题的重要工具,因此能否从向量的角度来证明这个结论呢? 在 ?ABC 中, 有 BC ? BA ? AC . 设C 为 作 AD ? BC 于 D ( 图 ( 3 )), 于 是

??? ?

??? ? ??? ?

最大角, 过点 A

?,


??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? BC ? AD ? BA ? AD ? AC ? AD . 设 AC 与

???? AD 的 夹 角 为

???? ??? ? ??? ? ??? ? 0 ?| BA |? | AD | ? cos(90? ? B)? | AC | ? | AD | cos ? , 其 中 , 当 ?C 为 锐 角 或 直 角 时 , ? ? 90? ? C ; 当 ?C 为 钝 角 时 , ? ? C ? 90? . 故 可 得 c s i nB? b s i n C ? , 0即 b c a c ? ? .同理可得 .因此得证。 sin B si Cn sin A sin C
六、数学应用 题型 1 已知两角和任意一边,求其他两边和一角 例 1 已知在 ?ABC中,c ? 10, A ? 450 , C ? 300 , 求a, b和B

练习 1:在△ABC 中,已知 A=45 ,B=75 ,a=30cm,解三角形.

0

0

练习 2:在△ABC 中,A=60°,B=45°,c=20,解三角形

例 2:请你利用正弦定理证明三角形角平分线定理。

七、巩固训练 (一)当堂练习 1.在 ?ABC 中, B ? 1350 , C ? 150 , A ? 5 ,则此三角形的最大边 长为_____ 2. 在?ABC中,若b ? 2c sin B, 则?C ? ______

八、课堂小结 (1)解三角形常用公式:A ? B ? C ? ?

S?ABC ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

a b c ? ? sin B sin C =2R 正弦定理: sin A
(2)正弦定理应用范围: ①已知两角和任意边,求其他两边和一角 ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角。(注意解的情况) 九、课堂作业:P10 十、教学后记及反思: 习题 1.1 1, 2, 3



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