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山东省临沂一中2015-2016学年高一上学期10月段考数学试卷


2015-2016 学年山东省临沂一中高一(上)10 月段考数学试卷
一、选择题: (共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分) 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为( A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4}

)

>2.设函数 f(x)=

,则 f(f(3) )=(

)

A.

B.3

C.

D.

3.下列各组函数中,表示同一函数的是( A. B.

)

C.

D.

4.已知集合 A{x|x2﹣3x+2=0,x∈R },B={x|0<x<5,x∈N },则满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.函数 f(x)=ax2+2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上为减函数,则 a 的取值范围为( A.0<a≤ B.0≤a≤ C.0<a< D.a> )

6.函数 A.3 B.4 C.5

的最小值是( D.6

)

7.集合 M 由正整数的平方组成,即 M={1,4,9,16,25,…},若对某集合中的任意两个 元素进行某种运算,运算结果仍在此集合中,则称此集合对该运算是封闭的,M 对下列运 ) 算是封闭的是( A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法

8.已知函数 y=

使函数值为 5 的 x 的值是(

)

A.﹣2 B.2 或﹣

C.2 或﹣2

D.2 或﹣2 或﹣

9.函数 y=

的值域是(

) B. (﹣∞,2)∪(2,+∞) C.R D. (﹣∞,2)∪

A. (﹣∞,3)∪(3,+∞) 3 ( ,+∞)

10.已知 f(x2﹣1)的定义域为 ,则 f(x﹣1)的定义域为( A.[﹣2,1] B.[0,3] C.[﹣1,2] D.[﹣ , ]

)

11.函数 y=

的定义域为 R,则实数 k 的取值范围为( C.0≤k<4 D.0<k<4

)

A.k<0 或 k>4 B.k≥4 或 k≤0

12.定义在 R 上的偶函数在[0,7]上是增函数,在[7,+∞)上是减函数,又 f(7)=6,则 f ) (x)( A.在[﹣7,0]上是增函数,且最大值是 6 B.在[﹣7,0]上是增函数,且最小值是 6 C.在[﹣7,0]上是减函数,且最小值是 6 D.在[﹣7,0]上是减函数,且最大值是 6

二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分) . 13.已知集合 A={x|x≤2},B={x|x>a},如果 A∪B=R,那么 a 的取值范围是__________. 14.如果函数 f(x)满足:对任意实数 a,b 都有 f(a+b)=f(a)f(b) ,且 f(1)=1,则 =__________.

15.若定义运算 a?b=

,则函数 f(x)=x?(2﹣x)的值域是__________.

16.函数 f(x)的定义域为 D,若对于任意 x1,x2∈D,当 x1<x2 时都有 f(x1)≤f(x2) , 则称函数 f(x)在 D 上为非减函数,设 f(x)在[0,1]上为非减函数,且满足以下条件: (1)f(0)=0, (2)f( )= f(x) (3)f(1﹣x)=1﹣f(x) ,则 f( )+f( )=__________.

三、解答题: (12+12+12+12+13+13=74′)

17.已知 A={x|﹣2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m﹣1},B?A,求 m 的取值范围. 18. (1)设函数 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x) ,求 g(x)的表达式. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=﹣ (1+x) ,求 f(x)的 解析式.

19.已知 f(x)=

,试判断 f(x)在[1,+∞)上的单调性,并证明.

20.某种商品在近 30 天内每件的销售价格 P(元)与时间 t(天)的函数关系式近似满足 P= ,商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关系

式近似满足 Q=﹣t+40(1≤t≤30,t∈N) . (1)求这种商品日销售金额 y 与时间 t 的函数关系式; (2)求 y 的最大值,并指出日销售金额最大的一天是 30 天中第几天. 21. (13 分)已知函数 f(x)对一切实数 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y) ,且当 x>0 时,f(x)<0,又 f(3)=﹣2. (1)试判定该函数的奇偶性; (2)试判断该函数在 R 上的单调性; (3)求 f(x)在[﹣12,12]上的最大值和最小值.

22. (13 分)已知函数 y=x+ 有如下性质:如果常数 t>0,那么该函数在 函数,在 (1)已知 f(x)= 上是增函数.

上是减

,x∈[﹣1,1],利用上述性质,求函数 f(x)的单调区间和

值域; =﹣x﹣2a, 1], (2) 对于 (1) 中的函数 f (x) 和函数 g (x) 若对任意 x1∈[﹣1, 总存在 x2∈[0, 1],使得 g(x2)=f(x1)成立,求实数 a 的值.

2015-2016 学年山东省临沂一中高一 10 月段考数学 (上) 试卷
一、选择题: (共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分) 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为( A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合. 【分析】由题意求出 A 的补集,然后求出(?UA)∪B. 【解答】解:因为全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4}, 则?UA={0,4}, (?UA)∪B={0,2,4}. 故选 C. 【点评】本题考查集合的基本运算,考查计算能力.

)

2.设函数 f(x)=

,则 f(f(3) )=(

)

A.

B.3

C.

D.

【考点】函数的值. 【专题】计算题. 【分析】由条件求出 f(3)= ,结合函数解析式求出 f(f(3) )=f( )= +1,计算求得 结果.

【解答】解:函数 f(x)=

,则 f(3)= ,

∴f(f(3) )=f( )= +1=



故选 D. 【点评】本题主要考查利用分段函数求函数的值的方法,体现了分类讨论的数学思想,求出 f(3)= ,是解题的关键,属于基础题.

3.下列各组函数中,表示同一函数的是( A. B.

)

C.

D. 【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【专题】计算题;综合法;函数的性质及应用. 【分析】判断函数的定义域以及对应法则是否相同,推出结果即可. 【解答】解: ,两个函数的定义域不相同,所以不是相同函数.

,两个函数的定义域不相同,所以不是相同函数.

,两个函数的定义域相同,对 应法则相同,所以是相同函数. ,两个函数的定义域不相同,所以不是相同函数. 故选:C. 【点评】本题考查函数的定义的应用,是基本知识的考查. 4.已知集合 A{x|x2﹣3x+2=0,x∈R },B={x|0<x<5,x∈N },则满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】集合. 【分析】先求出集合 A,B 由 A?C?B 可得满足条件的集合 C 有{1,2,},{1,2,3},{1, 2,4},{1,2,3,4},可求 【解答】解:由题意可得,A={1,2},B={1,2,3,4}, ∵A?C?B, ∴满足条件的集合 C 有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共 4 个, 故选 D. 【点评】本题主要考查了集合的包含关系的应用,解题的关键是由 A?C?B 找出符合条件 的集合. 5.函数 f(x)=ax2+2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上为减函数,则 a 的取值范围为( A.0<a≤ B.0≤a≤ C.0<a< D.a> )

【考点】函数单调性的性质. 【专题】计算题.

【分析】根据 a 取值讨论是否为二次函数,然后根据二次函数的性质建立不等关系,最后将 符合条件的求并集. 【解答】解:当 a=0 时,f(x)=﹣2x+2,符合题意 当 a≠0 时,要使函数 f(x)=ax2+2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上为减函数 ∴ ?0<a≤

综上所述 0≤a≤ 故选 B 【点评】 本题主要考查了已知函数再某区间上的单调性求参数 a 的范围的问题, 以及分类讨 论的数学思想,属于基础题.

6.函数 A.3 B.4 C.5

的最小值是( D.6

)

【考点】函数的最值及其几何意义. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】设 =t,t≥0,则 x=t2+2,将原函数式转化为关于 t 的二次函数式的形式,再

利用二次函数的值域求出原函数的值域即可. 【解答】解:设 则函数 =t,t≥0,则 x=t2+2, 等价于:

y=2t2+t+3,t≥0, ∵y=2t2+t+3 在[0,+∞)上是增函数, ∴ymin=2×02+0+3=3. ∴函数 的最小值是 3.

故选 A. 【点评】本题主要考查了利用换元法函数的值域,解数学题时,把某个式子看成一个整体, 用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法,属于基础题. 7.集合 M 由正整数的平方组成,即 M={1,4,9,16,25,…},若对某集合中的任意两个 元素进行某种运算,运算结果仍在此集合中,则称此集合对该运算是封闭的,M 对下列运 ) 算是封闭的是( A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法 【考点】元素与集合关系的判断. 【专题】集合. 【分析】根据对某集合中的任意两个元素进行某种运算,运算结果仍在此集合中,则称此集 合对该运算是封闭的,利用排除法逐一判断即可. 【解答】解:因为 1+4=5?M, 所以此集合对加法运算不是封闭的;

因为 4﹣1=3?M, 所以此集合对减法运算不是封闭的; 因为 9÷4=2.25?M, 所以此集合对除法运算不是封闭的; 数列 M={1,4,9,16,25,…}的通项公式为: ,

数列中任意两个数的积还是一个数的平方,它还在此集合中, 所以此集合对乘法运算是封闭的. 故选:C. 【点评】本题主要考查了元素和集合之间的关系,考查了对“集合对该运算是封闭”的理解和 运用,还考查了排除法的运用,属于基础题.

8.已知函数 y=

使函数值为 5 的 x 的值是(

)

A.﹣2 B.2 或﹣

C.2 或﹣2

D.2 或﹣2 或﹣

【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值. 【分析】分 x≤0 和 x>0 两段解方程即可.x≤0 时,x2+1=5;x>0 时,﹣2x=5. 【解答】解:由题意,当 x≤0 时,f(x)=x2+1=5,得 x=±2,又 x≤0,所以 x=﹣2; 当 x>0 时,f(x)=﹣2x=5,得 x=﹣ ,舍去. 故选 A 【点评】本题考查分段函数求值问题,属基本题,难度不大.

9.函数 y=

的值域是(

)

A. C.R D. (﹣∞,3)∪(3,+∞) B. (﹣∞,2)∪(2,+∞) (﹣∞,2)∪ (3,+∞) 【考点】函数的值域. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】用分离常数方法,将式子变形成反比例型函数,根据反比例函数的值域,来求 y 的取值范围. 【解答】解:∵ = ,∵ ,∴ ,

∴函数 y 的值域为(﹣∞,2)∪(2,+∞) . 故选择:B. 【点评】本题是考查反比例函数的值域.属于基础题. 10.已知 f(x2﹣1)的定义域为 ,则 f(x﹣1)的定义域为( A.[﹣2,1] B.[0,3] C.[﹣1,2] D.[﹣ , ] 【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用. )

【分析】f(x2﹣1)的定义域为 ,可得 ,即﹣1≤x2﹣1≤2.由 ﹣1≤x﹣1≤2,解出即可得出. 【解答】解:∵f(x2﹣1)的定义域为 , ∴ , 2 ∴﹣1≤x ﹣1≤2. 由﹣1≤x﹣1≤2, 解得 0≤x≤3. 则 f(x﹣1)的定义域为[0,3]. 故选:B. 【点评】本题考查了函数的定义域求法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

11.函数 y=

的定义域为 R,则实数 k 的取值范围为( C.0≤k<4 D.0<k<4

)

A.k<0 或 k>4 B.k≥4 或 k≤0

【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】计算题;分类讨论;函数的性质及应用. 【分析】y= 的定义域要使给出的分式函数定义域为实数集,是指对任意实数 x

分式的分母恒不等于 0,对分母的二次三项式进行分类讨论,分 k=0,和 k≠0 讨论,当 k≠0 时,需要二次三项式对应的二次方程的判别式小于 0. 【解答】解∵函数 y= 的定义域为 R,

∴kx2+kx+1 对?x∈R 恒不为零, 当 k=0 时,kx2+kx+1=1≠0 成立; 当 k≠0 时,需△ =k2﹣4k<0,解得 0<k<4. 综上,使函数的定义域为 R 的实数 k 的取值范围为[0,4) . 故选:C. 【点评】 本题是在知道函数的定义域的前提下求解参数的范围问题, 考查了数学转化思想和 分类讨论思想,解答此题时容易忽视 k=0 的情况导致解题出错,此题是基础题. 12.定义在 R 上的偶函数在[0,7]上是增函数,在[7,+∞)上是减函数,又 f(7)=6,则 f ) (x)( A.在[﹣7,0]上是增函数,且最大值是 6 B.在[﹣7,0]上是增函数,且最小值是 6 C.在[﹣7,0]上是减函数,且最小值是 6 D.在[﹣7,0]上是减函数,且最大值是 6 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,即可得到结论. 【解答】解:∵函数在[0,7]上是增函数,在[7,+∞)上是减函数, ∴函数 f(x)在 x=7 时,函数取得最大值 f(7)=6, ∵函数 f(x)是偶函数, ∴在[﹣7,0]上是减函数,且最大值是 6, 故选:D

【点评】 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断, 根据偶函数的对称性是解决本题的关键. 二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分) . 13.已知集合 A={x|x≤2},B={x|x>a},如果 A∪B=R,那么 a 的取值范围是(﹣∞,2]. 【考点】并集及其运算. 【专题】集合. 【分析】利用并集的性质求解. 【解答】解:∵集合 A={x|x≤2},B={x|x>a},A∪B=R, ∴a≤2. ∴a 的取值范围是(﹣∞,2]. 故答案为: (﹣∞,2]. 【点评】本题考查实数的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意并集的性质 的合理运用. 14.如果函数 f(x)满足:对任意实数 a,b 都有 f(a+b)=f(a)f(b) ,且 f(1)=1,则 =2014. 【考点】函数的值;抽象函数及其应用. 【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】由已知得 ,由此能求出结果.

【解答】解:∵函数 f(x)满足:对任意实数 a,b 都有 f(a+b)=f(a)f(b) ,且 f(1) =1, ∴ = = =1×2014 =2014. 故答案为:2014. 【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题的关键是得到 .

15.若定义运算 a?b=

,则函数 f(x)=x?(2﹣x)的值域是(﹣∞,1].

【考点】函数的值域. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据题意求出 f(x)的解析式,再判断出函数的单调性,即可得到答案. 【解答】解:由 a?b= 得,f(x)=x?(2﹣x)= ,

∴f(x)在(﹣∞,1)上是增函数,在[1,+∞)上是减函数, ∴f(x)≤1, 则函数 f(x)的值域是: (﹣∞,1], 故答案为: (﹣∞,1]. 【点评】本题考查分段函数的值域,即每段值域的并集,也是一个新定义运算问题:取两者 中较小的一个,求出函数的解析式并判断出其单调性是解题的关键. 16.函数 f(x)的定义域为 D,若对于任意 x1,x2∈D,当 x1<x2 时都有 f(x1)≤f(x2) , 则称函数 f(x)在 D 上为非减函数,设 f(x)在[0,1]上为非减函数,且满足以下条件: (1)f(0)=0, (2)f( )= f(x) (3)f(1﹣x)=1﹣f(x) ,则 f( )+f( )= . 【考点】抽象函数及其应用. 【专题】新定义. 【分析】已知条件求出 f(1) 、f( ) 、f( ) 、f( ) 、f( )的值,利用当 x1<x2 时,都 有 f(x1)≤f(x2) ,可求出 f( )的值,从而求出所求. 【解答】解:∵函数 f(x)在[0,1]上为非减函数,①f(0)=0;③f(1﹣x)+f(x)=1, ∴f(1)=1, 令 x= ,所以有 f( )= , 又∵②f( )= f(x) ,令 x=1,有 f( )= f(1)= , 令 x= ,有 f( )= f( )= ,f( )= f( )= , 非减函数性质:当 x1<x2 时,都有 f(x1)≤f(x2) ,∴ < < ,有 f( )≤f( )≤f( ) , 而 f( )= =f( ) ,所以有 f( )= ,则 故答案为: 【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用,以及新定义的理解,同时考查了计算能力和转 化的思想,属于中档题. 三、解答题: (12+12+12+12+13+13=74′) 17.已知 A={x|﹣2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m﹣1},B?A,求 m 的取值范围. 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】常规题型;计算题;分类讨论. 【分析】解决本题的关键是要考虑集合 B 能否为空集,先分析满足空集的情况,再通过分 类讨论的思想来解决问题.同时还要注意分类讨论结束后的总结. 【解答】解:当 m+1>2m﹣1,即 m<2 时,B=?,满足 B?A,即 m<2; 当 m+1=2m﹣1,即 m=2 时,B=3,满足 B?A,即 m=2; 当 m+1<2m﹣1,即 m>2 时,由 B?A,得 即 2<m≤3; = .

综上所述:m 的取值范围为 m≤3. 【点评】本题考查的是集合包含关系的判断及应用.解决本题的关键是要考虑集合 B 能否 为空集,满足空集的条件,并能以此条件为界进行分类讨论. 18. (1)设函数 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x) ,求 g(x)的表达式. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=﹣ (1+x) ,求 f(x)的 解析式. 【考点】函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)令 x+2=t,则 x=t﹣2,可得 g(t)=f(t﹣2) ,即可得出. (2)利用函数的奇偶性即可得出. 【解答】解: (1)令 x+2=t,则 x=t﹣2,∴g(t)=f(t﹣2)=2(t﹣2)+3=2t﹣1, 把 t 换成 x 可得:g(x)=2x﹣1. (2)设 x<0,则﹣x>0, ∵当 x>0 时,f(x)=﹣ (1+x) , ∴f(﹣x)=﹣ (1﹣x) ,

又 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0,f(x)=﹣f(﹣x)= (1﹣x) .

∴f(x)=



“换元法”求函数的解析式, 【点评】 本题考查了函数的奇偶性、 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.

19.已知 f(x)=

,试判断 f(x)在[1,+∞)上的单调性,并证明.

【考点】函数单调性的判断与证明. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】运用单调性的定义判断得出:f(x1)﹣f(x2) = = ,运用定义判断符号,就可以得出 f

(x1)<f(x2) ,利用单调性的定义判断即可. 【解答】证明:设 x1,x2∈[1,+∞) ,且 x1<x2. f(x1)﹣f(x2)= ∵x1,x2∈[1,+∞) ,且 x1<x2. ∴x1﹣x2<0,x1+x2>0, ∴f(x1)﹣f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2) , ≥0, >0, =

∴f(x)在[1,+∞)上的单调递增. 【点评】本题考查了函数的单调性的定义,关键是利用差比法分解因式,难度不大,属于中 档题. 20.某种商品在近 30 天内每件的销售价格 P(元)与时间 t(天)的函数关系式近似满足 P= ,商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关系

式近似满足 Q=﹣t+40(1≤t≤30,t∈N) . 1 y ( )求这种商品日销售金额 与时间 t 的函数关系式; (2)求 y 的最大值,并指出日销售金额最大的一天是 30 天中第几天. 【考点】函数的最值及其几何意义. 【专题】计算题;应用题;函数的性质及应用. 【分析】 (1)设日销售金额为 y 元,则 y=P?Q,利用分段函数写出函数表达式; (2)当 1≤t≤24 时,y=﹣(t﹣10)2+900,当 25≤t≤30 时,y=(t﹣70)2﹣900,分别求最值, 从而得到分段函数的最值及最值点. 【解答】解: (1)设日销售金额为 y 元,则 y=P?Q, 即,y= ,t∈N;

(2)当 1≤t≤24 时,y=﹣(t﹣10)2+900, 故当 t=10 时,ymax=900; 当 25≤t≤30 时,y=(t﹣70)2﹣900, 故当 t=25 时,ymax=1125. 故该商品日销售金额的最大值为 1125 元,且近 30 天中第 25 天销售金额最大. 【点评】本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力,同时考查了分段函数的应用, 属于中档题. 21. (13 分)已知函数 f(x)对一切实数 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y) ,且当 x>0 f x 0 f 3 = 2 时, ( )< ,又 ( ) ﹣ . (1)试判定该函数的奇偶性; (2)试判断该函数在 R 上的单调性; (3)求 f(x)在[﹣12,12]上的最大值和最小值. 【考点】抽象函数及其应用;函数奇偶性的判断. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)取 x=y=0 有 f(0)=0,取 y=﹣x 可得,f(﹣x)=﹣f(x) ; (2)设 x1<x2,由条件可得 f(x2)﹣f(x1)=f(x2﹣x1)<0,从而可得结论; (3)根据函数为减函数,得出 f(12)最小,f(﹣12)最大,关键是求出 f(12)=f(6) +f(6)=2f(6)=2[f(3)+f(3)]=4f(3)=﹣8,问题得以解决 【解答】解(1)令 x=y=0,得 f(0+0)=f(0)=f(0)+f(0)=2f(0) , ∴f(0)=0. 令 y=﹣x,得 f(0)=f(x)+f(﹣x)=0, ∴f(﹣x)=﹣f(x) , ∴f(x)为奇函数.

(2)任取 x1<x2,则 x2﹣x1>0, ∴f(x2﹣x1)<0, ∴f(x2)﹣f(x1)=f(x2)+f(﹣x1)=f(x2﹣x1)<0, 即 f(x2)<f(x1) , ∴f(x)为 R 上的减函数, (3)∵f(x)在[﹣12,12]上为减函数, ∴f(12)最小,f(﹣12)最大, 又 f(12)=f(6)+f(6)=2f(6)=2[f(3)+f(3)]=4f(3)=﹣8, ∴f(﹣12)=﹣f(12)=8, ∴f(x)在[﹣12,12]上的最大值是 8,最小值是﹣8 【点评】本题考查抽象函数及其应用,考查函数的奇偶性与单调性及函数的最值,赋值法是 解决抽象函数的常用方法,属于中档题.

22. (13 分)已知函数 y=x+ 有如下性质:如果常数 t>0,那么该函数在 函数,在 (1)已知 f(x)= 上是增函数.

上是减

,x∈[﹣1,1],利用上述性质,求函数 f(x)的单调区间和

值域; =﹣x﹣2a, 1], (2) 对于 (1) 中的函数 f (x) 和函数 g (x) 若对任意 x1∈[﹣1, 总存在 x2∈[0, 1],使得 g(x2)=f(x1)成立,求实数 a 的值. 【考点】函数单调性的判断与证明;函数的值. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)根据条件,先变形 f(x)= ,可令 x+2=u,1≤u≤3,而函数 u=x+2

为增函数,从而根据复合函数的单调性及已知的性质便可得出 f(x)的减区间为[﹣1,0], 增区间为[0,1],进一步便可得出 f(x)的值域为[﹣2,﹣1]; (2)根据题意便知 f(x)的值域为 g(x)的子集,而容易求出 g(x)的值域为[﹣1﹣2a, ﹣2a],从而得出 ,这样即可得出实数 a 的值.

【解答】解: (1)y= 设 u=x+2,x∈[﹣1,1],1≤u≤3,u=x+2 为增函数; 则 y=u+ ﹣6,u∈[1,3]; 由已知性质得,①当 1≤u≤2,即﹣1≤x≤0 时,f(x)单调递减; ∴f(x)的减区间为[﹣1,0]; ②当 2≤u≤3,即 0≤x≤1 时,f(x)单调递增; ∴f(x)的增区间为[0,1]; 由 f(﹣1)=﹣1,f(0)=﹣2,f(1)= ;

=x+2+

﹣6;

得 f(x)的值域为[﹣2,﹣1]; (2)g(x)=﹣x﹣2a 为减函数,x∈[0,1]; 故 g(x)∈[﹣1﹣2a,﹣2a]; 由题意,f(x)的值域是 g(x)的值域的子集; ∴ ;





即实数 a 的值为 . 【点评】 考查分离常数法的运用, 复合函数的单调性及单调区间的求法, 一次函数的单调性, 根据函数单调性求函数的值域,以及子集的概念.


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