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勾股定理专题复习课[1] 2


初中数学“四基”教学研究系列活动

对《勾股定理》专题复习的认识

单位:66中学

姓名:周岩
27 April 2013

一、核心内容归纳:
? 基本知识: 勾股定理及逆定理

一、核心内容归纳:
? 基本技能: 体验勾股定理的探索过程,会运

用勾股 定理解决简单问题;会用勾股定理的逆 定理判定直角三角形。

一、核心内容归纳:
? 基本思想与方法: 数形结合,分类讨论,方程思想,转化 化归,由特殊到一般,数学建模。

一、核心内容归纳:
? 基本经验: 已知两边求第三边通常利用勾股定理直 接计算或者列方程求解,立体图形中的 勾股定理问题通常转化为平面图形来解 决。

二、常见问题枚举:

? 知识点1:(已知两边求第三边) 1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm, 2cm ,则斜边长为_____________.
2.已知直角三角形的两边长为3、4,则另一条边长是 ________________. 3、三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线 AD=8,求BC的长? 考查意图说明:2,3训练学生分类讨论思想

知识点2: 一、利用方程求线段长

如图,公路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄, DA⊥AB于 A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在公路 AB上 建一车站E,使得C,D两村到E站的距离相等, (1)E站建在离A站多少km处? (2)DE与CE的位置关系
(3)使得C,D两村到E站的距离最短

D C
15

10

A
考查意图说明:

E25

B

二、利用方程解决翻折问题
1、如图,用一张长方形纸片ABCD进行折纸, 已知该纸片宽AB为8cm,? BC? 10cm.当 长 为 折叠时,顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE). 想一想,此时EC有多长??
A D E B F C

2、在矩形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm, 按图所示方式折叠,使点B与点D重合,折痕为 E A EF,求DE的长。

B

D C’

F

C

3、如图,将一个边长分别为4、8的长方形纸片 ABCD折叠,使C点与A点重合,则EF的长是?
D’
A F D

B E

C

4,折叠矩形ABCD的一边AD, 折痕为AE, 且使点D 落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm, 求点F和点E坐标。 y A , B D E

O

F

C

x

考查意图说明:

5.边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直 角坐标系的x轴和y轴上,若沿对角线AC折叠 后,点B落在第四象限B1处,设B1C交x轴于 点D,求(1)三角形ADC的面积,(2)点 B1的坐标,(3)AB1所在的直线解析式.
y
C E O D B

A B1

x

知识点3:
勾股定理在立体图形中的应用
问题一:如图,已知圆柱体底面直径为2cm,高为4cm (1)求一只蚂蚁从A点到F点的距离。 (2)如果蚂蚁从A点到CG边中点H,求蚂蚁爬行的距 离。
A F


H

问题二:如图,已知正方体的棱长为2cm E (1)求一只蚂蚁从A点到F点的距离。 (2)如果蚂蚁从A点到G点,求蚂蚁爬行的距离。 (3)如果蚂蚁从A点到CG边中点M,求蚂蚁爬行 A 的距离。

H
F

G


M

D
B

C

变式一:将正方体改为有一组对面为正方形的长 方体,长为4cm,宽2cm,高2cm,试求上述蚂 E 蚁行走的对应路线的长。
A

H
F D

G


M C

B

变式二:将正方体改为有一组对面为正方形的长 方体,长为4cm,宽2cm,高3cm, E 试求上述蚂蚁行走的对应路线的长。

H F

G


M

D A B

C

变式三:将变式二中的长方体放置如图墙角位置, 试求上述蚂蚁行走的对应路线的长。

知识点4:判断一个三角形是否为直角三角形
1. 直接给出三边长度; 2.间接给出三边的长度或比例关系 (1).若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm,其 他两边之差为1cm,则这个三角形是___________。 (2).将直角三角形的三边扩大相同的倍数后, 得到的三角形是 ____________. (3)在△ABC中, : b : c ? 1 : 1 : 2 ,那么 a △ABC的确切形状是_____________。

考查意图说明:勾股定理逆定理应用

3如图,正方形ABCD中,边长为4,F为DC的中点,E 1 为BC上一点,CE ? BC 你能说明∠AFE是直角吗?
4

变式:如图,正方形ABCD中,F为DC的中点, 1 CE ? 你能说明∠AFE BC E为BC上一点,且 4 是直角吗?

4、一位同学向西南走40米后,又走了50米, 再走30米回到原地。问这位同学又走了 50米后向哪个方向走了?

寻找规律性问题一 ? 1如图,设四边形ABCD是边长为1的正方形, 以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方 形ACEF,再以第二个正方形的对角线AE为边 作第三个正方形AEGH,如此下去…(1)记 正方形ABCD的边长,依上述方法所作的正方 形的边长依次为,的值。 ? (2)根据以上规律写出第n个正方形的边长的 表达式。

寻找规律性问题二 教参157页13题:细心观察图,认真分析各式, 然后解答问题: (1)用含有n(n是正整数)的等式表示上述变 化规律; (2)推算出OA10的长; (3)求出S12 + S22 + S32 + … + S102的值。

A4 A5 S4 S3 A6 S5 ... O

A3 S2 S1 A2 A1

1

(2003山东烟台)请阅读下列材料: 问题:现有5个边长为1的正方形,排列形式如图1-①,请把它们 分割后拼接成一个新的正方形.要求:画出分割线并在正方形网格 图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.

图①

图②

图1

图③

参考小东同学的做法,解决如下问题: 小东同学的做法是: 现有10个边长为1的正方形,排列形式如图2④,请把它们分割后拼 设新正方形的边长为x(x>0).依题意,割补前后图形的面积相等, 接成一个新的正方形.要求:在图④中画出分割线,并在图⑤的正 有x2=5,解得x= 5 . 由此可知新正方形的边长等于两个小正方形 方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的 组成得矩形对角线的长.于是,画出图②所示的分割线,拼出如图 新正方形. ③所示的新正方形.

图④

图⑤

2006年北京市中考
(1)四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开. 大 会会标如图甲. 它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼 成的一个大正方形. 若大正方形的面积为13,每个直角三角形两条 直角边的和是5. 求中间小正方形的面积.

图甲

图乙

(2)现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片,如图乙,请你将它分 割成6块,再拼合成一个正方形. (要求:先在图乙中画出分割线, 再画出拼成的正方形并表明相应数据)

教材改编题

教材68页练习1:有一个直径为50dm的圆形洞口,想用一个正 方形盖住洞口,则需要正方形的对角线至少多长?
变式一:有一个直径为50dm的正方形洞口,想用一个圆 盖住洞口,则需要圆的直径至少多长?

变式二:有一个长为40cm,宽为30cm的长方形洞口,想用一 个圆盖住洞口,则需要圆的直径至少多长?

教材67页探究2:如图,一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上,梯 子的顶端距地面的垂直距离为8m. 问题:如果梯子的顶端下滑1m,那么它的底端是否也滑动1 m?
变式一:当梯子的顶端下滑多少米时,梯子顶端下滑的距离AC 会等于梯子底端下滑的距离BD? 变式二:如果设梯子的长度为c米,AO=b米,BO=a米,请 用含a、b的式子表示当梯子顶端下滑多少米时,梯子顶端下滑 的距离AC会等于梯子底端下滑的距离BD?

A C D B O

教材70页练习5:要从电线杆离地面5m处向地面拉一条长为 13m的钢缆,求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离。
变式一:如果电线杆的高度未知,现有一根一端固定在电线杆 顶端的钢缆,且钢缆长比电线杆长8米,地面钢缆固定点A 到电线杆底部B的距离为12米,求电线杆的高度。 变式二:现有一根一端固定在电线杆顶端的钢缆,给你一把米 尺,你能测量出旗杆的高度吗?请你设计方案。
C

B

A

教材71页练习11:

如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面 积分别用S1、S2、S3表示,则不难证明S1=S2+S3 . 问题:如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形 其面积分别用S1、S2、S3表示,那么S1、S2、S3之间有什么 关系?(不必证明) 变式一:如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三 角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1、S2、S3之间 的关系并加以证明; 变式二: 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形, 其面积分别用S1、S2、S3表示,请你猜想S1、S2、S3之间的关系

三、命题发展预测
? 7:2:1 7有基本计算 2有大题中勾股定 理的计算,反比例函数综合问题、四边 形证明中作为求线段长度的基本方法

四、对于本章复习的想法:
? 基本计算的准确性 ? 注意数学思想方法的渗透例如数形结合、分类 讨论,方程思想等 ? 注意勾股定理与实际相结合的问题 ? 注意培养学生的动手操作能力及合作探究能力 如勾股定理探索,数学活动中的折纸问题 ? 注意勾股定理在综合性问题中的应用例如动点 问题,也为以后学习的相似三角形,二次函数 等问题做好铺垫


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