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2013届吉林省实验中学高三第二次模拟考试数学文试题


吉林省实验中学 2013 届高三第二次模拟考试

数学(文)试题
命题人:施丽娜 审题人:赵君 宋雪飞 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页。 考试结束后将答题卡交回。 注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2.使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目

的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效; 在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸 刀。

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。
2 (1) 已知全集 U ? R,若函数 f ( x) ? x ? 3x ? 2, 集合 M ={x|f(x)≤0},N ={x| f ?( x) ? 0 },则

M ? CU N =
A. [ , 2 ]

3 2

B. [ , 2 )

3 2

C. ( , 2 ]

3 2

D. ( ,2)

3 2

(2) 若点 P(cos? , sin ? ) 在直线 y ? ?2 x 上,则 sin 2? ? 2 cos 2? ? A. ?

14 5

B. ?

7 5

C. ? 2

D.

4 5

错误!未找到引用源。(3)

sin 20? 1 ? cos40? ? cos50?
2 2
C. 2 D. 2

A.

1 2

B.

2 2 (4) 将直线 2 x ? y ? ? ? 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0

相切,则实数 ? 的值为 A.-3 或 7 B.-2 或 8 C.0 或 10 D.1 或 11

错误!未找到引用源。(5) 将函数 y ? sin( x ? 倍(纵坐标不变) ,再将所得图像向左平移 A. y ? sin( x ?

?
3

) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2

1 ? ) 2 3 (6) 当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救,
甲船立即前往营救, 同时把消息告知在甲船的南偏西 30 相距 10 海里 C 处的乙船, 乙船 立即朝北偏东 ? ? 30 角的方向沿直线前往 b 处营救,则 sin ? 的值为
? ?

? 个单位,则所得函数图像对应的解析式为 3 ? 1 1 ? B. y ? sin( 2 x ? ) C. y ? sin x D. y ? sin( x ? ) 6 2 2 6

A.

21 7

B.

2 2

C.

3 2

D.

5 7 14

(7) 在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a, b, c , (a2 ? c2 ? b2 ) tanB ? 3ac , 角 若 则角 B 的值为 A.

? 6

B.

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3
1 时,有 2

(8) 函 数 f (x) 在 定 义 域 R 内 可 导 , 若 f ( x) ? f (1 ? x) , 且 当 x ?

1 3? ( x ? ) ? f ' ( x ) ? 0 ,设 a ? f (tan ) , b ? f (lg 10) , c ? f (8 3 ) ,则 2 4
2

A. a ? b ? c B. c ? a ? b C. c ? b ? a D. b ? c ? a 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 (9) 如 图 所 示 为 函 数

f ( x) ? 2 sin(?x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图像,其中 A, B 两点之间的距离为 5,
那么 f (?1) ? A.2 B. 3 C. ? 3 D.-2

y

y

A

2 1 O x O 1 x

-2 (第 9 题图)

B (第 10 题图)

错误!未找到引用源。(10) 已知函数 f (x) 的导函数的图像如图所示, a, b, c 分别是 ?ABC 的内角 A, B, C 所对应的边,且 3a ? 3b ? c ? 4ab ,则一定成立的是
2 2 2

A. f (sin A) ≤ f (cosB) C. f (sin A) ≥ f (sin B)

B. f (sin A) ≥ f (cosB) D. f (cosA) ≤ f (cosB)

错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 (11) 函 数 f (x) 的 定 义 域 是 R , f (0) ? 2 , 对 任 意 x ? R ,

f ( x) ? f ' ( x) ? 1,则不等式 e x ? f ( x) ? e x ? 1 的解集为
A. {x | x ? 0} C. {x | x ? ?1, 或 x ? 1} B. {x | x ? 0} D. {x | x ? ?1, 或 0 ? x ? 1}

(12) 定义域为 R 的偶函数 f (x) 满足对 ?x ? R,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) ,且当 x ? [2,3] 时, f ( x) ? ?2 x ? 12x ? 18,若函数 y ? f ( x) ? loga (| x | ?1) 在 (0,??) 上至少有三个
2

零点,则 a 的取值范围是

A. (0,

3 ) 3

B. (0,

2 ) 2

C. (0,

5 ) 5

D. (0,

6 ) 6

第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答。第 22 题~第 23 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13) 若复数 z1 ? 4 ? 3i , z2 ? cos? ? i sin ? ,且 z1 ? z2 ? R,则 tan ? ? (14) 设 f (x) 是 定 义 在 R 上 且 最 小 正 周 期 为 .

5? 2? ,? ) 上 的 函 数 , 在 [? 3 3
.

2? ? 16? ?sin x, x ? [? ,0) ) 的值为 ,则 f ( ? f ( x) ? ? 3 3 ?cos x, x ? [0, ? ) ?

(15) 已知 i 与 j 为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+mj (m ? R) 且 a 与 b 的夹角为锐角,则实 数 m 的取值范围是 .
2

(16)在△ ABC 中,AB 边上的中线 CO=4,若动点 P 满足 PA ? sin 则 ( PA ? PB) ? PC 的最小值是
.

?
2

OA ? cos 2

?
2

CA(? ? R) ,

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? sin( x ?

?
6

) ? 2 sin 2

x . 2

(Ⅰ f (x) 的对称中心及单调递减区间; )求 (Ⅱ 记 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ( A) ? 1 , a ? 1 , c ? 3 ,求 b 的 ) 值及 ?ABC 的面积.

(18) (本小题满分 12 分) 已知 a ? (sin x,1),b ? (1, cos x) ,且函数 f ( x) ? a ? b, f ' ( x) 是 f (x) 的导函数. (Ⅰ 求函数 F ( x) ? f ( x) f ' ( x) ? [ f ( x)] 的最大值和最小正周期; )
2

(Ⅱ 若 f ( x) ? 2 f ' ( x) ,求 )

1 ? sin 2 x 的值. cos2 x ? sin x cos x

(19) (本小题满分 12 分)

?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , A ? 30? ,若将一枚质地均匀的正方体骰子先后
抛掷两次,所得的点数分别为 a,b,求 a,b 的取值能使得 ?ABC 有两个解的概率. (20) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

a ? x ln x, g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 . x

(Ⅰ 如果存在 x1 、x2 ?[0,2] , ) 使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ M 成立, 求满足上述条件的最大整数 M ; (Ⅱ 如果对于任意的 s 、 t ? [ ,2] ,都有 f (s ) ≥ g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围. )

1 2

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ? ln x x 3 4

(Ⅰ 若 k ? 0 且函数 f (x) 在区间 (k , k ? ) 上存在极值,求实数 k 的取值范围; ) (Ⅱ )如果当 x ≥ 2 时,不等式 f (x) ≥

a 恒成立,求实数 a 的取值范围. x?2

请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点 O 重合,极轴与 x 轴的正半轴重合.曲线

C1 : ? cos(? ?

?

? x ? 4t 2 ) ? 2 2 与曲线 C2 : ? ( t 为参数, t ?R)交于两个不同的点 A, B . 4 ? y ? 4t

求证: OA ? OB .

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 对于任意实数 a(a ? 0) 和 b ,不等式 | a ? b | ? | a ? 2b | ≥ | a | (| x ? 1 | ? | x ? 2 |) 恒成立,试 求实数 x 的取值范围.

参考答案

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 答案 A C B A D A D B 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ?

9 A

10 A

11 A

12 A

3 4

14. ?

1 3 15. ?? ?,?2? ? (?2, ) 2 2

16. -8

三 解答题: 17.(1) (

?
6

? k? ,1) k ? Z …………2 分(

2? 5? ? 2k? , ? 2k? ) k ? Z …………4 分 3 3

(2)b=1,s=

3 …………8 分 4

b=2,s=

3 …………12 分 2

18. (1)f(x)=1+ 2 sin( 2 x ? T= ? …………6 分 (2)tanx=

?
4

) …………3 分;x=

? ? k? , k ? Z 最大值为 1+ 2 …………5 分; 8

1 11 2 tan2 x ? 1 …………8 分 ;化简得 …………10 分; …………12 分 3 6 1 ? tan x

19. a<b<2a…………3 分 b=3,a=2;b=4,a=3;b=5,a=3; b=5,a=4;b=6,a=4;b=6,a=5. …………9 分

1 …………12 分 6
20. (1)g(x)在 ? 0, ? 上单调递减;g(x)在 ? ,2 ? 上单调递增…………2 分

? ?

2? 3?

?2 ? ?3 ?

g(x)最大值 g(2)=1; g(x)最小值 g( M≤

2 85 )= ? …………4 分 3 27

112 ,M=4…………6 分 27
(2) a ≥ x ? x ln x 恒成立…………9 分
2

a ≥1…………12 分
21. (1) ? ,1? …………4 分 (2) a ≤2(1+ln2)…………12 分 22. 略 23. ? , ? ……………10 分 4 4

?1 ? ?4 ?

?3 9? ? ?


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